CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC, ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ HÀM THAM SỐ

Nhằm trau dồi thêm hiểu biết về lượng giác học và học hỏi các kĩ năng trong tìm hiểu toán học, tôi lựa chọn đề tài “ Nghiên cứu các tính chất của hàm lượng giác, đồng nhất thức và hàm th

BÀI KẾT THÚC HỌC PHẦN HỌC KÌ I RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ THƯỜNG XUYÊN 3

ĐỀ TÀI: “CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC, ĐỒNG NHẤT

THỨC VÀ HÀM THAM SỐ”

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Lớp: Toán 3A

Huế Tháng 11-2012

LỜI NÓI ĐẦU

Lượng giác học là một mảng khá quan trọng trong chương trình toán học THPT

và các trường đại học, cao đẳng Là một sinh viên của trường ĐHSP- khoa Toán, tôi nhận thấy mình cần phải trang bị cho mình một cách đầy đủ về phần kiến thức này Nhằm trau dồi thêm hiểu biết về lượng giác học và học hỏi các kĩ năng trong tìm hiểu toán học, tôi lựa chọn đề tài “ Nghiên cứu các tính chất của hàm lượng giác, đồng nhất thức và hàm tham số” Trong quá trình tiếp cận đề tài, tư liệu được tôi sử dụng chủ yếu là sách “ Precalculus- with trigonometry” của tác giả Paul A Foerster

“Precalculus- with trigonometry” có thể được hiểu là “Phi tích phân với lượng giác học” -là quyển sách giới thiệu một cách chi tiết về các khái niệm và cách áp dụng khái niệm vào việc giải toán của chúng ta.Đối với bài tập, sách bao gồm các bài tập với lời giải bằng nhiều phương pháp khác nhau Một phần giúp chúng ta nắm chắc những kiến thức về lượng giác và biết thêm nhiều kiến thức thú vị khác Hệ thống các kiến thức của sách bao gồm 15 chương lớn và nội dung chủ yếu của đề tài nằm trong chương 4 của sách Vì vậy tôi sẽ đi sâu giới thiệu nội dung chương 4: “Các tính chất của hàm lượng giác, đồng nhất thức và hàm tham số” để làm rõ đề tài Trong khi thực hiện đề tài, không tránh khỏi sai sót nên rất mong bạn đọc đóng góp

ý kiến

Sinh viên

Lê Thị Thu Hường

MỤC LỤC

I Lời nói đầu 1

II Mục lục 2

III Nội dung 3

1 Giới thiệu về tính chất Pytago 3

2 Tính chất Pytago, tính chất nghịch đảo và tính chất tỉ số 4

3 Đồng nhất thức và phép biến đổi đại số của các biểu thức 6

4 Arcsine, arccosine, arctangent và các phương trình lượng giác 8

5 Hàm tham số 11

6 Đồ thị của hệ thức lượng giác ngược 13

7 Ôn tập và kiểm tra 15

IV Kết luận 16

V Tài liệu tham khảo 16

I NỘI DUNG

1 GIỚI THIỆU VỀ TÍNH CHẤT PYTAGO

Hình 1 biểu diễn đồ thị của hai hàm y =cosx ( bên trái) và y =sinx(bên phải) Cả hai đều có dạng hình sin Trong bài này các bạn sẽ biết rằng tổng chúng luôn bằng 1

Mục tiêu: Khám phá tổng bình phương hai hàm sine cosine của cùng một đối số.

Để đi đến tính chất trước hết ta xét các bài toán:

1)Tính: và bằng máy tính bỏ túi ta sẽ có kết quả sau:

=0.5849835715, =0.4150164285

Thực hiện phép cộng hai số trên với nhau ta được kết quả là 1

2) Nhập giá trị hàm = và =

Sau đó nhập giá trị hàm y3=y1+y2 Lập bảng giá trị của 3

hàm trên

3) Vẽ đồ thị của 3 hàm đó trên một mặt Đồ thị của y1,y2có

giống với hình 4.1a không? Mối liên hệ nào giữa y1,y2cho

phép bạn chứng minh được x+ luôn bằng 1 với mọi x

4) Làm lại bảng ở bài 2 với đối số đo bằng độ : Kết luận trong bài 3 áp dụng cho các hàm lượng giác có phụ thuộc vào việc x được đo bằng độ hay radian không ?

