Ebook vật lý cơ sở dùng cho cán bộ sinh học, y học, địa chất phần 1

Trái lại, trong cuốn sách này lác giả đã chọn lọc k h á tinh vi các vấn đề ihiiết thực với đối iượm j bạn đọc của nó.. Khi nói đển lích pliâu hay chuỗi đối vửi mỗi giá trị của X la có th

DUNG CHO C À ir Bộ

SINH HỌC

Y H ỏ c ĐỊA CHAT

ỵ t ư ~ ^ ụ - 'Ề íễ lÊ ^

NHÀ X Ụ Ấ J ^ Ỉ ^ :-y ® »

L t y m o m ì C i

PHYSIQUE DE BASE

POUR BIQLDLOGISTES, MÉDECINS ET GÉOLOGUES

(DEUX1E3ÌỊE ÉDITION REVUE ET AƯGMENTẺE)

MASi>ON E J'

LỜI GIỚI THIỆU

Một trong những đặc trưng cùn thời đại chúnq ta lờ sự phát triền vô cùng nhionh chóng của kh o a học vá k ỹ thuật Tronq sự phát triền đó, vậi ỈÍỊ học có val trờ) chủ đạo vù góp p h ă n làm cho khoa học, kựi ihtiậl Irở thành lực lượng s&n x u ã t ịrựỊc liếp Ngày nay, vật lý học thăm n h ậ p sáu rộng váo các nyành khoa học, kựỊ

t h i u ậ t; nói rỉẻng, vàn sinh học nôny hục, y học và địa chẫt học Rõ rànọ kién thức

vậtt lỷ kh ô n g nhữiìỊi Ihiết yếu cho kụ sư, m à còn rất h ữ u ích cho cóc nhủ sinh học,

nôing học, địa chăl, cũng như cáv bác sĩ Sự phái ỉriầĩi Iìhaiih'chúiuj của các ngành sini/i học, sinh lý học, Ị/ học, (iịa chái học troniỊ nh ữ n y Iiăm ịỊầìì đ à y kh ô n y Ihề tác:Ji rời sự áp dụng cú hiệu qun các iM iìh iựu mời của vật lý học.

ờ nước la hiền nhièii các cán bộ nói trên ãirì(j căn được hòi dưỡng các kiến thúíc vật lý cơ han càn thiél cho việc thu nhặn các thùnh tựu mới trong ngành còtvỊ táo: của họ Trên thễqiởi hiện đ ã có nhiều cuốn sách đ ư ợ c viéĩ ra VỜI mục đích đó Cuiốn sách này của L Lliboutry m à N h ủ xu ấ t bủn Khoa học vá k ỹ thuật hán hạnh giởrl thiệu với hạn đọc có nhiều ưu đihìi rố rệl so vời các sách cùng loại Các sách

cùiruỊ loại thườiìịi ch ỉ là sự ỊỊÌản lư ợc m ộỉ (ỊÌáo trình v ậ t ựỉ đ ạ i cương dùn(j cho cán

bộ I>ật lị/ Trái lại, trong cuốn sách này lác giả đã chọn lọc k h á tinh vi các vấn đề ihiiết thực với đối iượm j bạn đọc của nó Tác yiã irình bày sánịỊ sủa, chinh xác các

đ ịm h nghĩa, cóc địn h íuậl, cãc hiện lưựtt(j và các linh chắt vật lậ quan Irọng idiốt căn phiài biẽt, đòiiỊ) thời Iránh dùny nhiều Inán học và mô tả rườm rà các văn đề khỗng plìiục vụ trực liếp cho mục đích đặt ra.

Chủn<j lôi hy nọny cuốn sách này ró ihề (jóp phăn uào viỀ<;.bềi dirỡtiy cát’ kién thíác nật lý càn th iĩt vho các cân bộ sinh học, địa chẫl học mn(j nỉiư các bác s ĩ ở nưcớc ta, (jỉúp các bạn đọr tiày cỏ ( Cr sở đề lỉíp thu các íhành ìựu mới trony ngành

Hà nội, nyày 2 iháiìỳ 3 nỡm 1977

Nhà xuất bản K hoa học TÀ kỹ th a ậ t

PHẲN I

C Ô N G CỤ T O Ẩ N H Ọ C

CHUỖI VẰ ĐẠO HẰM HÀM LŨY THỪA,.HÀM Mũ VA HÀM LỔGA

í

1.1 Hàm biền d iè n bằng d& thị Người ta nói rằn g một đại lượng y ià

m ộ i h à m biến X Irong khoảng (o, b) nến n h ư nó hoàn toàn được lá c định đối vời

m iọi giá trị của X nằm g iữ ă a và b.

N g ư ờ i ta nói m ộ t hàm là liên íục tro n g khoảng này nếu la luổn luòn có thễ Uim đ ư ợ c m ộ t gia số điỉ bé à x '-ủa biến sao cho gia số tương ứng Ay của hàm(Có g iá trỊ tu y ệt đổi b('ỉ hơn mọi đại lượng B lẩy tr ư ớ c bé lùy ý ỉ^ói một cảch

HLhác, h à m gọi là liên tục nếu ầ y tỉẽn đén khôny càng VỚI Aar.

■ Do n h ữ n g điều kiện xác địnli m à chúng lôi sẽ trin h í)ày ngắn ịỊọn sau (sự

tlòn lại của các đạo hàm), m ộl hàm cỏ Ihề biếu diễn bằng, một điròng cong nếu

tta lấy X làm hoành độ và y làm lung độ.

N gười ta nói một hàm lỉén tục

Ịj(x) là đ ơ n điệu trong một khoảng

nếu tư ơ n g ứ n g yới mội giá IrỊ b ẩt kỳ

của y chĩ c6 m ội giá írị của X Khi í y

rõ ràn g ta có thề xem X là một hàm của y (hình J l) (Tuỳệt đối không nên lẫụ lộn khái niệm hàm vứi khái niệm

nhân quả Cố thề có Irường hợp một

9ự kiện đo bẳng T cỏ hệ quả là m ộthiện tư ợ n g đo b&ng y, nhưng cũng có

Ihề ngirợc lại, hoặc X và g là các hệ

quẳ của củng mộl sự ỉciệii)

1.2 Các loại th ữ e toán hợe khAo n h a n Chuỗi cổng việc đầu tỉén của

ccác nhà vậl lý là xác định các đ ịn h luật chi phổi cảc h iín tượng tự nhiên và biêu ttìiễn cliúng bằng các h ệ lliử c toán fìọc g iữ a các đ ạ i lượng khác nhau.

Một hệ Ihức loán học giữa y yfk X có th ê yiếl d ư ứ i dạng m ột hàm đại »6

T h í dụ, tro n g quang hinh học, g iữ a hoành độ X của vật vả hoảnh độ y cửa ảnh

osủa vật đó có mộỉ hệ thức dạtiM

ax + b y

{{Mm n h ă t biín) (hình 1.2).

cx + d

N hưng trong n h ữ n g trư ờ n g hợp khảc

hộ thức loản học cỏ thê phức tạp hơn Thí

dụ, y có tliẽ xầc định bẵng mộl íicỉi p hân

Chủng ta sS nói đến cád tỉch phân

tro n g chươhg II

Một chuòi là m ộ t t&ng gồm vỏ hạn

số hạng Tông này có mội liướng hay n h ư

người ta nói, m ột chuỗi là hội tụ nếu ta

thêm mội 8Ố ngày càng nhiều các số hạng

N h ậ n xét í — Khi m ột chuỗi hội tụ, các số hạng d ẫ n đ ế n không Nhiưng

đ â y không phải là điều kiện đủ đễ m ột chuỗi là hội tụ T hí d ụ chuỗi

khòng hội lu đối vởi X = ỉ, măc dù đ à n đến 0 khi n dồn đến vô han.

n

N h ậ n xél 2 — T rong các thí dụ trên, X có m ặt trong cẳc số hạng nối ttiếp

nhau dướ i dạng các lũy th ừ a tăng Người ta nỏi là có m ột chuỗi nguyên, B ỏ l à một 8ự lồng quát hỏa các đa thức

N h ậ n 'x é t 5 — Người ta chĩrng m inh r ằ n g nếu mỗi 8(5 hạng cija m ộ l chuỗi

cần xót nhỏ hơn 8Ố hạng cùng hạniỊ của rnột chuỗi liộl tụ đ ã biết thi chuỗi đ m /c

■Xất J à J i ộ i l ụ ^ iliiLiiử-cố chuiỉi-ngnyAB-t

V

Nểu tất cả các hệ số «0 Ov «2- ••• Ob ••• đ èu nhỏ hơn m ộ t biên xác đ ịn h M,

Ihì các sổ hạng của chuỗi này nhỏ hơn các số h ạn g của chuỗi nhân :

M

l — X

C h u ỗ i nàv hội tụ khi — 1 < .r < 1 N hư vậy chuỗi đ ư ợ c xét cũng hội tụ, ít nhất

tlà đối V(VÌ lấl cả cảc giá trị của X Iiằni Irong klioàng (— 1, + 1).

Khi nói đển lích pliâu hay chuỗi đối vửi mỗi giá trị của X la có thề tinh

<được y với bao Iihièu số thập phân tùy ỷ Nhir vậy y có thễ xem lA hoàn toàn

-viết đ ă y điĩ tât cả các số thập phân.

1 3 Cte b in g gỉA tr ị bAag tó H ỉện hflr« h ậ s P h ép a ộ i tv ỵ ta y ể a tln b

Ngirợc lại, cỏ những trirờ ng hợp do không lim đ ư ợ c hệ Ihức loản học giữa y v h x

biêu diễn định luẠt vật lỷ, ta chỉ có thế đ ưạ ra các giả trị của y Ihii được bằng

'thực n g h iệ m đối vứi inộf số giá trị của X Khi ấy ta chĩ biết y một cách không

hoàn to à n , với mộl số số th ập phân (Thí dụ tr ư ờ n g hợp hệ thức g iữ a áp suăl và

thô lícb cù a mộl ch ăt khi thực, không lỷ tường, ờ nhiệt độ không' đối).

T ro n g trirờng hợp này, cũng n h ư (rong Irường hợp hệ thức toán học khỏng

phải là m ộl hàm đại số đơn giản, hàin y{x) troưg th ự c hành đ ư ợ c fhề hiện bằng

m ột bảng các (jiá irị bằmj sô Bảng vói lối vào đơn giản có dạng như dưới đây (hàm y — exp t) :

nhau k h á bẻ Đối với tất cả cảc hàm ỊỊ gặp trong thục tế, các hiộii s6 At/ giữa

các giá tr ị tương ư n g kế tiếp n h a u thay đôi m ộl cách đ ều đặn Sau đó ta có thễ xét các hiệii A^// g iữ a các hiệu kế ti5p n h au n h ữ v ừa nỏi Người ta gọi n h ữ n g

hiệu này là Mệu th ứ hai Sự biốn thi 'n của chúng cũng đều đặn, liếp theo ta lại

có thề lập các hiệu th ử ba và cứ thế ého đến khi nào cần dừng lại, các giả trị ban

đ i u của y ta khỏng biết với đ ì y đủ cár số th ập phân (Chẳng hạn, trong bảng dirởi

đ â y chi biết với sai kliác í),01)

) 2 , 5 8 ( > 0 23.3 2 7 1 > , 2 7 (

) 2 , 8 5 ( >0,04

> 3 1 6 /3.5 3 3 1 2 /

Nói chiing, lỊiỗi -băl Ihường trong sir biến thién đều đặn cùa các hiện cho

p h ép ta phảt hiện một sai lầm về íính toản trong việc lập bàng.

Khi ỊỊ là một hàm /uyế/ỉ tinh , đối với cảc A;i bẳng nhau, Aị/ luôn luòn bằn<t

nh au Cảc Csĩy, A®y v v đèu bẳng không.

Khi ỊỊ \k một hồm bậc hai (parahỏn), các Ay biến thiêu theo chuỗi C(>n^, các A*y bẳng nhau, các A®ỉ/, A*y v.v bẳng klỉông.

Trong tr ư ờ n g hợp tông quát khi giá Irị ciía X kliỏiiiỊ Iiẳin trong bàng, Iiliưng

Qgười ta Um đựợ c một giả trị ar, hơi n h ỏ hơn và một giá trị Xn^.1 ho-i lởn h ơ n , tlii

bftng p h é p nội suy iuỊỊÍn tinh, ta có thề lin h được mộỉ giố trị gằii đúng của y :

?/ - y - ^ - y ^

Bftng đỉ^ tbị, điều này cỏ nghĩa là đườ ng cong biêu d iễn y{x) đ ượ c thay

b ẳn g m ộ t đoạn thẳng liíiố, m ả hai đầu có cảc tọa độ là 0/n, *„) và (f/n+j *n^ị)

1 4 D«o hAm của H ột h*m Đạo hàm của hàm ịỉ{x) tà giới h ạ n của

k h i A® ỉiển đến khòng, Chúng ta luôn luôn biỄu thị đạơ hàm bẳng kỷ

N ể u đ ơ n ỨỊ của X và đ ơn vị của ụ được b iìu diĩn Irin đò thị bằĩìỊỊ cùng m ột

8

Mộl hàm là liên tục khi Ay tiến đốn 0 đ ò n g thời

•vởi A.r T rong loán học người la chửng minh rằii'’,

trải với đièii m à ngirời la có tliồ tiicrng d ự a trèn

*sự biẽu diễn bằng đò tliỊ, m ột hàni ]ién tục cỏ Ihê

không có đạo hàm T a sẽ ch ứ n g minh điều đó bẳng

m ột thi dụ

Ta xét hinh tròng nghiêng của một ngọn núi

Giả sử y là độ cao của một điỄni, X là hoành độ cùa

n ỏ , ỉ/(.r) có thè biền diễn bằng một đường cortg, nhưng

đ ó chỉ' là m ộ r sơ đò lliỏ S(»' của thực tế lliậl rff phức

lạp hơn nhiều Tùy (heo chúng fa xét ở m ức độ nào,

m ứ e độ của ngọn núi, của quả đòi, cỉia ỉiiổng cày, của mỏ đất, hay của hạt cát v v

ta sẽ có một cấu trúc ngày càn^’ tinh tế và một tiếp tuyến ngày càng biến đồi và

kém xác đỊiih

Sau này chụng ta sẽ bỏ qua loại khỏ khăn này

Bẳng trực quan, ỉa có thê thấy rẳng tùy tlieo đạo hàm là dương, âm hay

b ẳng khỏiig, mà hàm là tănịí, giảm hay không đồi Các Iihà toán học thấy -c à n phải chứng m inh điều đó, nhưng đấy là một công việc rẵt tinh vi của tri tuệ^

|chông bô ích và cũng khòng can đối vởi nhà vật lý

Đạo hàm của đạo hàm cùa một liàm gụi lá đạo hàm căp hai của h àm ấy.

Ngữời fa biều diễn đạo hàm cấp hal bẳiiịí ký hiêii — ị(l^ ờ lử số vi nó cố lièn

q u a n vứi một hjệu (hứ h a i ; còn (ỉx^ ở mẫu số vi la đã hai làn chia cho hiệu

dx)-1 5 T in h Biột tAì d«o h*M ámn g iả a

Ta sẽ lính n h an h hơn nếu suy luận trự c liếp trên các số hạng vỏ cùng bẻ

vả 6 ỏ qua cáo vô cùng bé có bậc lớn hơii so với số hạng chinh :

dy ■= (x + d.i'Ý — x'^ = .1'^ + 2 x d x + dx^ —

Sổ hạng chinh là 2 x d x (không phải là sổ hạng chửa các r*, 8Ổ bạng này

bẳn g 0) Nliư vậy la bỏ q u a sổ hạng chửa (í.r* và viết ngay :

(iy = 2.vdx

d x và dy đượ c gọi là 1 'i phàn của X và y Cách tín h toán n h ư vừa làm nằm Irong

cơ sở của p h é p tinh là phân.

2*) y = íin x (x lính theo radian)

-V ~ u

p

5”) Đạn h à m của m ột h à m của mội hàm

N íu y là m ột hàm của u và u lại là m ột hàm của X, la c ỏ :

1.7 Cdng th ứ e T a ỵ lo r Đ ạo hAn của ch a d ỉ n g n j« B Cho một hàm y{x'ị

có đạo h à m lởi cấp vò hạn (iọi //’ (.í), y” (.v) , y ‘”’(a) là các đạo hàm kế tiếp

nhau Nếu tất cả các đạo hàm đ ều lù f»iói nội Irong khoảng (a, b), ta sẽ chứng

m inh rẳ n g Irong k h o ả n g n àv ty (.r) có thê biÊu diễn d ư ở i dạng một cĩĩuỗi gọi là

Vi tắt cả các {-a) đều bị chặn IrOn bờ i một sổ hữu hạn M, chuỗi Taylor

sẽ hội lụ T h ự c thế, giả s ử cho một số nf?uyên p lởn hơn (x — a ) {p — 1) số hạng

đàu tiên của chuỗi T a y lo r oó m ột lồng h ữ u hạn Các số hạng tiếp Iheo là:

X — a

p ĩ

Ta chỉ cần c h ứ n g m in h rẳng chuỗi nẳm Irong móc vuông hội tụ là đủ Thế mà các

SỐ hạng của ch u ỗ i nàv đ ều nhỏ hơn các số liạng tư ơng ứng của chuỗi nhân :

Các chuỗi này hội tụ đối với m ọi g iá trị của T.

N gười ta c h ứ n g m in h rằ n g k h i lấy đạo h á m một chuỗi nguyên hội tụ Iheo

từiig sổ h ạn g , ta sẽ thu đ ư ợ c m ột chuỗi nguyên hội lụ (cỏ Ihề chỉ t r ừ c các cụn của khoảng hội tụ) là đ ạo hàm của h àm ban đằu

a-P-1

/TỞi điều kiện qui Jcrớc a'“ ss 1

x ’‘ = Vx5»*

và c ứ Ihế tiếp lục Tá chửrig m in h rằng ta tiến đ ế n m ộ t giởi h ạ n hoàn toàn xác

định bằng x ^

Đạo hàm của o:° theo X l à :

N gười la c h ứ n g m inh v à c h ú n g la sẽ thừa n h ận rẳng công thức trèn cỏ hiệu lực với

mọi n nguyền h a ự k h ô n g , dươĩìỊỊ haịi ám.

T rên h ìn h 1.5 là dáng điệu của y = * “

đối vóri các giá trỊ k h ác n h a u của n.

đ ư ợ c gọi là hàm inũ Khi X íăng những

lư ợ n g bằng n h a u r, h à m m ũ m õi iàn lăii<»

sê đưực nhân lèn v ớ i ;

y{x + /•)•= a**' r= a ' ss y (a ) a'

Nói khác đi, nều X tăng thrn chuỗi

cộng, hàm inụ a* sẽ lăiuỊ Hiro chuỗi nhàn.

hàm, bẳng khỏng hay vò Iiạn, một điỄu vỏ lý).

Như vậy các đạo hàm k ế íiếp cna «/(.».•) = n* sẽ Jồ :

!/• (.r) = c«* (a) = c*a* y"(x) = C" a*

Hinh 1.5

a ‘ f l d i _ 1

C.A’'

và, theo công thửc Maclaurin :

Chủng ta hãy tim xem có m ột giá trị đặc biệt nào của a, m à c h ủ n g la sẽ gọi

Maclaurin đối vời ('*, ta Ihăy r ằ n g ;

(sau nàỵ ta sẽ thKy rần<Ị c = Logo)

Khi a > 1, rt* là một h àm tăng của a: Tà c > 0 Hàm này tăng n h a n h h ơ n b:'it kỷ

lũy thừa hữii hạn nào của T, nghĩa là nếu M và /í là hai số cho trư ớ c lớn tùv V

n h ư n g cố đ ịn h , la luồn luôn cỏ th è tìm đ ư ợ c m ộ t giá trị c ủ a X m à ngoài giá

trị đ ó :

a* > Mx"

Chún,' ta sẽ Ihừa nhận kết q u ả này T ư ư n g tự n liư vậy nếu a < 1, a* sẽ giảm

nhanh h ơ n bấl kỳ IŨJ' thừa h ữ u h ạ n Tồ âm nào của X.

Hàm e* tảng từ 0 đ ến o» khi X thay đôi từ — o« đ ến + oo Vởỉ ÍC = 0, hám

cú giá trị b ằ n g 1 và đạo hàm cũng bẳng 1 (hình ỉ 6)

1.10 Hàm lồ |« Đỏ là hàm ngirợc cùa hàm m ũ

Ta có thê v i ế l :

X Đặc biệt, khi X = 10, log.t’ = 1, và

LogoTắt cả các hệ lôgá cliỉ khảc nhau mí>t th ừ a sò khống đối

Dù cơ s6 đ ư ợ c d ù n g là n h ư thế nào, k h iia nhăn hai số, lôyn của chủng dược

cộng lại K hi ỉa chia chúng chn nhau, lô(ja của chúng trừ nhau.

Nếu fa xem 1/ n h ư lả h à m của X, la v iít i/ = Log.r Lộn ngược tỷ số

nói trên :

d x

Đổi TỚỈ lổga c a số <7:

Ta biều diễn hàm y = logjoa- (rên hlnh 1.7.

1.12 T h v ớ c tinh Chủng tòi coi là bọn đọc đ ã q u e n với cảch viết, tlií dụ :

i V - 6 , 0 2 x 1 0 ”thay cho

N = 602.00().000.000.000.(M)().000.000

Ta có thê đi xa hơn và tim lôga thập phân của 6,02 Vì 6,02 n ằ m giữa 1 và

10, cho nên lôga cỗa n ó Dẳm g iữ a 0 và 1 Tfl Um th ấ y :

N = 10*2-78

23,78 là lốga th ậ p phân cua N ; 23 là p h ằn nguyén hay p h ă n đặc tính ; 0,78 lố

phồQ íhập phân hay phằn định trị Nễvi s6 bẻ b ơ n 1, ta lẩy p h ần đặc tín h âm đc cho p h ầ n đ in h IrỊ luôn luôn dưcrng

• Noi chung TỞi m ức độ gần đúng đủ d ùng troiig vật ỉý h ọ c , p h ầ n đ ịn h trị

đ v ợ c tìm bẵng Ihưởc tinh (h ỉn h 1.8) Khi đặt vạch của con chạy tr ê n thang iV, ta

đ ọ c đ ư ợ c lòga tb ậ p phân tư ơ n g ứng íré n mộl thang k h á c ( th ư ờ n g đ ả n h d ấu L)

Thước (Inh là dựng cụ khỏiig thề thiếu đưọfc đối với n h ữ n g ai th ư ờ ng cần phẳi tiến hàn h cảc tỉnh toán bẳng số 'lìế n h à n h th ận trọne và nếu con chạy tốt

(vạch đúng là vuôn g góc vrVi các thang, không có sai sổ vè thị sai), ta đạt được độ

chính xảc ] /I 000 với một th ư ớ c tinh liôii c h u ầ n ,(g iữ a 1 và 10 của Ihang N là 25 cm).

T r ư ớ c hểt, chung la hãy LỊÌà tliiếl rẳn g ta chí rầ n làm việc vởi n h ữ n g sổ

nẳm ị.ỊÌữa 1 và 10.

T rê n (hang lôga, độ dài k(' từ í^ốc tỉ lệ với log N Nếu Irên thanh di động

của th ư ớ c tin h , la lậ p lại m ộ l th an g logiV giống hệt, ta sẽ có thê cộng hai lôga vởi nhau b ẳ n g cách đ ặ t chúng tiếp liồn nhau Ta làm cần thận cổng việc này,

n h ư n g ía sẽ chĩ xem đ ến các số liiơiig ứiv; đ ư ự c nhân vởi nhau

T rên b ờ d ư ớ i của th a n h di đụng thang N qiiả thự c đ ư ợ c lập lại Đề linh

một lích a X b, ta đ ặ t 1 của thang di động đối diện với a của Ihang N và đọc

a X h ở chỗ đối diện với h của Ihanh di động.

Ta có I h ề đ ò n g thời làni p h rp nhàn và phép chia (nghĩa là qui lẵc lam suất)

^ ^ ^ bẳng cách đặl c của thanh di đòng đoi diện VỚJ a của thang cò' đ ịn h N 1

c

của th a n h di đ ộ n g k h i ấy n ằ m đổi điệ'ii với — Ta đọc — ■■■ Ircii Ihang cố định

ĩr chỗ đổỉ diện vởi b của thanh di đ ộn x ế u đánh dấu đièm này bằiig con chạy,

ta có thề linh ^ ^ X — bằng (.'ácìi líii cho thanh di động dịch rliuvrn và c ứ n h ư

lliế tiếp lục

Nếu m ẫu sổ cỏ số th ừ a sổ bằn g số Ihửa số của fử só dùnịỊ Ihaiig số nghịch

đảo — , n ?m ờ g iữ a th an h di đ ộ n g , ta sẽ kết thúc đirực tính toán.

Khi đ ie m cần lìm n ằm bèn ngoài Ihước cố định, la cho thanh di độ n g chuyền dịch tiếp suốt cả độ dài của nó Khi đó tất cả các sổ cần phải nhân lèn hay chia cho 10

T ro n g tr ư ờ n g h ợ p tồng q u át, khi các sổ khóng nẳm giữa 1 vA 10, lacliuyỄn chủng sang trư ờ n g h ợ p này Thí dụ la tinh;

ỏ ’ p h ầ n Irên cùa th ư ớ c có hai th aag b in h phươ ng, mội thang di động, còn

một thqng đứniỊ yên N hư vậy d ù n g con chạy la cỏ thề tim binh phirơng, càii bậc

hai và đưa chúng vào trong các phẻp tinh v.v Nhờ một vạch phụ cùa COỈI chạy,

ta có thê đọc trực tiếp diện tich của một vòng tròn, có đ ư ò n g kíiih cho trư ớ c , hay

ngược lại

Các thưởc lính « Log—Log » còn có Ihêm hai hay ba Ihang đánh d ấ u L L l,

LL2, LL3 Ký hiệu này (kết q u ả cửa một q ui ư ớ c quốc lế) là mội điều vô lý, bởi

phép l a :

1) Tinh trực liếp một hàm m ũ hay một lôga íự n h iên ;

2) T in h mộl lũy th ừ a bất kỳ rt" mà chỉ cun dịcli thanh di động mộl lăn Ta

đặt 1 của thanh di động đỗi diện v ứi a đ()c trên một trong các thang L L Số cììn

tim a" nằm đối diện vởi n của thanh di động Irên cùng Ihang LL.

1.13 Cáe tọa độ lAga T* b á n lAga Giả sử la can bíeii diễn bằng đò thị liàni lfiy thừa

y = a x ”

Ta hãy đặl Irên trục hoành và trục tung không phải a’ vá ỊJ, nià là log ,r và \o(jụ:

Ỉ O H Ị = l o g n - |- /ỉlo g a r

Với các tọa độ lò ;a n h ư vậy, đ ư ờ ng biêu diễn Irử thìinh mộl đường Ibẳn g

Ngirời tà cỏ bán yiăy kẻ ô ìôga, Irên đỏ X và f/ đirọc đặl ờ các kh o ản g cách

kề t ừ gốc theo th ử lự, lirơng ửng ti lộ với lo g x và iogy N hư vậy (a có IhỄ đ ư a

các điêm thự c nghiệm lôn đồ thị m à k h ổ n g cần lìin lôga của chúng Do s ự không

chính xác của các phép đo, các đ iê m không bao già nằm đúng trên đirửng toỊig

lý IhiiyỀÌ, và ta phải làm thế nào đê lập m ộl đ ư ờ n g cong khớp nhất với các đièm

thực nghiệm RS ràng là làm kh ớ p một đ ư ờ n g Ihẳng thi dễ dàng hơn nhiẾu so v(Vi

việc làm kh ớ p mộỉ đườn-,' cong lũy th ừ a (chủng la sẽ nghiên cửu vấi) đề này trong

chương IV)

Cuối cùng, nểu biết X, đề tim y, la chl càn đọc giá trị trên đồ thị m à khỏng

cần chuyên qua các lồga

ì à m ì ĩ il địi '(hliih' ĩ cKuiĩg ìã 'R ã ỹ 'x t T đ ũ tmg cõĩig' b ĩrũ 'đìễh' mỢf ỉ hộ

8Ố m a sál » n ào đỏ trong mộl ổng tiếl diện trò n với các (hành tr ơ n xem n h ư irộ l

hàm của csổ Reynolds » Re nồo đó (§7.10) T ưưng ứng với hai định lu ậ t có hiệu

lực kế tiếp nhau Ằ = a.He~^ và X = b.Re~°'^^ là hai đ ư ờ n g thẳng cỏ đ ộ dốc — 1

và - ơ , 2 5

Đ i b i ê ụ diễn bằng đồ thị một h àm m ũ, thí dụ :

y = y , 6-*^*

ầ đặt X trén trục hoành và ỉ ogy lièn Irục tung đề thu được một đư ờn g thẳng.

Nhờ sử dựngíyiđy kè ò bàii ỉòiịO, viỳr Ihục hiện các phép lính kliâc nhau đã

[hảo sát trên đây sẽ dễ dàng hơn Đv' làm Ihi dụ (hinh i.lO) la hãy xét đường

ong phân rã của mộl chấl phóng xạ (§33.3):

m = /ỈỈQ V- X t

ữ ỉ ĩ 3 4 5 s r d $ 10 l ĩ í t l ì H ts te

Hinh MO

1 1 4 V i p h A n lAga Đạo hàm của Log u theo X là :

Cho m ột đại lượng e đủ bé đối với 1 đê cho 8^, v v có th ề bô qua T a c

Ihê xem nổ n h ư một VI phán (ỉu và v i ế t :

In (1 4- e) ^ (dấu ===•' có nghĩa qằn bầny)

Ta gọi nó là vi phán lôgacủa Ả*B*iC^D^ Vi phân r ấ l có ích Irong việc íhực hiệ

các tinh toán gàii đúng Giả sử A^B^/C^D^ đ ã đ ư ự c lín h v à có giá trị F Ta lại gi thiết rằn g A Ihay đôi một lư ợ n g AA, B lượng A/í, v.v Nếu A a t)é so với 1, Ai

(lăy chiỄu của tia sáng là chièu dương và l ă y t hẫ u kính l ả m gốc)

Chửng minh r l n g p ' Jà IDỘI hàm nhă t biẽn của p- Vẽ d ư ờ n g cong b i ề u d i ễ n Viễt ỉn

t h ử c giữa p và p' dướ i dạng i p - à) ip* — 5) = c (a, b, c lừ cảc h ằ n g số).

12 Vẽ I r è n c ù n g niột đỏ Ihị cảc điiòng cong l u ơ n g ửng vởi cảc phẻp xác đ ịn h khảc

i ha u của

s i n x = siny

1.3- x ẻ t c u n g c ủ a đ ư ờ n g siiỉ Ị/ ~ siìU' tíiừa X = 0 và X' — I t

a) Vẽ c u n g n à y t r ê n g i á y kỏ miliiiiél, lity õcm l à m đ ơ n vị, Ta sẽ s ủ (iụng các giả t r ị

1-4 T h ừ a Iihận r ằ n g áp s u ẵ t p ( ttíiiòtplie), n h i ệ t độ v à mật ílộ ở độ cao

(m) liên hệ với n h a u b ằ n g c á c hộ thức s a u đíiy :

p « ! U7.-Ì,

p =

-3:>ỉỉ»4

(2)

d z a) Dùng (1) và <2) tinli r á c iiàni pỌ) và ọ(l)' BiỄu diỗn c h ú n g b ằn g các tọa độ lôga

b) Tí nli , s au iló (lùng (.‘D, linh - — ,

2 1 T lch phân xAe đ ịn h Trong n h ữ n g p h ầ n sê trìn h bày, chúng ta sẽ chĩ

ghiẻn cửu n h ữ n g h à m có thè b i ễ u d iễ a b&ng các đường confỊ, lỉg h ĩa là n h ữ n g àin Hôn tục, có thề t r ừ m ột vài điềm ờ đó, chủng nhảy từ một giá trị này sang lột giá trị khác Ví\ cỏ m ộ t đ ạo hàm, (đièii kiện sau này tuy vậy không nhất thiết hải cớ) (hình 2.1.a)

Cho f( x ) là mỏt Irong những hàm n lm vậy Chủng la h ãy tìm cảch tinh diện

ch Iiẳm g iữ a f{x) và trục hoành với a ^ a: ^ ò Ta cỏ thề lấy gần đúng diện

ch này bằng m ột tống của n hinh c h ữ n h ậ t ;

b) kbải niệm tích phân xác định.

Có thễ dễ dàng chứng minh nhưng chúng ta sẽ thừa nhận n h ư một đièu tr

giảc rằng, khi sổ hình chữ nhật tăng lèu vô hạn, bÈ rộng (và do đó diện tích) c

m ỗi hình trở thành bằnr; không, lông ^ tiến đến một giứi hạn, giới hạn này

diện tích càn tìm Chúng ta kỷ hiệu diện tich đó bằng:

f ( x ) d x hay đ ơ n giản liơn í f { x ) d x

mà ta nói là tĩing từ a đến b của f(x)(ìx Ta gọi tông của mộl số vô hạn các 8Ổ hạ

vô cùng bé là một Uch phân xác đ ạ

việc l?íy gằn đủng một lích phân bằiiị» m ột lốiig các hình chữ nhậl ta lấy gần đún^í lích phân đó bằnpí một tồno các hình tliang Ta lắy các khoảng bằng nhau

cùa biến X.

và tinh

ầ x

Xếu biết mi)l Jíiơi hạn (rỏn M (vì* giá trị tuyệt đối) của đạo hàm cấp hai

trong khoảng (a, h) (kề cả cár càn ít và b), nghĩa là nếu:

N hư vậv, khi y(x) là mộl hàm toán học m à ta biết cách tính đ ạo hàm cắp

hai ta có thê lính bằng số tich phân của nó với bao nhiéu s6 thập phân lùy ý Trong cảc tru ử n g hợp khác, la có thề ưức tín h aai số mắc phải khi tính lại yổri

khoảng bằng một nửa, nghĩa là với 90 hình thang nlịiều gấp đôi.

2 ẵ P h v v n g phAp S im psoti Cong th ứ c b a m ức T hay cho v iệc thay đườn<»

cong y = f{ x ) bằng m ột loạt đoạn Hiẳng, trên m ột khoảng d à i la Ih ư ờ n g có thề

thay đ ư ờ n g cong đo bẵng một đ ư ờ n g cong bậc b a : y = a.r® + hx^ + c x + d Ta

đạt đượ c một công th ứ c rấ t đ ơ n giản, nếu

xét đ ư ờ ng cong trùng v ớ i đ ư ờ n g cong đã

cho ờ ;ỉ' = a, r — h y h ở đ iẽm giữa X «=a

diện ticli được g iớ i hạn như vậy có thế linh

dễ dànịị Cuối cùng ta lim đirợc g iá trị gần

đ ú n g :

P h ư ơ n g pháp này gọi là p h ư ơ n g pháp Simpspn, và cỏ thế ắ p dụng đ ê lính gần đúng mộ) thê tích Sự Ihực, một thê tích bẳng một lí^ng g ồ m vỏ h ạ n các tát vô

củng mỏng có diện tích A(z) và có bè dày dz (hình 2.3):

Nếu h là độ cao, thì một giá trị gần đúng của thè lich l à :

Còng thức này trử nên chính xáo trong trư ờ n g hợp A(z) là m ộ t đa thức

c h ứ a 2 có bậc nhỏ hơn hí>y bẳng b a : đó là trường hợp hinh n ó n , binh tháp, h in h

c ầ u v v

2 4 C ách iây tlc h phftn b ân g áồ th ị T h ư ứ c đ o d iệ n tỉc h T a c ó thẽ th u

được một giá trị bằng số gần đúng của một tỉch phân xác đ ỉn h xuất phát từ cách

-b ỉỀ trđ íễ Q đ d lh í'

a) Khi đ ư ờ n g coiig đượ c vạch trên giấy kẻ ô vuôníỊ, đ ồ n g th ờ i vẽ nội tiếp

tro n g diện tích c i n tỉnh n h ữ n g hinh c h ữ nhật và h ìn h tam giác ỉớ n đ ế n mức có

thề được và cộng diện tích của chủng (Cảch này Irỏr lại p h ư a n g p h á p h in h thang)

b )C ẳ t diện tich cần đo và cân nò, sau đỏ cân m ộ t h ìn h v u ô n g có điện

ỉích biểt Irưởc

c) Dùng thước đo diện tieh, dụng cụ được các n h à đ ịa lý sử d ụ n g r ă t n h iỉu

đề đo các diện tích trên bẫn đồ

T h ư ớ c đo diện tích dộc cực có con lăn Irượt ngaiìịỊ (hình 2.4) loại tliưởc duy

n h ấ t dùng Irong th ự c lè', gồm một cái cần AP, đầu m út p cùa nó vẽ một đ ư ờ n g cong kín (C) q u an h diện lích cần đo, trong khi đỏ đẫii m út /1 vẽ mộl cung tròn ( ĩ )

theo chuyền đ ộ n g đi đi lại lại (đi* đạl mục đioh này, A đượ c gắn liền vởi một cải

càn OA cố đ ịn h ỏr O) Ta đọi' số Jần quay của ron lăn ỉỉ gắn chặt với càn AP và

cỏ trục quay hoàn toàn son>' soiig với A P trong Ihời gian Ihực hiện thao tác.

Một chuyên đ ộ n g vó cùng bé của AP cỏ thề phân tich thành :

]) m ộl ch u y ễn độriỊ* quay (giả sử là (ỈO);

2) m ột chuyền động lịnh tiến theo hướ ng của AP^ trong quá Irinh đó con

lăn tr ư ợ t ngang m à k h ông q u a y ;

3) m ộ l c h u y ề n độnLỉ lịnh tiốii vuòng góc vứi AP (giả sử là dh).

D iện tích quét bởi cần AP,

tro n g ch u y ên độiiL; vò cùng bé này

Cũng tro n g thờ i ịũan cùa

chuyễn động nói trê n góc qnay ciỉa

con lăn có g iả (rị đại số b ẳ n g :

doL = a d h -{■ b c/6

VÍ 'Côn iõỉt hưđt fĩỹanỹ

ĩròrtỹ chiữ đS

Da ẴÌÍh co

Hlnh 2.4

(a và h ỉà hai hằng số đ ặ c Irirng cùa thưức đ e diện tích).

Khi p vẽ đ ư ừ n g cong kín (C), A khổng vẽ vòng tròi) xung quanh 0 ;

N hư vậy góc quay toàn phàn của con lăn tĩ lệ với diện tlcl) nằm troiig

đư ờ ng chu vi do p vẽ ra.

2 5 CAch lftj tlch phAn nhờ mẬl n gu yen hdm Giẳ s ử tã phẳi tinh tícli

S h ậ n x é l ỉ — T ich p h á n bAt đ ịn h X(^.l ticli pbân ciìa /( u ) giữa cận cố đ ịn h

N h ư vậy F(.r) (hàm có đạo hàm là f ự ) ) là niột ngiiyên hàm của /'(.r) Ta biết rẳ0fí

lất cả các n g u y ê n hàm của m ột hàm chỉ khác nhau một hằng iầố Thật vậy, nẽu

Nhộn xél II — Tích phân suy rộng Một cận của tích p h â n hay cả hai cận có thê

là vô h ạ n và lich phàn vẫn có ỷ nghĩa Thí dụ :

L o g x

1

Chuỗi thu đ ư ọ c sẽ hội {ự trong cùng khoảng biến thiòn c ủ a biển :

X

ị ƠQ + ( ĩ ị ỉ ỉ + « 2 “ ^ + + ơnW“ + = =0*^

Ta cũng cỏ thê lập l a những hàm mới Thi dạ như hòm sau đây r ấ l có ích

2.8 T in h c h ỉn h x ác m ột *A tic h p h â n xÁc d ịn h Ta biết các giả trỊ chinh

xác của một số tich phấn xác định, mặc dầu tích phàn bất định khôDg phải là

vi Irong khoảng g iữ a 0 vồ 2 « , 8in.T và cosa: c6 cùng các giá Irị đối với các giả

trị của X chỉ khác nhau n h ư một sự lệch thang đo Ta hãy lin h l ồ n g :

Mỗi lích phản phải bằng một n ử a tông trên tức là bằng at

Nh ậ n xét — CAe gỉA tr ị tru ng b ỉn h :

b

j* y ( x ) d x

0 — a

là giá trị irung bình của y (x) trong khoảng giữa a và b N hư vậy g iả trị tru n g b in h

của 8in*a:(hay C08*x) giữa 0 và 2 n là b ẳ n g —

- d x

* là trung binh toàn p h ư ơ n g của y tro n g k h o ả n g g iữ a b và a.

Nhir vậv, triing hinli loàn phiroiirt của siii.v(hay cos.r) giữa 0 và 2jt là 'y - p - = 0|707.

Cliiing la nhớ lại rằng các giá Iri hiệu dụn(j ciỉa cưứng độ inộl dòng điện

xoay chiÌHi liay thô hiệu xoay chiều chính là cúc fi-iing bình toàn phương

2 9 Áp d ụ n g v ả o v i ệ c tinh m ỏ m e n qaán tinh Ta nhở lại trong cơ học

mô-nien quán iínli của một vật chuyền (lộng xung qiianh một Iruc là tích phân lấy

theo toàn vật sau đày :

dm

dm là khối lượiig ctìa m ộl m ảnh rất bé, một nguyên lử vẬt cliăl, còn r là khoảng

cách của nỏ tới trục quay

Troni.'triiời)f» hợp tông quái, ta cần phài tính đến bạ c h iề u : {(iv = d x

dy (ỉz), điều nàv (lẫn đon lííy ba Ị)lié|) tích phân nối tiếp nhau N hưng tro n g

trường hựp một hình trụ ỉròn xoay tịiưiỊ} quanh Irục

của nó, ta cỏ thè xét thế tích di> của lất cả các

điễm n ằm cách trục trong khoảng giữa /• v à r + d r

(hình 2.6) Thề tích ngiiyèn lố này bẳng diện lích

nhàn vứi 1)? dày (sai khác nluTng vô cùng 1)<^ cấp

Nhớ rấn g M — TĩR^hp là khối hrợriíỊ loàn piiần cửa hinh trụ

Ta hãy tinh mỏmen quán tính của một Ainh cău bán kính R quay xu n g

quanh một đư ờ n g kinh Lấv một tam diện ba góc vuông Ox yz có gốc là tàm của

hình càu và ()z là trục qiiay :

I

Do tỉn h ch ất đối xựng, ta có thê v iếl;

cảc ticli p h â n lấy theo loàn hình cầu ; r bây giờ là k h o ả n g cảch kề từ tâm h in h cầii

N h ư VẬV, c h ú n g ta xét thề lich nguyên lố g iữ i hạn bởi hai mặt cầu có

tâ m 0 và có bân kin h thử tự tư ơ ng ửng là r và r + dr Diện íich bằng 4rtr^, thề

2 1 0 Lắy tle h phAn bâng cách đồi biển B ẳng cảc cách đối biển, ta

th ư ờ n g có Ihê rú t về cảc tích phân đã biết Các thí d ụ sau đây là các thí dụ

Ta có thê ưórc lược trôn Tà d ư ớ i, nliirng khi đó la đi đến mỏl lối cụt Ta n h ậ n th í y

tổt h ư n cà là bièii diễn cos^a Ihànli hàm của sina khi đó c o s a da chíiih ]ả TÌ

phàn Ci’ia sin a N hư vậv, ta tiến hành một lần đối biến nữa

Ta cố th ỉ biến đối p h â n Bố hữ u tỉ ^ — ~ Ị ^ )

đ ơ n giản h ơ n ;

1 _ y2 2 L 1 + y Lại đồi biến (1 ± í/ = ^), ta đi đỄD:

V l + .r-2 + X

Vi +

1 +

1 - .v'

y, la lim đ ượ c trự c fi(

N hưng « con đvrờng riil ngắn J) đẹp đẽ nàv khồng có íc h lợi gi, vì ta kh<

phép đồi biến nhir đã làm khi mửi b ắ l đầu lắy đ ượ c m ộl vài lích phản

N hận xél 2 — Đôi khi biẽu fhửc lim đ ượ c cho m ột llch phàii phức tạp c

nỗi đ ỉ lín h nó bẳng 8Ố, phương pháp nhanh hơn và đ á n * tin cậy hơn lại phirưng pháp hinh thaiiịỊ

2 1 1 P hvtrag trỉn h TÌ phAn tu ỵ é a tin k cáp một vóri e i e hệ »6 k h ôag <1

(Ngirời ía gọi mộl hệ thức giữa mộl hàm ụ và các đạo hàm của nó là một phuc

trinh vi phân P h ư ơ n g trinh là cấp một nếu nỏ chĩ có đạo h à m cấp m ột Phưc trin h là tuyến linh nếu liàm và đạo hàm chỉ có m ặt ờ bậc m ộl)

Cho hàm y(t) cho xác định, ta sẽ hiếu t lá thời gian Chúng ta hãy tim

m ộ l hàm tông quảt nh?(t Ihỏa inãii p h u o n g trìn h vi ph ân :

T â có Ibề tách các hiến :

dt

== - kât

!/

▼à/ấy thivỊ từ thờ i điềm ban đầu (ĩò'n thừi điễm được xét Đế Ihực hiện đúng ta

cần thay đối ký hiệu vá v i ế t :

âu

T rong th ự c tế, la thường viê't m ộ t cách không ch in h xác, nhưng tránh

đ ư ợ c việc đ ư a vào các ký híọu m ớ i :

trỊ ban đ ầu ỊỊa tẽ đirực chia cho (• » 2,718

y , là m ội tham 8 0, sò' lich phản, luỏn luôn được đưa vào khi ta g i ỉ i

m ột p h ư o n g Irìnli vi pliầti, nià các n h à loÁn học ihirờng xem là tùy ỷ Nó chĩ là

tùy ý đối vứi cảc nlià toán lụ.)0 vi Irong mỗi trirờng hợp cụ tliè hằn(f sỗ tich p h â n

đ ư ợ c ẫn định bởi các đ tiu kiện ban đàu ở đùy y„ lù giá trị của Ịf ờ »hời điễm

b a o đầu

/Í/í dạiuỊ — Ta lại Ihấy pliươnfi trinli nói tréii Irong clmyền động tắt dần

klii quán tính cỏ llie bô qua tioug Sự |>hóiiị» điện của một tụ khi kliông có tự Cf’ lu,

và tro n g sự p h â n rã | ) l i 6 n g xạ (xem hinli 1.10)

Chẳng hạn, trong trư ờ n g hợp một tụ điẹn có điện điing c phỏng điện q

mộl điện tr ờ R, Hiê' hiệu giữa hai tăm l à :

là hằng sổ tích phân (vỉ là m ộl lồng cùa các l)inh phương cho nêii c } pl

luôn luòn dirơng),

N h ậ n x (‘l ~ Lý thuyết tồng quái của c-ảc phương (rinh vi phân luyến tinh

I hai cho biết rằng nến ta biì'l inột nghiệm chửa hai hẳng số « tùy ý » thi đ ỏ Ighiệni tống quát nhấl, n<Ịhĩa là Iigliií m bao gồm tất cả các trư ờ n g liợp có thế Mặt khác, nếu yi và 1/2 là hai nghiệm riẻng, vi pliương trình là tuyến tính,

