Luận văn tối ưu hóa danh mục đầu tư và ứng dụng

Lí do chọn đề tài Lý thuyết về tối ưu hóa danh mục đầu tư được kliởi nguồn từ những nghiên cứu đầu tiên của Harry Markowitz, John Lintner, Jan Mossin, William Sharpe, và là một trong nhữ

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỘC s ư PHẠM HÀ NỘI 2n * « *

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC • * •

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI, 2015

Trước tiên tôi xin gửi lời cám ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tối xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS Hà Bình Minh, thầy đã tận tình giúp đỡ, trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Sau cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã

động viên, góp ỷ kiến và giúp đỡ trơng quá trình học tâp, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 09 tháng 07 năm 2015

Tác giả

N guyên T hị N gọc

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn th ành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Bình Minh

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và dồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 09 tháng 07 năm 2015

Tác giả

N gu yễn T hị N gọc

M ục lục

1.1 Các kiến thức chuẩn bị về xác s u ấ t 61.2 Các khái niệm về danh mục đầu t ư 91.2.1 Tỷ suất lợi nhuận của danh m ụ c 10

m ụ c 10

1.3 Tối ưu hóa danh mục đầu t ư 141.3.1 Hình dạng của đường biên hiệu q u ả 151.3.2 Phương phấp nhân tử Lagrange để tìm danh mục

đầu tư tối ư u 161.4 Đường biên hiệu quả trong trường hợp có thêm tài sảnphi rủi ro 201.4.1 Phát biểu bài t o á n 201.4.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 21

2.1 Các hạn chế của bài toán tìm trọng số tối ưu cho đườngbiên hiệu q u ả 242.2 Mô hình đơn chỉ số 26

2.3 Mô hình đa chỉ s ố 29

3 ứ n g dụng khảo sát th ị trường chứng khoán V iệt N am 30

3.1 Giới thiệu thị trường chứng khoán Việt N a m 303.2 Lựa chọn cổ phiếu trong danh mục đầu t ư 333.3 Tính toán đường biên MV hiệu quả 36

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về tối ưu hóa danh mục đầu tư được kliởi nguồn từ những nghiên cứu đầu tiên của Harry Markowitz, John Lintner, Jan Mossin, William Sharpe, và là một trong những thành tựu quan trọng trong tài chính Ngày nay, các mô hình tối Tíu hóa danh mục đầu tư được ứng dụng rộng khắp trong rấ t nhiều lĩnh vực từ tài chính, bảo hiểm, đến công nghiệp, y tế Phương pháp của Markowitz giúp cực đại hóa lợi nhuận của một danh mục với độ rủi ro cho trước, hoặc cực tiểu hóa rủi

ro của danh mục với lợi nhuận cho trước Những ý tưởng này rắt hữu ích đối với nhà đầu tư, những người luôn muốn tìm kiếm lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro

Lý thuyết tối ưu hóa danh mục đầu tư có rất nhiều phát triển theo nhiều hướng khác nhau (xem [1] để biết thêm chi tiết) Tuy nhiên những

ý tưởng sơ khai về lý thuyết này vẫn còn có giá trị về cả ứng dụng lẫn

lý thuyết Đối với những người muốn nắm bắt và ứng dụng lý thuyết này, việc tìm một cách tiếp cận đơn giản trở nên rất cần thiết Chính

vì vậy mà tôi chọn để tài “Tối ưu hóa danh mục đầu tư và ứng dụng” Trong luận văn này, chúng tôi mong muốn sẽ trình bày lý thuyết của

Markowitz theo cách đơn giản nhất có thể, sao cho nêu bật lên được những ỷ tưởng cốt yếu ban đầu của Markowitz.

Luận văn sẽ được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1 của luận văn sẽ dành để nói về Lý thuyết cơ bản về tối ưu hóa danh mục đầu tư

Mục 1.1 Trình bày các kiến thức chuẩn bị về xác suất như: biến ngẫu nhiên, các đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Mục 1.2 Trình bày các khái niệm về danh, mục đầu tư: gồm tỷ suất lợi nhuận của danh mục, kỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của danh, mục, ảnh hưởng của sự đa dạng hóa danh mục đàu tư

Mục 1.3 Trình bày về sự tối ưu hóa danh mục đầu tư: hình dạng củađường biên trung bình - phương sai MV của tài sản rủi ro và phương pháp nhân tử Lagrange để tìm trọng số tối ưu

Mục 1.4 Đường biên trung bình-phương sai MV của các tài sản rủi

ro và tài sản phi rủi ro

Chương 2 sẽ nói về các mô hình liên quan đến chỉ số

Mục 2.1 Trình bày các hạn chế của bài toán tìm trọng số tối ưu cho đường biên trung bình - phương sai

