CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY HAY DÙNG

T đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG2GI v i G là tr ng tâm tam giác ABC... Khi đó VLCB là hình bình hành do VB LC, cùng song song và b ng AI Suy ra VL // BC... a Ch ng minh DPK

Trang 1

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

A Các k n ng c n thi t

Trong r t nhi u bài toán hình h c t a đ ph ng Oxy, đôi khi “m u ch t” c a bài toán l i n m vi c phát

đ c nh ng bài toán nh th , các b n c n trang b cho mình hai k n ng sau:

Chú ý: Vì bài toán ta đang đ c p t i thu c m ng hình h c ph ng Oxy Vì v y trong đ thi n u d đoán đ c

không nên xa đà vào các tính ch t quá khó (các b n c ng th y rõ đ c đi u này qua đ thì các n m tr c đây)

B Khai thác các tính ch t hình h c ph ng thu n túy hay dùng

 Chùm tính ch t 1 : Cho tam giác ABC có tr c tâm H, n i ti p đ ng tròn tâm I G i M N K, , l n

l t là trung đi m c a BC AC AH, , và D E F, , l n l t là chân đ ng cao ng v i các đ nh A B C, ,

Ch ng minh r ng:

1) AH 2IM

T đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG2GI

v i G là tr ng tâm tam giác ABC

3) D là trung đi m c a HR v i R là giao đi m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I

4) E K D M N, , , , cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính MK T đó hãy suy ra đ ng tròn đi qua 9 đi m

(trung đi m c a các c nh, chân các đ ng cao và trung đi m c a các đo n th ng n i tr c tâm v i các đ nh c a

tam giác)

5) H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF

6) G i V L, l n l t đ i x ng v i I qua các đ ng th ng AB AC, Ch ng minh r ng VL // BC

T đó hãy suy ra V K L, , th ng hàng

CH NG MINH

x

G

1

2 1

R

K

J

H

N

M

I F

E

B

A

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2

1) AH2IM T đó hãy suy ra MIAK là hình bình hành và HG2GI v i G là tr ng tâm tam giác ABC

Cách 1 : Ta có HAB IMN và HBA INM (góc có c nh t ng ng song song)

IM  IN  MN  HA2IMAH 2IM

Cách 2 : G i J là giao đi m th hai c a AI và đ ng tròn tâm I , khi đó :

JBHC

2





 

(1)

Do K là trung đi m AH nên AH 2AK

(2)

T (1) và (2), suy ra  IMAK

'

GI  IM     

2) IAEF và MKEF

Cách 1: Do E F, đ u nhìn BC d i m t góc vuông nên EFBC n i ti p đ ng tròn

Suy ra ABCAEF ( cùng bù v i FEC ) (1)

G i J là giao đi m th hai c a AI v i đ ng tròn tâm I , khi đó:  ABC AJC (cùng ch n cung AC ) (2)

T (1) và (2) suy ra:  AEF  AJC

90

90 AEF JAC IAEF

Cách 2: K ti p tuy n Ax c a đ ng tròn ( )I , khi đó: Ax AI (*)

Ta có: xABACB (cùng ch n AB ) và  ACBAFE (cùng bù v i góc BFE )

Suy ra xAB AFEAx/ /EF (2*)

Chú ý: Ta có th ch ra tính ch t ch t h n khi MK là trung tr c c a EF C th :

2

AH

BC





3) D là trung đi m c a HR v i R là giao đi m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I

B  A (cùng ph v i góc ACB )

4) E K D M N, , , , cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính MK T đó hãy suy ra đ ng tròn đi qua 9 đi m (trung đi m c a các c nh, chân các đ ng cao và trung đi m c a các đo n th ng n i tr c tâm v i các đ nh c a

tam giác)



Trang 3

90

Ch ng minh t ng t ta có: K T F D M, , , , cùng n m trên đ ng tròn (2*) ;

Q T F N E, , , , cùng n m trên đ ng tròn (3*) và P E N T F, , , , cùng n m trên đ ng tròn (4*)

T (*), (2*), (3*) và (4*) suy ra K N E Q M D P F T, , , , , , , , cùng thu c m t đ ng tròn (đpcm)

Nh n xét: Hi n nhiên trong 1 bài hình h c Oxy s không có câu h i xu t hi n c 9 đi m này, song t đây ta có

1 trong 4 đi m đó

5) H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF

Cách 1 :

Q P

T

F

1

3 2 1

K

D

H

E N

B

A

2 F

B

A

2

E H

Trang 4

Ta có và DBFH là các t giác n i ti p đ ng tròn, do đó :  

 

 







Ch ng minh t ng t ta đ c  D1 D2 hay EH là phân giác c a góc DEF (2)

Cách 2 :





Ch ng minh t ng t ta đ c  D1 D2 hay EH là phân giác c a góc DEF (2)

6) G i V L, l n l t đ i x ng v i I qua các đ ng th ng AB AC, Ch ng minh r ng VL // BC

T đó hãy suy ra V K L, , th ng hàng

Do V L, đ i x ng v i tâm I qua AB AC, nên ta có AVBI ALCI, đ u là các hình thoi

Khi đó VLCB là hình bình hành (do VB LC, cùng song song và b ng AI)

Suy ra VL // BC

G i K' là hình hình chi u vuông góc c a A trên VLAK'//IM (1)

Ta có AVL IBC (c – c – c )AK'IM (2)

T (1) và (2), suy ra  AK'IM

(*)

M t khác theo tính ch t 1) ta có:  AKIM

(2*)

T (*) và (2*), suy ra K'K hay V K L, , th ng hàng.

