Bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

11 2 Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian 15 2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một... Lí do chọn đề tài Hệ phương trình hyperbolic tuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn,người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi cóthể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ

vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phạm Thị Hương

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS HàTiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:"Bài toánCauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một" được hoànthành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phạm Thị Hương

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 3

1.1.1 Không gian L2 3

1.1.2 Không gian Bm 3

1.1.3 Không gian Sobolev W2m 4

1.1.4 Không gian Cm([a, b] , E) 4

1.1.5 Không gian S và S0 4

1.2 Biến đổi Fourier 5

1.2.1 Biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S 5 1.2.2 Biến đổi Fourier trong không gian L2 6

1.2.3 Biến đổi Fourier trong không gian S0 7

1.3 Toán tử làm trơn 7

1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị 8

1.5 Khái niệm nửa nhóm 10

1.5.1 Nửa nhóm 10

1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhóm 10

1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach 11 1.5.4 Định lý Hille-Yosida 11

2 Hệ phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian 15 2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một 15

2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh 17

2.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh 19 2.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 đối với hệ đối xứng 23

phương khả tích 232.2.2 Trường hợp đạo hàm theo t của nghiệm không bình

phương khả tích 252.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo

hàm theo t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , L2
282.3.1 Các tính chất của toán tử A 282.3.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L2 312.3.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , L2
312.4 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo

hàm theo t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W12
322.4.1 Các tính chất của toán tử A 322.4.2 Bất đẳng thức năng lượng trong W12 362.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc C0 [0, T ] , W21
37

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệphương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô

tả các quá trình truyền sóng khác nhau Song bài toán Cauchy đối với

hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với haibiến độc lập Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thườngđược xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình làhằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t Việc tổng quan lý thuyếttrên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trườnghợp khác nhau

Bố cục luận văn gồm hai chương

Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số khônggian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị,khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối vớiphương trình vi phân trong không gian Banach

Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trìnhhyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian,bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu

và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình bolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng

hyper-4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đốixứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính Các phương phápđịnh lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

6 Đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán Cauchy cho hệ phươngtrình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng vàhyperbolic mạnh

Định nghĩa 1.2 Không gianBm (hayBm

(Rn)) là không gian bao gồmtất cả các hàm u(x) thỏa mãn Dαu(x), |α| ≤ m liên tục và bị chặn trên

1.1.3 Không gian Sobolev W2m

Định nghĩa 1.3 Không gian W2m (hay W2m(Rn)) là không gian baogồm tất cả các hàm u (x) ∈ L2, sao cho Dαu (x) ∈ L2 với mọi |α| ≤ m

và được trang bị bởi chuẩn

kukWm

2 (R n ) =



X

Không gian [W2m]0 là không gian đối ngẫu của W2m

1.1.4 Không gian Cm([a, b] , E)

Định nghĩa 1.4 Giả sử E là không gian Banach Không gian Cm([a, b] , E)gồm các hàm u (t) xác định trên [a, b], nhận giá trị trong E, khả vi liêntục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau

Định nghĩa 1.6 Không gian S0 (hay S0

(Rn) là không gian vec tơgồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S

Mỗi phần tử của không gian S0 được gọi là một hàm suy rộng tăngchậm

1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 Biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S

Định nghĩa 1.7 Cho u ∈ S Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là

F u hay ˆu (ξ), là hàm được xác định bởi

xu] (ξ) = (iξ)αF [u] (ξ) với mọi đa chỉ số α

iii) DαξF [u] (ξ) = (−i)|α|

F [xαu] (ξ) với mọi đa chỉ số α

iv) F [u ∗ v] (ξ) = (2π)n2F [u] (ξ) F [v] (ξ), trong đó

(u ∗ v) (x) =

Z

Rn

u (x − y)v (y) dy (1.4)

được gọi là tích chập của hàm u và v

Định lý 1.2 Phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính trên

S với ánh xạ ngược chính là phép biến đổi Fourier ngược F−1

Định lý 1.3 Đối với mỗi u, v ∈ S , ta có các đẳng thức sau:

với mọi u ∈ S Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.

