Luận văn thạc sĩ Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng t

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ XUÂN TRƯỜNG

Cơ BẢN

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình

Lời cám ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 12 năm

2015 Tác giả

Lê Xuân TrườngLời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Trần Quốc Bình

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm

2015 Tác giả

Lê Xuân Trường

Điểm bất động chung của bốn ánh xạ co

2.3 Điểm bất động chung của các ánh xạ co giao hoán

Chương 3 Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản

3.1 Sự phát triển của các dạng ánh xạ co cơ bản

3.2.

3.3.

Sự tương đương của một số dạng ánh xạ co

Định lý về các hàm nửa liên tục trên từ phải

32 40 47 47 51 56

56 6 2 65 66

Năm 1979, Đ H Tân đã so sánh các dạng ánh xạ co mà chúng tôi gọi là cơ bản nói trên và thu được sự phát triển của các dạng co theo trình tự: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd-Wong, Meir-Keeler Trong đó, dạng co Meir-Keeler thật

sự mở rộng hơn dạng co Boyd-Wong Năm 1997, Jachymski chứng minh rằng dạng co Krasnoselskii, dạng CO Browder và 6 dạng co khác tương đương nhau Hơn nữa, Jachymski cũng chỉ ra rằng dạng co Boyd-Wong thực sự mở rộng hơn dạng CO Browder, còn dạng co Browder mở rộng hơn dạng co Rakotch.

Qua các kết quả nghiên cứu trên, tôi nhận thấy các dạng ánh xạ co có thể được phân loại Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản” làm luận văn tốt nghiệp của mình.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được

6

trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được các dạng co cơ bản như đã đề cập.

+ Hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản và so sánh chúng.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ mối liên hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản, mức độ tổng quát và sự tương đương giữa chúng.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co.

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu.

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước.

6 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co.

7

Định nghĩa 1.2 Trong không gian mêtric ( X , d ) , dãy { x n } c X được gọi là hội tụ tới điểm X £ X nếu d (x n , a;) —> 0

khi n —>• oo Khi đó X được gọi là giới hạn của dãy { x n }

Định nghĩa 1.3 Trong không gian mêtric ( X , d ) , dãy { x n } c X được gọi là dãy Cauchy nếu lim d (x n, x m ) = 0, tức là;

m,n—ìoo

(Ve > 0) (3iV) (Vra, n > N ) , d ( x m , x n ) < £

Định nghĩa 1.4 Không gian metric (X, d ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ.

Định nghĩa 1.5 Cho T là một ánh xạ đi từ X vào chính nó Khi đó T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại X * £ X

sao cho T x * = X * Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T đi từ không gian metric ( X , d ) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k G [0,1) sao cho:

d ( T x , T y ) ^ k d ( x , y ) , V x , y G X

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ T đi từ không gian metric ( X , d ) vào chính nó được gọi là ánh xạ co yếu nếu mọi X Ỷ y thì:

Định nghĩa 1.10 Không gian metric X được gọi là T-quỹ đạo đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong o ( x , oo) =

{ x , T x , T 2 X , } đều hội tụ về một điểm nào đó nằm trong X

Định nghĩa 1.11 Với tập A nằm trong không gian metric X , bán kính tập A được kí hiệu là ố (A) và được xác định

Và được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại X o £ X nếu:

/ (xo) < lim inf / (x)

Khi đó T có điểm bất động duy nhất X * và với mọi X o £ X thì T n x 0 = X *

Định lý 1.3 (Ánh xạ co Krasnoselskii) Giả sửT là ánh xạ liên tục từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào

chính nó thỏa mẫn:

d ( T x , T y ) < a ( a , b ) d ( x , y )

V x , y e X , a < d ( x , y ) < b ở đây, 0 < a (a, b) < 1 khi 0 < a < b, a,b là các số bất kỳ.

Khi đó T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi X Q € X thì T n X Q = X*.

Định lý 1.4 (Ánh xạ CO Browder) Cho T là ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X,d) vào chính nó sao

cho với mọi x,y € X ta có:

d { T x , T y ) < l Ị ) { d { x , y ) )

ỏ đó, lị) • [0, 00) —> [0, oo),iỊ) (t) < t với mọi t > 0 là ánh xạ tăng và liên tục phải.

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.

Định lý 1.5 (Ánh xạ CO Boyd - Wong) Cho T là ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X,d) vào chính nó

sao cho với mọi x,y G X ta có:

d ( T x , T y ) ^ i p ( d ( x , y ) )

ở đây, (/? : [0, oo) —> [0, oo), (p (t) < t, với mọi t > 0, là ánh xạ nửa liên tục trên từ phải

Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x* và với mọi x 0 € X thì T n x 0 = X*.

Do có dãy quan hệ giữa các dạng ánh xạ co (được trình bày trong Chương 3 của luận văn), ta chỉ việc trình bày chứng minh một số định lý ánh xạ co sau đây.

Định lý 1.6 (Ánh xạ co Meir-Keeler) Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ, T là một ánh xạ (e, ổ) — co

trong X, tức là với mọi £ > 0, tồn tại ỏ > 0 thỏa mẫn

nếu £ < d ( x , y ) < £ + ỗ thì d (T x , T y ) < £ Khi đó T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi X Q € X ta có T n X o — > X * k h i n — > 00.

Chứng minh Lấy X o tùy ý trong X Đặt X n + 1 = T x n , c n = d ( x n , x n + i ) với n = 0,1, 2, Giả sử c n > 0 Vì T là (e, ổ)

— co nên:

C n d (*Enj ' E n +1) d ( T x n — 1, T x n ) < £ ^ d (íCn —1, ^ n ) C n — 1'

Suy ra c n < cn_i, hay {c n } là dãy không âm và giảm Do đó c n — > £ > 0 Với £ đó, tồn tại ỏ > 0 thỏa mãn:

nếu £ < d (x,y) < £ + ổ thì d (T x , T y ) < £

Chọn k G N sao cho nếu n > k thì £ < c n < £ + ổ Khi đó ta có

c n +1 = d ( x n + ì , x n + 2 ) = d ( T x n , T x n +1) < £ , vô lí Vì vậy £ = 0 hay c n —> 0.

Bây giờ ta chứng minh dãy { c n } là dãy Cauchy Giả sử ngược lại, dãy { c n } không phải là dãy Cauchy, tức là có £

> 0 sao cho với mọi k G N luôn tồn tại n , m > k thỏa mãn d ( x n , x m ) > 2 £ Chọn k sao cho nếu i > k thì C ị <

— với a = min{£:,ố} Chọn m > n > k để cho d { x m , x n ) > 2 £ và xét các số d (x n, x n + ì ) , d ( x n , x n+2), , d

( x n , x m ) Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:

Oi

Id (x n, X i ) - d ( x n , x i + 1 ) \ < d ( X i , x i + 1 ) < d < -.

Giả sử với mọi số j G N, n < j < ra thì d ( x n , X j ) < £ - ị - Thế mà

d ( x n , X j ) + d (X j , x m) > d ( x n , x m) > 2e, nên suy ra:

Giả sử x n->x* el Vì T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có:

d { x * , T x * ) < d { x * , x n + 1 ) + d { x n + 1 , T x * )

= d ( x * , x n + ì ) + d ( T x n , T x * )

< d ( x * , x n + 1 ) + d (xn , £*).

Cho n — > 00 ta được d (a;*, T x *) = 0, tức là X * = T x *

Định lý 1.7 (Ánh xạ co Edelstein) C h o T l à á n h x ạ c o y ế u đ i t ừ

không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó Hơn nữa với mọi X o G X, dãy { T n x0} có một dãy con hội

tụ.

Khi đó T có duy nhất một điểm bất động.

Chứng minh Với mỗi X G X , đặt f ( x ) = d ( x , T x ) Vì T là ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó / là hàm liên tục trên không gian compact X Vậy tồn tại X o G X sao cho / (a^o) = min{/ (a;) : X G X} Nếu f { x o) > 0 thì X o Ỷ T x o nên

ỉ { T x o ) = d (T X 0 , T 2 X 0 ) < d ( x 0 , T x 0 ) = / (so); ta gặp mâu thuẫn Vậy / (so) = 0 và X o là điểm bất động của T Tính duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu. ■

Định lý 1.8 (Ánh xạ co Ciric) Cho T là ánh xạ tựa co đi từ không gian mêtric đầy đủ (V, d) vào chính nó.

Hơn nữa, tập X là T - guỹ đạo đầy đủ Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh Xét tập 0 ( x , n ) = { x , T x , , T n x } Giả sử X là quỹ đạo điểm của X Chúng ta sẽ đi chứng minh rằng dãy lặp {T n x } là dãy Cauchy.

Trước hết, với mọi 1 < ỉ < j < n thì:

d { T i x i T i x ) < a.diam ịo (T’ 1æ, j — i + l)) < a.diam (O ( x , n ) )

Cứ tiếp tục như vậy, ta thu được kết quả sau:

d ( T n X , T m x ) < a.dỉam [o (T n ~ 1 x, ra — n + l)] < < a n diam [o (x, ra)]

Suy ra:

d { x * , T x * ) < —^—[(1 + a ) d ( x \ T n + l x ) + a d (:T n x , T n + 1 x )

+ a d { T n x , x * ) }

Cho n — > 00 ta thu được d (æ*, T x *) = 0 Chứng tỏ rằng X * là điểm bất động của T Tính duy nhất của điểm bất

Định lý 1.9 (Ánh xạ co Walter) C h o { X , d ) là không gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X —> X có quỹ đạo bị

chặn, hơn nữa với mọi X, y G X ta có:

d ( T x , T y ) < ệ ị d i a m ị o ( x , y ) ) ] (1.3)

ở đ ó , o ( x , y ) = 0 ( x ) u o ( y ) = { x , T x , T 2 x , , y , T y , T 2 y , } và ệ : [0, 00) —> [0, oo), ệ (t) < t , với

mọi t > 0 , là ánh xạ liên tục, tăng.

Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh Để chứng minh định lý này, chúng ta cần chứng minh bài toán phụ sau đây:

"Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X —> X có quỹ đạo bị chặn, hơn nữa với mọi x,y G

X, tồn tại số n ( x ) G N s a o c h o v ớ i n > n ( x ) thì:

d (T n x , T n y ) < ệ [diam (o (x, y ) ) ] .

K h i đ ó t ồ n t ạ i Z G X s a o c h o lim T k x = Z , X G X "

k—ïoa

Để chứng minh bài toán phụ này, ta tiến hành qua 4 bước.

Bước 1: Chứng minh: Nếu m = max { n (a;) , n ( y ) } thì d i a m ị o ( x m , y m Ỵ \ < ệ ị d i a m ( o (X , y ) ) ]

Giả sử n > m và r > 0 Với 2 phần tử (u , V ) bất kì trong o ( x m , y m ) có thể được biểu diễn dưới một trong các

dạng sau: (xn, yn+r), ( x n + r , y n ) , ( x n , x n + r ) , ( y n , y n + r )

-Trong trường hợp ( u , v ) biểu diễn ở dạng thứ nhất, ta có:

Bước 2: Chứng minh d i a m (A+i) ^ ệ [ d i a m (A)] , ^ = 0,1,2,

Với i = 0 thì việc chứng minh tương tự bước 1.

Với i bất kì, ta đặt a = = y k ^ và ¡1 = max{n(a;fc b)) ;n ( y k ( ' i ' 1 ) }

Theo trường hợp thứ nhất ta có ngay:

d i a m ( o ( Q ; m, ¡ 3M)) < ệ [ d i a m ( o (a, ¡ 3 ))] Tuy nhiên, a P = æfcW+/i = x W ) + ™ x { n ( x k ụ ì ) M y k { i ì ) } = X *(<+1) Tương tự,

ß n _ yfc(t+i)

Từ đó ta có:

dzara (O (ci:^, /3^)) = d i a m (Ẩí+ i).

Như vậy, ta đã có thể kết luận d i a m (Ẩí+i) ^ ệ [ d i a m (Aị)] , i = 0,1,2,

Bước 3: Chứng minh lim ũ ị = 0 với ũ ị = d i a m { A i )

ỉ-¥ 00

Từ kết quả của bước 2 và tính chất của hàm ệ ta có ngay ữi+1 < ệ ị d i ) < ũị Chứng tỏ rằng dãy {ữị} là dãy giảm, vì thế

tồn tại số a > 0 sao cho lim ũ ị = a

ỉ-¥ 00

Ta có:

a = lim ữi+1 < lim ệ (ữi+i) = ệ lim ũị = ệ (a).

Theo chứng minh ở bước 3 ta có kết quả:

lim diam (Aị) = lim diam {o ( x k ^ \ y k ^ ) ) = 0.

•¿—>•00 i—ìoo

Điều này chứng tỏ rằng lim d i a m { o { x k , y k ) ) = 0 Như vậy, cả hai dãy

fc—>0o {æ fc} và { y k } là day Cauchy và chúng có chung một giới hạn, giả sử giới hạn đó là Z G X

Vì y G X là tùy ý nên lim x k = lim T k x = Z với mọi X G X

k—foo fc—foo

Trở lại việc chứng minh định lý.

Dựa vào kết quả của bài toán phụ ở trên, ta thấy rằng tồn tại số Z € X sao cho lim T k x = z với mọi X € X

k—f 00

Giả sử rằng z Ỷ T z Khi đó d i a m (0 ( z )) = A > 0 Ta có thể chọn được hai dãy { p (fc)} và { q (fc)} sao cho:

0 < p (fc) < q (fc), lim d ( z p W , z q W ) = X

Do lim z k = z nên tồn tại k 0 G N sao cho với k , l > k 0 thì d ( z k, z l) < — Do đó, với số p nào đó mà 0 < P < k o thì

nó phải rơi vào trường hợp p ( k ) = p với k vô hạn lần Vì thế, có một dãy con {r ( k ) } của dãy { q ( k ) } sao cho lim d ( z p , z r ^ ) = A Nếu r ( k ) = q vô hạn lần thì d (z p, z q ) = A.

k—> 00

Trường hợp ngược lại, tồn tại một dãy con {s ( k ) } của dãy {r (k )} thỏa mãn d (z p, z ) = A, với s ( k ) — > 00, k —

> 00 Trong bất kỳ trường hợp nào, luôn tồn tại p , q > 0 sao cho d (z p, z q ) = A.

Như vậy, trong bất cứ trường hợp nào ta cũng có điều mâu thuẫn do ệ (A) < A với mọi A > 0 Suy ra T ( z ) = z m

Chương 2

Điểm bất động chung của các ánh xạ co

Định lý 2.1 Cho s, T là các ánh xạ đi từ không gian mêtric đầy đủ (x,d) vào chính nó Giả sử tồn tại các số thực không ăm ũị thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x,y phân biệt thuộc X:

d ( x 4 , x 2 ) < a i ^ ~ °5d (æ0, æ i ) 1 — 02 — 03Tương tự:

Vì öl + a4 < 1 nên phải có d ( x * , S x * ) = 0 Như vậy s có điểm bất động

thì điểm bất động của S , T là duy nhất Chú ý rằng điều kiện (z), ( i i )

thỏa mãn (2.1), nhưng chỉ (z) thì không thỏa mãn Thật vậy, với mỗi Oi, 02, o5 thuộc [0, 00) với d ị Ỷ 02 và ữi + ữ2 +

05 < 1, chúng ta có thể tìm được a 3 , a4 thuộc [0, 00) thỏa mãn (z) nhưng không thỏa mãn (2.1) Điều này có thể thấy khi xét hàm /:

/ (x, ỳ ) = (1 - a 2 - X ) (1 - Oi - y ) - (01 + X + o5 ) (o2 + y + o5 ),

ta định nghĩa một tập compact lồi như sau:

K = { ( x , y ) £ [0,1] X [0,1] : ữi + ữ2 + X + y + ữ5 < 1} ,

/ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực biên của K Bằng tính toán, chúng ta kết luận rằng:

min(i^) = — |ữi — ữ 2 | (1 — ữi — ữ2 — ữ 5 )

Từ ữi + ữ2 + ữ5 < 1, minf ( K ) < 0 nếu và chỉ nếu ữi Ỷ o2 Nếu ữi Ỷ ữ 2 thì bởi tính liên tục của /, tồn tại điểm (ữ3, ữ 4 ) thuộc tập:

K \ { ( x , y ) e K : d ị + d 2 + X + y + a5 = 1}

sao cho / (ữ3, d ị ) < 0 Điều này có nghĩa là tồn tại (ữ3, d ị ) thỏa mãn (z) nhưng không thỏa mãn (2.1).

Hệ quả 2.1 ( R Kannan) C h o s l à á n h x ạ đ i t ừ không giãn mêtric

1

đầy đủ (X, d) vào chính nó Giả sử rằng tồn tại số r thuộc [0, -) Sdd cho với mọi x,y thuộc X tã có:

d ( S x , T y ) < r ( d ( x , S x ) + d ( y , S y ) )

K h i đ ó s c ó điểm bất động duy nhất.

Hệ quả 2.2 (P Srivastava và V K Gupta) C h o S , T l à h ã i á n h

xạ đi từ không giãn mêtric (X, d) vào chính nó Giả sử rằng với mọi x,y € X, tồn tại số thực không ăm

d ị , d 2 thỏã mẫn đồng thời: d ) d ị + d 2 < 1

b) d ( S x , T y ) < d ị d ( x , S x ) + d 2 d ( y , T y )

K h i đ ó S , T c ó d u y nhất một điểm bất động chung.

Tổng hợp từ hai hệ quả trên, ta thu được kết quả sau:

Mệnh đề 2.1 Cho S,T là hãi ánh xạ đi từ không giãn mêtric ( X , d ) v à o chính nó Giả sử rằng với mọi

x,y G X tồn tại số thực không ăm dị, d 2 thỏd mãn dị + d 2 < 1 và: (*) d ( S x , T y ) < d ị d ( x , S x ) +

Ví dụ 2.1 Đặt X = {1,2,3} Khoảng cách d trong X được xác định như sau:

¿(1,2) = 1, ¿(2,3) = } ¿(1,3) = } Với s, T là các ánh xạ trên X thỏa mãn:

Vô lí vì ai + a2 + 03 + 05 < 1 Vậy giả sử trên đã sai.

Hệ quả 2.3 (G Hardy và T Rogers) Cho s ỉà ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó Giả sử tồn tại các số thực không ăm ũị, Ũ 2, as, CI4, CI5 thỏa mẫn đồng thời:

ữi + ữ2 + ữ3 + ữ4 + ữ5 < 1,

và:

d (Sx, Sy) < ữi.d (x, Sx) + a 2 d (y, Sy) + a 3 d (x, Sy)

+ Oị.d (y, Sx) + a 5 d (x, y) Khi đó s có điểm bất động duy nhất.

Trong trường hợp trên, ta không làm mất đi sự kiện di = a 2 , a3 = a 4 ,

vì nếu cần thiết ta có thể thay thế 01,02,03,04, 05 bởi:

O l + f l 2 Oi T f l 2 0 3 + 0 4 0 3 + 0 4 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ,ữ5

Vì thế, kết quả trên được suy ra trực tiếp từ định lý 2.1 Ví dụ trên đã chỉ ra không có tính đối xứng trong trường hợp

mở rộng Thật vậy, chúng ta không thể thừa nhận a3 = a 4 Vì với 03 = a 4 , từ ví dụ trên ta có:

< — (ai + a2 + 03 + a4 + 05).

Vô lí do Oi + a2 + a3 + a4 + a5 < 1.

