Luận văn thạc sĩ tính ổn định của các phương pháp runge kutta ẩn

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Khải

Hà Nội -2015

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s Nguyễn Văn Khải, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải.

Tôi xin cam đoan luận văn “Tính ổn định của các phương pháp Runge-Kutta ẩn” không trùng với bất kỳ luận văn nào khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

M Ở ĐẦU 1

1.4.2 Tính phù họp của phương pháp Runge - Kutta 18

1.4.5 Tính ổn định của phương pháp Runge - Kutta 22 CHƯƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP

2.4 Các kết quả ổn định với một số lược đồ Runge - Kutta 65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đè tài

Phương trình vi phân là mô hình mô tả tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật Đe nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.

Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh

mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.

Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao Một trong các phương pháp đó là phương pháp Runge-Kutta ẩn, có nhiều ứng dụng vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Tính ổn định của các phương pháp Runge - Kutta ẩn”.

2 Mục đích nghiền cứu

Luận văn sẽ nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp Runge - Kutta ẩn.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp Runge-Kutta, tính phù hợp, tính ổn định, tính hội tụ của phương pháp.

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Phương trình vi phân;

Phương pháp Runge-Kutta ẩn.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng họp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài.

6 Dự kiến đóng góp của đè tài

- Trình bày một cách hệ thống phương pháp Runge-Kutta;

- Trình bày tính ổn định của các phương pháp Runge-Kutta ẩn.

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 1.1 Bài toán giá trị ban đầu

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử G là một miền trong R 2 và hàm / :G -> R , hàm khả vi liên tục y : [a,ố] —> R được gọi là nghiệm của phương trình vi phân thường phân bậc nhất ỳ = f { x , y ) nếu:

■{x: y (x ) \ e G „ V « M

y(x) = f(x,y(x))

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử G là một miền trong Rn+l và f : G -> R", hàm khả

vi liên tục y : \a ,b \ -> R" được gọi là nghiệm của phương trình vi phân thường y ’ = f ( x , y ) nếu:

■{x: A x )); G „ V « M

y ( x ) = f ( x , y ( x ) )

Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :\a, b\ —» R" và hàm / :Rx R ” R”

Giải bài toán giá trị ban đầu:

D = [ ( x , y ) : a < x < b , -00 < y t < +00, Vi = 1, «I với a,b hữu hạn Giả sử sự tồn tại hằng sổ L sao cho:

y{*i) * ;K*o) + ị f{4,y(4))dệ,

với 0 < 0 < 1 và bỏ qua những số hạng còn lạ i, nghĩa là xấp xỉ:

Mỗi cách giải thích đó mở ra một khả năng cải tiến phương pháp Euler.

Chẳng hạn thay vì sử dụng công thức hình chữ nhật, ta sử dụng công thức hình thang chính xác hơn:

J f(ậ,y(ậ))ậậ * | ( / ( w ( * o ) ) + / ( w ( * i ) ) )

x0

y l =yo + ị { f ( xo’y o ) + f ( xl>yl))- (1-3)

Quá trình được lặp lại và ta có định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.2.2 Phương pháp Euler ẩn đổi với việc tìm nghiệm bằng sổ của bài toán Cauchy (1.2) sẽ xẩp xỉ y tới nghiệm đúng y(x ) tại những mốc cách đều X = x0 + j h , j > 0 bởi công thức:

T;+1 = T ; + ệ ( / ( W ; ) + / ( x;+i’T,+i))> j - ° - ( L4)

Chủ ỷ: Phương trình không tuyến tính (1.4) của phương pháp Euler ẩn có thể

được giải bởi dãy xấp xỉ liên tiếp với giả thiết hẳng số Lipschitz L của f và bước h thỏa mãn Lh < 2.

Chứng minh Ta phải giải phương trình (1.3) đối với y l

Đặt g{ y) = y ũ + ìị ự { xũ, y 0)) + f { ^ y ) ) > suy ra (1.3) được viết lại là:

y l = g ( y 1) ,h à m g là co vì

\ g { y ) - g { z ) \ = ị \ f ( x l, y ) - f ( x l, z ) \ < ! j \ y - z \ < \ y - z \ ,

theo nguyên lí ánh xạ co ta có y 1 là tồn tại và duy nhất.

Định nghĩa 1.2.3 Phương pháp Euler cải tiến để tìm nghiệm của bài toán Cauchy (1.2) là việc xấp xỉ y tới nghiệm đúng ) tại những mốc cách đều:x = x0 + j h , j = 1,2,3 bởi công thức sau:

là việc xây dựng xấp xỉ y tới nghiệm đúng ,y(* ) tại các điểm cách đều:

A ( x, y, h) = ^ [ / 7(x + h) ~ /7(x )] - <p(x,y,h)

được gọi là sai sổ chặt cụt địa phương.

