Luận văn phân loại các dạng ánh xạ co cơ bản

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng t

B ộ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

Lời cám ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy

cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học KÍT Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

T ác g iả

Lê X u â n T rư ờ n g

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Trần Quốc Bình

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

T ác g iả

Lê X u â n T rư ờ n g

Một số định lý ánh xạ co cơ bản

C h ư ơ n g 2 Đ iể m b ấ t đ ộ n g c h u n g c ủ a các á n h x ạ co

2.1 Điểm bất động chung của hai ánh xạ co

2.2 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ co

2.3 Điểm bất động chung của các ánh xạ co giao hoán

Sự phát triển của các dạng ánh xạ co cơ bản

Sự tương đương của một số dạng ánh xạ co

Định lý về các hàm nửa liên tục trên từ phải

So sánh định lý Boyd-Wong và định lý Browder

So sánh định lý Matkowski và Browder

T ài liệu th a m k h ả o

ii36

6

8

20 20

32 404747 51 56

57 626566

1

M ở đầu

1 Lý do chọn đề tà i

Năm 1922, nhà toán học người Ba Lan, Stefan Banach đã phát biểu nguyên lý ánh xạ co của mình, và nó là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co

Từ những năm 60 của thế kỉ trước, nhiều nhà Toán học đã mỏ rộng nguyên lý ánh xạ co Banach bằng việc thay đổi các dữ kiện ban đầu để thu được những nguyên lý ánh xạ co mới Trong đó có thể kể tới các kết quả cơ bản của các nhà toán học như: M A Krasnoselskii, E Rakotch,

M Edelstein, D Boy - J Wong, F E Browder, A Meir - E Keeler Những năm tiếp theo, các kết quả về điểm bất động chung của cặp ánh

xạ co, họ ánh xạ co cũng được nghiên cứu nhiều Các tác giả quen thuộc trong lĩnh vực này có thể kể đến như: G Juck, B Fisher, s s Chang,

c S Wong, Đ H Tân

Năm 1979, Đ H Tân đã so sánh các dạng ánh xạ co mà chúng tôi gọi

là cơ bản nói trên và thu được sự phát triển của các dạng co theo trình tự: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd-Wong, Meir-Keeler Trong đó, dạng

co Meir-Keeler th ậ t sự mở rộng hơn dạng co Boyd-Wong Năm 1997, Jachymski chứng minh rằng dạng co Krasnoselskii, dạng CO Browder và

6 dạng co khác tương đương nhau Hơn nữa, Jachymski cũng chỉ ra rằng dạng co Boyd-Wong thực sự mở rộng hơn dạng CO Browder, còn dạng

co Browder mở rộng hơn dạng co Rakotch

Qua các kết quả nghiên cứu trên, tôi nhận thấy các dạng ánh xạ co

có thể được phân loại Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “P h â n loại các d ạ n g á n h x ạ co cơ b ả n ” làm luận văn tố t nghiệp của mình

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp

ý xây dựng của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 M ục đích n gh iên cứu

+ Nắm được các dạng co cơ bản như đã đề cập

+ Hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của các ánh

xạ co cơ bản và so sánh chúng

3 N h iệm vụ ngh iên cứu

Làm rõ mối liên hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản, mức độ tổng quát

và sự tương đương giữa chúng

4 Đ ố i tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu.

5 P hư ơng pháp ngh iên cứu

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước

6 Đ ó n g góp mới của luận văn

Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động dạng co

được gọi là giới hạn của dãy {a;n}.

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Trong không gian mêtric (X ,d ), dãy {rcn} c X được gọi là dãy Cauchy nếu lim d ( x n, x m) = 0, tức là:

m,n-ìoo

(Ve > 0) (3N) (Vra, n > N ) ,d (xm, x n) < £.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Không gian metric (X , d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi

dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Cho T là một ánh xạ đi từ X vào chính nó Khi đó T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại X* E X sao cho Tx* = X*

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Ánh xạ T đi từ không gian metric (X ,d ) vào chính

nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k E [0,1) sao cho:

d ( T x , T y ) ^ k d ( x ,y ), \/ x,y e X

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Ánh xạ T đi từ không gian metric (X, d) vào chính

nó được gọi là ánh xạ co yếu nếu mọi X Ỷ y thì:

d { T x , T y ) < d { x , y ), e X

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 Ánh xạ T đi từ không gian metric (X ,d ) vào chính

nó được gọi là tự a co khi và chỉ khi tồn tại số a E [0,1) thỏa mãn:

d ( T x , T y ) < a m a x { d ( x , y ) , d ( x , T x ) , d ( y , T y ) , d ( x , T y ) , d ( y , T x ) }

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Ánh xạ T đi từ không gian metric (X, d) vào chính

nó được gọi 0-co nếu với mọi x , y € X , mọi t > 0 thỏa mãn 0 < ệ { t ) <

1, ệ ( t ) < t thì d (T x , Ty) < ệ (d (x,y)).

Đ ịn h n g h ĩa 1.10 Không gian metric X được gọi là T-quỹ đạo đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong 0 ( x , o o ) = ị x , T x , T 2x , } đều hội tụ về một điểm nào đó nằm trong X

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Với tập A nằm trong không gian metric X , bán kính tập A được kí hiệu là ô (A ) và được xác định như sau:

Ỏ (A) = sup {d (a, b) : a, b e A}.

Đ ịn h n g h ĩa 1.12 Cho (X, d) là không gian metric Hàm / : X —>•

M u { +0 0} được gọi là hàm nửa liên tục trên tại Xo € X nếu :

Đ ịn h lý 1.1 (Á n h x ạ co B a n a c h ) Cho (X,d) là một không gian metric

mà Tx* = X* Ngoài ra, với mọi x ữ € X ta có T nx0 —> X* khi n —>■ 0 0

Đ ịn h lý 1.3 (Á n h x ạ co K ra s n o s e ls k ii) Giả s ứ T là ánh xạ liên tục

từ không gian metric đầy đủ (X , d) vào chính nó thỏa mẫn:

d (T x , Ty) < a (a, b) d (X, y ).

Vrc, y G x , a < d ( x , y ) < b ở đẫy, 0 < O' (a, b) < 1 khi 0 < a < b, a,b là

các số bất kỳ.

Đ ịn h lý 1.4 (Á n h x ạ CO B ro w d e r) Cho T là ánh xạ đi từ không gian

metric đầy đủ (X,d) vào chính nó sao cho với mọi x , y € X ta có:

d ( T x , T y ) < ĩị) (d (x ,y )).

ỏ đó, lị) : [0,0 0) —> [0, oo),ĩỊ) (í) < t với mọi t > 0 là ánh xạ tăng và liên

tục phải.

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.

Đ ịn h lý 1.5 (Á n h x ạ CO B o y d - W o n g ) Cho T ỉà ánh xạ đi từ không

gian metric đầy đủ (X,d) vào chính nó sao cho với mọi x , y € X ta có:

Đ ịn h lý 1.6 (Á n h x ạ co M e ir- K e e le r ) Cho (X,d) là một không gian

metric đầy đủ, T là một ánh xạ (e, ỏ) — co trong X, tức ỉà với mọi £ > 0; tồn tại ô > 0 thỏa mãn

Chọn k € N sao cho nếu n > k thì £ < cn < £ + ổ Khi đó ta có

cn + 1 = d ( x n+1, x n+2) = d ( T x n, T x n+1) < £, vô lí Vì vậy £ = 0 hay

Bây giờ ta chứng minh dãy {cn} là dãy Cauchy Giả sử ngược lại, dãy {cn} không phải là dãy Cauchy, tức là có £ > 0 sao cho với mọi

cho nếu ỉ > k thì Cj < — với a = m in{£,ố} Chọn m > n > k để cho d (xm, x n) > 2s và xét các số d (xn, x n+1) , d (x n, x n+ 2 ) , d (xn, x m)

Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:

Id ( x n,xi) - d ( x n, x i+1)| < d ( x i , x i+1) < d < °^.

Giả sử với mọi số j G N, n < j < m thì d ( x n, x j ) < £ + — Thế mà

d {xn,x j 0 - i ) > d { x n, x jo) - d (x io_ i,x io) > £ + 4 _ 4 £ + 2 '

Điều này mâu thuẫn với cách xác định j Q Do đó phải có d ( x n, x j 0) <

Đ ịn h lý 1.7 (Á n h x ạ co E d e ls te in ) Cho T là ánh xạ co yếu đi từ

không gian mêtrỉc đầy đủ (X, d) vào chính nó Hơn nữa với mọi Xo e X , dãy { T nx ữ} có một dãy con hội tụ.

Khi đó T có duy nhất một điểm bất động.

C h ứ n g m in h Với mỗi X E X , đặt / (x) = d ( x , T x ) Vì T là ánh xạ

co yếu nên cũng liên tục, do đó / là hàm liên tục trên không gian com­

pact X Vậy tồn tại x 0 £ X sao cho / (a:0) = min { / (x) : X € X } Nếu

f (xQ) > 0 thì Xữ ỷ T xq nên f ( T x o) = d (Txo, T 2 xq ) < d(xo,Txo) =

f (xQ), ta gặp mâu thuẫn Vậy / (rc0) = 0 và x 0 là điểm bất động của T

Tính duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu ■

Đ ịn h lý 1.8 (Á n h x ạ co C iric ) Cho T là ánh xạ tựa co đi từ không

gian mêtric đầy đủ (X , d) vào chính nó Hơn nữa, tập X ỉà T - quỹ đạo đầy đủ Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

C h ứ n g m in h Xét tập 0 ( x , n ) = { x , T x , .,Tnx} Giả sử X là quỹ đạo điểm của X Chúng ta sẽ đi chứng minh rằng dãy lặp {T nx } là dãy

Cauchy

Trước hết, với mọi 1 < i < j < n thì:

d ( T x , T j x ) = d ( T T ^ X , T T ^ x )

< Oi max{cỉ ( T ^ x , T ^ 1*) ; d ( T ^ x , T x ) ; d ( T ^ x , T j x) ;

¿ ( r ^ T ^ Ị í ỉ ị T x r - 1!)} Suy ra:

d (T ix , T j x') < a.diam ( p (T i~lx , j — i + l) ) < a.dỉam (o (x , n ))

Cứ tiếp tục như vậy, ta thu được kết quả sau:

d (T nx , T mx ) < a.diam [o (T n~1x , ra — n + l)] < < a n.diam [O (x, ra)]

Đ ịn h lý 1.9 (Á n h x ạ co W a lte r) Cho (X ,d ) là không gian mêtric

đầy đủ, ánh xạ T : X —>• X có quỹ đạo bị chặn, hơn nữa với mọi X, y e X

ta có:

ở đó, 0 ( x , y ) = o (x) u 0 ( y ) = { x , T x , T 2x, , y , T y , T 2y , } và ệ :

[0, 0 0) —»■ [0, oo), ệ (t ) < t, với mọi t > 0, là ánh xạ liên tục, tăng.

Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

C h ứ n g m in h Để chứng minh định lý này, chúng ta cần chứng minh bài toán phụ sau đây:

"Cho (.X , d) ỉà không gian mêtric đầy đủ, ánh xạ T : X —> X có quỹ đạo bị chặn, hơn nữa với mọi x , y G X , tồn tại số n(x) G N sao cho với

Bước 1: Chứng minh: Nếu m = max{n (rc), n (y)} thì dia m ịo (xm, y m)] <

ộịdiam (o (X, y))].

Giả sử n > m và r > 0 Với 2 phần tử (u , V) bất kì trong o (xm, y m)

có thể được biểu diễn dưới một trong các dạng sau: (xn, yn+r), (xn+r, y n),

(ynỉ y

n+r)-Trong trường hợp (u , V) biểu diễn ở dạng thứ nhất, ta có:

d (u , v) = d (T nx , T nyr) < ậ [diam (o (X, yr))] < 4> [diam (o (x, y ))].

Tương tự khi (u, v) được biểu diễn ở các dạng còn lại Như vậy, với mọi trường hợp ta đều có: diam (o (xm, y m)) < ộ [(diam (o (rc,y))].

Tiếp theo, ta xây dựng dãy {k (ị)} c N và Ai c X như sau:

k (0) = 0, k (i + 1) = k (ỉ ) + m ax{n(xfcW ),n(yfc^ )} ,

và

Bước 2: Chứng minh diam (A + i) ^ ệ [diam (-Aị)] , i = 0 ,1 ,2 ,

Với i = 0 thì việc chứng minh tương tự bước 1.

Với i bất kì, ta đặt a = x k^ \ f3 = và n = max { n ( x k('í)) ỉ n ( y k^ ) }

Theo trường hợp thứ nhất ta có ngay:

diam (o (a ụ‘, /3^)) < ệ [diam (o (a , /?))].