Mục 2.2 Trình bày mô hình đơn chỉ số

Mục 2.3 Trình bày mô hình đa chỉ số: tổng quan về mô hình đa chỉ

số, phép "quay" các chỉ số, mô hình đa chỉ số khi thực hiện phép "quay" các chỉ số

Chương 3 sẽ ứng dụng để khảo sát vào thị trường chứng khoán Việt

Mục 3.1 Giới thiệu thị trường chứng khoán Việt Nam

Mục 3.2 Trình bày về lựa chọn cổ phiếu trong danh mục đầu tư Mục 3.3 Trình bày về tính toán đường biên MV hiệu quả

2 M ục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo cứu về lý thuyết về tối ưu hóa danh mục đầu tư của Harrv Markowitz

3 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu

Danh mục đầu tư, tối ưu hóa

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số công cụ trong lý thuyết tối ưu hồi quy tuyến tính, MATLAB, EXCEL

5 Đ óng góp mới của đề tài

Luận văn trình bày lý thuyết của Markowitz theo cách đơn giản nhất

có thể, sao cho nẽu bật lên được những ý tưởng cốt yếu ban đầu của Markowitz Ngoài ra luận văn còn có đóng góp về mặt lập trình, thực hiện thuật toán

Chương 1

Tối ưu hóa danh mục đầu tư

Chương 1 của luận văn sẽ dành để nói về Lý thuyết cơ bản về tối ưu hóa danh mục đầu tư

Mục 1.1 Các kiến thức chuẩn bị về xác suất như: biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Mục 1.2 Trình bày các khái niệm về danh mục đầu tư: gồm tỷ suất lợi nhuận của danh mục, kỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của danh mục, ảnh hưởng của sự đa dạng hóa danh mục đàu tư

Mục 1.3 Trình bày về sự tối ưu hóa danh mục đầu tư: hình dạng của đường biên trung bình - phương sai MV của tài sản rủi ro và phương pháp nhân tử Lagrange để tìm trọng số tối ưu

Mục 1.4 Đường biên trung bình-phương sai MV của cấc tài sản rủi

ro và tài sản phi rủi ro

• ơ - đại số: Một ơ - đại số (hay còn gọi là ơ - trường) T trên là một họ các tập con của Í2 thỏa mãn các điều kiện sau:

— 0 E ĩ và n 6 T \

— Nếu Ầ £ T thì Ã E

— Nếu Aị £ T7, i — 1 ,2 , thì u ịAị E T và r\ịAi 6 Jr.

Cặp (fĩ, F ) như trên được gọi là một không gian đo được.

• ơ - đại số Borel trên M: là ơ - đại số với Q, = M và

T = {tập hợp các khoảng đóng, khoảng mở

và phần bù, giao, hợp (vô hạn) của các khoảng đó}

• Biến ngẫu nhiên: là một ánh xạ X : Q —> sao cho với tập thuộc

ơ - đại số Borel trên K th ì nghịch ảnh của nó sẽ thuộc vào ơ - đại

số T trên íì Một ánh xạ có tính chất như trên còn được gọi là ánh

xạ đo được.

• Hai biến ngẫu nhiên thường gặp là biến ngẫu nhiên ròi rạc và biến

ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc: Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ như số chấm xuất hiện trên một con xúc xắc, chỉ có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6

Biến ngẫu nhiên liên tục: Nếu tập các giá trị biến ngẫu nhiên nhận lấp đầy một khoảng nào đó, khi đó biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ như chiều cao hoặc cân nặng của một người nào đó

• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là F(x), được xác định như sau: F(x) — p ( x < x), X G K.

Hàm m ật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu f ( x ) , là đạo

hàm của hàm phân phối (trong trường hợp hàm phân phối là khả

vi, trừ ở một số hữu hạn điểm gián đoạn bị chặn), được xác định

bằng f ( x ) = F'(x).

• Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên:

- Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một con số được kí hiệu là

E ( x ) và được xác định như sau E ( x ) — XiPi} nếu X là

biến ngẫu nhiên rời rạc với phân bố xác suất là p ( x = Xi) = Pi]

và E { X ) = /^ °° x f ( x ) d x nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm m ật độ là f ( x)

— Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là ơ ( x ) , được

định nghĩa như sau:

ơ ( x ) = y / v ar ( D£)

— Hiệp phương sai: khi xét đồng thời 2 biến ngẫu nhiên X và Y ,

ta có hiệp phương sai

cov(X, Y ) = E [ { X - E { X ) ( Y - E{Y)}.

