Bài giảng phương pháp phần tử hữu hạnLê xuân thành

Tính ưu việt, Mốclịch sử, Các khái niệmđàn hồi, nguyên lý toán học và cơ học Bài toán hệ thanh: Thiết lập các phần tử cơ bản kéo/nén,uốn, xoắn, Chi tiết các bước giải hệ thanh theo PP PT

THÔNG TIN VỀ KHÓA HỌC

Thông tin chung

Tên: Phương pháp Phần tử Hữu hạnTên viết tắt: PP PTHH

Số tín chỉ: 2

Người giảng: Nguyễn Xuân ThànhĐối tượng nghe: Sinh viên lớp 55XE

Trang bị cho sinh viên các khái niệm về sựrời rạc hóa kếtcấu thành nhiều phần tử, vềứng xử cơ học của mỗi phần

tử khi chịu các nguyên nhân tác dụng

Trang bị cho sinh viên kiến thức vềcơ sở toán học của PPPTHH, về quy trình chungcủa một bài toán phân tích kếtcấu bằng phương pháp này

Trang bị cho sinh viên cách vận dụngPP PTHH để giải bàitoán hệ kết cấu dạng thanh, đáp ứng đòi hỏi tính toántrong các môn chuyên ngành

Giới thiệu tổng quan: PP PTHH là gì? Tính ưu việt, Mốclịch sử, Các khái niệm

đàn hồi, nguyên lý toán học và cơ học

Bài toán hệ thanh: Thiết lập các phần tử cơ bản (kéo/nén,uốn, xoắn), Chi tiết các bước giải hệ thanh theo PP PTHHCác vấn đềmở rộng: Bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi(thiết lập các phần tử cơ bản, các bước giải bài toán phẳngtheo PP PTHH)

Nguyễn Mạnh Yên (1996) Phương pháp số trong Cơ họcKết cấu, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội.Nguyễn Xuân Thành (2013) Phương pháp phần tử hữuhạn, Các file bài giảng môn học.

Tài liệu tham khảo bổ sung

Nguyễn Tiến Dũng (2009) Phương pháp Phần tử Hữu hạn,Sách giáo trình, chưa xuất bản, lưu hành nội bộ

Nguyễn Xuân Lựu (2007) Phương pháp Phần tử Hữu hạn,Nhà xuất bản Giao thông vận tải, Hà Nội

Cook, R., D., et al (2002) Concepts and Applications ofFinite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc

Tham gia vào bài giảng*/ Làm bài kiểm tra và bài tập /

Dự thi cuối kỳ

Yêu cầu về bài tập

Làm bài tập ở nhà, tham gia tích cực giờ bài tập trên lớp.Lời giải được tập hợp lại, đóng thành quyển, nộp trướckhithi

Yêu cầu về làm bài kiểm tra

"Tự lực cánh sinh"

Giá trị tính toán bằng số không quan trọng bằng các bướcgiải bài toán và các công thức đúng đắn

Tham gia vào bài giảng (15%) + Bài tập và bài kiểm tra(25%) + Thi cuối kỳ (60%)

Giờ tư vấn

Các thảo luận liên quan đến nội dung môn học

Địa điểm: Văn phòng Bộ môn P514A1

Lịch tư vấn*: Thứ Hai (14h30-15h30); Thứ Năm

(9h30-10h30)

Kiến thức cần có trước

Sức bền vật liệu / Cơ học kết cấu / Đại số tuyến tính / Matrận và véc-tơ / Giải phương trình vi phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Giới thiệu

Nó là gì?

Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ?

Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện

NỘI DUNG CHÍNH

1 Giới thiệu

Nó là gì?

Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ?

Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện

Nó là gì?

PP PTHH là

một tổng quát hóa của phương pháp biến phân cổ điển Ritz

và các phương pháp số dư trọng số (như Galerkin, bình

phương tối thiểu, )

một phương pháp sốmạnh mẽ để giải các phương trình viphân và tích phân gặp trong các bài toán trường (field

problems) của nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học ứng

dụng

PP chuyển vị dạng matrận để phân tích hệ khung PP PTHHmột phép xấp xỉ rời rạc

Hệ liên tục; vôhạn BTD; PDE

Hệ được rời rạc;

hữu hạn BTD; ODE

Sự phổ biến của phương pháp

Tháng 8/2013: Google "phần tử hữu hạn": 1,4 triệukết

quả; Google "finite element": 10 triệukết quả

Sách viết về PTHH (năm 1991, các thứ tiếng):400cuốn.Tháng 8/2013: Google sách viết về "finite element": gần 3

triệukết quả

Mỹ, mỗi năm, 1 tỷUSD cho phần mềm và thời gian tínhtoán PTHH

Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ?

Ví dụ bài toán thường gặp

Đã học CHKC và LTĐH rồi, làm thử xem sao?

Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ?