Phương pháp 1 bước được gọi là phù hợp nểu lim A (x,^;/ỉ) = 0 hội tụ đều

V ( x j ) e G và được gọi là phù hợp bậc p nếu: |A(x,.y,/ỉ)| < khr với v(x,>>) e Ơ,VA > Q,k là hằng sổ.

Không giảm tính tổng quát ta giả sử / l à liên tục đều và bị chặn trên G.

Định lí 1.3.3 Phương pháp một bước là phù hợp khi và chỉ khi:

limA (x, y;h) = f ( x , y ) , hội tụ đều với V ( r , j ) e G

A ( x, y, h) + < p ( x , y , h ) - f ( x , y )

= ^[ r j ( x + h ) - r j ( x ) ] - r j ' ( x )

= —J[77(x + i)-77(x)]flfr^»0

h 0 hội tụ đều với v ( x ,y ) e G.

Do / có đạo hàm riêng liên tục nên từ rj'= f Ì Ậ ,ĩì) suy ra T] có đạo hàm

riêng liên tục cấp hai và

7" = / , ( £ ? ) + / ,( £ * 7 ) / ( £ * 7 ) • C1-5) Theo công thức khai triển Taylor ta có:

|A (x,y,/ỉ)| = — [^ (x + /ỉ) - 77(x )] - 77'(x) = — 77"(x + ỡh^ị < Kh, với 0 < 0 < 1

và K là hằng số sao cho:

/ X ỉ , r Ị ) + f X ỉ , r Ị ) f ( ỉ , n ) \ < 2 K

Vậy phương pháp Euler là phù họp bậc nhất.

Định lí 1.3.5 Phương pháp Euler cải tiến là phù hợp Nếu hàm f có đạo hàm liên tục đển cấp hai trên G thì phương pháp Euler cải tiến là phù hợp bậc 2.

Chứng minh.

Ta có:

<p{x,y;h) = ị [ f { x , y ) + f { x + h, y + hf ( x, y ) ) ] *4° f ( x , y ) (hội tụ đều).

Do / có đạo hàm liên tục đến cấp hai theo (1.5) ta suy ra ĩ] có đạo hàm liên

với 0 < 6 < 1 và K l được chọn sao cho:

\ f ( x + h, y + k ) - f ( x , y ) - hfy ( x , y ) - k f y (x ,y )| < ^ K 2 (|A| + l&l)2,

trong đó K 2 là một hằng số thỏa mãn:

IL (*» y ) I ^ K 2 >\f*y (*> y ) I ^ K 2 ’\ f » (*> y)\ ^ K Lấy k = hf ( x, y) và theo (1.5) ta có:

Vậy phương pháp Euler cải tiến là phù họp bậc hai.

Định nghĩa 1.3.6 Giả sử ta chia đoạn [a ,b ] bởi các mốc cách đều:

được gọi là sai sổ toàn cục lớn nhất.

Định nghĩa 1.3.7 Phương pháp một bước được gọi là hội tụ đều nểu lim£'(/ỉ) = 0 và được gọi là hội tụ bậc p nểu E( h) < Hhp y h > 0 và H là

h —> 0

một hằng sổ nào đó.

Bổ đề 1.3.8 Cho [ ạ ) là dãy số thực thỏa mẫn:

Vậy đánh giá đúng với ỹ + 1.

Định lí 1.3.9 Giả sử hàm ọ được mô tả trong phương pháp một bước là liên tục đổi với biển h và thỏa mẫn điều kiện Lipschitz:

với v ( x , y ) , ( x , z ) e G, Vh đủ nhỏ, khi đó phương pháp một bước hội tụ nếu

với c(h) = m ax|A(x,y(x);/ỉ)| thỏa mãn c(A) - » 0 khi à —> 0

Do phương pháp 1 bước phù họp nên suy ra:

e,'+i < (1 + hM) e + hc(h) , j = 0,1,2 ,«

Áp dụng bổ đề 1.3.8 với A = hM và B = hcỌì) và sử dụng e0 = 0 ta có:

e ,

_1) v ớ i^ = 0 ’1’- ’w C1-9) suy ra:

EỌi) < S Ấ Ỉ ầ ị e ^ ) -1^-4°0

Vậy phương pháp một bước là hội tụ

*) Hội tụ suy ra phù họp:

Giả sử phương pháp 1 bước là hội tụ nghĩa là khi à —> 0 thì xẩp xỉ:

y j+l= y j + ^ ( x j , y j ; h ) (1.10)

hội tụ đến nghiệm của bài toán giá trị ban đầu.