Nhà đầu tư thực hiện đầu tư bằng cách chọn vị thế đối với các tài sản Khi liệt kê các vị thế của nhà đầu tư đối với tài sản ta được một

danh sách gọi là danh mục đầu tư của nhà đầu tư Gọi X là khoản tiền ban đầu của nhà đầu tư, giả sử trong danh mục có N loại tài sản (được đánh số từ 1 đến N) Ký hiệu Xị là khoản tiền đầu tư vào tài sản i, ki là

số lượng tài sản và Sị là giá của tài sản i tại thời điểm nhà đầu tư bắt đầu thực hiện đầu tư Ta có Xị = Sịkị suy ra

x = j 2 Xi = Y , S i= 1 1=1

iki-Đặt Wị = ỵ , ( i = 0 ,1 ,2 , ) khi này Wị sẽ là tĩ trọng giá trị tài sản i

trong danh mục đầu tư và gọi là tỷ trọng đầu tư tài sản i của nhà đầu

tư, ta có U!ị = 1 Khi nói đến danh mục đầu tư người ta chỉ quan

tâm đến Wi do đó danh mục đầu tư gồm N tài sản có thể xem là vectơ

N chiều (wi,iU 2 , w m ) với điều kiện YliLi wi =

1.2.1 Tỷ suất lợi nhuận của danh m ục

Giả sử i?i và R -2 là tỷ suất lợi nhuận của hai tài sản, tài sản 1 và tài sản 2, trên thị trường chứng khoán Do biến động của thị trường chứng

khoán nên giá trị của R ị và R -2 thay đổi hàng ngày Do vậy, ta có thể

coi R ị và B .2 là hai biến ngẫu nhiên

T rư ờ n g hợp 1: (Danh mục đầu tư có hai tài sản)

Xét danh mục đầu tư gồm hai tài sản: tăi sân 1 với trọng số là W\ và tài sản 2 với trọng số là W 2 i với Wị + u>2 = ĩ- Khi đó tỷ suất lợi nhuận của danh mục đầu tư được tính theo công thức:

Rp = W\R\ + W 2 R 2 (1-1)

T rư ờ n g hợ p 2: (Danh mục đầu tư có nhiều tài sản)

Xét trường hợp tổng quát cho danh mục đầu tư gồm n tài sản với các

trọng số tương ứng Wị , W 2 , ■ w n , với Wị = 1. Khi đó tỷ suất lợi nhuận của danh mục đầu tư được tính theo công thức:

n

Rp = ^ ^ iVịRị.

Ĩ = 1

1.2.2 K ỳ vọng và phương sai tỷ suất lợi nhuận của danh mục

T rư ờ n g hỢp 1: (Danh mục đầu tư có hai tài sản)

Kỳ vọng và phương sai của Rp được tính theo công thức sau.

E(Rp) = E ( w i R i + W2R2) — w iE ( ñ i) + IÜ2E(#2),

Var(iỉp) = Var (tux Äi + W 2 R 2 ) = w Ịơu + w lơ 22 + 2 w iw 2ơ i 2 ,

trong đó ơ i j = CovỊ fí.ị R.j) là hiệp phương sai giữa Rị và R j; ơii =

Cav(Ri, Rị) — Var(Rị) là phương sai của Rị Ngoài ra, ta sẽ dùng hai ký

hiệu là ịiị = E(-Rị) là trung bình của Rị và ơị — ựỡĩi là độ lệch chuẩn của Rị.

T rư ờ ng hợp 2: (Danh mục đầu tư có nhiều tài sản)

Xét trường hợp tổng quát cho danh mục đầu tư gồm n tài sản với các

trọng số tương ứng U>1, W 2 , ■ ■ wn, với wỉ — 1- Tỷ suất lợi nhuận

của danh mục là Rp = 1 WịRi, với kỳ vọng là

N h ận xét 1.2.1 Các công thức tính k ỳ vọng vầ phương sai của danh

mục đầu tư có thể viết dưới dạng m a trận như sau: X ét trường hợp danh mục đầu tư cố hai tằi sản Qọi w

hiệp phương sai Khi đó ịip vầ ơị có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

Việc đa dạng hóa danh mục đầu tư (tức là có nhiều tài sản trong danh mục) sẽ làm giảm phương sai của danh mục so với từng tài sản riêng lẻ Để minh họa chõ ảnh hưởng của đa dạng, hóa, chúng ta xét một

số các trường hợp sau đây

Trường hợp 1: (trường hợp lý tưởng khi các tài sản không tương

quan với nhau, tức là (cTịj = 0 nếu i ^ j)).

Giả sử ta sẽ xét danh mục đầu tư với các trọng số của các tài sản như

nhau, tức là với n tài sản thì (wị = 1/n, i = 1, 2 , , n).