Vì các đặc trưng ưu việt của PP PTHH

Xử lý được các hệ kết cấu có dạng hình học / vật liệu / tảitrọng phức tạphoặc có các điều kiện biênkhác nhau

Hội tụ đến kết quả chính xác của bài toán qua việc chia

mịn lưới rời rạc

Phù hợp với việc lập trình hóađể có thể giải được một lớplớn các bài toán khác nhau:

Hệ thanh chịu kéo/nén, uốn, xoắn dưới tác dụng của các

nguyên nhân tĩnh/động khác nhau.

Bài toán truyền nhiệt chuyển tiếp và bình ổn.

Bài toán biến dạng trong và ngoài mặt phẳng của

tấm/bản/vỏ.

Bài toán ổn định, dao động, va chạm, mỏi,

Bài toán ngoài đàn hồi (dẻo, đàn nhớt, dẻo nhớt, )

Ý tưởng chính của phương pháp

1 Rời rạc hóa hệ thành một số hữu hạn các phần nhỏ (gọi làphần tử) có kích thước hữu hạn, nối nhau tại các nút

2 Nghiên cứu chi tiết ứng xử cơ học của từng phần tử (ví dụbằng Lý thuyết đàn hồi)

3 Ghép nối các phần tử và nghiên cứu tổng thể hệ kết cấu

với các đặc trưng tại các nút ⇒ tìm được nghiệm xấp xỉ

của bài toán

3 Thiết lập các ma trận đặc trưng của các phần tử điển hình.

4 Chuyển các ma trận đặc trưng của tất cả các phần tử về hệtọa độ chung, thực hiện việc ghép nối

5 Đưa vào các điều kiện biên của bài toán, lúc này được một

hệ phương trình đại số tuyến tính không suy biến

6 Giải hệ phương trình, tìm được các ẩn số tại nút trong hệtọa độ tổng thể

7 Thực hiện các tính toán, xuất kết quả đồ họa hậu xử lý

Thay đổi các tham số và tính toán lại nếu cần

Ray Clough, giáo sư trường Berkeley, sau một nhiệm vụ hè

ở Boeing, viết 1 bài báo lần đầu tiên sử dụng thuật ngữ

"PTHH" Được coi là một trong những người đặt nền tảngcho phương pháp

Sau vài năm, Clough chuyển sang nghiên cứu thực nghiệm,nhưng những gì ông đặt nền tảng đã tạo ra một đội ngũ

nghiên cứu mạnh ở Berkeley: E Wilson, R.L Taylor,

T.J.R Hughes, C Felippa, K.J Bathe

Lịch sử của phương pháp (tiếp)

PP PTHH lúc đầu đã bị giới học thuật chỉ trích, thậm chímột số tờ báo uy tín còn từ chối đăng bài có liên quan

Tuy vậy, O.C Zienkiewicz và R.H Gallagher vẫn nhận ratiềm năng của PP PTHH Zienkiewicz xây dựng một nhómnghiên cứu nổi tiếng tại Swansea ở Wales, trong đó có B.Iron, R Owen; đi tiên phong trong các quan niệm về phần

tử đẳng tham số và phương pháp phân tích phi tuyến

Về sau, các nhà toán học đã tìm thấy một bài báo của

Courant năm 1943, trong đó các phần tử tam giác được sửdụng với các nguyên lý biến phân để giải các bài toán daođộng Từ đó, có nhiều nhà toán học tuyên bố rằng đây

chính là điểm xuất phát của phương pháp

Lịch sử của phương pháp (tiếp)

Một điều thú vị là trong nhiều năm liền, PP PTHH đã

thiếu một cơ sở lý thuyết, tức là không có một chứng minhtoán học nào chỉ ra lời giải của PTHH là đáp án thực sựcủa bài toán

Từ cuối những năm 1960 đến nay, lĩnh vực này đã thu hútnhiều sự quan tâm của các nhà cơ học và toán học, nhữngngười chỉ ra rằng, đối với các bài toán tuyến tính, lời giảicủa PTHH hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trìnhđạo hàm riêng

Năm bài báo quan trọng nhất

1 R Courant (Bll Am Math Soc., 1943) Bài toán hộp có lỗ

vuông chịu xoắn (không nêu chi tiết toán học).

2 J.H Argyris(Aircraft Eng., 1954, 1955) Phát triển lý thuyết ma trận tính kết cấu sử dụng khái niệm độ mềm, độ cứng (Argyris

đã sử dụng phương pháp chuyển vị thay cho phương pháp lực khi phân tích cánh máy bay từ năm 1943).

3 M.J Turner và cộng sự (J Aero Sci., 1956) Đưa ra ý tưởng

phương pháp Lập ma trận độ cứng phần tử thanh dàn, tấm tam giác và chữ nhật trong hệ tổng thể Được cùng dạng với kết quả của Argyris.

"PP PTHH, phân biệt với: (a) các phương pháp phân tích vật thể liên tục; và (b) phương pháp ma trận.

dụng có hệ thống vào bài toán phi kết cấu Làm rõ cách cực tiểu hóa phiếm hàm, dọn đường cho việc dùng PTHH vào bài toán phân tích trường.

Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn

Có RẤTnhiều phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn.Dưới đây chỉ điểm qua một số điển hình

Edward Wilson đã phát triển một trong những chương

trình PTHH đầu tiên mà vẫn còn được phát triển và sử

dụng rộng rãi đến ngày nay (chương trình SAP) với xuấtphát điểm như sau:

Miễn phí*.

Bài toán ứng suất 2 chiều.

Chương trình được sử dụng và sửa đổi bởi nhiều nhóm

nghiên cứu hàn lâm và các phòng thí nghiệm, qua đó cho thấy sức mạnh và sự đa năng của PTHH đối với nhiều mục đích.

Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn

Cũng khoảng năm 1965, John Swanson phát triển một

chương trình PTHH ở Cty Điện lực Westinghouse để phântích các lò phản ứng nguyên tử

Vào năm 1969, Swanson rời Westinghouse để phát triển và tiếp thị chương trình ANSYS.

Chương trình có khả năng phân tích tuyến tính và phi

tuyến, nhanh chóng được các Cty ứng dụng rộng rãi.

Năm 1996, Cty phát hành cổ phiếu, đến năm 2006, giá trị vốn hóa là 1,8 tỷ USD.

Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn

Một số chương trình khác có thể kể đến là LS-DYNA mạnhtrong phân tích động, bài toán va chạm giao thông, bài

toán tạo hình tấm kim loại, các mô phỏng nguyên mẫu nhưthí nghiệm rơi tự do,

Chương trình ABAQUS do Cty HSK phát triển tập trungvào các ứng dụng phi tuyến Có đặc điểm là HSK đã để

một cửa ngỏ cho chương trình mà qua đó, người sử dụng cóthể thêm vào các phần tử và mô hình vật liệu mới

Chương trình CALFEM (hiện đã dừng phát triển) rất trựcquan, dễ hiểu, viết trên ngôn ngữ MATLAB, ứng dụng tốttrong việc dạy và học PP PTHH

Chương trình FrameDesign tính toán hệ khung, nhỏ gọn,miễn phí, chạy trên các thiết bị Android

NỘI DUNG CHÍNH

1 Giới thiệu

Nó là gì?

Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’ ?

Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện

ứng trong hai ma trận.

Các phép tính với ma trận

Cho ma trận vuông A có kích thước 𝑛 × 𝑛

Định thức của ma trận A được viết là det A và được địnhnghĩa là:

𝐷 = det A = 𝑎11 nếu 𝑛 = 1

𝐷 = 𝑎𝑗1𝐶𝑗1+ 𝑎𝑗2𝐶𝑗2+ · · · + 𝑎𝑗𝑛𝐶𝑗𝑛 nếu 𝑛 ≥ 2

trong đó

𝐶𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘𝑀𝑗𝑘với 𝑀𝑗𝑘 là định thức của ma trận con được tạo ra từ việc

bỏ đi hàng 𝑗 và cột 𝑘 của ma trận A 𝐶𝑗𝑘 được gọi là đồng

hệ số (cofactor) của 𝑎𝑗𝑘 trong ma trận A

Phương pháp số dư trọng số

Tư tưởng của phương pháp được trình bày thông qua ví dụ sau

Phát biểu bài toán

Giải phương trình vi phân với các điều kiện biên cho trước

𝐷𝑢 − 𝑓 = 0 trên miền 𝑉trong đó:

𝑥 là các biến độc lập, ví dụ: tọa độ của một phân tố vậtliệu

𝑢 = 𝑢(𝑥) là các biến phụ thuộc, ví dụ: các chuyển vị củaphân tố vật liệu

𝑓 là một hàm của 𝑥

𝐷 là một toán tử vi phân

Phương pháp số dư trọng số

Phát biểu trên là dạng thức mạnh(strong form) của bài

toán

tức: phương trình vi phân cần phải được thỏa mãn tại

mọi điểm bên trong cũng như các điều kiện biên

Gọi ˜𝑢 = ˜𝑢(𝑥) là một nghiệm xấp xỉ Thường thì nghiệm

Do đó, định nghĩa số dư trên miền 𝑉 như sau

𝑅 = 𝐷 ˜𝑢 − 𝑓

𝑛 giá trị 𝑎𝑖 được chọn để sao cho 𝑅 là nhỏ.

Phương pháp số dư trọng số:nhỏ là theo nghĩa sau

∫︁

𝑊𝑖𝑅 𝑑𝑉 = 0 với 𝑖 = 1, 2, , 𝑛

trong đó mỗi 𝑊𝑖 = 𝑊𝑖(𝑥) là một hàm trọng số

Dạng thức như ở trên được gọi là dạng thức yếu(weak

form) của bài toán

Sau khi giải được 𝑎𝑖, ta tìm được ˜𝑢, bài toán đã được giảimột cách gần đúng