Đị V g[ x, y ) = (p{x,y\QÌ) Từ định lý 1.3.3 ta thấy phương pháp một bước là

phù họp đối với bài toán Cauchy:

Từ đó ta thấy rằng tính phù họp dẫn đến sự hội tụ , công thức gần đúng (1.10) cũng hội tụ đều đến nghiệm của (1.11) và nghiệm của bài toán Cauchy là trùng nhau.

Do c(h) = maxị Aị x, y (x);h)ị < Khp ,

nên từ (1.9) suy ra:

Hệ quả 1.3.11 Phương pháp Euler và Euler cải tiến là hội tụ.

Neu f khả vi thì phương pháp Euler hội tụ bậc một.

Neu f khả vỉ liên tục đển cấp hai thì phương pháp Euler hội tụ bậc hai

Ta có thể xây dựng phương pháp một bước với bậc cao hơn như sau: Cho một tập họp các số thực:

Phương pháp Euler được mô tả bởi m = l, a l = 1.

Phương pháp Euler được mô tả bởi m = l, s2 = 1 ,c 21 = 1,«! = a 2 Ị_

2'

Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1

số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù họp và hội tụ là lớn nhất có thể.

Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp 1 bước để giải phương trình vi phân và được mở rộng hệ phương trình vi phân bởi Kutta năm 1901 Phương pháp này được gọi là phương pháp Runge-Kutta Đây là phương pháp thành công nhất của lóp các phương pháp một bước và ngày nay được sử dụng rộng rãi.

Định nghĩa 1.3.12 Phương pháp Runge-Kutta để tỉnh nghiệm bằng sổ của bài toán Cauchy (1.2) xây dựng bởi sự xẩp xỉ y tới nghiệm chính xác y ( x ) tại các mốc cách đều:x = x0 + jh với j = 1,2,3, với bước h bằng cách sử dụng phương pháp 1 bước với bậc cao hơn:

1.4 Phương pháp Runge - Kutta

1.4.1 Khái niệm và phân loại

Định nghĩa 1.4.1 Dạng tổng quát của phương pháp Runge - Kutta s nấc cho bài toán giá trị ban đầu (1.1) là:

bT

Nhận xét: Nếu ta đặt:

s i=l

+ Nếu flL = 0, Vỳ > ỉ,ỉ = 1, J hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp

Runge-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta hiển (hay phương pháp Runge-Kutta cổ điển).

+ Nếu flL = 0, V/ > ỉ,ỉ = 1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp

Rune-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta nửa ẩn.

+ Trong trường họp còn lại thì phương pháp Runge - Kutta (1.12) được gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn A không là ma trận tam giác dưới.

1.4.2 Tính phù hợp của phương pháp Runge-Kutta

Xét bài toán giá trị ban đầu: y' = f ( x , y ) ,

y ( a) = y 0,

Xét lóp phương pháp tông quát:

k

1.4.3 Bậc của phương pháp Runge-Kutta

Định nghĩa 1.4.2 Sai sổ chặt cụt địa phương của phương pháp Runge-Kutta (1.12) tại X J tại T l được xác định bởi công thức:

T +l - = y { xn+l) - y n+l với giả thiết y n = y ( x n ),Y = y (xn + cJdh ) , j = 1,5

hay là T +l := yn+l - y n - h ỵ b Ả

Định nghĩa 1.4.3 Bậc của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là sổ nguyên p lớn nhẩtsao cho T J = 0(AÍ+1).

Gọi y +1 là giá trị tính theo phương pháp Runge-Kutta tại X x,y = y(x ) là

như yậy mọi phương pháp Runge-Kutta (1.12) phù họp đều có bậc p > 1

1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta

Định nghĩa 1.4.4 Phương pháp Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge -Kutta (1.12) là phù hợp và thỏa mẫn điều kiện nghiệm.

Đa thức đặc trưng của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là:

p ( ỉ ) = ỉ - h

luôn thỏa mãn điều kiện nghiệm.

Vì vậy phương pháp Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi phương pháp Runge-Kutta (1.12) thỏa mãn điều kiện phù hợp Nghĩa là phương pháp

Runge-Kutta (1.12) hội tụ khi và chỉ khi ^ b = 1

V í dụ

V í dụ 1: Phương pháp Runge - Kutta hiển 2 nấc cho bởi bảng Buttcher:

(Phương pháp Euler cải tiến: ốj = 0,ố2 = l,c2 = — ).

