Luận văn thạc sĩ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠKHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH... Khi đó TX là ánh xạ co trong Hausdorff mêtric và nếu chọn X Q = [0;

NGUYỄN THỊ THỦY

ĐIEM BÁT ĐỌNG CUA ANH XẠ

KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG

GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Trần Quốc Bình Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầytrong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rấtnhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòngkính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáodạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình khóa luậnđược hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào khác

Trong khi thực hiện khóa luận tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựucủa các nhà khoa học khác với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

Muc luc

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lí ánh xạ co Banach có rất nhiều ứng dụng, được gặp trong nhiều lĩnhvực khác nhau của toán học Một số ứng dụng chẳng hạn như trong chứng minh

sự tồn tại và nghiệm duy nhất của bài toán Côsi đã trở thành kinh điển, được

giảng dạy ở các trường đại học Tuy nhiên, định lý ánh xạ co đó còn có những

ứng dụng khác nữa, ít được biết đến hơn nhưng cũng rất thú vị Chẳng hạn kýhiệu N là họ các compact trên K, N được trang bị Hausdorff mêtric (khoảng cáchHausdorff) và đối với tập compact XcR xét ánh xạ:

T(X) = \x u gv +1).

Khi đó T(X) là ánh xạ co (trong Hausdorff mêtric) và nếu chọn X Q = [0; 1] thì

Trong chương 2 của luận văn chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng khácthường đó của định lý ánh xạ co Banach Trong chương này, luận văn sẽ chứngminh cả định lý điểm bất động của Caristi

Khi các hệ số co của định lý Banach bằng 1 ta sẽ được ánh xạ không giãn

(IITx — TyII ^ 11rr — yII Vx,y E D) Nói chung ánh xạ không giãn không nhất

thiết có điểm bất động Để ánh xạ không giãn có điểm bất động ta phải áp đặtcác điều kiện lên miền xác định và cấu trúc hình học của không gian Nhữngphần đó chúng tôi sẽ đề cập trong chương 3 Trong chương này, ngoài việcchứng minh định lý cơ bản về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãnchúng tôi còn đề cập đến các vấn đề khác nữa, liên quan đến cấu trúc hình họccủa không gian Banach

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu các ứng dụng của định lý ánh xạ co Banach và sự tồntại điểm bất động của ánh xạ không giãn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu thấu đáo các chương tương ứng trong quyển sách của W.A.Kirk[2 ] và một số bài báo liên quan tới đề tài nghiên cứu

5

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức, khái niệm cơ bản và mở rộng liên quanđến cấu trúc hình học của không gian Banach, phục vụ việc nghiên cứu điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn cũng như các ứng dụng của định lý ánh xạ coBanach

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ không giãn và lý thuyết điểm bấtđộng

Đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống các kết quả nhận được

6 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn sẽ là một tài liệu hữu ích về ánh xạ co Banach và ánh xạ khônggiãn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số ký hiệu, định nghĩa về: baolồi, bao lồi đóng, không gian liên hợp thứ nhất, thứ hai, tôpô yếu, tôpô yếu* Vàcác tính chất có liên quan Đặc biệt các tính chất này còn là các công cụ hỗ trợ

trong quá trình chứng minh các định lý, bổ đề ở Chương 2 và Chương 3.

1.1 Ký hiệu

Nếu Ả là một tập con của không gian metric (M, p) và X G M thì ký hiệu

diamA là đưòng kính của A:

B(x, r) ký hiệu là hình cầu đóng có tâm đặt tại X với bán kính r > 0

B { x , r ) = { y e M : p ( x , y ) ^ r } .

A ký hiệu là bao đóng của A trong M.

X = (JC, ||.||) là ký hiệu cho một không gian Banach thực tùy ý với chuẩn

7

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử X , Y là các không gian Banach Ký hiệu £(X, Y ) là

không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn trên £(X, Y ) được

hiểu là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X , Y là không gian Banach Ký hiệu:

X * = (phiếm hàm tuyến tính liên tục trênX}

Ta gọi X * = L ( x , R) là không gian liên hợp hay không gian liên hợp (thứ nhất)

của X Ký hiệu cặp đối ngẫu các phần tử của X vói các phần tử của X * là

x * ( x ) = ( x , x *) , X € X , X * € X * ( x , X * ) là một hàm tuyến tính liên tục trên X * vói mỗi X E X c ố định.

Không gian X * * = L ( X * , R ) được gọi là không gian liên hợp thứ hai của

X Nếu X € X là cố định, ánh xạ: X —> X * được gọi là phép nhúng chính tắc

của X trong X**, phép nhúng này luôn là một phép đẳng cự tuyến tính Nếu nó

cũng là toàn ánh thì X được gọi là phản xạ và chúng ta ký hiệu X = X**

Định nghĩa 1.2.5 Tô pô yếu trên X là tô pô được tạo ra từ một tập hợp những

nửa chuẩn {/0 X*} , X * G X* với

Tô pô yếu * trên X* là tô pô được tạo ra từ một tập những nửa chuẩn {p x }, XG

8

X vai

Px{x*) = |(x,x*)| ,x* G X*.

X, X* đều là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương tương ứng vói các

tô pô yếu và yếu* của chúng

Khi X là phản xạ thì tô pô yếu và tô pô yếu* trên X* là trùng nhau.

1.3 Tính chất

Tính chất 1.3.1 Tập lồi K của X là đóng khi và chỉ khi nó đóng yếu.Tính chất 1.3.2 Nếu K là một tập compact yếu của X thì cõK cũng làmột tập compact yếu

Tính chất 1.3.3 (Định lý Mazur) Nếu Ả là compact thì cõA cũng như vậy.

Tính chất 1.3.4 (Định lý Alaoglu) Hình cầu đơn vị 5(0; 1) trong không gian

liên hợp X* luôn compact trong tô pô yếu*.

Tính chất 1.3.5 Nếu X phản xạ thì mỗi hình cầu trong X compact trong tô pô

yếu

Tính chất 1.3.6 (Định lý Eberlein-Smulian) Vói bất kỳ tập bù A

của X các khẳng định dưói đây là tương đương:

a) Mỗi dãy {x n } trong A có một dãy con hội tụ yếu.

b) Mỗi dãy {x n } trong A đều chứa một điểm tụ yếu trong X.

c) Bao đóng yếu A của A là compact yếu*.

Tính chất 1.3.7 (Định lý Krein-Smulian) Tập con K của không gian liên hợp

X* là đóng yếu* khi và chỉ khi vói mỗi r > 0 tập {X* G K : 11 ar* II ^ r} cũng

b) B(0; 1) compact yếu trong X*.

c) Bất kì dãy bị chặn nào trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.

d) (James (1964)) Với bất kỳ tập con lồi, đóng và bị chặn K nào của X và

9

2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là một không gian mêtric với mêtric p Một ánh xạ T :

M —> M được gọi là "Lipschitz" nếu 3k ^ 0, Va;, y € M thỏa mãn

p ( T x , T y ) ^ k p ( x , y ) (2 1 )

Số k nhỏ nhất của (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz

Hằng số Lipschitz của ánh xạ T là k(T), của ánh xạ s là k(S) kp(T):

ký hiệu hằng số Lipschitz của T đối với mêtric p.

Nhận xét 2.1.1 Với hai ánh xạ s, T : M —> M, ta có:

1 0

Với a ^ 0, k(aT) = ak(T).

Định nghĩa 2 1 2 Một ánh xạ T : M —> M được gọi là ánh xạ co nếu k(T) <

1, cụ thể hơn T là một ánh xạ k — co đối với p nếu kp(T) ^ k < 1.

Do tập hợp {M£} giảm dần khi £ ị 0, theo nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt

dần thì n M £ bao gồm một điểm Xvà nó sẽ là điểm bất động

của T ( x = T x )

C h ứ n g m i n h 2 :

1 1

Vì vậy, {T n xo} là một dãy Côsi và do T liên tục nó hội tụ tới một điểm bất động

X của T Tốc độ của sự hội tụ này có thể có được từ (2.3) bằng cách cho ra —>■

(2.2)

Như vậy, trong cách chứng minh thứ hai cho p —> 0 0 trong (2.4) cho ta kết

quả

k n

p { x n , x ) = p ( T n X o , x ) ^ Ý ^ P Ì x o , T x 0 ) (2.5)Nhận xét 2.1.2 Trong cách chứng minh thứ hai chỉ ra rằng bất kỳ ánh xạ tùy ý

tế, có thể được chỉ ra bằng cách khác là nếu ip là một nửa liên tục dưới thì một ánh xạ tùy ý T : M —> M thỏa mãn (2 2 ) phải có một điểm bất động Lập luận này được biết đến như là định lý Caristi được trình bày cụ thể ở phần sau Nó

tương đương với nguyên lý cực tiểu hóa Ekeland ( Ekeland, 1974 )(giả thiết cótiên đề chọn) và có rất nhiều ứng dụng trong giải tích Điểm bất động trong cả

hai trường hợp không nhất thiết duy nhất và trong ví dụ thứ hai dãy { T n Xo}

không cần hội tụ tới một điểm bất động của T.

Nhận xét 2.1.3 Trong cách chứng minh thứ ba cho thấy giả định k(T) < 1 rất cần thiết, nó thỏa mãn giả định k(Tn) < 1 đối với một n cố định nào đó Điều này cũng nhấn mạnh rằng T n là một ánh xạ co và do đó (bằng định lý 2.1.1) có một

điểm X bất động duy nhất Nhưng Tx = T n + 1 X = T n Tx, vậy Tx cũng là một điểm

bất động của T n Vì vậy, X = Tx nếu X cũng là một điểm bất động của T ( và là điểm duy nhất ) Không khó để tìm ra các ví dụ về ánh xạ T (trên đoạn [0; 1] )

mà liên tục ( hoặc không liên tục ) với k(Tn) < 1 trong khi k(T) ^ 1 Tuy nhiên

những ví dụ này là ngoại lệ Vì vậy, ta sẽ tập trung xét những trường hợp điểnhình hơn

Nhận xét 2.1.4 Ta sẽ phát triển rộng hơn trên ý tưởng của nhận xét (2-1-3)

Cho T \ M —> M là một ánh xạ Lipschitz, cố định X Q E M và cho x n = T n x0 - Ta

có0

Vì vậy {xn} là một dãy Côsi nếu trong trường hợp

HTl) < Too

1 3

Ta thường dùng k(Tn) là nhóm nhân Từ k(Tn+m) < k(T n )k(T m ), dễ dàng thấy nó

tồn tại số kooịT) thỏa mãn

Mr) = lim [ k ( T n ) ] 1 / n = i n ỉ i ị k ự 1 " ) ] 1 ! " : n = 1 , 2 , ( 2 7 )

n - ¥ 00

Vì (2.6) xảy ra khi và chỉ khi koo(T) < 1 Vì vậy giả định k(T) < 1 trong định

lý (2 1 1 ) có thể thay thế bằng koo(T) < 1

Hiển nhiên câu hỏi đặt ra rằng liệu giả định yếu hơn kooựr) < 1 có thực sự

cho ta kết quả chính xác hơn của định lý (2.1.1) Để đáp ứng điều này chúng tađưa ra ký hiệu của sự tương đương giữa hai metric:

Hai metric p và r trên cùng tập M cho trước được cho là tương đương nếu tồn tại hai hằng số dương a và b và Vx,y £ M ta có:

m(x,y) < p(x,y) < br(x,y )

Với hai metric này, bất kỳ dãy Côsi nào trong metric r cũng là dãy Côsi trong metric p và ngược lại Do đó, (M, p) là đầy đủ khi và chỉ khi (M, r) cũng là

hội tụ và cho ra kết quả một metric r x tương đương với p:

với cận dưới đúng lấy trên tập tất cả các metric r tương đương với p.

Tổng kết Bất kỳ ánh xạ T : M —> M với koo(T) < 1 là ánh xạ co với một metric tương đương đã được cho sẵn phù hợp Theo quy tắc, giả định koo(T)

< 1 không cho ra một kết quả tốt hơn của định lý ( 2 1 1 ) Tuy nhiên như

chúng ta thấy sự lựa chọn một metric phù hợp đôi khi rất hữu ích trong cácứng dụng bởi vì nó cung cấp những ước tính đúng theo tốc độ hội tụ của cáclần lặp

Có lẽ câu hỏi hiển nhiên thường được xuất hiện khi nghiên cứu về ánh xạ

co là : điều gì xảy ra khi k(T) = 1.

Ví dụ cơ bản Tx = X + 1 với XE R chỉ ra rằng điều ngược lại của nguyên lý

ánh xạ CO Banach không đúng.

Tuy nhiên trong nội dung của một lớp không gian các tập con lồi, đóng và

bị chặn của không gian Banach một giả thiết điểm bất động cho các ánh xạ vẫn

tồn tại Chúng tôi sẽ trình bày điều này trong chương sau Một ánh xạ T : M

—> M được gọi là ánh xạ co (hoặc co ngặt) nếu

p ( T x , T y ) < p ( x , y ) , x , y e M , x ^ y (2.9)

p { x , y ) ^ r x { x , y ) ^ £Mĩ”)A"

-71 = 0

p { x , y )

Hiển nhiên một ánh xạ loại này chỉ có thể có nhiều nhất một điểm bất động.

Ánh xạ T : R —> R định nghĩa bằng Tx = 1 + ln( 1 + e x ) làmột ví dụ đơn giản

của ánh xạ co mà không có điểm bất động (thực tế \x — Tx\ > 1 Vx G M) Tuy nhiên những ánh xạ co này luôn có những điểm bất động trong không

gian compact

Định lý 2.1.2 C h o (M , p ) l à m ộ t k h ô n g g i a n m e t r i c c o m p a c t v à c h o

á n h x ạ T : M —>■ M l à c o K h i đ ó T c ó m ộ t đ i ể m b ấ t d ộ n g d u y

n h ấ t v à v ớ i V X Q G M p h é p l ặ p {T n X Q } h ộ i t ụ t ớ i đ i ể m b ấ t d ộ n g n à y

tục trên M và do giả thiết M compact nên tp đạt được minimum, ta nói rằng X

G M Nếu X Ỷ Tx thì tp(Tx) = p(Tx,T 2 x) < p(x,Tx) (mâu thuẫn) Vậy, X = Tx.

Bây giò cho X Q G M và đặt a n = p(T n Xo, x) Bởi vì

a n + i = p ( T n + 1 x 0 , x ) = p ( T n + 1 x 0 , T x ) ^ p ( T n x 0 , x ) = a n

{a„} là một dãy không âm và có một giới hạn gọi là a Do M compact {T n£o}

có một dãy con hội tụ {T n k X Q } và lim T n k XQ = z Hiển nhiên,

Vì vậy bất kỳ dãy con hội tụ nào của {T n Xo} đều phải hội tụ tới X lại do M là

n—>oo

Ví dụ 2.1.1 Cho C[0; 1] là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên [0; 1]

với chuẩn sup thông thường Nghĩa là với X G C[0; 1]:

||a;|| = sup{|a:(í)| : t G [0; 1]} Cho M = { X G C[0; 1] : 0 = s(0) ^ x(t) ^ s(l) = 1} M là tập đóng (cũng bị chặn và lồi) và bởi vì C[0; 1] là đầy đủ trong metric cảm sinh bởi ||.|| nên M cũng vậy Ánh xạ T : M —> M được định nghĩa bằng: (Tx)(t) = tx(t), XG M,

2.2 Định lý Caristi

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự với X G X; S(x) =

Định lý 2.2.1 C h o l ị ) : X — > R tò m ộ t h à m t h o ả m ẫ n :

a ) X ^ y v à X Ỷ y t h ì I p ( x ) < I p ( y )

Giả sử kết quả của định lý là sai với một số X G X và dãy { x n } xác định bằng

quy nạp với X \ = X và X n + 1 G S(xn) thỏa mãn p(xn) ^ iị){x n + i) + -, Vn G N Bởi

Cũng như vậy giả sử y không phải là cực đại trong S(x) Khi đó 3u G X sao cho y ^ u và ýịy) < i>{ù) Từ x n ^ u, 4>(u) ^ p(x n ) Vn Cũng như vậy, X n + 1 ^

a, b, c của định lý (2 2 1 )

+ Điều kiện a là hiển nhiên

+ Kiểm tra điều kiện b

Ta thấy nếu {xn} là một dãy tăng thì {(/p(a:n)} dãy giảm và bị chặn dưới Vì

vậy, ịự>(x n )} hội tụ tới r G R Điều này dẫn tới kết quả { x n } là một dãy Côsi.

Do đó, { x n } hội tụ tới một điểm y G M và bởi ip là nửa liên tục dưới nên

p { x n , y ) ^ < p { x n ) - r ^ ( p ( x n ) - t p { x )

Vì vậy x n ^ y Vn € N.

+ Kiểm tra điều kiện c.

Vì tp là bị chặn dưới nên ta kết luận rằng với mỗi X G M 3x' ^ X và T{x') = x'.

□

2.3 Một số ví dụ và ứng dụng

Ví dụ 2.3.1 Cho f(t, x) là một hàm lấy giá trị thực, liên tục theo t trong

khoảng [0, T] và XG K Bài toán Côsi là bài toán tìm một hàm khả vi liên tục

Xtrên [0,T] thỏa mãn phương trình vi phân:

dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach.