, + ỉiy^ liêp lục ià một Iigliiém .1 vii Ji là hai liẳng số « tùy ý ầ, do đỏ ở đ ày ta

ngliiệm lồng quát nhất

Tronịị trirờng hợp đang xél, la cỏ thí^ thấy rằng ỊỊị = sin<i>í.vố 1/2 = cosoìt là

nghiệm rièng Do đó Uị^hiệin tông quát là ;

Ị/ = -Isin w/ -Ị- lỉcosoit

đòng nhất v ó i :

ỊỊ 3= ị ^ L coscf I sinw/ + sincpỊ COSU)/

(lỊtn(j — Pliiro^iig trinh vi phàn vừa XÓI sẽ gặp lại khi khẳo sát một sổ lớn dao

g : con lắc, COII lílc xoắn ốc hay d ây xoắn m ạcli điện d a o động v.v Khi đổ

2.1 C h ừ n g m i n h cònjị t h ứ c S in ips on lấv y lầi một đa Ihirc b ậ c 3 của X

2*2 Sử d ụ n g b i n g c ũ a h à m y - e xp X c ho ỏr t i ết 1-3 t i n h ;

e xp X (ỉx

h ằn g p hư ơ ng p h ả p ỉìinh thang.

ư ớ c t ỉ n h gĩới hạ n Ir ên của Síũ số niốc [)hAi ;

a) d o đã t h a y diện tícli Ihirc b ằn g một tSng các hình t h a n g :

b) d o các giá IrỊ của exỊ) X chỉ đirợc oho vởi hai so Ihập p h ầ n nghĩa là sai khác O.OỘ5.

T í n h t r ự c t i ẻ p tích p h â n n à y , n^aivỏn h à m của nó đ ã biét, v à t í n h sai s6 mắ c phải

t r ồ n đ ẽ n đ ư ờ n g t h ỉ n g Dt lì là b ố n k í n h v ò ng I r ò n , giũ ìhlễi r ẳ n g a > i?.

T i n h th? tích ciìa i ù n h x u v ể n l)ằng cách d ù n g các liêl d i ệ n vuồ ng góc vửi Irục xoay

D So s á n h v ớ i giả tr ị g í n đ ú n g c ho b&i cò ng t h ứ c ba m ử c

2 6 T í n h các tí ch p h â n b i t đ ị n h :

J u* + 1o

III - VECTƠ, ĐẠO HÀM RIÊNO, GRADlÊn

3.1 Đ ịnh n g h ia cửa v e e tv V ectơ là m ột đại lư ợ n g to án học đ ư ợ c đặc tr ư n g

đ i h n d ặ i , phươriỊỊ, cliĩèii, và cir&ny độ (hay giá trị đại số) của nó Ta biêu diễn

ơ là p h ư a n g của tr ạ c quay C hiều sễ liên hệ với chiều c ù a ta m diện qui chiếu

>a góc m ô n g o x y : ( x là h o àn h độ, Ị/ tung đ ộ , z là đ ộ cao) theo cách sau đ ầy Khi

a cho o.v quay một góc viiòng đ ê trù n g oy, v ectơ quay đ ư ợ c đ ặ l tr ê n 02 theo

;hièu dương N h ư vậy chièu ciỉa n h ữ n g v e c tơ n h ư vậy sẽ p h ụ thuộc vào chiều của

am diện q u y chiếu Ta gọi chúng là vectơ trục hay gỉả-uectơ.

Nói chung, đối vởi lara diện quy ch iếu , ta lấy cliiều th u ậ n Khi ấ y ;

a) v e c tơ b iê u d i ễ n 9ir q u a y của m ộ t c ái v ặ n n ú t c h a i h ư ớ n g Iheo c h iề u tiế n

;ủa cái vặn nút chai

b) mội n g ư ờ i (ngư ời ta nói rằ n g n g ư ờ i này là A m p è re đ ẻ ra) n ằ m dọc theo

rectơ quay nhận t h í v sự quay xảy ra theo chiều ngư ợc v ở i chiều kim đ ồn g hò

chiều thaận hay c h iều lư ợng g iá c );

c) đối vởi ch u y ê n độnịí q u a y cùa Ti-ải đ ấ l, v ectơ q u a y h ư ớ n g t ừ cực N am

ên c ự c Bắc

3 2 TồBg h in k h ọ c eủa n h iê u Teetor N g ư ờ i ta gọi tồn g hình h ọc (hay đ ơ n

;iản là lồnn) eủa h ai v e c t ơ a v à b lù vector • thu đ ư ợ c b ẵ n g qui tắ c h ìn b b in h hành

Ta viết :

8 = a + b

tố iig e ủ a n veclơ a, b, c đ ư ợ c đ ịn h .n g h ĩa d ầ n d àn Đê thu đ ư ợ c tông này

.a đ ặt cảc v e c tơ đ ố i đẳng của a, b, c nối đ u ô i n h a u (hinh 3.1)

I*) Ỡ t r on g b i n dịch này, v e cl ơ khô ng đưọ-c chỉ b ằ n g mũi t ê n mà đ ư ợ c t ha y b&ng

ch ữ đậ m n h ư ở 3.2 3.8 •> b OMi c hỉ các vèttơ a i v e c t o b, v e c t ơ O.VIi (N.D.)

Cách định nghĩa Irén ià có thê đirạc vi tAn<» hình học;

1 rúl về tồng đại số khi các veclơ nằm Irên ciiníí một t r ụ c ;

2 giữ nguyên trong trư ờ n g hợp tống quàl oác đặc linh phối h ọ p và giao

hoán cùa tông đại sõ :

N hận xẽt ~ Vecto- quay tư ơ n g ứng với hai chuvến động qiioy 't'>ì íiếp n h au chĩ

b ằ n g tồ n g h in h học của hai v e ctơ quay n ế u hai chiiyen độiig q nay này là vô

cùng bé

3 3 Vector t4c độ r à v e c ta gia t4c c ủ a m ột d ỉèm Giả sỉr ta đ ã biểl đ in h

nghĩa của lốc độ và «ia lổc đối với chiiVPii đ ộ n g tliẳUí»;

V = giứi hạn của — ^ khi đến /i = đạo hèm củ a x t h e o /

s là hoành độ con<? của M Irên q u ĩ đạo Các thành phàn (các hinh chiếu (rèn các

trục lọa độ) của veclơ tốc độ i à :

— /», = —— -' (íõ ? - ' ' ' ĩ ỉ y!>_ =a —

Veclơ (jia íôc Ỵ là tốc độ của điềra cuối của vedcr lốc độ trén lốc độ (hình 3.2)

Ngirời la chứng minh đirực rẳng các thành phần ciía vectơ gia l6c theo các trục

tọa độ là:

di