Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ LOAN PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ LOAN

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV

CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực

hiện luận văn này đã giúp tôi trưởng thành hơn rất nhiều trong cách

tiếp cận một vấn đề mới Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng

sâu sắc nhất đối với thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ,

động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học Thạc

sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Loan

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa

những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự

trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được

chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Loan

Mục lục

Danh mục kí hiệu 2

Mở đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù 7

1.2 Sự tồn tại nghiệm 9

1.3 Tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát 14

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 17

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 17

2.2 Vấn đề mở liên quan đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 18

2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh 19

2.3.1 Bất đẳng thức biến phân không ràng buộc 19

2.3.2 Bài toán bù tuyến tính 26

2.4 Tính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh 28

2.4.1 Trường hợp một chiều 28

2.4.2 Trường hợp nhiều chiều 31

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

H : không gian Hilbert thực

}x} : chuẩn của véc-tơ x

xx, yy : tích vô hướng của véc-tơ x và y

X, Y,  : giao, hợp, tích Decart

Bpu, rq : hình cầu đóng tâm u bán kính r

ánh xạ F

q

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu đóng vai trò quan trọng,

có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và cuộc sống Những bài toán này

được coi như những bài toán điển hình của bài toán cân bằng

Toán tử đơn điệu được nghiên cứu từ đầu những năm 1960 F

Brow-der dùng phương pháp phân loại tính đơn điệu của các toán tử để nghiên

cứu các bài toán khác nhau của phương trình vi phân phi tuyến elliptic

P Hartman và G Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân

với toán tử đơn điệu Toán tử đơn điệu được sử dụng trong nghiên cứu

phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic và parabolic, trong

nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu và cân bằng Cho đến bây giờ toán tử

đơn điệu tiếp tục là một đề tài được các nhà toán học quan tâm nghiên

cứu

Khái niệm toán tử giả đơn điệu được giới thiệu bởi S Karamardian,

là một mở rộng quan trọng của toán tử đơn điệu Tác giả đã chỉ ra rằng,

một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn điệu Từ đó,

S Karamardian và S Schaible đưa ra một số khái niệm đơn điệu tổng

quát như giả đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh, và tựa đơn điệu Tác

giả thiết lập mối quan hệ về tính đơn điệu của các toán tử tương ứng

với tính đơn điệu của các hàm Nó cho thấy rằng toán tử giả đơn điệu là

trường hợp đặc biệt của toán tử tựa đơn điệu Trong thập kỉ qua, sự tồn

tại nghiệm và phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân

giả đơn điệu được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và

ứng dụng trong thực tế Sau khi được học những kiến thức về bất đẳng

thức biến phân, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tôi đã

chọn đề tài: “Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất

đẳng thức biến phân giả đơn điệu”

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân, đưa ra định nghĩa, các

khái niệm liên quan, sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nó Giới

thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải bài toán bất đẳng thức

biến phân giả đơn điệu và chỉ ra sự hội tụ của nghiệm của phương pháp

hiệu chỉnh Tikhonov

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sự tồn tại

nghiệm, phương pháp tìm nghiệm

4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các bài báo đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và các

sách chuyên khảo liên quan tới toán tử đơn điệu và ứng dụng của chúng

trong việc giải phương trình, bất phương trình Tham gia các xemina

về giải tích phi tuyến liên quan đến các ánh xạ đơn điệu và giả đơn điệu

Sử dụng các phương pháp: tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng

các phương pháp của giải tích hàm

5 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn trình bày tổng quan có hệ thống cùng với sự phân tích

về một số tính chất của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, đưa ra

phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn

điệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh, được sử dụng trong

nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Nhiều bài toán về lý

thuyết tối ưu, kinh tế và vật lý toán đều dẫn đến bất đẳng thức biến

1.1 Bất đẳng thức biến phân và bài toán bù

Định nghĩa 1.1.1 ( Xem([12], Định nghĩa 1.1)) Cho một tập con K

là tập lồi đóng, khác rỗng và F là ánh xạ liên tục trên K

kí hiệu CPpK, F q, là bài toán tìm u P K sao cho

nó được gọi là có tính chấp nhận được

xF puq, uy ¥ 0,

Trước hết ta nhắc lại định lý điểm bất động của Brouwer rất quan

trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong

phương trình toán tử

Bổ đề 1.2.1 ( Xem([1], Bổ đề 2.1)) Cho K là một tập con lồi đóng

Định lý 1.2.2 ( Xem([1], Định lý 2.3)) Cho K là tập lồi đóng trong

xv, w
vy ¥ xu, w
vy , w P K

Hệ quả 1.2.1 ( Xem([1], Hệ quả 2.4)) Cho K là tập lồi đóng trong

hai, thêm vào đó ta có



v
v12

 Av
v1, v
v1E ¤ Au
u1, v
v1E ¤ u
u1v
v1 ,



v
v1 ¤ u
u1

Dựa vào Định lý điểm bất động Brouwer ta chứng minh được sự tồn

tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)

Định lý điểm bất động Brouwer tồn tại

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.

Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K

Tiếp theo định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm

lý 1.2.3, ta có

để tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại

mãn

Chứng minh Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm u của bài toán (1.1)

thì u là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là

}u}   R,vì

Giả sử uR P KR thỏa mãn }uR}   R, thì uR cũng là một nghiệm của bàitoán (1.1).

nhỏ Vì vậy

Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại

nghiệm Ta cần đến khái niệm về tính chất tự bức sau

khi

1.3 Tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát

Dưới đây ta chỉ ra rằng một trong những tính chất của toán tử đảm

bảo cho bài toán có nghiệm là tính đơn điệu và đơn điệu tổng quát

(a) Đơn điệu nếu

xF puq
F pvq, u
vy ¥ 0, @u, v P K;

(b) Đơn điệu mạnh nếu Dγ ¡ 0 sao cho

(c) Giả đơn điệu nếu

xF pvq, u
vy ¥ 0 và xF pvq, v
uy ¥ γ}u
v}2

Từ đó suy ra 0 ¥ γ}u
v}2 ñ u  v Khẳng định paq được chứngminh.

rằng

Trong chứng minh Mệnh đề 1.3.1(b) ta thấy nếu F liên tục và giả

Đây chính là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nội

dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của các tài liệu [1], [11]

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến

phân giả đơn điệu

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Một trong những ý tưởng cơ bản trong việc tìm nghiệm của bất đẳng

thức biến phân là sự thay thế bài toán ban đầu bằng một dãy các bài

toán mà ta dễ tìm nghiệm hơn Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (viết

tắt TRM) là một trong những phương pháp như vậy

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được áp dụng cho bất đẳng thức

biến phân đơn điệu Vì bài toán đơn điệu có thể không có tính chất ổn

định như bài toán đơn điệu mạnh Từ đó người ta mở rộng nghiên cứu

bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Điều thú vị là sự nghiên cứu bài

toán giả đơn điệu đã dẫn tới sự phát triển sâu hơn về bất đẳng thức biến

phân đơn điệu

uk P SolpK, Fε kq và tính giới hạn lim

đưa ra tiêu chuẩn dừng Chẳng hạn, ta có thể kết thúc quá trình tính

(c) lim

2.2 Vấn đề mở liên quan đến phương pháp hiệu

chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

Câu hỏi sau về mối liên hệ giữa ánh xạ giả đơn điệu với sự hội tụ

của dãy lặp được xây dựng bởi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Nếu

Có tồn tại ε2 ¡ 0 sao cho bài toán V IpK, Fεq có duy nhất nghiệm với

Ta sẽ xét ví dụ sau đây để trả lời phủ định câu hỏi thứ nhất

Ví dụ 2.2.1 ( Xem([4], Ví dụ 2.1)) Cho F xác định bởi

Fpu1, u2q  pu2

1 u22qp
u2, u1qT,@u  pu1, u2q P R2,

SolpR2, Fq  tp0, 0qTu

Ta sẽ nghiên cứu câu hỏi thứ hai trong phần tiếp theo

2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh

2.3.1 Bất đẳng thức biến phân không ràng buộc

Sự hội tụ của lớp các ánh xạ giả đơn điệu, đặc biệt là ánh xạ giả affin

đã được giới thiệu và đưa ra các tính chất bởi M Bianchi, N.Hadjisavvas

và S Schaible Để dễ trình bày ta giới hạn trong luận văn này cho

minh bởi M Bianchi, N Hadjisavvas và S Schaible Các tác giả đã sử

dụng hai định lý từ hình học đại số và hình học xạ ảnh

Ta chứng minh được các kết quả sau

ra rằng giả thiết của Định lý 2.3.2 là khá chặt chẽ Ta tìm cách để mở

rộng khả năng áp dụng của Định lý 2.3.2 Phát biểu sau là mở rộng của

Định lý 2.3.2 Nó đưa ra điều kiện đủ về tính duy nhất nghiệm của bài

toán hiệu chỉnh cho lớp bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Vì định

lý sau là mở rộng của Định lý 2.3.2 nên ta không cần chứng minh riêng

hai định lý này

Để chứng minh Định lý 2.3.3 ta cần các kết quả phụ sau đây:

là liên tục Lipschitz trên K

hàm giá trị véc-tơ ta có

}Gpuq
Gpvq} ¤ sup

tùy ý thì đại lượng

xGpvq, v
tuy  xGpvq, vy
t xMv q, uy ¡ 0,

xMp
tuq q, uy ¤ 0

mâu thuẫn

Bổ đề 2.3.3 Cho F : Rn Ñ Rn có dạng

Chứng minh Ta có

xF puq, v
uy ¥ 0 ô xgpuqpMu qq, v
uy ¥ 0 ô xMu q, v
uy ¥ 0,và

xF pvq, v
uy ¥ 0 ô xgpvqpMv qq, v
uy ¥ 0 ô xMv q, v
uy ¥ 0

điều phải chứng minh

Chứng minh Định lý 2.3.3 Từ giả thiết và Bổ đề 2.3.3 ta được

Phương trình cuối được viết thành

Vì vậy, phương trình (2.1) không thể có nhiều hơn một nghiệm trong K.

Lớp các toán tử giả đơn điệu được giới thiệu trong Định lý 2.3.3 chứa

nhiều phần tử không giả affin Do đó, Định lý 2.3.3 là sự mở rộng thực

Định lý 2.3.3 được thỏa mãn Trong đó, vì M không đối xứng lệch nên

F không giả affin

2.3.2 Bài toán bù tuyến tính

Xét bài toán bù tuyến tính có dạng (1.3) Ta có kết quả tiếp theo:

-ma trận, P - -ma trận và các kết quả liên quan

(b) P - ma trận nếu tất cả các định thức con chính dương

Bổ đề 2.3.6 ( Xem([6], Định lý 1)) Giả sử bài toán LCPpM, qq là có

Trong Định lý 2.3.4 ta chứng minh được tính duy nhất nghiệm của

bài toán hiệu chỉnh cho bài toán bù tuyến tính giả đơn điệu dưới điều

kiện nhẹ về tính chấp nhận được của bài toán ban đầu Chứng minh của

ta không sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán hiệu chỉnh

trong Định lý 2.3.3

Kết quả trong Định lý 2.3.4 không được bảo toàn nếu giả thiết về

tính chấp nhận được không tồn tại Ví dụ tiếp theo minh họa chú ý này

Bây giờ ta chỉ ra rằng tính chấp nhận được của bài toán hiệu chỉnh

vây, quỹ đạo sinh ra bởi quá trình hiệu chỉnh không bị chặn

Do đó, nhìn lại Ví dụ 2.2.1 ta thấy tính giả đơn điệu có thể bị mất

đi trong suốt quá trình hiệu chỉnh đối với toán tử giả đơn điệu không

tuyến tính Vậy câu hỏi đặt ra là tính giả đơn điệu của ánh xạ affin có

được bảo toàn trong quá trình hiệu chỉnh hay không Trong mục tiếp

theo ta đề cập đến vấn đề này

2.4 Tính giả đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh

Tác động của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov lên ánh xạ giả đơn

điệu affin được trình bày ở mục này

2.4.1 Trường hợp một chiều

affin Khi đó F là giả đơn điệu trên K khi và chỉ khi một trong những

trường hợp sau xảy ra:

(a) K có một phần tử duy nhất;

Chứng minh Nếu K có duy nhất phần tử thì ta có

xF puq, v
uy  xF pvq, v
uy  0, @u, v P K,

là đơn điệu trên R, và vì vậy nó giả đơn điệu trên mỗi tập K € R Nếu

Nếu aα b ¥ 0 thì F không giả đơn điệu trên K Thật vậy, chọn

Phân tích tương tự Trường hợp 2 ta chứng minh được F giả đơn điệu

Phân tích tương tự Trường hợp 2 và Trường hợp 3 ta chỉ ra rằng F

Trên nền tảng của Định lý 2.4.1, ta nghiên cứu sự bảo toàn tính giả

đơn điệu của ánh xạ hiệu chỉnh

¯

$''