CDHE

M

L V

C B

K A

Trang 5

 Chùm tính ch t 2 : Cho tam giác ABC có tr c tâm H, n i ti p đ ng tròn tâm I và ngo i ti p đ ng tròn tâm J G i D E F, , l n l t là chân đ ng cao ng v i các đ nh A B C, , và K là giao đi m c a

AJ và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

1) Ch ng minh BADIAC, t đó suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI (hình 1)

2) Ti p tuy n t i A c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và đ ng th ng AJ c t BC l n l t t iMvà N

b) G i P Q, l n l t đ i x ng v i D qua AB AC, Ch ng minh P Q E F, , , th ng hàng

T đó hãy suy ra PQ//AM

3) G i T đ i x ng I qua BC Ch ng minh T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC

4) Ch ng minh r ng: a) K là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ T đó hãy suy ra K là trung đi m c a

JL v i L là tâm đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC

b) BK là ti p tuy n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN (hình 2)

5) G i X đ i x ng v i B qua I và Z là giao đi m c a XK và AC ; S là giao đi m c a BX và AK

6) G i Y đ i x ng v i K qua I và BJ CJ, l n l t c t AY t i V R, Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn

7) G i G O U W, , , l n l t là các hình chi u vuông góc c a D lên BA BE CF CA, , , Ch ng minh G O U W, , ,

th ng hàng (hình 3)

CH NG MINH

Hình 1

4 3 1

L

H

Q

P

K T

N M

J I

F

E

B

A

Trang 6

1) Ch ng minh BADIAC, t đó suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI

M t khác,  BAJ CAJ BAJ   BADCAJ IACHAJ IAJ , suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI

Chú ý: Ta có th ch ng minh AJ là tia phân giác c a góc HAI theo cách suy lu n sau:

+) Mà IKA IAK, suy ra HAKIAK hay HAJ IAJ , suy ra AJ là tia phân giác c a góc HAI

2) a) Ch ng minh tam giác MAN cân t i M

Ta có MNA NCA CAN    (tính ch t góc ngoài tam giác)

Mà  NCA BAM (cùng ch n cung AB ) và CANBAN ( AN là phân giác)

b) Ch ng minh P Q E F, , , th ng hàng T đó hãy suy ra PQ//AM

+) Ta có BEFC là t giác n i ti p nên  F1 ACB (cùng bù v i BFE ) (1)

4

F F (3)

F F F BFE F BFE  B F E, , th ng hàng

Ch ng minh t ng t ta đ c Q E F, , th ng hàng, suy ra P Q E F, , , th ng hàng

3) G i T đ i x ng I qua BC Ch ng minh T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC

Do T đ i x ng I qua BC , suy ra BTCI là hình thoi TB TC IB (1)

M t khác theo chùm tính ch t 1, suy ra  AH IT

, khi đó AHTI là hình bình hành TH IA IB (2)

4) a) K là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ T đó hãy suy ra K là trung đi m c a JL v i L là tâm

đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC

+) Ta có KJB       JAB JBA KAC  JBNKBCJBNKBJ , suy ra KBJ cân t i KKBKJ (1)

90

BLBJ 

Ta l i có

2

JL

Trang 7

Hình 2

KBC KAC KABNAB    I BNKBCI BN

'

5) Ch ng minh SZXC

90

6) Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn

180

Khi đó  V C cùng nhìn 1, 1 RB d i các góc b ng nhau, suy ra BCVR n i ti p đ ng tròn

7) Ch ng minh G O U W, , , th ng hàng

Hình 3

Ta có CDUW và DUHO là các t giác n i ti p, cùng v i DW //BE và B , 1 D cùng ph v i 4 ODB nên ta có:

I'

N 1

1

1 2 1 2

1

1 R

V Y

J

K

Z

X S

A

I

C B

4 4

1

W U

O G

H F

E

B

A

Trang 8

    

Ch ng minh t ng t ta đ c G O U, , th ng hàng (2)

T (1) và (2), suy ra G O U W, , , th ng hàng

 Chùm tính ch t 3 : Cho tam giác ABC vuông t i Avà có đ ng cao AH

Hình 1

1) G i M N, l n l t là các đi m thu cAH và BH Ch ng minh r ng: CMAN n u th a mãn:

a) M N, l n l t là trung đi m c a AH,BH

b) CM AN, l n l t là các đ ng phân giác c a ACH, BAH

2) G i D là đi m đ i x ng c a B qua H; K là hình chi u vuông góc c a C trên đ ng th ng AD

3) Trên m t ph ng b BC ch a đi m A, d ng tia Bx vuông góc v i BC và c t AC t i E G i F là

