Luận văn thạc sĩ về bài toán tập độc lập có trọng số cực đại trên lớp đồ thị có độ rộng cây bị chặn

Từ đó đến nay khái niệm này tìm thấy có nhiều ứng dụng: trong phân tích mạng xã hội, trong logic và độ phức tạp tính toán, trong cơ sở dữ liệu, trong xử lí ngôn ngữ tự nhiên, trong phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN YĂN TRƯỜNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN YĂ N TRƯ Ờ N G

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN H Ọ C

Người hướng dẫn khoa học: TS TRAN v ĩ n h đ ứ c

Hà Nội, 2015

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viênNguyễn Văn Trưòng

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến TS Trần Vĩnh Đức,

bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT và TT, trưòng Đại học Bách Khoa

Hà Nội là ngưòi đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp

Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo ở Viện Toán Học ở trưòng Đại học Bách Khoa, Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy tôi trong suốt thòi gian học tập tại trưòng, xây dựng cho tôi kiến thức nền tảng và những kiến thức chuyên môn

để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này

Tuy đã có cố gắng nhất định nhưng do thòi gian và trình độ có hạn nên chắc chắn luận văn này vẫn còn những thiếu sót và hạn chế nhất định Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viênNguyễn Văn Trưòng

Mục lục

Mở đ ầ u 1

1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ t h ị 31.2 Bài toán tập độc lập cực đại trên c â y 10

2.1 Phân rã cây và độ rộng cây 142.2 Tính chất của phân rã c â y 162.3 Xây dựng phân rã c â y 17

3 ứng dụng vào bài toán tập độc lập có trọng số cực đại 32

3.1 Bài toán độc lập cực đại có trọng số trên c â y 323.2 Bài toán tìm tập độc lập có trọng số cực đại trên lớp đồ thị có

độ rộng cây bị c h ặ n 37

Ket l u ậ n 44 Tài liệu tham k h ả o 45

Mỏ đầu

Những ý tưởng đầu tiên của Lý Thuyết Đồ thị (LTĐT) được xuất phát từ những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler Ông đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về 7 cái cầu ở thành phố Königsberg Tuy vậy, lý thuyết đồ thị chỉ thực sự phát triển từ những năm 60 của thế kỷ trưóc Quyển sách đầu tiên về lý thuyết đồ thị được Denes König viết năm 1936, nhưng mãi đến năm 1958 quyển sách thứ hai về đồ thị mới được Claude Berge viết Từ đó đến nay, lý thuyết đồ thị được phát triển mạnh mẽ do

sự phát triển của máy tính điện tử

Hình 0.1: Bài toán 7 cây cầu ở thành phố Königsberg Nguồn: Wikipedia

LTĐT có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Ví dụ, trong điện tử, đồ thị thường được sử dụng để xác định các mạch vòng trong giải tích mạch điện; trong hóa học người ta sử dụng LTĐT để phân biệt các hợp chất hóa học hữu ctí cố thành phần phân tử giống nhau nhưng cấu ữúc liên kết khác nhau; trong mạng máy tính người ta sử dụng LTĐT để mô hình các kết nối giữa các máy tính

Các khái niệm độ rộng cây và phân rã cây của đồ thị được giới thiệu và phát triển bởi Robertson & Seymour từ những năm 80 trong công trình nổi tiếng

nhằm giải quyết giả thuyết về Graph Minor Từ đó đến nay khái niệm này tìm thấy có nhiều ứng dụng: trong phân tích mạng xã hội, trong logic và độ phức tạp tính toán, trong cơ sở dữ liệu, trong xử lí ngôn ngữ tự nhiên, trong phân tích các ma trận thư a

Có nhiều bài toán đồ thị quan trọng và có nhiều ứng dụng thuộc lớp bài toán NP-khó như bài toán tô màu, bài toán tìm tập độc lập có trọng số lớn nhất Với những bài toán này, ta không hy vọng có thuật toán tốt để giải Tuy nhiên, có ít nhất hai cách tiếp cận để tấn công các bài toán loại này:

1 Sử dụng thuật toán xấp xỉ khi chúng ta không cần kết quả đúng mà chỉ cần kết quả với độ chính xác nhất định

2 Sử dụng thuật toán nhanh và trả về kết quả chính xác nhưng hạn chế trên một số lớp đồ thị đặc biệt Hướng đi này phụ thuộc mạnh vào cấu trúc của các đồ thị đầu vào Người ta tin rằng nhiều bài toán đồ thị thực tế có cấu trúc đơn giản và do đó có thuật toán hiệu quả