Khi đó, phương sai của danh mục đầu tư là

tài sản riêng lẻ, có thề coi là hằng số (tức là không phụ thuộc vào n)

nếu các tài sản trong danh mục được chọn một cách ngẫu nhiên Công

thức (1.4) cho ta thấy rằng phương sai đaiih mục đầu tư ơp tiến đến 0

khi số lượng của tài sản (trong danh mục đầu tư) tiến đến vô cùng, có nghĩa là phương sai của danh mục ngày càng giảm khi ta tăng số lượng tại sản trong danh mục

Trường hỢp 2: (là trường hợp thực tế khi giữa các tài sản có sự

tương quan lẫn nhau, tức là ơ ị j 7^ 0)

Khi đó, phương sai của phương sai của danh mục đầu tư được tính như sau

được chọn một cách ngẫu nhiên Trong thực tế, ỡij > 0 Khi đó, nếu số

lượng của tài sản trong danh mục đầu tư lớn (tức là n tiến đến vô cùng) thì phương sai của danh mục ơp sẽ tiến đến ỡj j 2, và đây là giá trị nhỏ

nhất mà phương sai của danh mục có thể đạt được

Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục có phương sai nhỏ nhất Để tìm

danh mục đầu tư tối líu, chúng ta phải giải bài toán tối ưu hóa danh mục đầu tư sau đây:

Điều kiện (1.10) được đặt ra để cho danh mục đạt được một tỷ suất

lợi nhuận cho trước là ịi* Điều kiện (1.11) là điều kiện để chõ tổng các

trọng số trong danh mục đạt 100%

Bài toán tối ưu hóa danh mục đầu tư thuộc dạng bài toán tối ưu bậc

hai do hàm mục tiêu, ơp là hàm bậc hai theo Wị T hật vậy, ơp được tính

toán như sau:

Ớị — Var Ç ÿ ^ ^ jR j) — w'Eiu, (1-12)

trong đó £ là ma trận hiệp phương sai của các tỷ suất lợi nhuận ứng với các tà i sản trong danh mục

14

Với mỗi lợi nhuận kỳ vọng Ị J L * trong điều kiện (1.10), ta sẽ tìm được

danh mục đầu tư tối ưu ứng với mỗi ị f Tập hợp tấ t cả điểm (fjL*,ơp),

nếu vẽ trên mặt phẳng gồm 2 trục tọa độ ứng với trung bình và phương

sai, ta sẽ thu được một đường cong được gọi là đường biên hiệu quả

Đường biên hiệu quả có thể coi như là đường biên chứa các danh mục tối ưu

Chẳng hạn, đường biên hiệu quả đối với danh mục đầu tư có 3 tài sản được cho bỏi hình vẽ sau

.15 r

10

Ị-g I

s

ữ

H ình 1.1: Ví dụ v ề đường biên hiệu quả đối với danh m ụ c đầu tư có 3 tà i sản

Khi ta thêm tài sản vào danh mục đầu tư, chẳng hạn từ 3 tài sản lên

4 tài sản thì đường biên hiệu quả sẽ dịch chuyển sang bên trái một chút, tức là tố t hơn đường biên hiệu quả cũ vì đường biên mới có phương sai thấp hơn trên cùng một giá trị trung bình Hình vẽ sau đây sẽ minh họa điều trên

M ean-variance frontiers

Hình 1.2: So sánh đtcờng biên hiệu quả của 2 danh m ụ c dầu tư

Ta sẽ dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán Trước hết

ta lập hàm Lagrange như sau:

L ( w Ị ơ ị ị + w ị ơ 22 + 2 w i W 2 ơ 12) / 2 + \ ( ụ * — W i ß i — W2 H2 ) + 5 ( 1 — Wị — w 2).

(1.14)

Điều kiện đạo hàm bậc nhất ứng với Wị là dLỊdvỏi - 0, được cho như

Viết dưới dạng vector, ta có công thức nghiệm như sau

(1.18)

(1.19)

(1.20)

trong đó 1 là một vector cột mà các phần tử đều bằng 1

Tiếp theo, ta sẽ biểu diễn A và ẵ trong công thức (1.20) dựa vào những

tham số đã biết như Ị 1 *. Ta xuất phát từ hai điều kiện ràng buộc như sau:

ịi* w2ụ,2 = 0,

1 — u;i — u>2 = 0

(1.21)

(1.22)

Biểu diễn hai điều kiện ràng buộc này dưới dạng ma trận, ta có

18

ỊẲ* — ụ!w và 1 = l'w (1-23)Sắp xếp chúng thành một vector 2 X 1 và sử dụng (1.20) ta có

-Thay giá trị ịi\ 4- lố trong (1.26) vào (1.20) ta thu được công thức các

trọng số của danh mục mục đầu tư tối ưu như sau: