Luận văn phương pháp tôpô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của các phương trình toán tử 1962, toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định 1956.GS .T

NGUYỄN THỊ THU HÀm

S ự TÒN TẠI VECTOR RIÊNGm m

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẨN V ĂN THAC s ĩ TO ÁN HOC • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong thư viện nhà trường, các bạn học viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi ừong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

1 Lý do chọn đề tài .1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên c ứ u 2

6 Những đóng góp của luận văn .3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .4

1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ t ự 4

1.1.1 Định nghĩa nón và một số tính chất sơ cấp .4

1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach 7

1.2 Quan hệ thong ước giữa các phần tử 9

1.3 Phần tử Uo - đo đ ư ợ c 11

1.4 Nón chuẩn tắc và nón cực ừị .15

1.4.1 Nón chuẩn tắc và tính chất .15

1.4.2 Nón cực trị 19

1.5 Không gian Banach nửa sắp thứ tự Rn , C[a.b] 19

1.5.1 Không gian R \nG N* .19

1.5.2 Không gian C[a.b] 29

Chương 2 s ự TỒN s ự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬo • • • uO- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN c ự c TRỊ 40

2.1 Định nghĩa toán tà u0 - lõm chính quy và tính chất sơ cấp 40

2.2.Toán tà u0 -lõm chính quy tác dụng ừong các không gian Banach 43

2.3.1 Đạo hàm tiệm cận của toán tử .47

2.3.2 u0 - đạo hàm Fréchet của toán tử 50

2.4.VÍ dụ .54

KẾT LUẬN 59

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng của các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956).

GS TS Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K, u0) - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984)

Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu và công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng ừong không gian Banach với một nón cố định, các toán tử có chung tính chất u0 - đo được

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng của toán tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, Uo) -lõm chính quy (2013) Tác giả đã mở rộng và phát ừiển các kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với một nón

cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

Để chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trình của các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn tại vector riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụngtrong không gian Banach với nón cực trị

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn

Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng

4 Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán

tử u0 - lõm chính quy Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên quan đến vectơ riêng của toán tử Uo- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực t r ị

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về:

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Một số tính chất về toán tử Uo- lõm và u0- lõm chính quy

Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Rn

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng

Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1.

Cho không gian Banach thực E K là tập con khác rỗng của E Tập K được gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau:

Ni, K là một tập đóng ừong không gian E ;

N2, Nếu xG K và y G K, ta có X + y G K ;

Na, Nếu X G K và t là số thực không âm, ta có tx G K ;

N4, Nếu X E K và X ^ 0 ta có -X Ể K ( 0 là kí hiệu phần tử không của không gian E)

Chứng minh.

Ta thấy F Œ K(F) mà F 4- 0 nên K(F) 4- 0- Với mọi X G F ta chứng minh tồn

tại 2 số thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M

Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx G F

Lấy dãy bất kì {zn}°° <= K(F) sao cho lim zn = z trong không gian E

Do z, z’ G K(F) nên z = tiX i, z’ = t2x2 ( ti > 0, t2 > 0, Xi, x2 G F )

Nếu at1+pt2 = 0 => at1=pt2=0 z+z'=at1x1+pt2x2=0 € K(F)

Do đó K(F) thỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J

1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach

Neu X ^ y thì y - X ^ 0, theo giả thiết X < y => y - x G K = > x - y ế K mâu

thuẫn với giả thiết y < x Vậy X = y.

Quan hệ “ < “ có tính chất phản đối xứng

Vậy quan hệ “ < “ là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón K J Khi đó ta nói: Không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón K.

Định nghĩa 1.1.7.

Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K

Dãy điểm (xn) G E gọi là dãy không giảm, nếu Xi < x2 < < xn <

Tập M gọi là bị chặn trên bởi phần tử u G E, nếu (V xeM )x <u

Tập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử V G E, nếu (Vx G M) V < x.

( Vx G M) X <z; X < z ', theo tính chất cận trên đúng thì z < z ’ , z ’ < z Theo định lí 1.1.6 thì z = z \

Vậy cận ừên đứng (nếu có) là duy nhất

• Giả sử tập M có hai cận dưói đứng là w và w ’ , w e E, w’ E E thì( VxgM) w<x; w ' < x , theo tính chất cận dưới đứng thì w < w’, w’ < w.Theo định lí 1.1.6 thì w = w \

Vậy cận dưới đúng (nếu có) là duy nhất J

1.2 Quan hệ thông ước giữa các phần tử.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E

Định nghĩa 1.2.1.

Giả sử X, y G E Phần tử X được gọi là thông ước vói phần tử y, nếu tồn tại

hai số dương a, ß sao cho ay < X < ßy.

Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương ừên không gian E

Chứng minh

+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

V X G E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x.

+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß

sao cho ay < X < ßy => — X < y < —X Vây y thông ước với X.

+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu

Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z.

Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz

=> (a.c)z < X < (b.d)z Vậy X thông ước với z.

Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương ừên không gian E J

Giả sử u0 £ K\{0} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phàn tử của không gian E thông ước với phần tử Uo

Vx, y G K(u0) thì tồn tại các số thực dương a, ß, ƠI, ßi sao cho

a u o < X < ßu0, ữiUo < y < ßiUo

Vói t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y G K(uo)

Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X G K(uo)

Với t G (0; 1) thì tữUo < tx < tßu 0 và (1 - t)ữiU 0 < (1 - t)y < (1 - t)ßiU 0

nên tữUo + (1 - t)ữiU 0 < tx + (1 - t)y < tßu 0 + (1 - t)ßiUo

(ta+ (1 - t)ữi)u0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)uo

Do các số ta+ (1 - t)ữi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên

1.3 Phần tử Ufl - đo được

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E ,

Giả sử X EEu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho - tị U 0 < x < t2uữ.

• Trước hết ta chỉ ra tồn tại số ß không âm nhỏ nhất sao cho X < ßu0.Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E

t I—> f ( t ) = tUo - X

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K ừong không gian E suy ra f ^ K ) là tập đóng trong không gian R.

Do d 0 in f f 1(K) = ß e f ' 1(K).

Ta xét tập A = { t > O : tuo - X G K } Hiển nhiên, t2 E A hay 0.

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tuo - X e K } = ß(x) Gf _1(K) nghĩa là X < ß(x)u0

Vậy tồn tại số không âm ß(x) nhỏ nhất sao cho X < ß(x)uo

• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > Onhỏ nhất sao cho -a(x)u0 < X.

Xét ánh xạ f : R —» E

t ỉ—» f(t) = x+ tu 0 .

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử ừong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K ừong không gian E suy ra f^ K ) là tập đóng trong không gian R

Giả sử inf f^ K ) = - 00 thì 3 (tn )°° CI f _1(K) sao cho lim t = -00

Ta xét tập B = { t > O : X + tu0 G K } Hiển nhiên, ti G B hay B ^ 0

Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : X + tuo G K } = a(x) Gf_1(K)

*) Ta thấy 0 Ẽ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu0 < 0 < tu0 Suy ra Eu khác rỗng.

*) (Vx,y G Eu )(3t1 > 0,3t2 ^ 0,3t3 ^ 0,3t4 ^ 0) sao cho :

Vậy Eu là không gian tuyến tính con của không gian E, có thể coi Eu là

không gian tuyến tính độc lập J

Thật vậy, I • \\Un là một ánh xạ từ Eu vào tập số thực không âm R+ , do định

nghĩa tính u 0 - đo được của phần tử X Ta kiểm tra các tiên đề về chuẩn :

• (Vjce£„ ) JC >OJjd = 0-G>max{a(x);/?(x)} = 0

Jt|| = max{inftj, inft2}, IIỵ II = max{inft3,inftA} , ta có:

Nên 1*1 + \\y\\ > max{inf(t1+ /3),inf(t2+ /4) = II* + y||

Vậy||jc+v|L <14 + 1)4 .II ll«o 11 N“o 11 "“0

Do đó ánh xạ II \\u là một chuẩn ừên không gian Eu J

Chuẩn I \\u được gọi là u0 - chuẩn.

Chứng minh 2) =>3)

Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn Giả sử X, y E K, X < y

Nếu y = 0 = > x = 0=> ||jt||£ = \\y\\E - 0 Khi đó ll-X^ = 0 <0 =M.||;y||ỉ;.

Nếu y ^ 0 X + y ^ 0 hay X + y G K\{0}, X G Ex+y, vì -(x + y) < X < X + y,

nên 1*1 „<1 II \\x+y

Từ đó và từ mênh đề 2) \\x\\ <Af.|bd| II II a S II IIV t A II II £f .\\y\\ <Af.||y|| II II £f

D o đ ó (3iV = M > 0 )(V x ,y g K : j c < j ) ịx\\E <iV.||y||£

chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn.