Xét không gian ơ[0;T] những hàm thực liên tục với chuẩn sup (Ví dụ

(2 1 1 )) tích phân cả hai vế (2 1 0 ) ta thu được

Chứng minh 1: (Đây là phương pháp được trình bày nhiều nhất trong các

SGK về phương trình vi phân) Với bất kỳ X , y G C[0,; T]

hay IIFx — Fy\\ ^ LT 11rc — yII Nghĩa là k(F) ^ LT.

Nếu LT < 1 thì kết quả sẽ suy ra ngay từ nguyên lý ánh xạ co Banach Tuy nhiên, nếu LT ^ 1 ta lấy h > 0 thỏa mãn Lh < 1 và xét trong không gian C[0;

h].

Bằng việc thay thế T bởi h trong lý luận trên chúng ta thu được một

"nghiệm địa phương" của (2.10) gọi là X Q G C[0]h] Bây giò xét bài toán Côsi trên [h] 2h]:

(2 1 1 )

X ị ( h ) = x 0 ( h )

Bằng cách chứng minh tương tự như trên ta cũng có một nghiệm duy nhất X ị

của (2.11) và bởi vì X ị ( h ) = x 0 ( h ) , X ị thác triển x 0từ [0; h \ đến [0; 2h \ Thác triểnnày là khả vi tại hbởi vì bài toán Côsi có một nghiệm duy nhất tại lân cận của

h Rõ ràng quy trình trên có thể được lặp lại trong khoảng [ 2 h] 3h] và sau

một số hữu hạn bước có thể thu được một nghiệm của ( 2 1 0 ) có giá trị trênkhoảng [0 ;T]

Chứng minh 2: (Đánh giá thẳng) Lặp lại tính toán ban đầu và thu

Ưu điểm của cách chứng minh này là thu ngay được sự tồn tại của một

nghiệm trên toàn bộ khoảng [0; T\ cùng với một đánh giá về tốc độ hội tụ của phép lặp {F n xo} cho nghiệm này Bằng cách áp dụng phương pháp

^ ta có thể thấy đánh giá nàyLặp lại lần nữa ta thu được

này cho phương trình đơn giản

là chính xác.

Chứng minh 3: (Khả mêtric hóa).

Do k{F n ) ^ fcoo(F) = 0

n \

Do đó, với Vfc > 0 tồn tại một mêtric tương đương với một mêtric sinh bởi

chuẩn trên C[0; T] với F là một ánh xạ k — co (những mêtric này đầu tiên được giới thiệu bởi A Bielecki (1956) và sau đó được sử dụng rộng rãi bởi

những ngưòi khác để nghiên cứu một loạt phương trình) Để có sự giải thích

cụ thể, định nghĩa với mỗi X ^ 0 ta xác định một chuẩn mới trên C[0;T] như

Nhân cả hai vế với exp(-ỵLt) và lấy giá trị cực đại ở vế phải ta thu được: \\Fx

— FyII ^ — 11rr — yII Do đó, với ỵ > 1, F là môt ánh xa co đối

(Thiết lập tự đồng dạng) Cho (M, p) là một không gian metric đầy đủ, ký

hiệu ịi là họ những tập con đóng khác rỗng và bị chặn của M và cho N là họ con các tập con compact của ¡ 1 Với X,Y £ ịu đặt

D ( X , Y ) = s u p { ả i s t ( y , X ) : y e Y }

D ( Y , X ) = sup {dis t ( x , Y ) : x e X }

và cho: D { X , Y ) = m â x { d { X , Y ) , d { Y , X ) }

D là một metric trong ¡1 (vì vậy có N) thường được gọi là Hausdorff metric có

thể kiểm tra được bằng từ tính đầy đủ của M suy ra tính đầy đủ của lẫn (N, D)

Ánh xạ $ là biểu thức được xác định bởi liên kết với một tập compact

X c R đặt

Do # là một phép co đối với Hausdorff metric D—chúng ta có thể nhận được

điểm bất động bằng các phép lặp Lấy Xo = [0,1] sau đó

Dãy {X„} hội tụ trong D tới tập c nổi tiếng của Cantor

Ví dụ 2.3.3 (Căn bậc hai trong đại số Banach) Đại số Banach X là một

không gian Banach (X, ll-ll) cùng với một toán tử tích thỏa mãn

V x , y , z £ X , a £ R ta có:

x ( y z ) = (x y ) z x ( y + z ) =

x y + x z ( y + z ) x = y x +

z x ( a x ) y = a ( x y ) = x ( a y )