Trong phạm vi luận văn này thì chúng tôi sẽ xem xét phương pháp giải quyết các bài toán NP-khó theo hướng thứ 2 Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu kỹ thuật phân rã cây để tấn công một bài toán NP-khó Đó là bài toán tập độc lập có trọng số cực đại

Ngoài chương mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

• Chương 1 đưa ra một số khái niệm của lý thuyết đồ thị, và mô tả ý tưởng

về phân rã cây thông qua phân tích bài toán tập độc lập cực đại trên cây

• Chương 2 đưa ra các khái niệm về phân rã cây và độ rộng cây, xem xét một

số tính chất quan trọng của phân rã cây, và trình bày thuật toán xây dựng

• Chương 3 trình bày ứng dụng phân rã cây để giải quyết bài toán tập độc lập có trọng số cực đại cho lóp đồ thị có độ rộng cây bị chặn

Chương 1

1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị

Như chúng ta đã biết khái niệm đồ thị xuất hiện từ nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống Trong mỗi lĩnh vữ riêng của mình, ngưòi ta cần tới một kiểu đồ thị nào đó Vì vậy mà cũng xuất hiện nhiều loại đồ thị khác nhau Song chung quy lại ta có thể xếp chúng vào tám loại chính sau đây:

8 Đa trọng đồ vô hướng

Trong khuôn khổ luận văn này ta chỉ xét đến đồ thị vô hướng không có khuyên

và không có cạnh bội

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị G là một cặp có thứ tự G = (y, E ), ở đây V là

một tập, còn E là tập các tập con hai phần tử của V

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E gọi là các

• Ta biểu diễn đồ thị G = (V, E ) bởi danh sách cạnh, trong đó mỗi đỉnh V

giữ một danh sách các đỉnh kề với V.

Ví dụ 1.1.4 Đồ thị bên trái dưói đây có danh sách cạnh được mô tả dạng bảng

như ở bên phải

a b c d z

b a d a b

Định nghĩa 1.1.5 Hai đồ thị G\ và Ơ2 được gọi là đẳng cấu nếu có một song

ánh a từ tập đỉnh của G\ đến tập đỉnh của G 2 sao cho {o;(a:), c¿(y)} là một cạnh của Gi nếu và chỉ nếu {X, y } là một cạnh của G 2 -

Song ánh a được gọi là một đẳng cấu.

Ví dụ 1.1.6 Hai đồ thị sau đây đẳng cấu với nhau và đẳng cấu a định nghĩa

bởi:

a ( a ) = t, a(ò ) = V, a ( c ) = w, a ( d ) = u

Định nghĩa 1.1.7 Bậc của một đỉnh V trong đồ thị G = (V, E ) là số cạnh của

Ví dụ 1.1.10 Tổng bậc của đồ thị dưới đây bằng hai lần số cạnh vì mỗi cạnh

được tính hai lần trong tổng bậc

trong đó mọi đỉnh đều phân biệt ngoại trừ V\ = V r + 1 được gọi là một chu trình.

Vì nó có r đỉnh phân biệt và r cạnh nên ta cũng thưòng gọi nó là r-chu trình, hay chu trình độ dài r.

a

Hình 1.3: Một chu trình

Định nghĩa 1.1.14 Ta ký hiệu X ~ y nếu hai đỉnh X và y trong G có thể nối

với nhau bằng một đưòng đi Có nghĩa rằng, tồn tại một đưòng đi

V l,v 2ì ■■■ , v k

trong G với X = Vi và y = v k.

Dễ thấy, quan hệ ~ là quan hệ tưong đưong trên tập đỉnh V của G Vậy thì

V đưọc phân hoạch thành các lớp tưong đưong rời nhau Hai đỉnh nằm trong

cùng một lớp tưong dưong nếu giữa chúng có đường đi, và trong hai lớp khác nhau nếu không có đường đi

Ví dụ 1.1.15 Với đồ thị dưới đây

ỉ

e

b c

d

ta có phân hoạch

Định nghĩa 1.1.16 Giả sử G = (V, E ) là một đồ thị và phân hoạch của V

tưong ứng với quan hệ tưong đưong ~ là

^ = Vi u v2 u • • • u vr.