Chứng minh

• Trước hết ta chứng minh một dãy điểm (x n)n=i <= Eu hội tụ tói

xG Eu theo u 0 - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E Thậtvậy, giả sử dãy điểm (•XM) “ =1 <= Eu hội tụ tói x £ E u theo Uo - chuẩn nghĩa là

limllx, —x\\ = 0 hay ( V f > 0 ) ( 3 » 0eJV*)(V»^»0) b J1 - x\\ <£

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn ừên không gian E

• Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn

Giả sử ( * X i là một dãy cơ bản bất kì ừong không gian Eu theo u0 - chuẩn,

nghĩa là: ( V f > 0)(3nữe N * )(V n ,m > n ữ)\\xn - x m\l <£.

Từ định nghĩa u0 - chuẩn suy ra

Do đó 0 < x n — x m + £U0 < 2fM 05\/n ,m > n0

Vậy Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn J

Định nghĩa 1.4.4.

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E Nón K

được gọi là cực ừị, nếu đối mỗi dãy ( xn)“=1 c K không giảm, bị chặn ừên bỏi

u G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( yn)n=i c K không tăng, bị chặndưới bởi V G K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại

ax = ( axls ax2, axn),

trong đó a G R, X = (X i, x2, xn ) e Rn, y = (yi, y2, yn ) £ Rn là một không gian tuyến tính thực với phần tà không là 0 = ( 0, 0 , 0 )

b) Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:

Ta kiểm ừa điều kiện của chuẩn

c) Sự hội tụ ừong không gian Rn tương ứng với sự hội tụ theo tọa độ

hội tụ tới Xi khi k —> 00 Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ.

Ngược lại, giả sử dãy điểm y° với Jt(fe) = (jt1(fe),j4fe), ,jt¿fe)) G R",

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tói điểm X = (xi, x2, x n ) e Rn

Theo định nghĩa ta có Ve > 0, vói mỗi i = 1, 2 , n, 3kj e N*: vk > ki

d) Không gian Rn là không gian Banach với chuẩn (1.4).

dãy cơ bản tùy ý trong Rn Khi đó, ta có

Bất đẳng thức (1.6) chứng tỏ vói mỗi i = 1, 2 , n dãy (je(fe) y° là một dãy

số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn ]imx¡k) - Xị,i -ì,2, ,n

Đặt X = ( X i, x2, , xn) G Rn ta được dãy cơ bản Ịje(fe) ) hội tụ theo tọa độtói X nên hội tụ tói X khi k —> 00 trong Rn Vậy Rn là không gianBanach

y = (yi, y2, , yn) , y¡ > 0, i = 1 , 2 , n.

X - y = ( 2, -1, 0, , 0) Ể K, y - X = (-2, 1, 0, , 0) Ể K, nên X, y không so sánh được với nhau theo quan hệ “ <

h) Ta chứng minh K là nón chuẩn tắc

Thậy vậy X, y G K

Tức là tồn tại ổ='JĨ>0 âể \\x +y\\> ổ = y fĩ

Vậy nón K thỏa mãn định nghĩa về nón chuẩn tắc, nên K là nón chuẩn tắc.i) Ta chứng minh K là nón cực trị

• Giả sử (Vm)) c K là môt dãy bất kì không giảm, bi chăn trên bởi

Thật vậy, Vm G N* theo tính chất của dãy (xịm)) ta có x¡m) < lim x¡m) = z'i

với mọi i = 1, 2, , n nên x(m) < z’, Vm G N*

Nếu 3u = (Uị )"=1 G K mà x(m) < u, Vm E N* khi đó

Ta chứng minh inf ( y (fe)Ỵ = y ' e K

Thât vây, Vm G N* theo tính chất của dãy ( ta có y\m) > lim y\m) - v \

với mọi i = 1,2, n và Vm G N* nên y(m) > y’, Vm G N*

Nếu 3w = (Wị)n=l G Km à w < y(m), V m e N* thì Wị < y¡m) , V i =1,2, ,n,

Vm G N* nên Wị < lim x¿m) = y \ (V i = 1 , 2 , n) nghĩa là w < y’.

Nếu i G I2 thì Ui = 0 nên 0 < Xi < 0 suy ra Xi = 0

Nếu i G li thì Ui > 0 nên 0 < aUi < Xi < bui suy ra Xi > 0

Vậy K(u0)<= { X = ( Xi, x 2 , xn) : Xj > 0, i e li ; Xj = 0, i e I 2 }.