Tuy nhiên, a* = x k{i)+tl = rrfc(i)+ma*{*(**(0).»(vfc(0)} = x k{i+1) Tương tự,

ßß _ yfc(i+l)

Từ đó ta có:

diam (o (a^, ß ß)) = diam (j4j+1).

Như vậy, ta đã có thể kết luận đmra (v4j+i) ^ ệ [diam (Aị)], i = 0 ,1 ,2 ,

Bước 3: Chứng minh lim dị = 0 với ũị = diam {Ai).

í—>00

Từ kết quả của bước 2 và tính chất của hàm ộ ta có ngay ữị+1 < ộ (dị) <

dị Chứng tỏ rằng dãy {ữj} là dãy giảm, vì thế tồn tại số a > 0 sao cho

Theo chứng minh ở bước 3 ta có kết quả:

Vì y G X là tùy ý nên lim x k = lim T kx = z với mọi X £ X

k - ì o o k —>00

Trở lại việc chứng minh định lý

Dựa vào kết quả của bài toán phụ ở trên, ta thấy rằng tồn tại số z G X sao cho lim T kx — z với mọi X G X

Do đó, với số p nào đó mà 0 < p < ko thì nó phải rơi vào trường hợp

p ( k ) = p với k vô hạn lần Vì thế, có một dãy con {r (&)} của dãy {q (fc)}

sao cho lim d (zp, z r^ ) = X Nếu r (k) = q vô hạn lần thì d (zp, z q) = A.

k —>00

Trường hợp ngược lại, tồn tại một dãy con {s (k )} của dãy {r (k )} thỏa mãn d (zp, z ) = A, với s (k) —>• 0 0, k —> oo Trong bất kỳ trường hợp nào, luôn tồn tại p,q > 0 sao cho d (zp, z q) = A.

Như vậy, trong bất cứ trường hợp nào ta cũng có điều mâu thuẫn do

Chương 2

Đ iểm bất đ ộn g chung của các ánh

x ạ co

2.1 Đ iểm b ất động chung của hai ánh x ạ co

Đ ịn h lý 2.1 Cho S, T là các ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ

(x , d ) vào chính nó Giả sử tồn tại các số thực không ăm a,ị thỏa mẫn các điều kiện sau với mọi x , y phãn biệt thuộc X :

(i) ũ\ + Ũ2 + 03 + ữị + 05 < 1

(Ui) d ( S x , T y ) < a i d { x , S x ) + a2d ( y , T y ) + a zd {x ,Ty ) + a±d{y, Sx ) + abd ( x , y ).

Nếu S, T có điểm bất động thì hai điểm bất động đó trùng nhau và là duy nhất.

C h ứ n g m in h Đ ặt X 2n+1 = s (x 2n) , %2n+2 = T (x2n+i), ,n = 0,1, 2,

Vì a3 + dị + a 5 < 1 nên d (x*, y*) = 0 Như vậy s và T có điểm bất động

Từ phép chứng minh định lý, chúng ta th ấ t rằng S , T vẫn có điểm bất động chung nếu điều kiện i, i i được thay thế bời các điều kiện sau:

(ữi + ữ3 + CI5) (a2 4- <24 4- ữs) < (1 — Ũ 2 — (I 3 ) (1 — ữi — ÍI4) (2-1)

Nếu thêm điều kiện:

ữ3 + ữị + ŨQ < 1,thì điểm bất động của s, T là duy nhất Chú ý rằng điều kiện (i ), (ii)

thỏa mãn (2.1), nhưng chỉ (i) thì không thỏa mãn T hật vậy, với mỗi

ữi, Ũ 2 , ữ5 thuộc [0, 0 0) với ữi Ỷ a 2 và ữi + Ũ 2 + ữ5 < 1, chúng ta có thểtìm được a3, a4 thuộc [0, oo) thỏa man (?) nhưng không thỏa man (2.1) Điều này có thể thấy khi xét hàm / :

Từ ữi + a2 + a5 < 1, minf ( K ) < 0 nếu và chỉ nếu ữi Ỷ a 2 ■ Nếu ữi Ỷ a 2

thì bởi tính liên tục của / , tồn tại điểm ( ữ 3 , d ị ) thuộc tập:

K \ { (rr, y) e K : ữ i + a2 + X + y + a 5 = 1}

sao cho f ( a 3, d ị ) < 0 Điều này có nghĩa là tồn tại (ữ3, d ị ) thỏa mãn (i )

nhưng không thỏa mãn (2.1)

H ệ q u ả 2.1 ( R K a n n a n ) Cho s là ánh xạ đi từ không gian mêtric

1

đầy đủ (X , d) vào chính nó Giả sử rằng tồn tại số r thuộc [0, - ) sao cho với mọi x , y thuộc X ta có:

d (S x , T y ) < r (d (X, Sx) + d (y , S y )).

H ệ q u ả 2.2 (P S riv a sta v a v à V K G u p ta ) Cho S , T ỉà hai ánh

xạ đi từ không gian mêtric (X , d) vào chính nó Giả sử rằng với mọi

b) d ( S x , T y ) < a ị d ( x , S x ) + a2d ( y , T y )

Khi đó s, T có duy nhất một điểm bất động chung.

Tổng hợp từ hai hệ quả trên, ta thu được kết quả sau:

M ệ n h đ ề 2.1 Cho S , T là hai ánh xạ đi từ không gian mêtric (X,d)

ữ i, Ũ 2 thỏa mãn dị + Ũ 2 < 1 và:

(*) d ( S x , T y ) < a1d ( x , S x ) + a2d ( y , T y )

thế T bởi s

Ví dụ tiếp theo sẽ xem xét mức độ rộng hơn hệ quả Srivastava và Gupta.

V í d ụ 2.1 Đ ặt X = {1,2,3} Khoảng cách d trong X được xác định

01+02 + 03 + 05 < 1)

và:

d (Sx, Ty) < ũị.d (X, Sx) + a2.d (y , T y ) + aẵ.d (X, Ty) + a$.d (x, y ).

Giả sử ngược lại, tức là tồn tại các số a i ,a 2,a3,a 5 thỏa mãn các điều kiện trên Khi đó:

d { S { 3 ) , T{ 2 ) ) < a\.d (3, s (3)) + ũ 2 -d (2, T (2))

+ 03.d (3, T (2)) + ũ§.d (3, 2).

Tức là:

Vô lí VÌ ữi + ữ2 + 03 + ữ5 < 1 Vậy giả sử trên đã saị

H ệ q u ả 2.3 (G H a r d y v à T R o g e rs ) Cho s là ánh xạ đi từ không gian metric đầy đủ (X , d) vào chính nó Giả sử tồn tại các số thực không

ăm d ị , Ũ2, a 3 , d ị , ữ 5 thỏa mãn đồng thời:

d (S x , S y ) < CLị.d (X, S x ) + a2.d (y , S y ) + ậd (x, S y )

+ a4.d (y, 5íc) + a5.d (X, y ).

Trong trường hợp trên, ta không làm m ất đi sự kiện ữi = a2, a3 = a4,

vì nếu cần thiết ta có thể thay thế ữi, ữ2, ũ ỵ , d ị , ữ5 bởi:

ữ\ + Ũ 2 ữ\ + ữ2 &3 + CỈ4 ÍỈ3 + ữ4

Vì thế, kết quả trên được suy ra trực tiếp từ định lý 2.1 Ví dụ trên

đã chỉ ra không có tính đối xứng trong trường hợp mở rộng T hật vậy, chúng ta không thể thừa nhận ữ3 = CL4 Vì với ữ3 = Ũ4, từ ví dụ trên ta

Đ ịn h lý 2.2 Cho s, T là các ánh xạ trong không gian metric đầy đủ

(x , d ) Giả sử tồn tại các hàm giảm ơị đi từ (0; oo) vào [0,1) thỏa mãn:

(i) OL\ + Ơ .2 + CK3 + Oiị + O Í5 < 1

( ỉ ỉ ) OL\ — ca 2 h o ặ c « 3 = « 4

(iv) Với mỗi X, y phân biệt thuộc X và d i = Oíi (d ( X , y)) thì:

d ( S x , T y ) < ữ i d ( X , S x ) + a 2 d ( y , T y ) + a 3 d ( x , T y ) + CLịd ( y , S x ) +

a 5 d ( x , y )

Khi đó có ít nhất một trong hai ánh xạ S , T có điểm bất động Nếu cả hai cùng có điểm bất động thì điểm bất động của mỗi ánh xạ s, T là duy nhất Hơn nữa, hai điểm bất động này trùng nhau.

Rõ ràng / là hàm giảm và f ( t ) < 1 với mọi t > 0 Theo cách chứng minh

định lí trước, ta có các kết quả sau:

Do s, r là các hàm giảm nên:

bìn+2 < ỉ (min {Ò2„+1, b2n}) ■b2n

ỉ>2n+3 < / (m in{02n+2,ồ2n+l}) -&2n+l

(2.5)(2.6)

Vì / ( í ) < 1 với mỗi t > 0 nên {Ò2n+i} J {&2n} là các dãy giảm Vì thế {&2n+i} , {bin} hội tụ lần lượt đến các điểm C1,C2- Chúng ta sẽ chứng

minh d = 0,c2 = 0 Từ (2^3) và {2A) ta có:

Ci < r 0c2, c2 < s0Ci

Vì thế, hoặc là cả c 1, c2 bằng không hoặc cả Ci, c2 đều khác không Giả

sử Ci,C2 đ ều k h á c k hông Theo (2.5) và (2.6) th ì

Bây giờ ta sẽ chứng minh {a?n} là dãy Cauchy Giả sử {rcn} không là

dãy Cauchy Khi đó tồn tại £ > 0 (nhỏ tùy ý) và các dãy {p (n)} , { q (n)}

th ỏ a m ã n các đ iều k iện sa u với m ọi n > 0:

Khi đó có ít nhất một trong các tập /i , /2, /3 , / 4 là vô hạn Không m ất

tính tổng quát, giả sử II là vô hạn.

Đặt:

Từ {cn} hội tụ đến £ và {bn} hội tụ về 0, chúng ta kết luận rằng {dn}

hội tụ về £ từ bên trái Vì thế J\ = {n € ỉ \ : X p (n) - 1 Ỷ x q{n)} là vô hạn

Với mỗi n G Ji, đặt un = d (^p(n)-I ỉ x q{n)+i)- Khi đó:

c„ = d ( * » * « , ) < ¿ ( w t W + ) ( * « » ! , * « > ) (2 7)

“ỉ" 0^5 iß 'r i) -dfi "i" bq{n)

Không m ất tính tổng quát, chúng ta có thể thừa nhận rằng Oüj liên tục

từ bên trái để chúng ta có thể thay thế 0¿i (s) bởi:

sít

và các điều kiện của định lý được thỏa mãn Như vậy

lim Oíi (dn) = OLị (e), ¿ = 1 , 2 , 3,4, 5

Từ (Ị2.9Ị) ta có:

£ ^ ( ú ¡3 ( ê ) + ( ê ) + O Í5 ( c ) ) • £

điều này vô lí do a¡3 (s) + a 4 (s) + ú¡5 (e) < 1

Bây giờ chúng ta giả sử rằng / 2 là vô hạn Tương tự phần trước, ta

có J 2 = ị n £ 12 : X p (n ) - 1 Ỷ x q ( n ) - i } là vô hạn Với mỗi n e J2 ta đặt:

V n ^ ( * E p ( n ) — 1 J * E g ( n ) — l ) J d ( * ^ p ( r a ) ) % q ( n ) — l ) •

Khi đó:

< a i (vn) 6p(n)_i + «2 (vn) -&p(n)-l + a 3 (vn) -C^n (2.1 0)+ « 4 ( v n ) w n + ÛÜ 5 ( v „ ) ,u n

Do {vn} hội tụ tới £ nên ta thấy có sự mâu thuẫn từ (2.10) Hai trường hợp còn lại cũng tương tự hai trường hợp trên do vai trò của s, T có thể

thay đổi cho nhau

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra dãy {x n} là dãy Cauchy Bởi tính đầy đủ,

{rcn} hội tụ về một điểm X* G X Từ bn > 0 với mỗi n thuộc J —

{ n : X* Ỷ x 2 n + i} hoặc K — { n : X* Ỷ x 2n\ là vô hạn Giả sử rằng K là

Từ các điều kiện (i ) và (m ) của định lý, dãy sau là bị chặn:

1 + OÍ4 (ln ) a¡3 (Zn ) + OÍ5 ( / n ) Oil (Zn )

1 (X2 (ỉn) 0^3 (^n) 1 0^2 (^n) OÍ3 (^n) 1 (^n) OÍ3 (^n)