Ký hiệu Eị (với 1 < i < r) là các tập con của E bao gồm các cạnh với đầu mút

nằm trong Vị Vậy thì các đồ thị Gị = (Vị, E ị) được gọi là các thành phần liên thông của G.

Ta nói G liên thông nếu nó chỉ có một thành phần liên thông.

Ví dụ 1.1.17 Đồ thị dưới đây không liên thông Nó có hai thành phần liên

Ví dụ 1.1.19 Các đồ thị dưới đây đều là cây.

o

o

o

o o

Định lý 1.1.20 Nếu T = (V, E ) là một cây với ít nhất hai đỉnh, vậy thì:

1 Với mối cặp đỉnh x , y có duy nhất một đường đi từ X tới y;

2 Đồ thị thu được từ T bằng cách xóa đi một cạnh bất kỳ sẽ có hai thành phần liên thông, mỗi thành phần là một cây;

3 \E\ = \v \ - 1.

Định nghĩa 1.1.21 Đồ thị G' = ị y ' , E ') được gọi là đồ thị con của đồ thị

G = (V, E ) nếu V ' c V và E ' c E Hơn nữa, nếu E ' chứa tất cả các cạnh của

G, mà cả hai đỉnh của nó đều thuộc V ' thì G' được gọi là đồ thị con cảm sinh

bởi tập đỉnh V ', hay cũng còn gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E ) trên tập đỉnh V

Định nghĩa 1.1.22 Một tập đỉnh V ' c V của đồ thị G = (V, E ) gọi là một clique nếu đồ thị con cảm sinh bởi tập đỉnh V ' là đồ thị đầy đủ.

Ví dụ 1.1.23 Đồ thị

G' = ({ữ, b, c, e}, {{a, &}, {a, c}, { b, c}, { e , c}})

là một đồ thị con cảm sinh bởi {ữ, ồ, c , e } của đồ thị G dưói đây Tập đỉnh

u = {ữ, ồ, c} là một clique.

1.2 Bài toán tập độc lập cực đại trên cây

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tập độc lập cực đại hạn chế trên cây Các ý tưởng đưa ra trong mục này sẽ được phát triển cho các chưong tiếp theo

Đồ thị có cấu trúc đơn giản nhất có lẽ là cây, và nhiều bài toán đồ thị NP-khó

có thể giải quyết một cách hiệu quả trên cây Lý do cho điều này có thể giải thích một cách nôm na như sau:

Nếu chúng ta xem xét một cây con của cây đầu vào bắt nguồn ở một đỉnh V, lời giải cho bài toán hạn chế cho cây con này chỉ “tương

tác” với lời giải cho các phần khác của bài toán thông qua đỉnh v; và

bằng cách xem xét V, chúng ta có thể tách rời bài toán trong cây con

có gốc ở V và phần còn lại của cây

Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét thuật toán giải quyết bài toán tập độc lập cực đại lớn nhất trên cây Bài toán mô tả như sau:

Bài toán: Cho đồ thị G, tìm một tập đỉnh không có cạnh chung (độc lập) có số lượng lớn nhất

Đầu tiên, ta xem xét một cạnh e = {u, v } trong G Trong bất kỳ tập độc lập

s của G,nhiều nhất chỉ một trong hai đỉnh u hoặc V là có thể thuộc s. Vậy với mỗi cạnh, chúng ta cần quyết định xem đầu mút nào nào của nó sẽ thuộc tập độc lập Để làm điều này, chúng ta khai thác tính chất quan trọng sau đây

Tính chất 1.2.1 Mọi cây đều có ít nhất một lá.

Xét một lá V trong cây, và lấy {u , v} là cạnh duy nhất liên thuộc với đỉnh V

Làm thể nào để lựa chọn u hoặc V vào trong tập độc lập S l

• Nếu chúng ta lấy V, chỉ có đỉnh duy nhất khác trên cây bị cấm không thể tham gia vào tập độc lập là u

• Nếu chúng ta lấy u , nó cấm không chỉ V mà còn cấm tất cả các đỉnh khác nối với u

v ề trực quan, có vẻ như lấy V tốt hơn lấy u

Tính chất 1.2.2 Nếu T là một cây và V là một lá của nó, thì tồn tại một tập độc

lập kích thước lớn nhất chứa V.

