Luận văn thạc sĩ điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

[6] Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón, được sự hướng dẫn của tiến sĩ Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Điểm bất đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội — Năm 2015

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIÊU GIÃN

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯÒI HƯÓNG DẪN KHOA HỌC: TS Hà Đức Vượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội — Năm 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình,

nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn đã giúp tác giảtrưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn

H à Nộ i , n g ày 2 1 t h á n g 3 n ă m 2 0 1 5

Tác giả

Đỗ Hồng HạnhLời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

3

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS.

Hà Đức Vượng.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng vàbiết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

H à Nộ i , n g ày 2 1 t h á n g 3 n ă m 2 0 1 5

Tác giả

Đỗ Hồng Hạnh

4

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một tập hợp M tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M —> M Nếu tồn tại X Q € M mà Tx 0 = X Q thì X Q được gọi là điểm

bất động của ánh xạ T trên tập hợp M Chẳng hạn xét ánh xạ T : R —> R xác định bởi: Tx = 2x2 — 1 Ta có Xo = 1 thì Tx 0 = Ti = 1 = x ữ Vậy x ữ là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.

Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lý thuyết điểm bất động (fixed point theory) Lýthuyết điểm bất động phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà khoa học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer,Shauder, Tikhonov, Sadovski, KyFan,

Ta đã biết, với tập hợp X bất kỳ Ánh xạ d : X X X —> R thỏa mãn các tiên đề về metric được gọi là một metric trên X Như vậy giá trị của metric là một số thực.

Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian là hai nhà toán học người Trung Quốc đã giới thiệu khái niệmmetric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metric bởi một nón định hướng trong không gian Banachthực

Các tác giả đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và tính đầy đủ của không gian Đồng thời các tác giả đã giới thiệukết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong lớp không gian này Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và các kếtquả về điểm bất động trong không gian metric nón đã lần lượt được công bố

Năm 2011, Sarla Chouhan và Neeraj Malviya là hai nhà toán học người Ân Độ đã công bố kết quả về điểm bất

động cho lớp ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón qua bài báo “A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces” [6] Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón, được sự hướng dẫn của tiến sĩ Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón.”

7

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng hợp kết quả về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón Nội dungchính dựa vào hai bài báo:

1 “ Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mapping” của Huang Long Guang và ZhangXian [3]

2 “ A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces” của Sarla Chouhan và NeerajMalviya [6]

5 Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.

Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón Luận văn được trìnhbày với hai chương nội dung

Chương 1 Kiến Thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gianmetric, không gian metric đầy đủ Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản về không gian Banach và cuốicùng là nguyên lí ánh xạ co Banach

Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về nón, không gian metric nón, sự hội tụ trongkhông gian metric nón và kết thúc là định lí về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

8

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ,không gian Banach và cuối cùng là Nguyên lý ánh xạ co Banach

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X Ỷ 0 cùng với một ánh xạ d : X X X —> M, thỏa mãn các

điều kiện sau:

1 d(x,y) ^ 0,d(x,y) = 0 <=> X = y, Va;, y € X]

2 d ( x , y ) = d ( y, x ), \ / x , y e X ]

3 d ( x, y ) ^ d ( x, z ) + d ( z , y ) , Va;, y, z e X

Ánh xạ d gọi là metric trên X.

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X và y.

Các phần tử của X gọi là các điểm.

Không gian metric được kí hiệu là (X, d).

Ví dụ 1.1.1.

Cho Cịa Ị,Ị là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt

d(x, y) = max |a?(í) — y(t) I

a ^ t ^ b với mọi X = x ( t ) , y = y ( t ) e C [ a M

Khi đó {C [ a b ],d) là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {x„} c X, điểm X Q € X Dãy {x„} được gọi là hội tụ đến

điểm X Q khi n —> oo nếu với Ve > 0, 3n0G N*, với Vn ^ n 0 thì d(x n, Xo) < e Hay lim d(x n, x0) = 0

71—>• 00

Ký hiệu lim x n = x 0 hay x n —> x0, n —> oo.

71—y00

Điểm x 0 được gọi là giới hạn của dãy {x„} trong X.

Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric ( x , d ) Dãy {x„} c X được gọi là dãy Cauchy, nếu với Ve > 0, 3n ữ G

d(x,y) = /o |X(Í) - y{t)\dt Xét dãy {xnỊ c C[0,1] như sau:

Cho n —> oo ta được d(x n , xm) = 0.

Vậy {ĩ„} là một dãy Cauchy trong (Cị0 !], d).

Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric

đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X.

Ví dụ 1.1.3.

Không gian Cị a Ị,Ị các hàm số liên tục trên [a,b] với metric d(x,y) = max | æ(t) — y(t) I là không gian metric đầy đủ.

a ^ t ^ b

Ví dụ 1.1.4 Cho X là tập hợp tất cả các hàm số X (t) liên tục trên không gian

metric K, sao cho X (t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ thuộc từng

hàm số X (t)) Với hai hàm số bất kỳ X (t) ,y (t) G X ta đặt

d ( x , y ) = max\ x (t ) — y ( t ) \ Khi đó (V, d) là một không gian metric không đầy đủ Thật vậy, ta xét dãy

= max \x n + p (t) - x n (í)| i|<n+p

Suy ra

lim d(x n + p,xn) = 0

n—> 00

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong X.

Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng phản

chứng

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Dãy {xn } hội tụ đến X € X hay tồn tại X

£ X sao cho lim d (xn, x) = 0

t 2 + 1 (n + PỶ + 1

0

n + p (í) *En (í) I

với |í| ^ n với n < |i| ^ n + p với \ t \ > n + p

Từ (1.1) cho n —> oo ta được: IX (t) — a? (í)I = 0, Ví G K, suy ra X (t)

= X (t) Ệ X, mâu thuẫn với giả thiết X (t) G X.

Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian (x,d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (x,d) Do đó (x,d) là không gian metric

không đầy đủ

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 [1], Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực

hoặc phức) Một ánh xạ II • II : X —> M được gọi là một chuẩn nếu

1 ||a;|| ^0, Va; G X

||a;|| = 0 X = 6.

2 II Aa;|| = |A| • ||a;||, Va; £ X, VA G K

3 ||a; + y|| ^ ||a;|| + ||y||, Vx,y £ X.

số ||a;|| được gọi là chuẩn của vectơ X.

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực

hoặc phức) Không gian X cùng với chuẩn II • II xác định trên X được gọi là

không gian định chuẩn, ký hiệu là (X, II • II)

Ví dụ 1.2.1

Cho không gian tuyến tính phức E n = {x = (xi,x 2, ■ ■ ■, xn) : Xi G C}

và ánh xạ

II • II : E" ->• K,xác định bởi: ||a;|| = vZ)fc=1 lla'fcll2-

Khi đó (En, II • II) là một không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {£„} c X.

Dãy {£„} gọi là hội tụ tới X nếu

lim ||rE„ — rr11 = 0

Kí hiệu lim x n = X, hay x n —> X, n —>• oo.

n—>oo

Định nghĩa 1.2.4 [1], Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} c X được gọi là

dãy Cauchy nếu

chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X.

Ví dụ 1.2.2 Cho không gian Cị a Ị,] là không gian các hàm thực liên tục trên

Do đó, dãy x n (t) không có giới hạn nào trong không gian Cị ữ 1J, hay dãy

{xn (t)} không hội tụ tới một x(t) trong c^ 1J

Vậy cị không là không gian Banach.

Nhận xét 1.2.1.

1 Trên cùng một tập hợp X, ta có thể trang bị các metric khác nhau để được

các không gian metric khác nhau

Trong không gian định chuẩn (V, ||.||) nếu đặt d(x,y) = I|rc — yII thì ta

có (V, d) là không gian metric Vậy mọi không gian định chuẩn đều làkhông gian metric

1

2

1 8

Cho X = R và ánh xạ T : X —> X xác định bởi T x = ịx thì T là ánh xạ co.

Thật vậy: Va;, y G X , T x = ị x , T y = ịy Ta có

Định lý 1.3.1 [2] Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất.

d(x n -|-i, XJJ) d ( T xn i T x n — i) ^ kd { x n i X n — i)

k d { T x n — \ i T x n— ‘ i ) ^ k d { x n — 1J x n —2 )

= h 2 d ( T x n - 2 , T x n - z ) ^ fc3d(x„_2, x„-3)

fc" ^(Txi, Tx0) ^ k n d(xi, x0) = k n d(Tx0, a?o)J Vn = 1,2,

Từ đó suy ra với Vra, n € N* ta có

m d( í X n j rm ĩ x n 'ị ^ E d(xn+fc, *En+fc —l)

Vậy dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ (V, d) Do đó {xn} hội tụ tới X* € X.

Ta chứng minh X* là điểm bất động của ánh xạ T trong X.

Bây giờ ta chứng minh X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên X.

Giả sử tồn tại điểm y* € X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Thế thì

Đặt Tx = 7Ĩ — ữ sin X, ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy đủ K, vào chính nó Ta chứng minh sint < t, Ví >

Chương 2

Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xácđịnh bởi nón trong không gian Banach thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metricnón và sự hội tụ trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạkiểu giãn trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.1.2 [3] Cho E là một không gian Banach thực, p là một nón trong E Khi đó trên E ta xây dựng quan

hệ thứ tự ” <p ” xác định bởi nón p như sau:

Ta kiểm tra 3 điều kiện của nón.

1 Hiển nhiên p không rỗng và p Ỷ

Khi đó (X, dp) là không gian metric nón.

Thật vậy, ta kiểm tra lần lượt 3 điều kiện

1 Ta có \x — y\ ^ 0, Va;, y G X Do a, ¡3 > 0 nên

d p { x , y ) = { a \x - y\ , p \ x - y \ ) p^ 0 Va;, y G X

d p { x , y ) = { a \x - y\ , p \ x - y \ ) = 0 <=> \ x - y \ = 0 <=> X = y

2 Ta có \x — y\ = \y — x\, Va;, y G X nên

Vậy (X, dp) là không gian metric nón.

Sau đây chúng tôi trình bày về sự hội tụ trong không gian metric nón

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.2.1 [3] Cho ( x , d p ) là một không gian metric nón, {x„} là một dãy trong X và X thuộc X Dãy {xnỊ

được gọi là hội tụ (hội tụ nón) tới X nếu với mọi c thuộc E thỏa mãn 0 <^Cp c, tồn tại số tự nhiên N sao cho

Khi đó tồn tại số tự nhiên N sao cho

Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: nếu q thuộc p và q «Cp £ với

mọi £ thì q = 0 Thật vậy, cố định c thuộc p với 0 «Cp c Khi đó, từ giả

thiết suy ra q «Cp — với mọi số nguyên dương ra Do đó -q G p với

c mọi m Vì -q hội tụ tới —q trong E và p là đóng nên —q G p Suy

ra

Suy ra c - dp(xn ,x) G int(p) và 2 - dp(x n,y) G int(p), với mọi n > N = maxjVi, iY2}.

Từ int(p) + int(p) c int(p) với mọi nón p, suy ra 2 - dp(zn, x) + ° - dp(x n, y) = c- (dp(xn, x) + dp(x n, y)) G int(p), với mọi n > N.

Ta nhận được

d p ( x, y ) ^ d p ( x n , x ) + d p ( x n , y ) <^Cp c, với mọi n > N.

Ta suy ra d(x, y) = 0, tức là X = y.

□

Ta đã biết đối với không gian metric (V, p) thì dãy {xn} trong X hội tụ tới X thuộc X khi và chỉ khi p(x n , x) —

> 0 Định lý sau đây trình bày một tính chất tương tự cho không gian metric nón

Định lý 2.2.3 [3] Cho ( x , d p ) là không gian metric nón và {£„} là một dãy trong X Nếu {£„} hội tụ

tới X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới X.

Vì p là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, ta có

||- {dp(x n ,yn) -2c - dp(x,y))\\ = \\{dp(x n,yn) - 2c - dp(æ,y))||

+ 2 suy ra ||dp(a;n, yn) - dp(z, y)|| < £

Ngược lại ta có, với mọi c G E mà 0 «Cp c, tồn tại ô > 0 sao cho ||æ|| < ô thì c — X G int(p) (do int(p) là tập

mở) Với ô > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho

\\dp(x n,xm )\\ <p ô, với mọi n,m > N.

Suy ra, c — dp(x n,xm ) G int(p) Ta nhận được dp(x n,xm) «Cp c với mọi n, m > N, tức là lim dp(x n, x m ) = 0.

Vì vậy, với mọi m,n > N, ta có

c c dp(xm , x n) ^p dp(xn, x) T dp(x m, x) ^Cp 2 2

Vậy lim dp(x n, x m ) = 0.

n,m—>oo

Ta có dãy {xn} là dãy Cauchy

dp(x,y) = (a\x - y\,p\x - y\)

= c.

= (a\x - z + z - y\, (3\x - z + z - y\)

i a \ x - Z IP\ X - z \) + i a \ z - y\>p\ z - y\)

= d p(x, z) + d p(z, y), Vx, y,z e X.

□

Nhận xét 2.2.1

1 Từ định nghĩa về metric nón ta nhận thấy, nếu p là một nón trong không gian Banach thực E và (X, dp) là

một không gian metric nón thì

Vư, v,w € X, u «Cp V, V «Cp w

ta có u w.

2 Với kị, k 2, k 3, kị, k là các số dương, nếu

lim x n = X , lim y n = y , lim z n = z , lim t n = t

d p ’ X X X —y E

với d p {ũi,^) = ¡Xi -Xj\ = ị Ị , Vĩ, j = 1, 2,

J n> 1

Khi đó (X, dp) là không gian metric nón đầy đủ.

Định nghĩa 2.2.4 [2] Cho ( x , d ) là không gian metric và ánh xạ T :X ^ X.

Nếu tồn tại hằng số k > 0 thỏa mãn

d (Tx, Ty) < kd (z, y), Va;, y G X, thì T được gọi là ánh xạ Lipschitz hay ánh xạ fc-Lipschitz.

Nếu 0 < k < 1 thì T được gọi là ánh xạ co.

Nếu k = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn.

Định lý 2.2.7 [5] Cho (x,dp) là không gian metric nón đầy đủ, p là nón chuẩn tắc với hằng số K Giả sử T ; X —> X là ánh xạ co, tức là

dp (Tx,Ty) < p kdp (x,y), Va;, y G X,

Vậy a;* là điểm bất động của ánh xạ T trên X.

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động

Giả sử y* cũng là điểm bất độngcủa T, ta có:

dp {x\y*) = dp (Tx\Ty*) <p kdp {x\f).

Vì k G [0,1) nên ta có dp {x*, y*) = 0.

2.3 Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

Định nghĩa 2.3.1 [2], Cho (x,d) là không gian metric và T : X —> X thỏa mãn

d(Tx,Ty) < d (x, y), Va;, y € V.

Khi đó T được gọi là ánh xạ không giãn.

Nếu ta có d (Tx, Ty) > d(x,y), Va;,y € X thì T được gọi là ánh xạ giãn.

Định lý 2.3.1 [7] Cho (x,dp) là một không gian metric nón và {xn}