BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP(BẢI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN TH&TT SỐ ĐS9)_2

BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP  --- LÊ NGÔ NHẬT HUY Bến Tre iải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên trong chuyên đề chỉ đề c

BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP



-

LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre)

iải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên

trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:

I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP , NHỊ THỨC

NEWTON

* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có

các công thức sau:

1) Công thức hoán vị

! ( 1)( 2) 3.2.1

n

P n n n n

( n giai thừa, n > 1)

2) Công thức chỉnh hợp:

!

k n

n

n k

 3) Công thức Tổ hợp:

!

k

n

n

k n k



* Một số tính chất số Tổ hợp:

C C  C  C C  C 

*Khai triển nhị thức Newton:

0

n

n k n k k

n k



+ Có n + 1 số hạng trong khai triển

+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số

hạng bằng số mũ của nhị thức

4) Các công thức biến đổi với số mũ

1

n m

m

n

a

a

a



 

 

 

II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP

 Phương trình tổ hợp là phương trình (PT)

có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh

hợp, hoán vị

Ví dụ 1: Giải phương trình :

2

x x x

Lời giải:

Điều kiện: x ; x 3

Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:

 

     

1

x

 1 2

x x

    

Do x 3nên x2160x4hoÆc x 4

So lại với ĐK PT (1) có nghiệm duy nhất x 4

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2 3

C  C   A (2)

Lời giải:

Đk: x4, x  Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:

 

 

 

 

 

 

    

 

2

x

So với ĐK đầu bài PT (2) có nghiệm duy nhất x = 9

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Lời giải:

Đk : x3,x 

 

 

 

 

 

2

!

x

x

       

   

2

2

3

2



v« nghiÖm

Từ ĐK x3,x   nên PT (3) có một nghiệm x = 12

G

Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n):

2

Lời giải:

Đk: n9,n  ,theo tính chất số Tổ hợp

1

1

C C  C  , ta có

2

C C C C C C

Vậy, theo giả thiết tương đương với:

 

 

 

 

2

3

9

n

n



Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy nhất một

nghiệm là n = 15

 Lưu ý:

Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:

+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ

hợp thì 0k n, ví dụ: 8

3

n

C  thì đk của n là:

n  n

+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì

phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất

Ví dụ:C n91C n72 thì đk là:







8

n

+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ

hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến

đổi, rút gọn và giải PT

+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán

để kết luận

III/ NHỊ THỨC NEWTON.

Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là :

Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta

xét cụ thể các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Khai triển  5

xy thành tổng các đơn thức

Lời giải:

Theo công thức Nhị thức Newton ta có:

 5   5 0 5 0 1 4  2 3 2

xy x y  C x y C x y C x y 

 3  4  5

C x y C x y C x y

Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

 

6

2

1

x

Lời giải:

Với

2

1

x



   , Từ (I) ta có:

   

 

6

6

0

1

k k

k k

k

x









Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho

6 3 k 0 k2

Vậy số hạng cần tìm là 2 6 2 2

6.2 ( 1) 240

C 

Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa 8

x trong khai triển

 

12 5 3

1

x

Lời giải:

Ta có

5

3

1

x



Từ (I) ta có:

   

k

 





 

 

Tìm k sao cho 72 11

2

k

k

Vậy số hạng cần tìm là : C 128 495

,

Tìm hệ số chứa x y 21 12

Lời giải:

Ở đây, ta cóax3, bxy, n15

Từ (I) ta có

  15  3 15 15 45 2

C x y C x  xy C x  y

Đến đây, ta tìm k sao cho 45 2 21 12

12

k

k k









Vậy hệ số chứa x y là 21 12 12

15 455

C 

Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa 7

x trong khai triển

n

x

, biết n thỏa mãn

hệ thức sau: 4C n312C n2  A n3

Lời giải:

Đk: n2;n 

Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :

 

     

 

4

6



x





Từ (I) ta có

       

Tìm k sao cho 22 3 k7 k5

Vậy số hạng cần tìm là : 5  5

11 2 14784

C   

Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai

triển   3 2 n

x

, biết rằng n thỏa mãn hệ

Lời giải:

Đk:n6;n 

Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :

 

 

 

 

2

15

n

Ta có

x



Từ (I) ta có:

 

15



Ta tìm k sao cho 30 5

6

k

k



Vậy số hạng cần tìm là: C156.26 320320

Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton

G x  ax ta được số hạng thứ hai là 24x ; số

hạng thứ ba là 252x Hãy tìm a và n.(a R; n N*) 2

Lời giải:

Từ (I) ta có:

 

k

G x C  ax C a x

*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24xnên:

1

1

24 (1)

n

n

k

C a









*Theo đề bài số hạng thứ ba là 252x nên: 2

2

2 2

2

252 (2)

n

n

k

C a









*Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình sau:

1

2 2

24 (1) 252 (2)

n n

C a

C a









PT(1) 241

n

a C

  thay vào (2) ta được:

 

 

 

2

2

2

1 7

n n

n

C





* Với n = 8 thay vào (1) 1

8

24 3

a C

Vậy a3, n 8

Ví dụ 8:

Khi khai triển H x( )ax 6 bx3 (*) ta được

hệ số chứa x là 7 9; không có số hạng chứa x 8

Hãy tìm a và b (a,bR)

Lời giải:

Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: nhị thức

bậc 6 và nhị thức bậc 3 Vậy để tạo ra số hạng x 7

thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến

4 5 6

, ,

x x x nhân với các biến số tương ứng trong nhị

thức bậc 3 là x x x 3, 2,

*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:

6

6

6

0

k

C a  x



 số hạng chứa x x x tương ứng với 4, 5, 6

k lần lượt là 4, 5,6. 4 2 5 6 0

6 , 6 , 6

C a C a C a



*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:

3

3

3

0

k

C b x



 số hạng chứa x x x tương ứng với 3, 2,

k lần lượt là 3, 2, 1.C b33 ,0 C b C b32 , 31 2

*Hệ số chứa x là 7 9 vậy:

6 3 6 3 6 3

C C a C C ab C C b = 9 (1)

(với quy ước a  ) 0 1

*Tương tự trên,đối với x ta cũng có: 8

6 3 6 3 0 (2)

C C b C C a 

Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình sau:

   

2

1

2 2

C C a C C ab C C b

C C b C C a

a

b a

b a









 

 



Vậy có hai kết quả là:

a b  và a 1,b 2

 Lưu ý:

Để tính hệ số của số hạng x(α là một số hữu tỉ

cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của

( ) ( ( ))n

P x  f x ta làm như sau:

0

( )

n

g k k k

P x a x



 + Số hạng chứa α tương ứng với g k( )

+ Giải phương trình g k( ) ta tìm được k

+ Nếu k ,k n, hệ số phải tìm là a k

Nếu k  hoặckn thì trong khai triển không có

số hạng chứa x hệ số cần tìm bằng 0

* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức P x , ( )

ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT chứa ẩn n, F n  để tìm bậc của ( )( ) 0 P x , sau đó ta

thực hiện các bước như trên

IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG

1) Giải các phương trình sau:

) n n n n n n 79

a C C  C   Đs: n = 12

b A A  Đs: n = 4

1

c C  C n

     Đs: n = 12

)

6

d

C C   C  Đs: x = 8 & x = 3

2) Tìm số hạng chứa x trong khai triển 10 3

2

1 n

x x



biết rằng n thỏa mãn hệ thức: C n4 13C n2, n ,

Đs: n = 15; k = 7; -6435

3) Cho khai triển nhị thức

12

3 3

x x



a) Tìm số hạng chứa x Đs:4 4; 55

9

k 

b) Tìm số hạng không chứa x Đs: k 6; 924

4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

3

15 28

1

n

x x

x



, biết rằng n thỏa mãn hệ thức:

C C  C   x n   Đs: 792

5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

4

1

n

x x

x



  , biết rằng n thỏa mãn hệ thức:

C C  x n   Đs: n = 11, k = 3, 165

6)

a) Tìm hệ số chứa x trong khai triển và rút gọn của 3

P x  x  x  x

Đs: b) Tìm hệ số chứa x trong khai triển và rút gọn của 9

đa thức: Q x( )2x102x12

Đs:1740

7) Xét khai triển  2 36

1 x x x thành đa thức

P x a a x a x a x a x Tìm hệ số a Đs: – 580 9

HẾT