Do đó, theo Định lý 2.4.1, Fεpuq  pa εqu b là giả đơn điệu trên K

pa εqβ b ¡ 0, @ε P p0, ¯εq với

¯

$''

Trong mục tiếp theo ta sẽ thấy rằng sự bảo toàn tính giả đơn điệu

2.4.2 Trường hợp nhiều chiều

Phần này nghiên cứu tính giả đơn điệu của ánh xạ affin trong trường

thức cơ bản

$''''''

Định lý 2.4.3 Giả sử Fpuq  Mu q là một ánh xạ affin, với

M  diagpλ1, λ2, , λnq, q  pq1, q2, , qnqT

$''

λi, 0, , 0qT,với phần tử thứ i là âm và phần tử thứ j là dương Do đó, theo Định lý

Trường hợp 3 Tồn tại i, j P t1, 2, , nu sao cho i  j, λi   0, và

Đặt v  p0, , 0, 1, 0, , 0,
1, 0, , 0qT, với vị trí thứ i là 1 và vịtrí thứ j là -1, ta có

MTv  p0, , 0, λi, 0, , 0,
λj, 0, , 0qT

,

Ta sẽ sử dụng Định lý 2.4.2 để chứng minh điều kiện về q như trong

ta suy ra

và

Vì λiui qi   0 và λivi qi   0 nên

xF puq, v
uy ¥ 0 ñ xF pvq, v
uy ¥ 0

Tiếp theo ta trình bày lớp ánh xạ affin giả đơn điệu mà ánh xạ hiệu

Lấy u pu1, u2qT, v  pv1, v2qT

Ví dụ 2.4.2 Cho M, q, F như trong Ví dụ 2.4.1 và

Ví dụ 2.4.2 đã trả lời vấn đề mở đầu tiên nêu ra trong mục 2.2 Kết

quả này đã chứng minh rằng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất

đẳng thức biến phân giả đơn điệu affin đòi hỏi những giả thiết cao hơn

Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu

[2]-[10]

Kết luận

Luận văn" Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng

thức biến phân giả đơn điệu" trình bày

- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản như bài toán bất đẳng thức biến

phân, bài toán bù, tính đơn điệu, tính giả đơn điệu, sự tồn tại nghiệm

- Đưa ra phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải bài toán bất đẳng

thức biến phân giả đơn điệu, với một số câu hỏi liên quan đến việc áp

dụng phương pháp vào bài toán cụ thể Ở đây, tính duy nhất nghiệm của

bài toán hiệu chỉnh được xét trong hai trường hợp: bất đẳng thức biến

phân không ràng buộc và bài toán bù tuyến tính Theo đó, tính giả đơn

điệu của ánh xạ affin trên tập đa diện lồi được đặc trưng trong trường

hợp một chiều và trong trường hợp nhiều chiều Tương tự ta cũng có

thế mở rộng nghiên cứu cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn

điệu

Tài liệu tham khảo

variational inequality and their applications, Academic Press

[2] J P Crouzeix, S Schaible (1996), Generalized monotone affine

maps, SIAM J.Matric Anal Appl, 17, 992-997 90C26 (26B25)

[3] J -P Crouzeix, A Hassouni, A Lahlou, and S Schaible (2000),

Positive subdefinite matrices, generalized monotonicity, and linear

complementarity problems, SIAM J Matric Anal Appl, 22, 66-85

[4] N N Tam, J.-C Yao, and N D Yen (2008), Solution methods for

pseudomonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl

138, 253-273

[5] N Thanh Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for

pseu-domonotone variational inequalities, Acta Math Vietnam, 31,

283-289

[6] M S Gowda (1990), Affin pseudomonotone mappings and the linear

complementarity problems, SIAM J Matrix Anal Appl, 11,

373-380

[7] M Bianchi, N Hadjisavvas, and S Schaible (2003), On

pseu-domonotone maps T for which -T is also pseupseu-domonotone, J

Con-vex Anal, 10, 149-168