đi m thu c đo n BE (F B F, E) và CF c t đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i P Ch ng

minh r ng A E F P, , , cùng n m trên m t đ ng tròn

Hình 2

4) T là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và R là đi m thu c đo n TC G i Q là giao đi m th hai

c a AR v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và J là trung đi m c a AQ Bi t tia By vuông góc v i

AQ và c t CJ t i L Ch ng minh r ng:

a) ALBQ ( hay L là tr c tâm c a tam giác ABQ)

90

CH NG MINH

Hình 1

1)

a) M N, l n l t là trung đi m c a AH và BH, suy ra MN là đ ng trung bình trong tam giác ABH

Khi đó MN //AB, suy ra MN AC (do AB AC), suy ra M là tr c tâm c a tam giác ANC CMAN

x

1

1 2

1 N

M

I

P F

E

D

C

B

A

Trang 9

b) CM AN, l n l t là các đ ng phân giác c a ACH, BAH , suy ra: AM AC

MH CH và BN BA

2) Ta có  

3) Ta có APCABC (cùng ch n cung AC ), l i có  AEBABC (cùng ph v i EBA) Suy ra  APCAEB (1)

180

Hay A E F P, , , cùng n m trên m t đ ng tròn

4)

a) Ta có ByAQ M t khác, TJ AQ (quan h đ ng kính – dây cung)  TJ //By hay TJ //BL

Khi đó J đ ng th i là trung đi m c a AQ và LC nên ALQC là hình bình hành AL//CQ (1)

Ta l i có: CQB900 hay CQBQ (2)

Nh n xét: Th c ra tính ch t này đã đ c “bi n t u” t tính ch t 1) trong chùm tính ch t 1.

b) Khi R là trung đi m c a TC thì RJ là đ ng trung bình trong tam giác LTC

90 BLT

 Chùm tính ch t 4 : Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ ng tròn tâm I G i E là hình là hình chi u

L

y

J

T

Q R

A

B

C

Trang 10

1) G i T là giao đi m c a BE v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Ch ng minh r ng: AC là phân giác c a góc BCT

Gi i

1) Ta có AI vuông góc v i BT t i E E là trung đi m c a BT  tam giác ABTcân t i AABAT

2

Suy ra BCA TCA hay AC là phân giác c a góc BCT (đpcm)

90

180

90 ADB AEB

 Chùm tính ch t 5 : Cho hình vuông ABCD có M N, l n l t là trung đi m c a AB BC, và I là giao

đi m c a PM và CN

1) Ch ng minh CMDN 2) Ch ng minh ADAI

3) P là đi m thu c đo n AC G i H K, l n l t là hình chi u vuông góc c a P lên AB BC,

a) Ch ng minh DPKH b) Cho CP3PA Ch ng minh tam giác DPN vuông cân

4) G i T là đi m thu c đo n CD sao cho CT2TD Ch ng minh  0

45 TAN

I

T D

E

B

A

Trang 11

CH NG MINH

1) Ch ng minh CM DN

2) Ch ng minh ADAI Ta có   0

90

3)a) Ch ng minh DPHK G i Q là giao đi m c a PK và AD, khi đó AHPQ là hình vuông







b) Cho CP3PA Ch ng minh tam giác DPN vuông cân

Ta có





4) G i T là đi m thu c đo n CD sao cho CT2TD Ch ng minh  0

45 TAN

1

1 tan

3

DT A DA

  và 

3

1 tan

2

BN A AB

1 tan tan

45 TAN

 Chùm tính ch t 6 : Cho hình ch nh t ABCD

1) G i H là hình chi u vuông góc c a B trên AC Trên tia đ i c a tia BH và CB l n l t l y hai

đi m E M, sao cho BEAC; CMBC Bi t BH giao DM t i N

2) Trên m t ph ng b BD ch a đi m A d ng đi m F sao cho  0

90

3) Trên đo n BD l y đi m T sao cho DT4BT L y R đ i x ng v i A qua T và g i P Q, l n l t

là hình chi u vuông góc c a R trên BC DC, Ch ng minh T P Q, , th ng hàng

3 1

1 3

3

1

1 Q

T

H

K P

I

N M

B A

Trang 12

Gi i

G i I là giao đi m c a AC và BD, khi đó I là tâm c a đ ng tròn ( )S có đ ng kính là AC BD,

1) a) Ch ng minh r ng BNDM và ANCN

Ta có   ADBCCM

b)DE là phân giác c a ADC

G i L là hình chi u c a E lên AD và CB c t EL t i V, khi đó:

VBE  CBH BAC

BE AC







45

2

ADC

V L

F

K O

N

E

M

H

Q

P I

T

D

C

B A

Trang 13

T ng quát:

V y đ có (*) (hay có đ c BO KO ) ta ch c n “thi t k đ ” sao cho OH kAH AH DC







2) Ch ng minh AF CF

3) Ch ng minh T P Q, , th ng hàng

G i G là giao đi m c a RP v i BD

2

TG TB

BD

AB GR



 



5

10





TP

TQ

T (1) và (2), suy ra T P Q, , th ng hàng

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,01 MB