ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC

ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC Phần 1: Các công thức lượng giác

1.Công thức lượng giác cơ bản:

• -1 sinx 1 -1cosx 1

• sin 2 x + cos 2 x = 1

• tanx = cotx =

• tanxcotx = 1

• 1+ tan 2 x =

• 1 +cot 2 x =

2 Công thức nhân đôi:

• sin2x = 2sinxcosx

• cos2x = cos 2 x – sin 2 x

= 2cos 2 x – 1

= 1 - 2sin 2 x

• tan2x =

3 Công thức nhân ba:

• sin3x = 3sinx – 4sin 3 x

• cos3x = 4cos 3 x – 3cosx

4 Công thức hạ bậc:

• sin 2 x =

• cos 2 x =

• tan 2 x =

5 Công thức cộng:

• sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny

• sin(x – y) = sinxcosy – cosxsiny

• cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny

• cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny

• tan(x + y) =

• tan(x – y) =

6 Công thức biến đổi tổng thành tích :

•

•

•

•

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

• cosxcosy =

• sinxsiny =

• sinxcosy =

• cosxsiny =

8 Một số công thức đặc biệt:

• sin 4 x +cos 4 x = 1 - sin 2 2x Chứng minh:

Ta có:

VT = sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x) 2 + (cos 2 x) 2

= (sin 2 x) 2 + 2sin 2 xcos 2 x+ (cos 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x

= 1- sin 2 2x = VP (đpcm)

• sin 4 x – cos 4 x = - cos2x Chứng minh :

Ta có :

VT = sin 4 x – cos 4 x = (sin 2 x) 2 - (cos 2 x) 2

= (sin 2 x +cos 2 x)(sin 2 x – cos 2 x)

= - cos2x = VP (đpcm)

• sin 6 x + cos 6 x = 1- sin 2 2x Chứng minh :

Ta có :

VT = sin 6 x + cos 6 x = (sin 2 x) 3 +(cos 2 x) 3

= (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x – sin 2 xcos 2 x – cos 4 x) = 1 - sin 2 2x - sin 2 2x

= 1 - sin 2 2x = VP (đpcm)

• 1 – sin2x = (cosx – sinx) 2

• 1 + sin2x = (cosx + sinx) 2

Phần 2: Phương trình lượng giác

a) Phương trình sinx = m

• Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm

• Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm

+ m = sin thì sinx = sin x = +k2

x = - +k2 + m sin thì sinx = m

x = arcsinm + k2 (k z)

x = - arcsinm + k2

b) Phương trình cosx = m

• Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm

• Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm

+ m = cos thì cosx = cos x = +k2

x = - +k2 + m cos thì cosx = m

x = arccosm + k2 (k z)

x = - arccosm + k2

c) Phương trình tanx = m

Xét pt tanx = m (m R) TXĐ : D = R\ { +k, k z}

+ m = tan thì tanx = tan x = + k, (k z)

+ m tan thì tanx = m x = arctanm + k

d) Phương trình cotx = m

Xét pt cotx = m (m R) TXĐ : D = R\ { k, k z}

+ m = cot thì cotx = cot x = + k, (k z)

+ m cot thì cotx = m x = arccotm + k

a) Phương trình bậc nhất

Dạng: asinx + b = 0 acosx + b = 0 (a, b R; a 0) atanx + b = 0

acotx + b = 0 Giải: Đưa về dạng sinx =

(Tương tự các pt còn lại)

b) Phương trình bậc hai

Dạng: (1) asin 2 x + bsinx + c = 0 (a 0) (2) acos 2 x + bcosx + c = 0 (a 0) (3) atan 2 x + btanx + c = 0 (a 0) (4) acot 2 x + bcotx + c = 0 (a 0) Phương pháp:

(1) Đặt t = sinx (-1 t 1) Pttt : at 2 + bt + c = 0

(2) Đặt t = cosx (-1 t 1) Pttt : at 2 + bt + c = 0

(3) TXĐ : D = R\ { +k, k z}

Đặt t = tanx, t R Pttt : at 2 + bt + c = 0

(4) TXĐ : D = R\ { k, k z}

Đặt t = cotx, t R Pttt : at 2 + bt + c = 0

c) Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx Dạng : asinx + bcosx = c (a 2 + b 2 0)

Phương pháp:

Pt có nghiệm a 2 + b 2 c 2

Để giải pt chia 2 vế của pt cho

Pt sinx + cosx =

cos (x – ) =

với sin = và cos =

d) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Dạng : asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d

Phương pháp :

PP1 : + Xét cosx = 0 có thỏa pt hay không

+ Xét cosx 0 chia 2 vế của pt cho cos 2 x

Ta được pt: atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x)

PP2 : Dùng công thức hạ bậc

Pt a + b + c = 0

bsin2x + (c – a)cos2x = - a – c

e) Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Dạng : a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Phương pháp:

Đặt t = sinx + cosx (- )

sinxcosx =

Pttt : at + b + c = 0

t 2 + at + (c - ) = 0

3. Hàm số lượng giác của các cung(góc) liên kết :

a) Hai góc đối nhau

• cos(- x) = cosx

• sin(- x) = - sinx

• tan(- x) = - tanx

• cot(-x) = - cotx

b) Hai góc bù nhau

• sin( - x) = sinx

• cos( - x) = - cosx

• tan( - x) = - tanx

• cot( - x) = - cotx

c) Hai góc phụ nhau

• sin( - x) = cosx

• cos( - x) = sinx

• tan( - x) = cotx

• cot( - x) = tanx

d) Hai góc hơn kém nhau

• sin( + x) = cosx

• cos( + x) = - sinx

• tan( + x) = - tanx

• cot( + x) = - cotx

e) Hai góc hơn kém nhau

• sin( + x) = - sinx

• cos( + x) = - cosx

• tan( + x) = tanx

• cot( + x) = cotx

4. Một số phương trình đặc biệt:

a) Đối với sinx

• sinx = 1 x = + k2

• sinx = -1 x = + k2

• sinx = 0 x = k

• sinx = cosu sinx = sin - u)

• sinx = - cosusinx = sin(u - )

b) Đối với cosx

• cosx =1 x = k

• cosx = -1 x = + k

• cosx = 0 x = + k

• cosx = sinu cosx = cos - u)

• cosx = - sinu cosx = cos + u)

c) Đối với tanx

• tanx = 1 x = + k

• tanx = - 1 x = + k (x = + k)

• tanx = 0 x = k

• tanx = cotu tanx = tan( - u)

• tanx = - cotu tanx = tan( + u)

Phần 3 : Bài tập củng cố

BT : Giải các phương trình sau

a) cos(x +) + sin(2x - ) = 0

Lời giải : TXĐ : D = R

Ta có : cos(x +) = - sin(2x - ) cos(x +) = cos( + 2x - )

cos(x +) = cos( + 2x)

x + = + 2x + k2

x + = - 2x + k2 (k z)

x =

x = + k (k z) Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { ; + k ;k z}

b)cos3x = sin2x

Lời giải : TXĐ : D = R

Ta có : cos3x = cos( – 2x) 3x = - 2x + k2

3x = + 2x + k2 (k z)

x = + k

x = + k2 (k z) Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { + k ; + k2; k z}

c) tan 2 x – (1 + )tanx +1 = 0

Lời giải: TXĐ: D =R\ { + k; k z}

Đặt t = tanx , t R

Pttt : t 2 – (1 + )t +1 = 0

t = 1 tanx = 1

t = tanx = = tan

x = + k

x = + k (k z) Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { + k; + k; k z}

d) sin2x + cos2x = 1

Lời giải: TXĐ: D = R

Ta có: ( ) 2 + 1 2 = 4 > 1 nên chia 2 vế của pt cho 2

Pt sin2x + cos2x =

sin sin2x + cos cos2x = cos cos ( - 2x ) = cos

- 2x = + k2

- 2x = + k2 (k z)

x = k

x = + k (k z) Vậy pt có 2 họ nghiệm S = { k; + k ;k z}

e)3cos 2 x – 2sin2x + sin 2 x = 1

Lời giải: TXĐ: D = R + Xét cosx =0 sin 2 x = 1, thay vào pt ta có 1 =1 Suy ra pt có nghiệm x = + k (k z)

+ Xét cosx 0, chia 2 vế của pt cho cos 2 x

Pt 3 – 4tanx + tan 2 x = 1 + tan 2 x

- 4tanx + 2 = 0 tanx =

x = arctan + k (k z) Vậy pt có 2 họ nghiệm S ={ + k; arctan + k; k z}

f) (2 + )(cosx + sinx) – 2sinxcosx – (2 +1) = 0

Lời giải: TXĐ: D =R Đặt t = sinx + cosx (- ) sinxcosx =

Pttt : (2 + )t – 2 – (2 +1) = 0

t 2 - (2 + )t + 2 = 0

t = 2 (loại)

t = Với t = thì sinx + cosx =

cos(x - ) =

cos(x - ) = 1

x = = + k (k z)

g) 4sinxcos(x - ) + 4sin( + x)cosx

+ 2sin( - x)cos( + x)=1 Lời giải: TXĐ: D = R

Pt 4sinx.sinx – 4sinxcosx – 2cosx(- cosx) =1 4sin 2 x – 4sinxcosx + 2cos 2 x =1

+ Xét cosx = 0 sin 2 x =1, thay vào pt: 4 = 1(vô lí) Suy ra cosx = 0 không thỏa pt

+ Xét cosx 0, chia 2 vế của pt cho cos 2 x Pttt: 4tan 2 x – 4tanx + 2 = 1 + tan 2 x 3tan 2 x – 4tanx + 1 = 0

tanx = 1 x = + k

tanx = x = arctan + k (k z)

h)cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

Lời giải: TXĐ: D = R

Pt 4cos 3 x – 3cosx + 2cos 2 x – 1 – cosx = 0 4cos 3 x + 2cos 2 x – 4cosx – 2 = 0

cosx = 1 x = k2 cosx = - 1 x = + k

cosx = x = + k