5) Hình 2 biểu diễn một đường tròn đơn vị trong hệ trục tọa độ uv và một góc 500 trong góc phần tư thứ nhất Sử dụng định nghĩa của sine va cosine để giải thích vì sao cos500 = u và sin 500= v

Hình 2

2 TÍNH CHẤT PYTAGO, TÍNH CHẤT NGHỊCH ĐẢO VÀ TÍNH CHẤT TỈ SỐ

Trong bài 4.1 chúng ta đã biết đến tính chất Pytago : x+ =1

Bạn cũng biết rằng secant,cosecant và cotangent là các nghịch đảo của cosine, sine và tangent Trong bài 2 này các bạn sẽ chứng minh các tính chất này bằng đại

số, từ đó đến các tính chất của tỉ số Ví dụ : tanx=

Mục tiêu : Suy ra bằng đại số 3 loại của tính chất diễn tả các mối liên hệ giữa các

hàm lượng giác Từ tính chất này bạn sẽ học trong bài này áp dụng vào cả các hàm lượng giác, đối số x sẽ được sử dụng với cả độ và radian

Tính chất nghịch đảo :

Trong chương 2 để tìm giá tri của hàm secant, cosecant và tangent bạn đã biết rằng mỗi một chúng là nghịch đảo của một hàm đã biết Thí dụ : secx=

Bởi vì trong tam giác vuông : secx= và cosx=

Lúc đó, mối liên hệ giữa secant và cosine được gọi là một tính chất nghịch đảo Bạn có thể thấy từ đồ thị hình 3, mỗi giá trị y ở đồ thị secant

tương ứng với một giá tri ở đồ thị cosine

Thí dụ: Bởi vì cos( ) nên sex( )=2

Trong đồ thị hàm y=secant(x) , tiệm cận của đồ thị là các

đường x= ; ; … Là những điểm mà giá trị của hàm cosine là 0

Tính chất : Tính chất nghịch đảo

secx= cscx= cotx=

Miền xác định không bao gồm các giá trị mà làm cho mẫu số bằng 0

Tính chất của tỉ số :

Nếu chia sinx cho cosx ta có :

Hình 3

= = =tanx => tanx=

Mối quan hệ này được gọi là một tính chất tỉ số

Đồ thị = và y2 =tanx là trùng khít nhau.(hình 4)

Bởi vì cotangent là hàm nghịch đảo của hàm tangent nên cotx =

Mỗi tính chất tỉ số cũng có thể được diễn tả trên secant và cosecant

Tính chất : Tính chất tỉ số

cotx = = TXĐ :x≠ kπ

Tính chất Pytago :

Hình 5 biểu diễn độ dài cung x trong góc phần tư

thứ nhất của đường tròn lượng giác trên hệ trục toa

độ uv Bằng định lý Pytago, điểm (u,v) tại điểm cuối

cùng của cung x có tính chất u2+ v2=1 Tính chất

này vẫn đúng thậm chí nếu x kết thúc tại một góc phần tư mà u

hoặc v là âm bởi vì bình phương của một số âm giống với bình

phương giá trị tuyệt đối của chúng

Bằng định nghĩa, ta được u = cosx, v = sinx.Thế vào u2+v2 =1 cho ta tính chất Pytago theo sine va cosine : x+ =1

Hai tính chất Pytago khác có thể được suy ra tính chất đó

Chia cho , làm tương tự ta được: +1=

Hình 4

Hình 5

3 ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ CỦA CÁC BIỂU

THỨC

Cho đồ thị của hai hàm

y1= - y2=1-2 (hình 6)

Có thể thấy, 2 đồ thị trùng khớp nhau Lúc đó, phương trình

: - =1-2 được gọi là một đồng nhất thức bởi

vì cả 2 vế của phương trình có giá trị bằng nhau với mọi x mà

biểu thức được xác định Trong bài này bạn sẽ sử dụng các tính

chất từ bài trước để biến đổi một biểu thức lượng giác thành một

biểu thức khác,ví dụ như từ vế trái của đồng nhất thức sang vế phải

Mục tiêu: Cho một biểu thức lượng giác , biến đổi chúng về một công thức tương

đương mà có thể đơn giản hơn hay dễ sử dụng hơn

Các phép biến đổi: Phần này chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ

Vd1: Biến đổi - thành

1-Ta thấy rằng kết quả chỉ có sine nên ta làm cosine biến mất

Khi công thức có liên quan đến bình phương của hàm ta nghĩ đến tính chất Pytago Giải: Theo tính chất Pytago

Đồng nhất thức

Để chứng minh một phương trình lượng giác đã cho là một đồng nhất thức, ta bắt đầu biến đổi trên một vế để đưa về vế kia

Vd2: Chứng minh (1-cosx)(1-sinx) =

Ta có: (1-cosx)(1-sinx)=1- =

Hình 6

Khi chứng minh,rất khó để nhận biết phải bắt đầu từ đâu với một phương trình cho trước Vì vậy, cần phải làm việc trên cả 2 vế của phương trình cho đến khi có một biểu thức luôn đúng cho mọi trường hợp.Cần chú ý rằng các phép biến đổi phải tương đương, vì khi chứng minh qua nhiều bước, ví dụ bình phương 2 vế, ta sẽ dễ dẫn đến một kết quả mà nếu làm ngược lại có thể sẽ không còn đúng nữa

Có thể chứng minh đồng nhất thức bằng định nghĩa, cũng có thể thừa nhận tính đúng đắn của đẳng thức của một vùng giá trị trên cơ sở đồ thị bằng cách biểu diễn

đồ thị của 2 vế đồng thời, ngoài ra có thể chứng minh bằng số bởi một bảng gồm nhiều giá trị tương ứng giữa vế phải và vế trái.Hình 3a là hình biểu diễn cho cách chứng minh bằng đồ thị

Vd3: Chứng minh bằng phương pháp đại số: cotA+ tanA=cscAsecA

Chú ý rằng khi viết tắt csc hay sec, đó là tên của hàm chứ không phải là giá trị của hàm, nó chỉ áp dụng với số, không có ý nghĩa nếu chỉ đơn độc

Vd4: Chứng minh bằng phương pháp đại số: =

Cách 2: Vẽ 2 đồ thị: y1= y2 = trên cùng

một hệ trục (Hình 7)

Chú ý: Có 2 lí do để nhân vào biểu thức trong phương pháp đại số Ta để ý (1-cosB)

và (1+cosB) là liên hợp với nhau, khi nhân vào lượng liên hợp ta có hiệu của 2 bình phương do đó sử dụng tính chất Pytago Thứ 2, ta muốn có (1-cosB) trong kết quả

vì vậy ta nhân vào biểu thức chứa nó

Hình 7

4 ARSINE, ARCCOSINE, ARCTANGENT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

Ta đã biết cách giải phương trình dạng: cosx = a với a là hằng số

Trong bài này, ta sẽ được biết đến cách giải các phương trình lượng giác liên quan đến sine, cosine và tangent với đối số có thể đo bằng độ hoặc radian

Mục tiêu: Tìm cách giải bằng phương pháp đại số hoặc bằng số cho một phương

trình liên quan đến đường tròn lượng giác hay các phương trình lượng giác sine, cosine, tangent của cùng một đối số

*Arcsine, arccosine, arctangent:

Nhắc lại: Arccosx nghĩa là góc

mà cosine góc đó là x, arcsinx và

arctanx được định nghĩa tương tự

Hình 8 biểu diễn cách tìm giá trị

của arcsin , arccos , arctan

Arcsin là góc mà sin

Như vậy ta vẽ tam giác có tỉ số cạnh góc vuông ứng với

Oy với bán kính là

Vd1: Giải phương trình 10sin(x-0,2)=3 bằng phương

pháp đại số với x nằm trong [0.4 ) Biểu diễn cách giải

bằng đồ thị:

10sin(x-0,2)=-3 sin(x-0,2)=-0,3 x-0,2=arcsin(-0,3) x= 0,2+ arcsin(-0,3) hay

Cho n=1,2,3,4….ta được nghiệm của phương trình

Hình 8

Đồ thị của y1=10sin(x-0,2) và đường y2=-3 Giao điểm của 2đồ thị trong miền lấy nghiệm chính là nghiệm của phương trình

Kí hiệu khoảng:

Cách chặt chẽ nhất để viết một miền xác định, ví dụ 0 4 là [ ] Tập này được gọi là khoảng đóng từ x=0 đến x= Tập khoảng mở từ x=0 đến x= được viết là ( nghĩa là 0 Kí hiệu được sử dụng để diễn tả rằng x là phần tử hoặc ở trong khoảng đã cho Vì vậy, có thể viết miền xác định cho khoảng đóng là x [ ] Phát biểu là “x là một phần tử của khoảng đóng từ 0 ”

Định nghĩa: Kí hiệu khoảng

VD2: giải phương trình : 4tan2α=-5 bằng phương pháp đại số với 3 giá trị dương đầu tiên của α Mô tả bằng đồ thị

Giải:

4tan2α=-5tan2α=-1.252α=arctan(-1.25)=

Chọn n sao cho α nhận 3 giá trị dương đầu tiên

S={64.32… 0,154.32… 0,244 32… 0}

Đồ thị hình 9 biểu diễn hàm số y=4tan2α và y=-5 Giao

điểm tại 3 giá trị dương cho ta nghiệm của phương trình

Tính chất: mở rộng cách giải cho hàm arcsine và

arccosine

Hình 9

Hàm arcsine:

α=arcsinA= +360n hoặc

Hàm arccosine:

Cấu trúc bậc hai

Có thể sử dụng công thức bậc hai hay dạng nhân tử nếu giải quyết bằng phương pháp đại số mà phương trình có dạng bậc hai của hàm lượng giác

VD3: Giải: +sinα+1=0

(1- +sinα+1=0

-sinα-2=0 sinα=-1 α=-900+360n

Chú ý rằng trong trường hợp này bạn có thể phân tích thành nhân tử:

(sinα-2)(sinα+1)=0 sinα=1

Giải toán bằng số:

Nhiều phương trình lượng giác không thể giải bằng phương pháp đại số.điều này xảy ra khi biến số xuất hiện cả trong đối số của hàm và trong biến của hàm

VD: 0.2x+sinx=2 Không có cách giải đại số nào bởi vì chúng ta không thể biến đổi chúng về dạng f(argument)=hằng số Lúc đó một phương pháp giải bằng đại số cùng với sự giúp đỡ của đồ thị là rất thích hợp

Vd4: Giải 0.2x+sinx=2 Ta vẽ đồ thị của =0.2x+sinx và =2 Chúng giao nhau tại

3 điểm S={6.9414…, 9.2803…, 12.1269….}

5 HÀM THAM SỐ

Nếu cả hai biến số x và y đều phụ thuộc

vào một biến thứ 3,phụ thuộc vào biến t Lúc

đó, cặp phương trình x(t) và y(t) được gọi là

phương trình tham số Thí dụ: Một con lắc đang

chuyển động xung quanh một cặp trục quay

như hình 10 Lúc đó cả hai trục x và y của con

lắc đều phụ thuộc vào biến thời gian t Trong

bài này bạn sẽ áp dụng tính chất Pytago để

chứng minh rằng dồ thị của một hàm tham số chắc chắn là elipse hoặc là hypebol

Mục tiêu: Cho được phương trình của một tham số, vẽ được đồ thị và kết luận về

hình hình học

Giả sử rằng con lắc đơn trong hình 4-5a có hai sự dịch chuyển Khoảng dich chuyển cử nó là x theo hướng song song với bức tường có cánh cửa và y theo hướng vuông góc với tường, bỏ qua ảnh hưởng của không khí lên con lắc x và y sẽ có dạng hàm sine theo thời gian

Thí dụ: phương trình của con lắc có thể là

Đó là phương trình tham số ứng với mỗi vị trí của con lắc Biến số phụ thuộc t được gọi là tham số Ví dụ này cũng cho thấy cách biểu diễn trên đồ thị của cặp phương trình tham số Qua đó có thể thấy được các tính chất của hàm tham số, nhiều phương trình đã được đồ thị hóa theo phương pháp tọa độ

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm sau trong hệ tọa độ (hình 11)

Giải:Chọn thang đo bằng nhau trên cả hai trục Vì biên độ

của x và y là 5 và 7 nên vùng vẽ đồ thị của ta là từ -5 -> 5 theo

Hình 10

Hình 11

trục x và từ -7 -> 7 theo trục y Khoảng biến thiên của t là từ 0 0 -> 3600

Dùng tính chất Pytago để khử bỏ tham số

Chúng ta cũng có thể khám phá tính chất của đồ thị bằng cách bỏ tham số, đưa về phương trình mà chỉ có x và y

Vd2: cho hàm tham số:

Vì + =1, ta có thể khử tham số bằng cách rút cost và sint ở hai phương trình, bình phương hai vế mỗi phương trình và sau đó cộng lại vế theo vế:

  => ( + =1 => đồ thị là một hình elipse

Phương trình tham số từ đồ thị

Phương trình tham số của một elipse tổng quát có dạng là:

 a, b được gọi là bán kính của x, y Còn h,k là tọa độ của tâm Nếu a=b, đồ thị là đường tròn

Chú ý: phương trình đường tròn đơn vị có dạng:

6 ĐỒ THỊ CỦA HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Ta đã biết nhiều hệ thức lượng giác ngược, vd: arcsin0.4 có rất nhiều giá trị Ở bài này, chúng ta sẽ biết cách tính chính xác các giá trị của hàm lượng giác ngược

Đồ thị và các nguyên tắc phân nhánh

Hình 12 biểu diễn đồ thị hàm y= Nó có một trục đối xứng với một nhánh của đồ thị y=tanx, đường thẳng y=x(hình 13) Lúc đó, hàm arctangent ngược được gọi là một nhánh chính của y=tanx, sử dụng phương pháp tham số ta có thể vẽ được đồ thi hàm y=arctanx

Điều kiện để tìm nhánh chính cho một hàm lượng giác ngược.

 Nó phải là một hàm số

 Nó phải sử dụng toàn bộ miền xác định của hệ thức lượng giác ngược

 Có đồ thị liên tục nếu được

 Được định vị ở vùng trung tâm, gần gốc tọa độ

Định nghĩa: Khoảng biến thiên của các hàm lượng giác ngược.

thiên(bằng số) Khoảng biến thiên(bằng chữ) Miền xác định

và thứ IV

[-1;1]

và thứ IV

[-∞;∞]

và thứ II

và thứ IV

Hình 12

Hình 13

Giá trị chính xác của hàm lượng giác ngược

Nhắc lại: Có thể tìm giá trị chính xác của một hàm lượng giác cho một góc hay

một cung đặc biệt Thí dụ, cos = Cũng có thể tìm giá trị đúng của hàm được biểu diễn dưới dạng các hàm lượng giác ngược

Vd1: Đánh giá hàm tan( ) bằng hình học để tìm giá trị chính xác của hàm Kiểm tra câu trả lời bằng số

Giải: ta vẽ một góc ở vị trí mà sine của nó là Góc đó giới hạn trong góc phần tư thứ IV bởi vì khoảng biến thiên của hàm sine ngược là góc phần tư thứ I và thứ IV

Vẽ một tam giác như hình 14 và tìm cạnh thứ ba Sau đó

sử dụng định nghĩa hàm tangent

tan( )= , có thể kiểm tra bằng số:

=-0.8844… và tan( )=tan(-0.7297)=-0.8844…

Hợp phần của một hàm và hàm ngược của nó

Áp dụng phương pháp của ví dụ 1 và 2 vào một hàm và cả hàm ngược của nó, ta

sẽ được một kết quả thú vị, ta xét ví dụ sau:

Vd3:Xét hàm cos(

Giải: nghĩa là “góc mà cosine của nó là x” Theo ĐN : y= cos( =x

Tính chất: Hợp của một hàm và hàm ngược của nó

với x thuộc khoảng biến thiên của hàm ở ngoài và thuộc miền xác định của hàm ở trong

Hình 14