Bài giảng 2 nhắc lại kiến thức về xác suất thống kê

Nội dung bài giảng - Không gian xác suất - Xác suất có điều kiện và sự độc lập xác suất - Định luật Bayes - Biến ngẫu nhiên - Kỳ vọng và phương sai - Phân phối có điều kiện và phân

Bài giảng 2 – Nhắc lại kiến thức về xác

suất thống kê

Nguyễn Phương Thái

BM Khoa học Máy tính

http://coltech.vnu.edu.vn/~thainp/

Nội dung bài giảng

- Không gian xác suất

- Xác suất có điều kiện và sự độc lập xác suất

- Định luật Bayes

- Biến ngẫu nhiên

- Kỳ vọng và phương sai

- Phân phối có điều kiện và phân phối phụ thuộc

- Ước lượng xác suất

- Các phân phối chuẩn

Không gian xác suất

- Lý thuyết xác suất có nhiệm vụ dự đoán cái gì đó sẽ xảy ra với khả năng như thế nào

Ví dụ: gieo 3 đồng xu, khả năng xuất hiện cả ba mặt ngửa là thế nào?

- Phép thử: là một thí nghiệm hay quan sát nào đó

- Biến cố sơ cấp: kết quả đơn giản nhất của thí nghiệm

- Không gian mẫu: tập tất cả các biến cố sơ cấp

- Biến cố: tập con của không gian mẫu

Không gian xác suất (tiếp)

- Ω được gọi là biến cố chắc chắn, ᴓ được gọi là biến cố không

này còn được ký hiệu là AB

Không gian xác suất (tiếp)

Theo ngôn ngữ xác suất, các điều trên có nghĩa là:

- ̅ xảy ra  A không xảy ra

Không gian xác suất (tiếp)

Ví dụ: Gieo một đồng tiền xu hai lần Không gian mẫu là: Ω = {SS, SN, NS,

Xác suất của biến cố

Giả sử A là biến cố của phép thử nào đó:

- P(A), tồn tại khách quan, đo khả năng xuất hiện của A

Số này bằng 1 nếu A là biến cố chắc chắn, bằng 0 nếu A là biến cố không,

Định nghĩa cổ điển của xác suất

xác suất của biến cố A là:

Ví dụ

Một cái hộp N quả cầu được đánh số bởi các số của tập hợp các số tự

nhiên từ 1 đến N Rút lần lượt từng quả n lần, sao cho mỗi lần rút một quả, quả đó được hoàn trả lại hộp rồi mới rút lần tiếp theo Hãy tính xác suất của biến cố:

Do đó:

Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số xác định theo công thức:

Một số ví dụ

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần A là biến cố “lần đầu gieo xuất hiện mặt 1 chấm”, B là biến cố “tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3” Tính P(A|B)

Một số ví dụ (tiếp)

Ví dụ 2: Từ một hộp chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, người ta rút

ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một hai lần Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được quả cầu trắng

thức nhân xác suất ta có xác suất cần tìm là:

Công thức Bayes

( | ) ( )( )

0 với mọi i Khi đó ta có:

Ví dụ: Từ một hộp chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, người ta rút

ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một hai lần Hãy tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết rằng lần thứ hai cũng rút được quả trắng

Công thức Bayes (tiếp)

( − 1)( − 1) +

Sự độc lập của hai biến cố

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

( | ) = ( )

Biến ngẫu nhiên

(Ω) = 1

Kỳ vọng và phương sai

Kỳ vọng là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên Giả sử X là

là:

Phương sai của biến ngẫu nhiên là một số không âm dùng để

đo mức độ phân tán (tản mát) của các giá trị của biến ngẫu

nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó

Phân phối có điều kiện và phân phối phụ thuộc

Hàm pmf phụ thuộc cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc X, Y là:

p(x, y) = P(X = x, Y = y) Hàm pmf điều kiện :

Công thức nhân xác suất :

Trong đó r là số lần thành công trong n lần thử

- Phân phối nhị thức được dùng nhiều trong nghiên cứu, ví dụ cho các mô hình n-gram, kiểm định giả thuyết thống kê, v.v

- Tổng quát hóa của phân phối nhị thức là phân phối đa thức

Phân phối nhị thức (tiếp)

Hai đường cong b(r; 10, 0.7) và b(r; 10, 0.1)

Phân phối chuẩn

- Đây là một hàm phân phối liên tục có dạng :

√2

Trong đó là giá trị trung bình và là độ lệch chuẩn

- Các ứng dụng : mô hình hóa chiều cao hay chỉ số IQ của

người, các mô hình học máy, thống kê, v.v

- Tên khác: Gaussians

Phân phối chuẩn (tiếp)

Hai đường cong n(x; 0, 1) và n(x; 1.5, 2)

Chú ý: trong thống kê, nhiều khi phân phối nhị thức (rời rạc) được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn (liên tục) – bạn hãy để ý sự tương tự của các đường cong