Chứng minh Thật vậy, ta xét một tập độc lập có kích thước lớn nhất bất kỳ s

của cây và xét {u , v } là cạnh duy nhất chứa đỉnh là V Khi đó rõ ràng ít nhất 1 trong 2 đỉnh u hoặc V sẽ phải thuộc s vì nếu cả hai đỉnh này không thuộc s thì

ta có thể thêm đỉnh V là đỉnh lá vào s, do đó ta sẽ thu được tập độc lập mới có kích thước lớn hôn Điều này trái với giả thiết s là tập độc lập có kích thước lớn

nhất Bây giờ, nếu V G s thì nhận xét là đúng; còn nếu U G s, ta có thể nhận được tập độc lập S' có cùng kích thước với s bằng cách loại u khỏi s và thêm

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất trên nhiều lần để loại bỏ hoặc chọn một đỉnh

vào tập độc lập Khi chúng ta thực hiện thao tác loại bỏ đỉnh, cây T có thể bị

chia thành nhiều thành phần không liên thông với nhau Vì vậy, để xử lý mọi thứ rõ ràng hôn, chúng ta mô tả thuật toán cho trường họp đồ thị là một rừng Chúng ta có thể xem bài toán tìm tập độc lập kích thước lớn nhất cho một rừng giống như là bài toán trên cây: một giải pháp tối ưu cho một rừng chỉ đôn giản

là sự kết họp của các giải pháp tối ưu cho mỗi cây thành phần, và chúng ta vẫn

có thể sử dụng nhận xét trên cho bất kỳ cây con nào

Cụ thể, giả sử chúng ta có một rừng F Do tính chất trên, ta thực hiện như

Thuật toán chi tiết như sau:

Liệu ý tưởng trên có thể mở rộng cho đồ thị không phải là cây? Trong thực

tế có một lớp đồ thị gọi là đồ thị có độ rộng cây bị chặn (graphs of bounded tree-width) rất gần với cây Giống như cây, nhiều bài toán NP-khó có thuật toán hiệu quả trên lớp đồ thị này

Mục đích của đề tài là chỉ ra tính ứng dụng của lớp đồ thị này cho các bài toán thực tế

Đồ thị có độ rộng cây bị chặn là gì? Để phát triển trực giác về lớp đồ thị này,

ta sẽ phân tích chi tiết một ví dụ

Ta xem xét đồ thị G trong Hình 1.4(a) Nếu ta nhìn nó dưới dạng như Hình 1.4(b), ta thấy G bao gồm 10 hình tam giác đan xen vào nhau; và bảy

trong 10 hình tam giác có tính chất mà nếu chúng ta xóa chúng, thì phần còn

lại của G sẽ tạo thành các thành phần không liên thông Ba hình tam giác khác

đưọc gắn tại các chi (chỗ tận cùng), và việc xóa chúng giống như việc xóa những

Hình 1.4: Phần (a) và (b) mô tả cùng một đồ thị được vẽ theo hai cách khác nhau Hình vẽ (b) nhấn mạnh cách mà nó bao gồm 10 tam giác đan xen vào nhau Phần (c) minh họa sd đồ mười hình tam giác này khớp lại với nhau như thế nào để đồ thị cố dạng cây.

Chứng ta muốn biểu diễn cấu trúc dạng cây của những hình tam giác này bằng cách đặt tương ứng mỗi tam giác với một đỉnh của cây, như thể hiện trong Hình 1.4(c) Theo trực giác cây tương ứng với đồ thị này có đỉnh là một tam giác và có những cạnh giữa các đỉnh trong những hình tam giác ỏ rất xa trong cấu trúc cây Ví dụ, tam giác trung tâm có các cạnh đến các đỉnh trong mỗi hình tam giác khác Nhưng chúng ta làm điều này bằng cách nào?

Chúng ta làm điều này bằng cách giới thiệu ý tưởng về phân rẵ cây của một

đồ thị G Đặt tên như vậy vì ta sẽ tìm cách phân ră G theo một mẫu dạng cây

Phân rã cây này sẽ có những đặc điểm của cây và cũng mang đặc trưng của đồ thị chứng ta muốn phân rã Giải quyết bài toán trên phân rã cây này cũng cho ta kết quả đúng ữên đồ thị ban đầu

Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét định nghĩa và một số tính chất của phân rẫ cây Chương cuối dành để phát triển một thuật toán cho bài toán tìm tập độc lập cổ ữọng số cực đại dựa ữên khái niệm phân rã cây

Chương 2

Phân rã cây của đồ thị

2.1 Phân rã cây và độ rộng cây

Khái niệm độ rộng cây và phân rã cây do Robertson và Saymour đưa ra và phát triển trong dãy 20 bài báo nổi tiếng từ năm 1983 đến năm 2004 để chứng minh định lý Graph Minor nổi tiếng

Nói một cách nôm na, phân rã cây là một cách nhóm các đỉnh và cạnh của một đồ thị thành một cây Phân rã cây của một đồ thị G cho ta biết cấu trúc của Gcó gần với cấu trúc của một cây hay không Còn độ rộng cây là một số

đo xem đồ thị có “gần” với một cây hay không Nếu Gcó độ rộng cây nhỏ, có nghĩa rằng Ggần với một cây, thì rất nhiều bài toán khó (trên đồ thị tổng quát)

lại trở nên dễ với G Lý do là vì ta có thể sử dụng phân rã cây với độ rộng nhỏ

này để xây dựng thuật toán hiệu quả

Khái niệm phân rã cây và độ rộng cây được ứng dụng ở rất nhiều nơi Ví dụ, trong phân tích mạng xã hội, trong logic học và độ phức tạp tính toán, trong cơ

sở dữ liệu, trong thiết kế VLSI, trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên, trong phân tích các ma trận thưa Phân rã cây và độ rộng cây liên quan mật thiết đến định lý Graph Minor nổi tiếng

Định nghĩa 2.1.1 Một phân rã cây của đồ thị G = (V5 E ) là một cặp

(T = Ự, F), /} )

trong đó T là một cây và Vị ç V gọi là khối gắn với đỉnh t e l Cây T và bộ các khối {Vị I t € 1} phải thỏa mãn ba tính chất:

• Mỗi đỉnh V G V phải thuộc vào ít nhất một Vị.

• Với mỗi cạnh {ư, ü} G E , tồn tại một đỉnh t e l sao cho U ) V e Vị.

• Xét bộ ba đỉnh í i , ¿2, h É I thỏa mãn ¿2 nằm trên đường đi dẫn từ í 1

đến í 3 Nếu một đỉnh V G G thuộc vào cả vtl và vta,thì nó cũng thuộc

vào vh

Độ rộng của một phân rã cây là đại lượng m ax iỄT I Vi I — 1.

Ví dụ 2.1.2 Hình 2.1 chỉ ra một đồ thị và một phân ră cây của nó Kích thước

của khối lớn nhất của phân rã cây này là 3 do đó độ rộng của phân rã cây này là

Ta có thể kiểm tra rằng cả ba điều kiện của phân rã cây đều được thỏa mãn Rõ ràng phân rã cây vừa xây dựng có độ rộng 1.

Định nghĩa 2.1.4 Độ rộng cây của một một đồ thị Glà độ rộng nhỏ nhất của tất cả các phân rã cây của G,và được ký hiệu tw(G )

2.2 Tính chất của phân rã cây

Nếu T ' là đồ thị con của T, ta dùng G t ' để biểu thị đồ thị con của G cảm

sinh bởi các đỉnh trong tất cả các khối liên quan với các đỉnh của T '

Đầu tiên ta xem xét việc xóa một đỉnh t của T.

Tính ch ất 2.2.1 Giả sử rằng cây T sau khi khóa đỉnh t sẽ tách thành d thành

phần T ị Td Vậy thì các đồ thị con

GTl - vt, Gt2 - V t, - - - , G Td- Vt

không có đỉnh chung và không có cạnh nối giữa chúng.

Hình 2.2: Những phần tách biệt của T chuyển sang đồ thị G

Tính ch ất 2.2.2 Xét X và Y là hai thành phần liên thông của T hình thành

sau khi xóa cạnh {X, y} Vậy thỉ xóa tập Vx n Vy khỏi V sẽ tách G thành hai

đồ thị con G x — {Vx n Vy) và G y — {Vx n Vy) Hơn nữa, hai đồ thị này không chia sẻ bất kỳ đỉnh nào và không có cạnh nối giữa hai đồ thị con này.