1.2.2 Biến đổi Fourier trong không gian L2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từkhông gian Schwartz S lên không gian rộng hơn L2

Giả sử u (x) ∈ L2 Do S trù mật trong không gian L2, vì vậy tồn tạidãy {uj (x)}∞j=1 ⊂S sao cho

kuj(x) − u (x)kL2 → 0 khi j → ∞

Vậy dãy {uj(x)}∞j=1 là dãy Cauchy trong L2 Từ đây và do đẳng thứcParseval suy ra dãy {ˆuj (x)}∞j=1 cũng là dãy Cauchy trong L2 Do L2 làđầy đủ, nên dãy {ˆuj (x)}∞j=1 hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu

là F u hay ˆu (ξ) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u (x).Định lý 1.4 Cho u, v ∈ L2, khi đó ta có

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parseval trong L2

Khi cho u = v ta suy ra F u ∈ L2 Tương tự ta định nghĩa được phépbiến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L2

Giả sử u (ξ) ∈ Lb 2 và {buj(ξ)}∞j=1 ⊂ S hội tụ đến bu (ξ) trong L2 Nhờđẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {ubj (ξ)}∞j=1

là dãy {uj (ξ)}∞j=1, đây là dãy Cauchy trong L2 Do đó {uj(x)} hội tụđến một hàm nào đó thuộc L2, kí hiệu hàm này là u (x) và được gọi làphép biến đổi Fourier ngược của hàm bu (ξ)

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L2 tương tự như các tínhchất của biến đổi Fourier trong S

1.2.3 Biến đổi Fourier trong không gian S0

Định nghĩa 1.9 Cho u ∈ S0 Biến đổi Fourier của hàm u, kí hiệu là

F u hay ˆu (ξ), là hàm được xác định bởi

hF u, ϕi = hu, F ϕi , ∀ϕ ∈ S Định nghĩa 1.10 Cho u ∈ S0 Biến đổi Fourier ngược của hàm u, kíhiệu là F−1u, là hàm được xác định bởi



Chú ý rằng ϕε(x) cùng thỏa mãn i) và ii), nhưng trong trường hợp này,giá của ϕε(x) nằm trong hình cầu |x| ≤ ε Bây giờ, cho u ∈ L1loc ta định

nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của ϕε và u.

1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị

Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng P (x, D) được cho bởi côngthức

P (x, D) = X

|α|≤m

aα(x)Dα, (1.10)

ở đó α là đa chỉ số, aα là các hàm số trơn xác định trên Rn

Nếu thay thế Dα ở công thức (1.10) bằng đơn thức ξα, (ξα = ξα1

1 ξα2

2 ξαn

n )thì ta được đa thức tương ứng sau

P (x, ξ) = X

|α|≤m

aα(x)ξα (1.11)

Đa thức P (x, ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử P (x, D).

Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:

Hàm số P (x, ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân P (x, D)

Ví dụ 1.1 Khi P (x, ξ) = |ξ| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kíhiệu là Λ, tức là

kì dị

Kí hiệu: K (x, y) = F−1

ξ→yP (x, ξ) Khi đó

P (x, D) u (x) = (2π)−n2

Z

Rn

K (x, x − y) u (y) dy (1.14)

Ví dụ 1.2 Giả sử j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n là cố định và biểu trưng P (x, ξ)được xác định bởi

i) T0 = I, với I là toán tử đồng nhất trên E



(1.17)

là trù mật trong E

1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhóm

Cho toán tử A có miền xác định D (A) là tập hợp D trong (1.17).Toán tử A cho bởi

Au = lim

t→0 +

Tt− I

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tt.

Nhận xét 1.4 Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định D (A)

là trù mật trong E, nhưng nói chung A không là toán tử bị chặn

1.5.3 Phương trình vi phân trong không gian Banach

Ta xét bài toán Cauchy sau

du (t)

dt = Au (t) , t > 0, (1.19)

u (0) = u0 (1.20)trong đó u0 ∈ E, A là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E.Định lý 1.6 Bài toán Cauchy (1.19), (1.20) có nghiệm duy nhất u (t)được cho bởi công thức

u (t) = Ttu0, (1.21)trong đó Tt là nửa nhóm có A là toán tử sinh

1.5.4 Định lý Hille-Yosida

Giả sử A là toán tử đóng trong không gian Banach E Định lý Yosida cho ta điều kiện đủ để toán tử tuyến tính A đóng là toán tử sinhcủa nửa nhóm nào đó Trước khi xét định lý ta nhắc lại các khái niệmsau:

Hille-Cho A là toán tử tuyến tính đóng trong không gian Banach E Tậpcác λ ∈ C sao cho (λI − A)−1 không tồn tại và bị chặn được gọi là phổcủa toán tử A

Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính quy của toán tử A Nếu λthuộc tập chính quy của toán tử A thì (λI − A)−1 được gọi là giải thứccủa A

Định lý 1.7 (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác địnhtrù mật trong E Giả sử tồn tại số thực β sao cho với mọi λ > β, tồntại giải thức (λI − A)−1 của A thỏa mãn

(λI − A)−m ≤ C

(λ − β)m , λ > β, m = 1, 2, (1.22)Khi đó tồn tại một nửa nhóm Tt mà có toán tử sinh là A

Chứng minh Cho A1 = A − βI Từ (1.22) ta có

(λI − A1)−m ≤ C

λm , λ > 0 (1.23)Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm St có toán

tử sinh là A1, và nếu kStk ≤ C, khi đó Tt = eβtSt thỏa mãn điều kiệncủa định lý

Do đó, không mất tính tổng quát, giả sử β = 0 trong (1.22), tức là

(λI − A)−m ≤ C

λm , λ > 0, m = 1, 2, (1.24)Cho

Jλ =



I − Aλ

Trong trường hợp này ta có

kexp (A)k ≤ exp kAk

Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có

exp (A + B) = exp (A) exp (B) ,

dtexp (tA) = A exp (tA) = exp (tA) A.

Mặt khác, AJλ = λ (Jλ − I) là toán tử bị chặn Vì vậy, từ

exp (tAJλ) = exp {tλ (Jλ − I)}

= exp (tλJλ) exp (−tλI)

Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với x ∈ D (A)

Ta có Jλ, Jµ(λ, µ > 0) là giao hoán, vì thế AJµ(= µ (Jµ − I)) và exp (tAJλ)giao hoán Ta viết Tt(λ) = exp (tAJλ) Cho x ∈ D (A), ta có

n

Tt−s(µ)Ts(λ)x

ods

Ta viết giới hạn của sự hội tụ là Ttx Có Ttx liên tục với t ≥ 0 và

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tt Để làm được, tagọi A0 là toán tử sinh của Tt và chỉ ra A0 ⊃ A.

Thật vậy, cho λ > 0, (λI − A0) là một song ánh từ D (A0) lên E Do

đó, (λI − A) cũng là một song ánh từ D (A0) lên E Vậy D (A)= D (A0)

Để chứng minh A0 ⊃ A ta làm như sau Với x ∈ D (A) ta có

Chương 2

Hệ phương trình hyperbolic với hệ

số biến thiên và không phụ thuộc thời gian

2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một

Xét các nghiệm đặc trưng λi(ξ) của

Ta có

P (λ, ξ1) = det [λI − iξ1A1] =

λ −iξ1

−iξ1 λ − 2iξ1

= λ2 − λiξ1 − i2ξ12 = 0

Phương trình có nghiệm λ1,2(ξ1) = iξ1 ± iξ1√2

Do đó Reλ1,2(ξ1) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5)

Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic

Ta có

P (λ, ξ1) = det [λI − iξ1A1] =

eλj (ξ) − iλj (ξ)

< c, j = 1, 2, , m,

ở đó λj(ξ) là thực Do đó eλj (ξ) thỏa mãn điều kiện Hadamard Vậyđịnh lý được chứng minh

Trong (2.1) nếu ta giả sử Ak là một Hermitian ta thấy được tính duynhất của nghiệm được cho bởi định lý Hơn nữa, trong trường hợp này,bất đẳng thức năng lượng cũng đúng và chúng ta sẽ xét ở phần sau.Thật vậy, cho u (t) ∈ C1 [0, T ] , L2
và cho u (t) ∈ C0 [0, T ] , W12
,

ˆ

u (ξ, t) , d

dtu (ξ, t)ˆ



= ((2πiA · ξ + B) ˆu, u) + (ˆu, (2πiAξ + B) ˆu) + 2Re (ˆu, f )

= 2Re (Bu, u) + 2Re (u, f ) ≤ 2 kuk (γ kuk + kf k)