Thêm vào bất đẳng thức chuẩn

||a:y|| ^ ||æ|| ||y||

với mỗi z G X cho x(z) là tập đạị số con được tạo bởi z (đại số con đóng nhỏ nhất của X bao gồm z) Đại số x(z) luôn giao hoán xy = yx với Vx,y G X(z) Chúng ta khẳng định Mz G X với ||z|| < 1 tồn tại một phần tử duy nhất X G

Điều này chứng tỏ T là một ánh xạ co trên B(0; d) Do d < 1 nên có thể, chọn

ngẫu nhiên gồm 1, Xlà một điểm bất động duy nhất của T, vì vậy là nghiệm

duy nhất của (2.15) trong hình cầu mở B(0; 1).

Nếu X có đơn vị e thỏa mãn ex = xe = X 'ix G X thì (2.15) có thể được viết

dưới dạng: (e — x) 2 = e — z và sự khẳng định có thể phát biểu lại như sau:

Với bất kỳ phần tử của X có dạng e — z với ||z|| < 1 tồn tại phần tử duy

nhất y = e — Xvới XG X(z), ||æ|| < 1 vầ y 2 = e — z Nói cách khác, e — z có

một căn bậc hai

Chúng ta chú thích rằng những lý luận trên có thể chứng minh dưới giả

định ít chặt chẽ hơn rằng bán kính phổ r(z) của z nhỏ hơn 1.

Từ r(z) = lim ||zn||" = inf ||zn||"

r(z) là bản sao của hằng số koo(T) được giới thiệu trước đó Nếu X là đại số

Banach hữu hạn chiều của ma trận vuông n X n, nó được hiểu rằng bán kính

phổ r(A) của ma trận Ả là số max{ |Aị|,z = 1,2, n} với {Al, A2, An} là tập hợp tất cả các giá trị riêng của A Vì vậy khẳng định của ví dụ (2.3.3) có thể phát biểu rằng một ma trận ỉ — A với một giá trị riêng A của A thỏa mãn |A| <

1 có một căn bậc hai cùng dạng

Một ứng dụng khác nữa, cho s là một tập hợp và X ký hiệu một đại số.

Những hàm bị chặn có giá trị thực định nghĩa trên s được trang bị chuẩn sup ( phép tích phân trên X là một phép nhân theo từng điểm ) Ta có thể chỉ ra rằng nếu X là đầy đủ và có đơn vị thì bất kỳ hàm không âm / G X có một căn bậc hai /2 G X (Đây là một hệ quả của ví dụ (2.3.3)) Hệ quả là với /, g

ự + g + ư - g ị )

(/ + g - \ f - g \ )

n

max{/,ímin{/,í

Do ||Tæ|| ^ |(||æ||2 + ||z||) ^ ị ( d 2 + d ) < d nên T : B ( 0 ] d ) — > B ( 0 ] d )

^ d | | æ — y

Ta thấy rằng những lập luận ở trên đều đúng mà không cần giả thiết rằng / có

bất kỳ tính chất đặc biệt nào hoặc thậm chí rằng s có một tô pô Tuy nhiên,chúng rất quan trong với chứng minh của định lý Stone- Weierstrass điều đó

chỉ ra rằng nguyên lý ánh xạ co liên quan trực tiếp đến việc thiết lập một trong

những định lý hữu ích nhất trong giải tích

X , y G s, X Ỷ y, 3/ € X sao cho f ( x ) Ỷ

f{y)-Bây giò, giả sử / G C(S) cho £ > 0 và cố định X G s. Do X tách các điểm

của s và bao gồm các hàm hằng, với mỗi y & s tồn tại một hàm <75,(2;) =

g y { u ) = /(x ) + ự { y ) - f { x ) ) { g { y ) - g ( x ) ) ~ l ( g ( u ) - g ( x ) )

Do g y liên tục nên tồn tại một lân cận Uy của y sao cho nếu t G Uy thì g y (t) <

Bây giờ với mỗi X G s chọn một lân cận V x sao cho h x (t) > f ( t ) — £ Ví

G V x và cho { V X ị ) .,V X } là một phủ con hữu hạn của phủ {v^} của s.

Đặt

h ( t ) = max { h X l { t ), , h X m { t ) }

Ta thấy rằng h G X với II/ — hII < £ Do £ > 0 tùy ý, định lý được chứng

Ví dụ 2.3.4 Nguyên lý ánh xạ CO Banach còn có thể được sử dụng để thiết

lập những sự kiện dưới đây.