Gx - (Vs n Vv) Gy — (Vx n Vy)

Hình 2.3: Xóa một cạnh của cây T dẫn đến phân tách của đồ thị G

Tính chất 2.2.3 M ột đồ thị liên thông G có độ rộng cây là 1 nếu và chỉ nếu nó

là một cây.

Khỉ chứng ta tìm được một phân rã cây, chúng ta muốn phân rã này có càng

ít khối càng tốt Có một cách đơn giản để tối ưu số khối của một phân rã cây (T, {Vỉ}) của đồ thị Gnhư sau:

• Nếu chúng ta tìm thấy một cạnh {æ, y} của T mà v^; Ç thì chúng ta

có thể co cạnh { x } y} lại (xếp lại khối Vxvào v^) và có được một phân rã cây của Gdựa trên một cây có kích thước nhỏ hơn

• Lặp đỉ lặp lại quá trình này, chúng ta được một phân ră cây không dư thừa: Không có cạnh {#, y} của cây sao cho Vx Ç Vy.

V í dụ 2.2.4 Trong hình 2.4b là một phân rã cây dư thừa, ta có khối { ơ , H} c

{E, G) H}, do đó ta có thể xếp lại khối { G , H} vào khối {E, G) H}. Khi đó

ta được m ột phân rã cây không dư thừa như hình 2.4c

Tính chất 2.2.5 M ọi phân rã cầy không dư thừa nào của đồ thị n đỉnh đều chì

có nhiều nhất n khối.

2.3 Xây dựng phân rã cây

Đ ịnh ng h ĩa 2.3.1 Đồ thị Glà m ột đồ th ị tam giác nếu mọi chu trình trong G

CÓ độ dài ít nhất bằng 4 đều có cạnh nối giữa hai đỉnh không kề nhau trong chu trình

Hình 2.4: (b) phân ra cây dư thừa (c) phân rã cây không dư thừa của đồ thị (a)

Định nghĩa 2.3.2 Thứ tự loại trừ của một đồ thị G = (V, E ) là một song ánh

Định lý 2.3.3 Cho đồ thị G Ba mệnh đề dưới đây là tương đương

(i) G là đồ thị tam giác;

(ii) G có một thứ tự loại trừ hoàn hảo;

(iii) Có một phân rã cây (T, {Vị I t £ T }) của G sao cho với mọi đỉnh t £ T,

tập Vị là một Clique trong G.

Định nghĩa 2.3.4 Đồ thị H = (V ịj , E ỵ ) là một tam giác hóa của đồ thị

G = (V g , E g ), nếu H là một đồ thị tam giác nhận được từ G bằng cách thêm

0 hoặc nhiều cạnh

Một đồ thị tam giác H = (V, E H) là một tam giác hóa tối thiểu của G =

(V, E g ) nếu không có tam giác hóa nào của G là một đồ thị con của H Có

nghĩa rằng, không có tập cạnh F nào sao cho (V, F ) là một tam giác hóa của G trong đó F C E ịj

Trước hết chúng ta đưa ra một co chế thêm cạnh vào một đồ thị cho trước

để tạo thành một đồ thị tam giác Co chế này giả sử một thứ tự loại trừ nào đó

có trước Ở đây ta xem xét thuật toán F i l l - i n với đầu vào là một đồ thị G và một thứ tự loại trừ 7ĩ; đầu ra sẽ là một đồ thị tam giác hóa H của G thỏa mãn 7Ĩ

là một thứ tự loại trừ hoàn hảo của H Thực ra chúng ta sẽ thêm tập nhỏ nhất

những cạnh tới G sao cho 7ĩ là một thứ tự loại trừ hoàn hảo của H Đồ thị H được gọi là đồ thị F i l l - i n của G với thứ tự loại trừ 7Ĩ.

Thuật toán 2.3.5 (Thuật toán Fill - in)

Đầu vào: Đồ thị G, thứ tự loại trừ 7Ĩ

Đầu ra: Đồ thị Fill - in H của G

1 H := G

2 for i = 1 to n

3 Lấy V = 7Ĩ 1 (ĩ) là đỉnh thứ % trong thứ tự loại trừ 7Ĩ

4 for mỗi cặp đỉnh kề w , X của V với w Ỷ x ĩ > T t ( v )

5 if w và X không kề nhau trong H