Định lý 2.2 Cho S, T là các ánh xạ trong không gian metric đầy đủ (X,d) Giả sử tồn tại các hàm giảm

otị đi từ (0; 00) vào [0,1) thỏa mãn:

( i ) O L \ + 0 ¿ 2 + Ö3 + O L ị + OÍ5 < 1 ( i i ) O L \ = a 2 h o ặ c Oí3 = OÍ4

(iii) limiị0 ( a 2 + Oí 3 ) < 1 h o ặ c limiị0 (<*! + a 4 ) < 1

(iv) Với mỗi x,y phân biệt thuộc X và üi = Cũi (d { x , y ) ) thì:

d ( S x , T y ) < ü \ d ( x , S x ) + a 2 d ( y , T y ) + a 3 d ( x , T y ) + a A d ( y , S x ) + a 5 d ( x , y )

Khi đó có it nhất một trong hai ánh xạ s, T có điểm bất động Nếu cả hai cùng có điểm bất động thì điểm bất động của mỗi ánh xạ s, T ỉà duy nhất Hơn nữa, hai điểm bất động này trùng nhau.

Chứng minh Lấy x 0 G X Đặt: X 2 n +1 = S x 2 n , x 2 n + 2 = Tx 2n+1, K = d ( x n , x n +1), với n = 0,1,2,

Chúng ta có thể giả sử rằng b n > 0 Mặt khác, x n nào đó là điểm bất động của s hoặc T Đặt:

_ Q Ị ( t ) + q3 ( t ) + Q5 ( t ) _ a 2 ( t ) + a 4 ( t ) + Q5 ( t )

1 - a 2 ( t ) - a 3 ( t ) 1 - CÜ1 ( t ) - a 4 (t )

Khi đó, r , s là các hàm giảm Do (1) và (3) ta có giới hạn sau là các số

Rõ ràng / là hàm giảm và f ( t ) < 1 với mọi t > 0 Theo cách chứng minh định lí trước, ta có các kết quả sau:

Vì /(t) < 1 với mỗi t > 0 nên { b 2 n + i } , { b 2n } là các dãy giảm Vì thế {^2n+i} , {&2n} hội tụ lần lượt đến các điểm

Từ đó ta có C2 = 0, trái với giả sử ở trên Suy ra C ị = c 2 = 0 Điều này chứng tỏ { b n } hội tụ về 0.

Bây giờ ta sẽ chứng minh {x n} là dãy Cauchy Giả sử {x n} không là dãy Cauchy Khi đó tồn tại £ > 0 (nhỏ tùy ý) và các

dãy { p (n)} , { q (n)}

thỏa mãn các điều kiện sau với mọi n > 0:

Từ { c n } hội tụ đến £ và {b n} hội tụ về 0, chúng ta kết luận rằng {d n} hội tụ về £ từ bên trái Vì thế Jj = Ịn £ /j : Xp ( n ) -1

Ỷ x q ( n )} là vô hạn Với mỗi n G J \ , đặt u n = d { x p ( n ) - \ , £ g (n ) + i ) Khi đó:

C n d { x p ị ^ , Xq { n ^ ^ d (x p ị n ' ) , + T d ( x q ị n ^ + i , Xq ị ^ )

— d ( < S Xp ị n ' j _ I , TX q ị n 'j ) T b q ( n ) ■ (2.7)

£ ^ (0:3 (s) + oiị (s) + oiỹ (e)) .£

điều này vô lí do 0:3 (e) + 0:4 (e) + 0:5 (e) < 1.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng / 2 là vô hạn Tương tự phần trước, ta có

J 2 = {n G /2 : Zp( n )-1 Ỷ £ạ(n)-i} là vô hạn Với mỗi n G J 2 ta đặt:

+ 0:4 (v ) w + a (v ) v

(2.10)

Do {v n} hội tụ tới £ nên ta thấy có sự mâu thuẫn từ (2.10) Hai trường hợp còn lại

cũng tương tự hai trường hợp trên do vai trò của s, T có thể thay đổi cho nhau.

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra dãy { x n } là dãy Cauchy Bởi tính đầy đủ, { x n } hội tụ về

một điểm X* £ X Từ b n > 0 với mỗi n thuộc J = { n : X* Ỷ £271+1} hoặc K = { n :

X* Ỷ x 271} là vô hạn Giả sử rằng K là vô hạn.

Với mỗi n € K ta đặt:

l n d {x , X 2n) ! h n d {x , X 2n + l') ■

Khi đó: d(x*,Tx*) <d(x*,x 2 n + 1 ) + d (x 2 n +i, Tx*)

=h n + d (Sx 2 n ,Tx*) <hn + Olị (l n ) Ò2n + Ol2 (l n ) d (æ*, Tx*) + 0:3 (/„) d (x2n, Tx*)

Từ các điều kiện (ì) và (i i i ) của định lý, day sau là bị chặn:

1 + 0:4 (ln) 0:3 (/„) + 0:5 (/„) 0:1 (/„)

1 OỈ2 (¿7i) C^3 (^7i) 1 & 2 { I n ) c^3 (^7i) 1 & 2 { l n ) c^3 (^7i)

Vì thế từ (2.11) ta có T x * = X* Tương tự ta có S x * = X* nếu J là vô hạn Từ

đó s hoặc T có điểm bất động Tính duy nhất của điểm bất động chứng minh

(2.11)

2.2 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ co

Cho s , T , I , J là bốn ánh xạ đi từ không gian mêtric (X, d ) vào chính nó.

Chúng ta định nghĩa:

m (Sx, Ty) = max{d ựx, Jy), d ựx, Sx), d (Jy, Ty),

ị[dựx,Ty) + d{Jy,Sx)}}.

Với mọi £ > 0, tồn tại ỏ > 0, ta xét các ánh xạ sao cho:

nếu £ < m (Sx, Ty) < £ + ỗ thì d (Sx, Ty) < £.

Nhận xét 2.1 Đ i ề u k i ệ n (Ị2.13Ị) t h ỏ a m ẫ n

d (Sx , Ty ) < m (S x , Ty ) nế u m (Sx , Ty ) > 0.

Thật vậy, nếu m ( S x , T y ) > 0, ta đặt £ = (S x , T y ) Khi đó theo

(2.13) thì tồn tại số ố > 0 thỏa man (2.13) Từ m (S x , T y ) < £ + ố ta có d (S x ,

T y ) < £ = m (S x , T y ) Vì thế (2.14) đúng Hơn nữa, m (S x , T y ) = 0 thỏa mãn d

(S x , T y ) = 0 vì trong trường hợp này ta có thể đặt S x = I x = J x = T y

Nhận xét 2.2 Diều kiện (2.13) tương đương với điều kiện sau: Với mỗi £

> 0, tồn tại số ố > 0 sao cho:

( 2 . 1

2 )

(2.13)

(2.14)

Từ (Ị2.15Ị) suy ra (Ị2.13Ị) là hiển nhiên Ta chứng minh từ (Ị2.13Ị) suy ra

(2.15) Nếu m ( S x , T y ) > £ , thế thì theo (2.13) ta có d ( S x , T y ) < £ Nếu 0 < m

( S x , T y ) < £ thì theo nhận xét 2.1 có d ( S x , T y ) < m ( S x , T y ) < £ Nếu m ( S x , T y ) = 0 ta có d ( S x , T y ) = 0 < £ Như vậy, bất cứ trường hợp nào ta đều có

d (S x , T y ) < £ Tức là (2.15) thỏa mãn.

Định nghĩa 2.1 Hai ánh xạ 5 và / được gọi là t ư ơ n g t h í c h nếu:

lim d ( I x n , S x n ) = 0 thì lim (S I x n , I S x n ) = 0.

n —>-00 n —>-00

Trường hợp đặc biệt, nếu s và I là tương thích và I x = S x thì S I X = I S x

Định lý 2.3 S,I, J, T là các ánh xạ đi từ không gian mêtrỉc (X, d) vào

chính nó thỏa mẫn các điều kiện sau:

i ) S { X ) c J { X ) , T { X ) c I { X )

ii) s và I , T và J là từng cặp tương thích

iii) s và I (hoặc T và J ) là liên tục

iv) Điều kiện (2.13) thỏa mãn

Nếu tồn tại điểm X * e X sao cho Sx* = Ix* hoặc Tx* = Jx* thì bốn ánh

xạ đó có điểm bất động chung duy nhất.