V í dụ 2: Phương pháp Runge - Kutta nửa ẩn với bảng Butcher:

(Nhận xét: s = 2\ p = 2 ta có phương pháp Runge - Kutta 2 nấc cấp 2)

V í dụ 3: Xét sự hội tụ của phương pháp Runge - Kutta cho bởi:

1.4.5 Tính ỗn định của phương pháp Runge-Kutta

Cho bài toán vô hướng:

Ta thấy y -» 0 khi n -> 00 khi và chỉ khi |/?(z)| < 1.

Phương pháp Rưnge-Kutta (1.12) ổn định tuyệt đối tại điểm z nếu thỏa mãn

|fl(z)| < 1

R a = ị z e c : R(z) < 1} goị là miền ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-

Công thức trên là công thức dạng khác của phương pháp Runge-Kutta Thay

công thức trên vào phương trình y ’ = Ầy ta được:

Í Y = e y n+z AYn \ Y = [ l - z à \ ỉ eyn

1t„+1 = y n+ zb TYn Ị_yn+1 = y n+[ 1 + zb Tự - zA) 1 e ] y n.

Với I là ma trận đơn vị cấp s, khi đó ta có:

R(z) = 1 + z bT (1 - zA) 1 e

Vậy hàm ổn định của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là:

R(z) = 1 + z bT (1 - zA) 1 e.

Định lí 1.4.5 Hàm ổn định R(z) của phương pháp Runge-Kutta xác định bởi bảng Butcher:

-*6,

! - * « n-*«21

CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA ẨN 2.1 Kiến thức chuẩn bi*

Ta xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường:

kiện ước lượng liên quan đến sự nhiễu lọa của y 0 và / Điều kiện ước lượng

dựa trên m thường thực tế so với điều kiện ước lượng dựa trên L Tùy theo

mục đích của cấp chính xác của các kết quả nhận được đối với phép lấy sai số rời rạc của các phương pháp Runge-Kutta mà tính khả vi phù họp của / được giả định.

Đặc biệt A và B có thể là các véc tơ hàng hoặc cột.

Các ký hiệu I và e xác định ma trận đơn vị và một véc tơ cột với toàn phần tử

- A được gọi là nửa xác định dương trên s (K )nếu x‘Ax > 0, Vx e K".

- A

được

'" gọi là xác định dương trên s (K )nếu A là nửa xác định dương

và x‘Ax = 0 <=> X = 0.

Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận:

- Số phức Ảe c (số thực A e l ) được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu

tồn tại vectơ v e ^ v í 0 sao cho Av = Áv.

- Vectơ V được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng Ả của ma trận A ( Trong đó H là không gian Euclid hữu hạn chiều E")

Cho véc tơ fl,ố e R! ta định nghĩa tích các véc tơ như sau:

a b : = ( a b , ,a b ) e R s

a r \= a r~l • a = a • a • • • a.

Hơn nữa:

A > 0 nghĩa là A xác định không âm.

b > 0 nghĩa là tất cả các thành phần của véc tơ b là không âm (2.11).

Với nghĩa tương tự đối với các bất đẳng thức thực sự.

Cho véc tơ b e Rs bất kỳ, ma trận đường chéo mà các phần tử đường chéo là các thành phần của véc tơ b được xác định bởi diag(b).

Một phương pháp Rưnge-Kutta s- nấc được biểu thị bởi bảng Butcher:

c\ A

I bT với A là ma trận cỡ ( í , í ) y ầc,b e R ‘.

Phương pháp Runge-Kutta một bước:

(t,r])^ > (t + h,ri}

có thể viết là:

Y = ex rĩ + h (A x ĩ)F (t,Y );

ĩ] = ĩ] + h {bT x / ) f ( í , y ) với:

(C )H : = { < / / } , k = \,s , ỉ = l,s. (2.16d) Cho D (l) đôi khi ta sẽ sử dụng:

£ ( 1 ) : ( ^ ) , = Ố , ( 1 - C,), ; = u (2.16e)

X e [—1;1] đirợc gọỉ' là đa thức Legendre trên đoạn [—l; l]

Từ định nghĩa ta có tính được một vài đa thức Legendre bậc nhỏ như sau:

Đa thức Legendre là nghiệm của phương trình vi phân Legendre:

• Gọi L (x),L (x) là hai đa thức Legendre trên đoạn [—l;l] (o < m < «) Vì

đa thức Legendre p trên đoạn [—l;l] là nghiệm của phương trình vi phân:

(l - X2 "+ «(« + l)u ' = 0, n = 0,1,2,

nên ta có:

khi đó:

<=> <

(l - X2 ) 4 (x) + « (n + 1 )4 (x) = 0 (l - * 2 ) 4 (*) + m(m+ 1 )4 (x) = 0

d n ' dxn+l [(X2 -l)" ]í/x

2- l) " ] íừ

Áp dụng n lần tích phân từng phần liên tiếp ta được: