Luận văn thạc sĩ sư tồn TAI VECTOR RIÊNG của TOÁN tử uo lõm CHÍNH QUY tác DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH với nón cưc TRI

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêngcủa các phương trình toán tử 1962, toán tử lõm tác dụng trong không gianBanach thực với một nón cố định 1956.GS .TS.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

sư TỒN TAI VECTOR RIÊNG

■ ■

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cưc TRI

■ •

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thựchiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trongthư viện nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiệnluận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu HàTôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnPhụ Hy

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

MỤC LỤC

1.1 Sự tồn tại vectơ riêng của toán

tử Uo

không gian Banach với nón cực trị

1.1.1

Đạo hàm tiệm cận của toán tử

1.1.2 Uo - đạo hàm Fréchet của toán tử 1.2 VÍ dụ KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- lõm chính quy tác dụng trong

46

47

50

54

59

60

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêngcủa các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng trong không gianBanach thực với một nón cố định (1956).

GS TS Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984)

Các lóp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu vàcông bố những kết quả về lóp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banachvới một nón cố định, các toán tử có chung tính chất u0 - đo được

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng củatoán tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, u0) -lõm chínhquy (2013) Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cholóp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cốđịnh nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

Đe chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trìnhcủa các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toántử

5

Với mong muốn tìm hiểu sâu hon về lóp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ,hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiêncứu đề tài: “Sự tồn tại vector riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụngtrong không gian Banach với nón cực trị

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơriêng của toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy tácdụng trong không gian Banach với nón cực trị

Toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn

Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng

4 Đối tuợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tửu0 - lõm chính quy Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tácdụng trong không gian Banach với nón cực trị

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liênquan đến vectơ riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng trong không gianBanach với nón cực trị

5 Phuơng pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chínhquy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về:

6

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.

Một số tính chất về toán tử Uo- lõm và Uo- lõm chính quy

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng

Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lóp toán tử khác

Hy vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

7

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1.

Cho không gian Banach thực E K là tập con khác rỗng của E Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau:

Ni, K là một tập đóng trong không gian E ;

N2, Nếu xG K và y G K, ta có X + y G K ;

N3, Nếu X G K và t là số thực không âm, ta có tx G K ;

N4, Nếu X G K và X ^ 0 ta có -X 0 K ( ỡ là kỉ hiệu phần tử không của không gianE)

Chứng minh.

Ta thấy F c K(F) mà F Ỷ 0 nên K(F) Ỷ 0- Với mọi X G F ta chứng minh tồn tại 2

số thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M

Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F

< —

t0-tni

x"i+—

vz

toto

Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F Vậy ctz + pz’ G K(F).

+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}

Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại Xo £ F sao cho -t0x0 £ K(F), to > 0 suy

ra -t0x0 = tiXi với ti > 0, Xi £ F vì vậy

e=t 0 X 0 +t 1 X 1 =(t 0 +t 1 )[- te -X 0 + - tL X 1 ] => “ Xg + — Xj = 0

to+tl to+ti to+ti tg +tj

mà tập F lồi nên *° xn+——X, e F => 0 e F trái giả thiết, to+tl to+tl

Vậy u £ K(F) thì -u Ể K(F)

Do đó K(F) thỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J

Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Với

X, y e E, ta viết x< y nếu y-x e K, X < y nếu y - X e K\{ 0}

Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử U G E, nếu (Vxe M) X < u.

Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx GM) V <x

• Giả sử tập M có hai cận trên đúng là z và z’ , Z G E, z’ G E thì ( Vx eM) X

<z; X < z', theo tính chất cận trên đúng thì z < z’ , z’ < z Theo định lí 1.1.6 thì z

= z’

Vậy cận trên đúng (nếu có) là duy nhất

• Giả sử tập M có hai cận dưới đúng là w và w’, w e E, w’ G E thì ( Vx eM)

w <x; w'<x, theo tính chất cận dưới đúng thì w < w’, w’ < w Theo định lí 1.1.6 thì w = w’.

Vậy cận dưới đúng (nếu có) là duy nhất J

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón KcE

+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

V X G E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x

+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß

sao cho ay < X < ßy => — X < y < —X Vây y thông ước với X.

+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu

Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z

Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz => (a.c)z

< X < (b.d)z Vậy X thông ước với z

Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E J

Giả sử Uo E K\{0} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian E thôngước với phần tử Uo.

Đinh lí 1.2.3.

í

K(u0) là một tập lồi và K(u0)cz K\{0}

Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y £ K(uo).

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X £ K(u0)

Với t £ (0; 1) thì tơUo < tx < tßu0 và (1 - t)ơiUo < (1 - t)y < (1 - t)ßiUo

nên tơUo + (1 - t)aiU0 < tx + (1 - t)y < tßu0 + (1 - t)ßiU0

=> (ta+ (1 - t)ai)u0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)u0 Do các số

ta+ (1 - t)ơi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên tx + (1 - t)y £

Giả sử X G Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -qMg <x< t2uữ.

• Trước hết ta chỉ ra tồn tại số p không âm nhỏ nhất sao cho X < pUo

Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E

t I-» f(t) = tu0 - X

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với mộtphần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón Ktrong không gian E suy ra f1(K) là tập đóng trong không gian R

Giả sử inf f1(K) = - co

Khi đó 3 (tn )“ cf_ (K) sao cho tnu0 - X G K và lim tn = -00

Ta xét tập A = { t > 0 : tUo - X G K } Hiển nhiên, t2 £ A hay A ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tUo - X £ K } = |3(x) Gf_ (K) nghĩa là X

< P(x)uo .

Vậy tồn tại số không âm p(x) nhỏ nhất sao cho X < (3(x)uo

• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > Onhỏ nhất sao cho -a(x)uo < X.

Xét ánh xạ f : R —> E

t I-» f(t) = x+ tu0

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một

phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón Ktrong không gian E suy ra f1(K) là tập đóng trong không gian R.

Giả sử inf f1(K) = - co thì 3 (tn )°° c= f _ (K) sao cho lim t„ = -00

Khi đó, (3 n0 £ N*)(Vn > n0) tn < 0 Do đó - —(x+tnu0) e K => -—-u0 e K

1

Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ — X khi n —> co ta được -Uo £ K, mâu

thuẫn với tính chất của nón K Nên inf f'1(K) £ f'1(K)

Ta xét tập B = { t > 0 : x + tUo£K} Hiển nhiên, ti G B hay B ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : X + tu0 £ K } = ct(x) Gf '(K) nghĩa

*) Ta thấy 0 £ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu0 < 0 < tu0 Suy ra Eu khác rỗng.

*) (Vx,y e Eu )(3tj > 0,3t2 ^ 0,3t3 > 0,3t4 > 0) sao cho :

■tj.Ua < X < t2.u0 và -t3.u0<y < t 4.u0

Khi đó : -(íj +13).M 0 < X + y < (t 2 + t4).M0 => X + y e E u

*) (Vx e E u )(3íj > 0,3^2 - 0) sao cho -t v uữ <x< t 2M ữ Khi đó Va G R ta có :

Nếu a > 0 => - ti.Uo < X < t2.Uo và a ti > 0, a t2 > 0 => -(«.?!).M0 < a.x <

Vậy E u là không gian tuyến tính con của không gian E, có thể coi E u là

không gian tuyến tính độc lập J Đinh lí 1.3.4.

Thật vậy, I ■ ||M là một ánh xạ từ E u vào tập số thực không âm R+ ,

do định nghĩa tính u0 - đo được của phần tử X Ta kiểm tra các tiên đề

về chuẩn :

18

Suy ra

\\x\\ = max{inft Ị ,inft2}, y = mảx{inft 3,inft 4} , ta có:

Do đó ánh xạ II ||M là một chuẩn trên không gian E u J

Chuẩn I ||M được gọi là Uo - chuẩn

Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:

(3Ổ >0)(Ve 1 ,e 2 eẴ':||e 1 || =\\e 2 \\ = 1) thì ll^+^ll^^-

Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa là

(VneV*)(3y„ *0)(3x neEy n)\\x n\\ E >n.|xn|3, \\y n\\ E (1.2)

Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn Ỷ 0, (xn )“ =1 CI £,(yn )“ =1 c: K \{ớ},

Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn Giả sử X, y G K, X < y.

Neu y ^0 = > x + y^0 hay X + y G K\{0}, X G Ex+y, vi -(x + y) < X < X + y,

Vậy 3 mệnh đề tuơng đuơng J Định lí 1.4.3.

Neu K là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội tụ theo

23

nên lira + i- = 0 =

0.

I E ’

chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E

• Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn

Giả sử (x n )“ =1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu theo Uo - chuẩn, nghĩa là: (Vf >0)(3n0e V* )(Vn,m>n0 )b

( 1 3 )

Vì K là nón chuẩn tắc nên từ x n —xm +£U ữ < 2£U 0 ta có

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón Kcz E Nón K

được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy ( *„x=1 CI K không giảm, bị chặn trên bởi

U G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y n)n=ĩ c K không tăng, bị chặn

dưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại

suP(*Xie*> inf(y„Cie

^-1.5 Các không gian nửa sắp thứ tự R n , C[ a b]

a) Không gian Rn = { X = (Xi, x2, , xn ) : Xi G R, i = 1, 2, , n } ( n G N* ) cùng với hai phép toán thông thường

X + y = ( Xi+ yi, x2+ y2, ., xn+ yn),

25

(XX = ( axi, ax2, axn),

trong đó a G R, X = (x b x 2 , x n ) e Rn, y = (yi, y 2 , y n ) G Rn là một

không gian tuyến tính thực với phần tử không là 0 = ( 0, 0, 0)

b) Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:

Ta kiêm tra điêu kiện của chuân

= 0^ẳ*í

Ì=1

Thât vây, giả sử dãy điểm với x i k ) =(rf),4i)

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm X = (xi, x2, , xn ) E Rn

Theo định nghĩa ta có Ve > 0, với mỗi i = 1, 2, ., n, 3ki G N*: vk > ki

Do đó dãy điểm hội tụ tới X trong Rn Vì vậy, sự hội tụ trong không

gian Eukleides Rn tương ứng với sư hội tụ theo tọa độ

27

d) Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.4).

dãy cơ bản tùy ý trong Rn Khi đó, ta có

Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy y° là một dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn limx^1 = Xị,i

=1,2, ,«

k—> co

Đặt X = ( Xi, x2, , xn) G Rn ta được dãy cơ bản (*(Ắ°) hội tụ theo tọa độ

tới X nên hội tụ tới X khi k —> co trong Rn Vậy Rn là không gian

< E.

Ve > 0, 3n0 G N* : vk, p > n0,

Vì vậy K là tập đóng.

*) Với mọi X, y G K

X = ( Xi, x2, , xn) , Xi > 0, i = 1, 2, , n,

29

Thật vậy, giả sử X, y G Rn, X = ( Xi,x2, , xn), y = ( y i , y 2 , , yn),

X < y o y - x E K < ^ > y¿ - Xi > o, V i = 1, 2, , n, tức là Xi < y¿, vi = 1, 2, , n Quan hệ “< “ xác định như trên là một quan hệ sắp thứ tự bộ phận Thật vậy, với hai phần tử X, y bất kì thuộc Rn thì có thể không so sánh được với nhau theo quan hệ “ < Ví dụ X = ( 2, 0, 0, 0 ) , y = ( 0 , 1 , 0 , ., 0) G Rn thì X - y = ( 2, -1, 0, , 0) Ể K, y - X = (-2, 1, 0, , 0) Ể K, nên X, y không so sánh được với nhau theo quan hệ “ <

h) Ta chứng minh K là nón chuẩn tắc

Thây vậy X, y G K

30

x = (x] ,x 2, ,xn),xi >0 , i = 1,2, ,« ixt f =1

y=(yvy2 ’-’y n)’yi > 0, ¿=1,2, ,« IMb^Ệoo2 =1

Tức là tồn tại £ = V 2 > 0 để II* + y|| ^ £ =-s/2

Vậy nón K thỏa mãn định nghĩa về nón chuẩn tắc, nên K là nón chuẩn tắc

i) Ta chứng minh K là nón cực trị

• Giả sử (x(m)) c K là môt dãy bất kì không giảm, bi chăn trên bởi z = (zỉ)" =1 É K, bị chặn theo chuẩn, nghĩa là:

Trong đó, kí hiệu x { m ) = (*im))£=i ,Vm <E V*, z = (zk )k = ]

= J Ẻ ( 4 W > ) 2 Í M .

V k= 1

x (1) < x ( 2 ) < < x (m) < < z; 3M > 0 , V m e N*

Thât vây, Vra G N* theo tính chất của dãy (x[m)) ta có xị m ) < hm xị m ) = z 'i

với mọi i = 1, 2, , n nên x(m) < z’, Vm G N*

Nếu 3u = («i)"=1 G Kmà x(m) < u, Vm G N* khi đó

x.m) <Uị ,Uị> 0, Vi =l,2, ,n, Vm G N*

nên z \ = lim x.m) <Uị (V i = l,2, ,n) nghĩa là z’ < u.

Vậy sup(xwy° =z'^K.

• Giả sử ( y ( m ) ) c K là môt dãy bất kì không tăng bi chăn dưới bởi

V = (v,.)" =1 G K, bị chặn theo chuẩn, nghĩa là:

Trong đó, kí hiệu y(m) = (y^ m) )^ =1 , Vme N* ,v = (v k )k=1.

lt ( m)

y (1) > y (2) > > > > V ; 3N > 0 , V m

e A T

V /t=i

Vra G N* nên Wị < lim x¡ m ) = y'i (V i = 1 , 2 , n ) nghĩa là w < y’.

Nếu i G I2 thì Ui = 0 nên 0 < Xi < 0 suy ra Xi = 0

Nếu i G II thì Ui > 0 nên 0 < aUi < Xi < bUi suy ra Xi > 0

Vậy K(u0)c { X = ( Xi, x2, xn) : Xi > 0, i G li ; Xi = 0, iG I2}

*) Ngược lại V X G { X = ( Xi, x2, x n ) : Xi > 0, i G II ; Xi= 0,i G I2 } ta có

Nếu i G I2 thì Ui = 0, Xi = 0 khi đó luôn tồn tại các số dương a, b sao cho aUi = a.o = 0 < Xi = 0 < 0 = b.o = bUi, i G I2.Nếu i G II thì Ui > 0 nên maxUị > min Uị > 0 (do Ui > 0), ta đặt