Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển mới

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI Chuyên ngành: V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,

DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HUẾ, 2016

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,

DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Trên con đường học tập, nghiên cứu của mình, tôi đã may mắn gặpđược những người thầy, người cô đáng kính Tôi không tìm được từ ngữnào ngoài lời cảm ơn chân thành để bày tỏ lòng biết ơn cũng như sự kínhtrọng của mình đối với những gì các thầy, cô đã dành cho tôi Xin chânthành cảm ơn thầy Trương Minh Đức, thầy không những là người địnhhướng cho nghiên cứu của tôi, dạy cho tôi cách viết một bài luận nghiêncứu chi tiết đến từng dấu chấm, dấu phẩy từ khi còn là sinh viên sưphạm mà còn là người luôn giúp đỡ, động viên và cỗ vũ cho tôi vững tinvượt qua những khó khăn Đặc biệt, thầy đã giới thiệu và mang đến chotôi cơ hội nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của thầy Nguyễn Bá Ân,một người thầy hết lòng vì học trò Những ngày tháng ngắn ngủi đượclàm việc trực tiếp với thầy tận thủ đô Seoul đã cho tôi không những kiếnthức, sự tự tin mà còn là những kỷ niệm không bao giờ quên về tấmlòng của một người thầy đã dành cho một đứa học trò không có gì nổibật như tôi Ở một ga tàu điện nhỏ, thầy luôn đến trước và đợi tôi ở đómỗi cuối tuần để tôi được nhận những bài giảng từ thầy và thấp thỏmđợi email tôi báo tin đã về đến nhà an toàn sau mỗi buổi học Là cuốnluận văn với chi chít những góp ý từ nội dung đến chi tiết từng câu chữ.

Là nỗi lo lắng khi giới thiệu tôi cho giáo sư Kisik Kim - Đại học Inhakhi mà chưa biết tôi có làm thầy thất vọng hay không Xin gửi đến thầytấm lòng tri ân của người học trò với lời hứa sẽ tiếp tục con đường nàymột cách nghiêm túc và có kết quả Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầyĐinh Như Thảo, mặc dầu không trực tiếp hướng dẫn tôi trong nghiêncứu này nhưng thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ niềm vui với

tôi đạt được một kết quả nào đó Kính gửi đến tất cả các thầy, cô đãtừng giảng dạy cho tôi lòng biết ơn sâu sắc.

Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Huế cùng tất các thầy, cô trong khoa đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án.Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau Đại học - Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Huế với sự giúp đỡ nhiệt tình của chị Trần ThịĐông Hà trong việc hoàn thành các thủ tục hành chính trong suốt quátrình học tập cũng như chuẩn bị cho việc bảo vệ luận án

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô, anh, chị, em đồngnghiệp trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

đã luôn giúp đỡ, tạo diều kiện tốt nhất cho tôi trong nghiên cứu, họctập và công tác

Xin cảm ơn Quỹ phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia đã tàitrợ kinh phí cho tôi trong việc công bố các công trình khoa học

Cuối cùng là lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình Cuốicùng không phải vì kém quan trọng mà vì gia đình luôn là những ngườiđứng sau động viên và hết lòng ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập.Cảm ơn bố mẹ đã luôn bên cạnh và tự hào về con Cảm ơn cô em gái đãluôn vui với những niềm vui của chị, đã tận tình giúp ông bà chăm sócnhóc Cafe những ngày chị vắng nhà Cảm ơn chồng đã luôn bên cạnhgiúp đỡ, động viên, ủng hộ vợ hết mình Mẹ cũng cảm ơn nhóc Cafeđáng yêu, ngoan ngoãn và vẫn yêu quý mẹ sau những ngày tháng không

ở bên mẹ Cảm ơn hai bố con nhiều lắm

Xin chân thành cảm ơn tất cả!

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả luận án

Từ viết tắt Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt

BS Beam splitter Thiết bị tách chùm

DC Downconverter Bộ chuyển đổi

PD Photo-detector Máy đếm photon

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Ký hiệu viết tắt

Mục lục

Danh sách hình vẽ

Chương 1 Tổng quan về trạng thái phi cổ điển, tiêu chuẩn

dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử 10

1.1 Trạng thái phi cổ điển 10

1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển 12

1.1.2 Trạng thái nén 17

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon 19

1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối 21

1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối 23

1.3 Viễn tải lượng tử 28

1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn 31

1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục 35

Chương 2 Trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 38 2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 39

2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 43

2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 48 2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm 49

2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến 55

Chương 3 Các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 61 3.1 Tính chất nén tổng 62

3.2 Tính chất nén hiệu 68

3.3 Tính chất phản kết chùm 71

3.4 Tính chất đan rối 77

3.4.1 Điều kiện đan rối 77

3.4.2 Hàm phân bố số photon 80

Chương 4 Viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch

4.1 Biểu thức giải tích của độ tin cậy trung bình 894.2 Tính số và biện luận 94

Danh mục công trình khoa học của tác giả đã sử dụng trong luận án103Tài liệu tham khảo 104Phụ lục 116

1.1 Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợp

thêm photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị

của m = 0, 5, 10, 20 201.2 Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm

photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị của

m = 0, 5, 10, 20 202.1 Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| cho m, n thỏa mãn

điều kiện (a) m + n = 3 và (b) m + n = 6 482.2 Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai

mode sử dụng thiết bị tách chùm 502.3 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của các

thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với

{m, n} = {1, 1}, {1, 2} và {2, 2} 532.4 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của

các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi m = n = 1 với

α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 54

mode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến 562.6 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và

DC3 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1}, {1, 2} và

{2, 2} 582.7 Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành

công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và

DC3 khi m = n = 1 với α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 583.1 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các góc ϕ1 và ϕ2

khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp thêm một

photon vào mode a (m = 1, n = 0) 653.2 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào góc ϕ2 khi cố định

ϕ1 = 0 với |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},

{5, 0} và {10, 0} 653.3 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các tham số

dịch chuyển ở cả hai mode |α| và |β| khi ϕ1 = ϕ2 = 0,

r = 0.35 cho trường hợp chỉ thêm một photon vào mode

a (m = 1, n = 0) 663.4 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch

chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 20); (b) |β| (khi cố định

|α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},

{5, 0} và {10, 0} 673.5 Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r

khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5, |β| = 5 cho {m, n} = {1, 0},

{5, 0} và {10, 0} 67

khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp chỉ thêm

một photon vào mode a (m = 1, n = 0) 703.7 Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch

chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 10); (b) |β| (khi cố định

|α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},

{5, 0} và {10, 0} 703.8 Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r

khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và |β| = 10 cho {m, n} = {1, 0},

{5, 0} và {10, 0} 703.9 Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm R11, R31 và

R52 vào góc ϕ khi |α| = 0.1, |β| = 0.7, r = 0.8 cho trường

hợp m = 3, n = 0 743.10 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42

vào tham số nén r khi |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho

{m, n} = {2, 0}, {4, 0} và {6, 0} 743.11 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlk vào tham số

nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho m = 1, n = 0

khi (a) k = 3, l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4, k thay đổi

từ 1 đến 4 753.12 Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm Rlk (gồm R66,

R54, R42 và R52) vào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7

và ϕ = π cho m = 3, n = 0 753.13 Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b)

R22 vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.2 và ϕ = π cho

{m, n} = {3, 3}, {3, 4}, {3, 1} và {3, 0} 75

{0, 0}, {0, π/2} và {0, π} khi cố định các tham số còn lại

tại |α| = |β| = 0.1, r = 1 và m = n = 1 783.15 Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào tham số nén r với

|α| = |β| = 0.1, ϕa = ϕb = 0 và θ = π cho {m, n} = {0, 0},

{1, 0}, {1, 1}, {2, 1} và {2, 2} 783.16 Hàm phân bố số photon Pq(a) cho mode a khi cố định

tham số nén s = 1 của (a) trạng thái nén hai mode, (b)

trạng thái nén thêm photon hai mode với {m, n} = {1, 1}

và (c) trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode

với {m, n} = {1, 1}, α = β = 0.5 833.17 Entropy tuyến tính L của trạng thái nén hai mode, trạng

thái nén thêm photon hai mode với một photon được thêm

vào mỗi mode {m, n} = {1, 1} và trạng thái nén dịch

chuyển thêm photon hai mode với α = β = 0.5 và lượng

photon thêm vào cũng là {m, n} = {1, 1} theo tham số

nén r khi cố định θ = π 863.18 Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái

nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén

r với θ = π và α = β = 0.1 cho {m, n} = {0, 0}, {1, 0},

{1, 1}, {2, 1} và {2, 2} 874.1 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái kết hợp |γi sử dụng nguồn rối

nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén

r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2},

{3, 1} và {3, 0} 95

trình viễn tải trạng thái Fock |1i sử dụng nguồn rối nén

dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với

θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2}, {3, 1} và

{3, 0} 964.3 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái kết hợp và trạng thái Fock |1i sử

dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode

vào tham số nén r với θ = π, α = β = 0 cho {m, n} = {1, 1} 974.4 Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá

trình viễn tải trạng thái Fock |2i sử dụng nguồn rối nén

hai mode và nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai

mode cho {m, n} = {1, 1}, {2, 2} và {3, 3} vào tham số

nén r với θ = π và α = β = 0 97

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thông tin liên lạc luôn là nhu cầu tất yếu của con người trong mọithời đại Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, lĩnh vực thôngtin liên lạc không ngừng phát triển cả về phương tiện và cách thức truyềntin để đảm bảo thông tin được truyền đi xa, nhanh, chính xác và bảomật Trong công nghệ truyền tin quang học, các nhà khoa học luôn có

sự quan tâm đặc biệt đến việc tìm cách giảm thiểu tối đa các tạp âm haycác thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tin bởi chính các thănggiáng này làm cho tín hiệu bị nhiễu, giảm độ chính xác đồng thời kéotheo giảm cả tốc độ truyền tin Trên thực tế, các nhà vật lý lý thuyết lẫnthực nghiệm đã tiếp cận tới giới hạn lượng tử chuẩn và ngày càng tiến

xa hơn để tìm ra các trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng

tử được hạn chế đến mức tối đa, mang lại sự cải thiện đáng kể về tínhlọc lựa, độ chính xác và đặc biệt là tính bảo mật của thông tin truyền

đi [35] Tuy nhiên, với cách thức truyền thông tin mà chúng ta vẫn đang

sử dụng hiện nay thì tính bảo mật của thông tin không được đảm bảo.Đâu đó thông tin vẫn có thể lọt ra ngoài dù đã được mã hóa rất nhiềulần Vậy liệu có cách nào để thông tin truyền đi xa mà vẫn đảm bảochất lượng và bảo mật một cách tuyệt đối? Câu trả lời nằm trong một

lý thuyết mới được đề xuất gần đây – lý thuyết thông tin lượng tử mà

ở đó thông tin không những được mã hóa trong các trạng thái lượng tử

mà còn được xử lý theo các quy luật của cơ học lượng tử [31]

Lý thuyết thông tin lượng tử là sự kết hợp giữa cơ học lượng tử

và lý thuyết thông tin Với những tính chất đặc biệt của hệ lượng tử,khi được áp dụng vào các quá trình xử lý thông tin sẽ cho ta nhữngđiều kỳ diệu vượt lên hẳn những quá trình xử lý thông tin cổ điển tối

ưu nhất Ví dụ, nếu thông tin được mã hóa trong trạng thái lượng tửthì tính không thể copy của trạng thái lượng tử sẽ đảm bảo cho thôngtin được bảo mật Từ khi ra đời, lý thuyết thông tin lượng tử khôngngừng phát triển và hiện vẫn đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoahọc kể cả lý thuyết và thực nghiệm trên toàn thế giới, trong đó viễn tảilượng tử được xem như là một trong những quá trình nổi bật nhất [31],[47] Một cách ngắn gọn, viễn tải lượng tử là quá trình mà thông tin cóthể được chuyển đi với độ chính xác và tính bảo mật tuyệt đối nhờ sửdụng một hệ lượng tử đặc biệt (được gọi là hệ đan rối hoàn hảo) kếthợp với một kênh thông tin cổ điển Trong quá trình này, thông tin đượcchuyển đến người nhận bằng cách hủy trạng thái mang thông tin ở nơigửi để rồi khôi phục nó ở nơi nhận thông qua trạng thái đan rối đã đượcchia sẻ trước đó mà không cần truyền trực tiếp trạng thái mang thôngtin Nhờ đó thông tin hoàn toàn được bảo mật Viễn tải lượng tử đượcđưa ra lần đầu tiên bởi Bennett và các cộng sự trong phạm vi biến rờirạc [24] và sau đó cũng đã được đề xuất với biến liên tục bởi Vaidman[93] Ý tưởng của Vaidman tiếp tục được mô tả một cách gần với thựcnghiệm hơn bởi Braunstein và Kimble [30] Lợi thế của viễn tải lượng

tử sử dụng hệ biến liên tục là có thể truyền tin bằng sóng điện từ Tuynhiên, vấn đề gặp phải đối với biến liên tục là để đảm bảo độ tin cậycủa quá trình viễn tải bằng một (nghĩa là thông tin được chuyển đi với

độ chính xác tuyệt đối) cần phải có một nguồn rối hoàn hảo Trong môhình của Braunstein và Kimble, nguồn rối được đề xuất là trạng tháinén hai mode Trạng thái này là trạng thái lý tưởng với điều kiện tham

số nén của nó là vô cùng Thật không may, điều lý tưởng bao giờ cũngchỉ nằm trong các bản thảo lý thuyết Trên thực tế, trạng thái nén haimode tạo được bằng thực nghiệm có mức độ nén (trong trường hợp nàycũng chính là độ rối) tương đối nhỏ, kéo theo độ tin cậy của quá trìnhviễn tải không cao Thực tế này, kết hợp với nhiều vấn đề thực nghiệmkhác làm cho quá trình viễn tải mặc dù đã được tiến hành thành côngtrong phòng thí nghiệm nhưng độ tin cậy đạt được cũng chỉ mới 0.58[28], [45], [89] Do vậy, tìm ra giải pháp cho các khó khăn liên quan đếnhiện thực hóa viễn tải lượng tử, mà trước hơn hết là việc tìm nguồn rối

và cải thiện độ rối của nó trong điều kiện thực tế, là những vấn đề hếtsức quan trọng, đang rất được quan tâm hiện nay bởi nguồn rối hoànhảo là điều kiện tiên quyết cho sự thành công của viễn tải nói riêng cũngnhư bất kỳ một quá trình xử lý thông tin lượng tử nói chung

Gần đây, trong các nghiên cứu về trạng thái phi cổ điển nổi lên mộttrạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái kết hợp thêm photon[17] Như chúng ta đã biết, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển Tuynhiên, sau khi chịu tác dụng của toán tử sinh photon, nó trở thành mộttrạng thái hoàn toàn mới về cả hình thức và tính chất Các hiệu ứng phi

cổ điển như hiệu ứng nén và sub-Poisson bắt đầu xuất hiện bằng việcthêm vào trạng thái kết hợp chỉ một photon, cách diễn đạt cho việc tácdụng toán tử sinh photon lên trạng thái một lần duy nhất Nếu tiếp tụclặp lại thao tác này thì các hiệu ứng phi cổ điển trên sẽ thể hiện càng

rõ [17] Hơn nữa, theo phép đo độ phi cổ điển được đề xuất bởi Lee [64],tác dụng của toán tử sinh photon không chỉ lên trạng thái kết hợp mà

lên bất kỳ một trạng thái nào đó sẽ biến trạng thái đó thành phi cổ điểnvới độ phi cổ điển tối đa [65] Điều này gợi ra một hy vọng rằng việctác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển có thể làmtăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệu ứng đan rối.Đặc biệt, mô phỏng thực nghiệm cho tác dụng của toán tử sinh photonlên trạng thái kết hợp đã được tiến hành thành công chỉ với các thiết bịquang học thường dùng như thiết bị tách chùm hay bộ chuyển đổi tham

số không suy biến, kết hợp với máy đếm photon [95] Như vậy, nếu thực

sự các hiệu ứng phi cổ điển, đặc biệt hiệu ứng đan rối, của trạng tháinén hai mode được tăng cường nhờ tác dụng của toán tử sinh photon thìtrạng thái mới này hứa hẹn những ứng dụng đầy khả quan không nhữngtrong lĩnh vực thông tin lượng tử mà còn trong nhiều lĩnh vực khác, lànhững lĩnh vực đòi hỏi một nguồn phi cổ điển mạnh Đó là lý do chúngtôi chọn đề tài "Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìmđan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điểnmới" Các trạng thái phi cổ điển mới mà chúng tôi muốn khảo sát ở đâychính là lớp trạng thái có tên trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode, được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh photon với

số lần lặp lại khác nhau và toán tử dịch chuyển lên trạng thái nén haimode Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ ra được rằng trạng thái néndịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn và độrối được tăng cường so với trạng thái nén thông thường Từ đó đề xuấtmột phương pháp có ý nghĩa thực tiễn để cải thiện độ rối, đó là tác dụngmột hoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái

có độ rối hữu hạn cho trước

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của đề tài là khảo sát vai trò của toán tử sinh photonđối với các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêmphoton hai mode và đánh giá hiệu suất của nó khi áp dụng vào quá trìnhviễn tải lượng tử Mục tiêu này được triển khai thành các mục tiêu cụthể như sau:

• Tìm hàm Wigner, một hàm phân bố giả xác suất, của trạng tháinén dịch chuyển thêm photon hai mode cũng như điều kiện của một sốhiệu ứng phi cổ điển thể hiện trong trạng thái này bao gồm nén đa mode

và phản kết chùm bậc cao nhằm chứng tỏ ảnh hưởng tốt của toán tửsinh photon lên tính chất phi cổ điển của trạng thái

• Tìm điều kiện đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode, trên cơ sở đó chứng minh vai trò của toán tử sinh photon trongviệc tăng cường độ rối của trạng thái

• Xác định độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tửkhi sử dụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon haimode và chứng tỏ tác dụng tích cực của trạng thái này trong việc cảithiện độ tin cậy viễn tải

• Đưa ra các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái néndịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độ tin cậycủa trạng thái tạo được và xác suất thành công

3 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Với mục tiêu đã đề ra như trên, đề tài tập trung vào ba nội dungchính:

• Nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon haimode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa trong trường hợp tổng quát khithêm photon vào cả hai mode và tính hàm Wigner của trạng thái

• Khảo sát các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photonhai mode dựa trên các thiết bị quang học thường dùng như thiết bị táchchùm, bộ chuyển đổi tham số và máy đếm photon

• Nghiên cứu một số tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịchchuyển thêm photon hai mode như tính chất nén tổng, nén hiệu, phảnkết chùm bậc cao và đặc biệt là tính chất đan rối

• Khảo sát độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sửdụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode.Tất cả các nghiên cứu đều bao gồm tìm biểu thức giải tích của các

hệ số đặc trưng cho vấn đề đang xem xét rồi tính số các kết quả giảitích này, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và biện luận cần thiết Dotính phức tạp trong quá trình đưa ra các biểu thức giải tích cũng nhưkhi tính số mà một số nghiên cứu chỉ khảo sát với các tham số thực,nghĩa là cho pha phức của nó bằng không Điều này sẽ được nhắc đếncũng như giải thích cụ thể trong phần nội dung của luận án ở mỗi lần

sử dụng giới hạn này

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đưa ra biểu thức giải tích của các hệ số đặc trưng cho các hiệuứng phi cổ điển, hiệu ứng đan rối, độ tin cậy viễn tải cũng như hàmWigner, chúng tôi sử dụng hai phương pháp nghiên cứu lý thuyết đặcthù trong quang lượng tử và thông tin lượng tử là phương pháp lý thuyếtlượng tử hóa trường lần thứ hai và phương pháp thống kê lượng tử Bêncạnh đó, để biện luận các kết quả giải tích thu được, trên cơ sở đó đánhgiá vai trò của toán tử sinh photon, chúng tôi sử dụng phương pháp tính

số bằng phần mềm chuyên dụng Mathematica

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần quan trọngvào nỗ lực tìm kiếm nguồn rối mới và cải thiện độ rối của nó để có thể

sử dụng cho các quá trình viễn tải lượng tử với biến liên tục trong thực

tế Đề xuất được phương pháp để cải thiện độ rối, từ đó góp phần pháttriển lý thuyết thông tin lượng tử Ngoài ra, kết quả của đề tài còn cóvai trò định hướng, cung cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm trong việc

dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển, tạo ra các trạng thái phi cổ điển và sửdụng chúng vào quá trình viễn tải lượng tử

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mụccác công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu thamkhảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương

Nội dung cụ thể của các chương như sau:

• Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đếntrạng thái phi cổ điển, dò tìm đan rối và quá trình viễn tải lượng tửđồng thời tóm tắt một số cơ sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến nhữngnội dung nghiên cứu của đề tài như trạng thái kết hợp, trạng thái nén,trạng thái kết hợp thêm photon, phương pháp định lượng độ rối, tiêuchuẩn đan rối Shchukin-Vogel và mô hình viễn tải lượng tử

• Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái néndịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa,tính hàm phân bố giả xác suất Wigner, giải thích và nhận xét hai sơ đồkhác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode

• Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi cổ điểncủa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm đưa racác biểu thức giải tích về hệ số nén tổng, hệ số nén hiệu, hệ số phảnkết chùm, hệ số đan rối, hàm phân bố số photon và entropy tuyến tính;xem xét sự phụ thuộc của các hệ số này vào các tham số của trạng tháicũng như số photon được thêm vào rồi rút ra những nhận xét, biện luậntương ứng

• Chương 4 trình bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sửdụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tínhtoán độ tin cậy trung bình khi viễn tải trạng thái kết hợp hoặc trạngthái Fock và khảo sát ảnh hưởng của tham số nén của trạng thái cũngnhư số photon thêm vào lên độ tin cậy viễn tải

Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 04 côngtrình dưới dạng các bài báo khoa học, trong đó có 01 bài đăng trongtạp chí chuyên ngành quốc gia (Communications in Physics), 02 bài

đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCI (01bài trong International Journal of Theoretical Physics, 01 bài trong In-ternational Journal of Modern Physics B ) và 01 bài đăng trên tạp chíchuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCIE (Advances in NaturalSciences: Nanoscience and Nanotechnology).

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI

CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ

1.1 Trạng thái phi cổ điển

Các trạng thái phi cổ điển là các trạng thái có rất nhiều ứng dụngquan trọng trong vật lý chất rắn, quang học phi tuyến, quang học lượng

tử và đặc biệt trong thông tin lượng tử [1] Từ điểm xuất phát ban đầu[48] cho đến nay, rất nhiều trạng thái phi cổ điển khác nhau đã được đềxuất về mặt lý thuyết cũng như đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm.Trong số đó có thể kể đến ba lớp trạng thái mà ứng dụng của chúng đãđược ghi nhận cũng như chứng minh có nhiều tiềm năng trong tương lai.Lớp trạng thái đầu tiên phải kể đến đó là trạng thái nén Ý tưởng

về trạng thái nén được Stoler đưa ra vào năm 1970, đó là những trạngthái mà độ thăng giáng của một đại lượng nào đó có thể nhỏ hơn giá trịtương ứng của trạng thái bất định cực tiểu đối xứng [86], [87] Mười lămnăm sau, trạng thái nén photon được quan sát lần đầu tiên trong phòngthí nghiệm bởi Slusher [83] và sau đó được khẳng định bởi Kimble [63],

Levenson và các cộng sự [68] Các hiệu ứng nén được mở rộng theo nhiềukiểu khác nhau chẳng hạn như nén biên độ trực giao, nén số hạt pha.Trong nén biên độ trực giao lại có thể chia thành nén bậc thấp thôngthường hoặc nén bậc cao theo kiểu Hillery [50] hay kiểu Hong-Mandel[56], nén đơn mode hay nén đa mode dưới dạng nén tổng [12], [51] vànén hiệu [13], [14], [51] Hơn nữa, trạng thái nén không chỉ tồn tại vớiphoton mà còn được phát triển với các chuẩn hạt khác như polariton[19], phonon [85], exciton [2], [5], [10], [11], biexiton [6], [91], [92], vàthậm chí trong nguyên tử như nén spin [15] Đặc biệt, khi phát triển lêncho trường hợp hai mode, trạng thái nén được chứng minh là trạng tháiđan rối và đã được sử dụng trong các mô hình viễn tải lượng tử cho độtin cậy tuyệt đối trong điều kiện lý tưởng [31].

Lớp trạng thái phi cổ điển tiếp theo là trạng thái kết hợp cặp [16],trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [34] Về sau chúng được phát triển thànhcác trạng thái kết hợp phi tuyến với rất nhiều hiệu ứng phi cổ điển hứahẹn mang đến nhiều ứng dụng khác nhau Có thể kể tên một số trạngthái quan trọng thuộc lớp này là trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ[71], [78], trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt [1], [7], trạng thái cái quạt[1], [8] và trạng thái kết hợp bộ ba [9] Nếu như trạng thái cái quạt cóvai trò như một trạng thái nén đa hướng thì trạng thái kết hợp bộ ba lại

là một trạng thái rối 3 mode và cũng là một nguồn rối quan trọng chocác ứng dụng trong lĩnh vực thông tin lượng tử và tính toán lượng tử.Lớp trạng thái phi cổ điển thứ ba cũng có tầm quan trọng khôngkém là các trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinhphoton lên một trạng thái quan tâm nào đó, được gọi là các trạng tháithêm photon Trạng thái thêm photon được Agarwal và Tara đưa ravào năm 1991 [17] và gần đây được Zavatta xác minh bằng thực nghiệm

[95] Kỹ thuật thêm photon là một trong những kỹ thuật tạo trạng tháirất quan trọng để có thể tạo ra một trạng thái mong muốn bất kỳ [61].Hơn nữa, các trạng thái thêm photon là những trạng thái thể hiện nhiềuhiệu ứng phi cổ điển khác nhau cho dù trạng thái gốc ban đầu trước khiđược thêm photon có thể là trạng thái cổ điển như trạng thái kết hợp[17] Điều đó gợi cho ta nghĩ đến việc thêm photon vào trạng thái phi cổđiển, chẳng hạn như nén hai mode, có thể gia tăng các hiệu ứng phi cổđiển của chúng trong đó có cả hiệu ứng đan rối Nếu đúng như những gìmong đợi thì lớp trạng thái này sẽ có tầm quan trọng trong việc cải tiếnchất lượng của các quá trình viễn tải lượng tử bởi nó có thể làm tăng

độ rối của nguồn rối được thêm photon Đây là mối quan tâm chính củachúng tôi trong nghiên cứu này và sẽ được trình bày cụ thể trong cácchương sau của luận án Ở đây, trong khuôn khổ của phần tổng quan,chúng tôi trình bày sơ lược một số trạng thái phi cổ điển liên quan trựctiếp đến trạng thái của chúng tôi như trạng thái nén và trạng thái kếthợp thêm photon Nhưng trước hết, để có cái nhìn tổng quan về kháiniệm trạng thái phi cổ điển, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về trạng tháikết hợp như là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển

1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển

Trạng thái kết hợp, ký hiệu |αi, được Glauber [48] và Sudarshan[88] đưa ra vào năm 1963 để mô tả các tính chất của chùm sáng laser

Đó là trạng thái riêng của toán tử hủy photon

ˆ

trong đó α là một số phức, α = |α|eiϕa, được gọi là tham số dịch chuyểnvới biên độ |α| biến thiên từ 0 đến ∞ và pha ϕa nằm trong khoảng từ 0

đến 2π [rad] Trong hệ cơ sở Fock, trạng thái kết hợp có dạng [46]

n=0

αn

√n!|ni, (1.2)trong đó n là số nguyên không âm Về phương diện toán học, trạng tháikết hợp được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển [46]

ˆD(α) = exp(αˆa†− α∗ˆa) (1.3)

lên trạng thái chân không như sau:

|αi = ˆD(α)|0i (1.4)

Trạng thái kết hợp mặc dầu là trạng thái cổ điển nhưng các tínhchất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể được chấp nhậntheo quan điểm cổ điển Do đó ánh sáng kết hợp được xem là ranh giớigiữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển Điều kiện cần và đủ ứng với ranhgiới này dựa trên đặc điểm của hàm Glauber-Sudarshan P (α) [49], [88].Hàm P (α) của trạng thái ˆρ là hệ số khai triển của trạng thái trong biểudiễn trạng thái kết hợp

P (α) của nó có tính chất như một hàm phân bố thống kê thông thườngđược gọi là trạng thái cổ điển Trái lại, trạng thái có hàm P (α) âmhoặc kỳ dị cao được định nghĩa là trạng thái phi cổ điển Có thể minhhọa cho định nghĩa này bằng cách xem xét hàm P (α) của trạng thái

nhiệt (tiêu biểu cho trạng thái cổ điển), trạng thái kết hợp (ranh giớigiữa trạng thái cổ điển và phi cổ điển) và trạng thái số hạt (đại diệncho trạng thái phi cổ điển) Trạng thái nhiệt có hàm P (α) dạng Gauss

P (α) = (1/π¯n) exp(−|α|2n) [82], trong đó ¯¯ n là số hạt trung bình Đây

là một hàm phân bố cổ điển tiêu biểu, trong khi đó, với trạng thái kếthợp |α0i, hàm P (α) là hàm Delta δ(2)(α − α0) Dễ dàng suy ra từ tínhchất của hàm Delta rằng đây là giới hạn cuối cùng của một hàm phân

bố cổ điển, và vì vậy, một hàm được xem là kỳ dị cao nếu tính kỳ dị của

nó mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta, chẳng hạn hàm P (α) của trạngthái số hạt |ni [82]

là tiêu chuẩn đủ Cụ thể, một trạng thái có hàm phân bố Wigner âm thìchắc chắn đó là trạng thái phi cổ điển Tuy nhiên, điều ngược lại khôngphải bao giờ cũng đúng, nghĩa là một trạng thái phi cổ điển không nhấtthiết phải có hàm Wigner âm Đó là vì có những trạng thái mà hàm

P (α) có thể nhận giá trị âm - tức là trạng thái phi cổ điển - nhưng lại

sở hữu hàm Wigner luôn không âm, chẳng hạn trạng thái nén [46].Ngoài tiêu chí dựa trên hàm P (α) như vừa đề cập ở trên, ta cũng

có thể nhận biết các trạng thái cổ điển qua việc xem xét các tính chất

cụ thể của nó Theo cách này thì một trạng thái được gọi là phi cổ điểnkhi nó thể hiện một hoặc nhiều tính chất phi cổ điển chẳng hạn nhưtính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm, tính chất nén, Các tính chất phi cổ điển là những tính chất không thể suy ra từ quanđiểm cổ điển và được đề xuất dựa trên giới hạn mà trạng thái kết hợpđạt được.

Khi xem xét tính thống kê photon, trạng thái kết hợp được chứngminh tuân theo phân bố Poisson, nghĩa là trung bình của toán tử số hạttrong trạng thái kết hợp sẽ bằng phương sai của nó Nếu xem đây làranh giới thì nó sẽ chia các trạng thái thành hai nhóm, một nhóm tuântheo thống kê super-Poisson với phương sai của toán tử số hạt lớn hơntrung bình của nó và nhóm còn lại tuân theo thống kê sub-Poisson vớitính chất hoàn toàn ngược lại Như vậy nếu đặt tham số

Q = hˆn2i − hˆni2

trong đó ˆn là toán tử số hạt, thì trạng thái tuân theo thống kê Poisson sẽ có Q > 1 và ngược lại cho trường hợp sub-Poisson Nhữngtrạng thái mang tính thống kê sub-Poisson, nghĩa là có tham số Q < 1,

super-sở hữu hàm P (α) âm nên chúng là các trạng thái phi cổ điển Vì vậy,hiệu ứng sub-Poisson là một trong những tính chất phi cổ điển đượcdùng để nhận biết các trạng thái phi cổ điển

Ta cũng có thể phân biệt trạng thái phi cổ điển với cổ điển qua đặcđiểm của hàm tương quan bậc hai được định nghĩa [46]

g(2)(τ ) = h ˆE(−)(t) ˆE(−)(t + τ ) ˆE(+)(t + τ ) ˆE(+)(t)i

h ˆE(−)(t) ˆE(+)(t)ih ˆE(−)(t + τ ) ˆE(+)(t + τ )i, (1.9)

trong đó ˆE(−)(t) và ˆE(+)(t) tương ứng là thành phần tần số âm và thànhphần tần số dương của trường tại thời điểm t Hàm tương quan bậc hai

này cung cấp cho ta thông tin về xác suất quan sát một cặp photon saocho một photon được quan sát ở thời điểm t thì photon kia được quan sát

ở thời điểm sau đó một khoảng τ tại cùng một vị trí Với trạng thái kếthợp g(2)(τ ) = g(2)(0) = 1 nghĩa là các photon xuất hiện độc lập với nhau.Nếu hai photon có xu hướng xuất hiện theo chùm, tức g(2)(0) > g(2)(τ ),thì được gọi là photon kết chùm Ngược lại nếu hai photon có xu hướngngày càng xuất hiện riêng lẻ, tức g(2)(0) < g(2)(τ ), thì được gọi là photonphản kết chùm Với trường cổ điển, g(2)(0) ≥ g(2)(τ ) [46] Do đó, trạngthái thể hiện tính phản kết chùm là trạng thái phi cổ điển Để tiện choviệc áp dụng vào các trạng thái quang lượng tử, điều kiện tồn tại haiphoton phản kết chùm g(2)(0) < g(2)(τ ) có thể được viết lại dưới dạngcác toán tử số hạt như sau [66]:

h ˆN(2)i − h ˆN i2 < 0, (1.10)

trong đó ˆN = ˆa†ˆa và h ˆN(i)i ≡ h ˆN ( ˆN − 1) ( ˆN − i + 1)i = ˆa†iˆi

Bên cạnh hai tính chất vừa kể trên, trạng thái phi cổ điển còn cóthể sở hữu một tính chất quan trọng - tính chất nén - dựa trên việc xemxét độ thăng giáng lượng tử của một biến động lực nào đó Xét hai toán

tử ˆA và ˆB thỏa mãn hệ thức giao hoán [ ˆA, ˆB] = i ˆC Hai toán tử nàytuân theo hệ thức bất định Heisenberg

∆ ˆA2∆ ˆB2 ≥ 1

4|h ˆCi|2, (1.11)trong đó ∆ ˆX2 là ký hiệu cho phương sai của toán tử ˆX và được xác địnhbởi ∆ ˆX2 = h ˆX2i − h ˆXi2 Một trạng thái nào đó nếu thỏa mãn

∆ ˆA2 < 1

2|h ˆCi| hoặc ∆ ˆB2 < 1

2|h ˆCi| (1.12)được gọi là trạng thái nén [44] Tương tự như tính sub-Poisson và tínhphản kết chùm, trạng thái thể hiện tính chất nén là trạng thái phi cổđiển vì điều kiện (1.12) sẽ dẫn tới tính âm của hàm P (α)

Cần lưu ý rằng tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm

và tính chất nén chỉ là những ví dụ tiêu biểu cho các hiệu ứng có thể xuấthiện trong trạng thái phi cổ điển, và nhìn chung độc lập với nhau nênmột trạng thái phi cổ điển không nhất thiết phải hội đủ tất cả chúng Vìvậy, để đánh giá một trạng thái nào đó là phi cổ điển hay không, người

ta sẽ dùng tiêu chuẩn dựa trên hàm P (α) Các tiêu chuẩn tương ứngvới các tính chất phi cổ điển riêng lẻ chỉ được xem là điều kiện đủ đểnhận biết trạng thái phi cổ điển tương tự như phương pháp dùng hàmWigner, và được dùng chủ yếu để khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển khả

dĩ của một trạng thái nào đó cũng như đánh giá mức độ thể hiện củachúng

1.1.2 Trạng thái nén

Nếu ˆA và ˆB có mặt trong điều kiện (1.12) là cặp toán tử biên độtrực giao của trường thì trạng thái thỏa mãn điều kiện (1.12) được gọi

là nén biên độ trực giao - trạng thái nén mà chúng tôi muốn nhắc đến

ở đây Ví dụ, đặt ˆA và ˆB tương ứng là hai toán tử biên độ trực giaoˆ

Như đã đề cập, trạng thái nén là trạng thái phi cổ điển vì hàm P (α) của

nó có thể nhận giá trị âm Cụ thể, phương sai của các toán tử ˆX1 và ˆX2trong biểu diễn P (α) có dạng [46]

Vì các số hạng [ ]2 luôn không âm nên điều kiện ∆ ˆX12 < 14 hoặc ∆ ˆX22 < 14đòi hỏi hàm P (α) phải âm.

Về mặt toán học, trạng thái nén của trường đơn mode được tạothành bởi tác dụng của toán tử nén đơn mode ˆS(s) được định nghĩa

ˆS(s) = exp 1

2(s

∗ˆ2 − sˆa†2)



trong đó s = reiθ với r được biết như là tham số nén biến thiên từ 0 đến

∞ và góc θ nằm trong khoảng 0 đến 2π rad Ví dụ đơn giản nhất củatrạng thái nén là chân không nén, được tạo thành bằng cách tác dụngtoán tử nén lên chân không của trường điện từ

|si = ˆS(s)|0i (1.17)Trong không gian Fock, trạng thái chân không nén có dạng [46]

|si = √ 1

cosh r

∞X

lẻ trong trạng thái nén triệt tiêu

Toán tử nén được định nghĩa như trên cũng chính là toán tử mô tảtác dụng của bộ chuyển đổi tham số suy biến Do đó trạng thái nén làtrạng thái hoàn toàn có thể tạo được thông qua thiết bị nói trên Cụthể, trạng thái nén đơn mode sẽ được tạo thành nhờ một quá trình phituyến ngược với quá trình tạo sóng hài bậc hai trong đó một tia lasermạnh sau khi qua một môi trường phi tuyến tạo thành cặp tia cùng tần

số và bằng một nửa tần số tia laser vào Cặp tia này được gọi là cặp tiasong sinh và có tính chất của trạng thái nén

Mở rộng cho trường hợp hai mode, toán tử nén hai mode được định

nghĩa như sau [46]

ˆSab(s) = exp(s∗aˆˆb − sˆa†ˆb†), (1.19)

trong đó s là tham số phức tương tự như trường hợp đơn mode Toán

tử này cũng mô tả cho một quá trình phi tuyến tương tự quá trình tạotrạng thái nén đơn mode, chỉ khác cặp photon ra khỏi môi trường lúcnày có tần số khác nhau Trạng thái chân không nén hai mode cũng sẽđược tạo thành một cách toán học bằng việc tác dụng toán tử nén haimode lên trạng thái chân không

n=0(− tanh r exp(iθ))n|nia|nib (1.21)

Rõ ràng, số photon trong trạng thái này cũng sẽ xuất hiện thành cặptương tự như trạng thái nén đơn mode, chỉ khác là cặp photon này gồmhai photon ở hai mode khác nhau Điều này có nghĩa là khi xét khíacạnh tương quan số hạt giữa mode a và mode b ta thấy chúng bị ràngbuộc lẫn nhau, có nghĩa trạng thái nén hai mode là trạng thái đan rối.Đặc biệt trạng thái này có thể đạt đến khả năng rối lý tưởng khi tham

số nén r → ∞

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon

Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi [17]

|α, mi = ˆ

†m|αiphα|ˆamˆ†m|αi, (1.22)trong đó m = 1, 2, là số photon được thêm vào và

hα|ˆamˆ†m|αi = m!Lm(−|α|2) (1.23)

Hình 1.1: Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham

số dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].

Hình 1.2: Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].

với Lm(x) là đa thức Laguerre bậc m Để tiện cho việc tìm hàm phân

bố số hạt làm cơ sở cho sự khảo sát tính thống kê photon, trạng thái kếthợp thêm photon thường được biểu diễn trong không gian Fock [17]

|α, mi = exp(−|α|

2/2)pm!Lm(−|α|2)

∞X

n=0

αnp(n + m)!

n! |n + mi (1.24)Dưới dạng tường minh này, Agarwal và Tara đã chứng minh được trạngthái |α, mi thể hiện cả hai hiệu ứng phi cổ điển bao gồm hiệu ứng nén

và thống kê photon sub-Poisson thông qua việc khảo sát sự phụ thuộccủa hệ số nén theo phương x (Sx = 4∆x2) và hệ số Q = ∆ˆn2/hˆni theotham số dịch chuyển α và số photon được thêm vào trạng thái kết hợp

Dễ dàng nhận thấy từ hình 1.1, vẽ Sx, rằng hiệu ứng nén hoàn toàn

có thể xảy ra (Sx < 1) với mọi giá trị của m ngoại trừ m = 0 Điều nàycũng lặp lại với hệ số Q được minh họa trên hình 1.2 Rõ ràng Q < 1(thể hiện tính sub-Poisson) khi photon được thêm vào Hơn nữa, cả haihiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số photon được thêm vào nhiềuhơn Mặc dầu vẫn còn thiếu sự lý giải thấu đáo cho vai trò của thêmphoton nhưng rõ ràng ảnh hưởng tích cực của nó lên các hiệu ứng phi

cổ điển đã được chứng minh Không những thế, trạng thái này cũng đãđược tạo ra bằng thực nghiệm gần đây bởi Zavatta và các cộng sự [95].Nhóm nghiên cứu này cũng đã đo hàm Wigner của trạng thái tạo đượcbằng thực nghiệm và chứng tỏ nó có thể nhận những giá trị âm Giá trị

âm của hàm Wigner là một tiêu chuẩn khác để nhận biết các trạng tháiphi cổ điển

1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối

Các trạng thái phi cổ điển đa mode còn có thêm một tính chất phi

cổ điển đặc biệt được gọi là tính chất đan rối Những trạng thái thể hiệntính chất này được gọi là trạng thái đan rối và là chìa khóa trong cácquá trình xử lý thông tin lượng tử và tính toán lượng tử Do đó, tìmkiếm các trạng thái đan rối trở thành mối quan tâm hàng đầu trong cácnghiên cứu về thông tin lượng tử

Tên gọi rối lượng tử được Schr¨odinger đưa ra lần đầu tiên thôngqua thí nghiệm tưởng tượng về một trạng thái kỳ lạ, đó là chồng chậpcủa trạng thái sống và trạng thái chết của một con mèo (sau này đượcgọi là trạng thái con mèo Schr¨odinger) [79] Thí nghiệm tưởng tượng củaSchr¨odinger được đề xuất không lâu ngay sau khi Einstein, Podolsky và

Rosen sử dụng một trạng thái khả dĩ của cơ học lượng tử (sau này gọi

là trạng thái EPR) để suy ra một nghịch lý (sau này gọi là nghịch lýEPR), mà theo họ cơ học lượng tử không đầy đủ [42] Tuy nhiên, trạngthái EPR chỉ đơn thuần là một trạng thái toán học, không thể dùng đểkiểm chứng các luận điểm của Einstein, Podolsky và Rosen trên thực tế

Do đó một công cuộc tìm kiếm các trạng thái đan rối cùng với các tiêuchuẩn đan rối bắt đầu và cho đến nay vẫn đang tiếp tục trong nhiềulĩnh vực khác nhau Thành công đầu tiên là các tiêu chuẩn đan rối (điềukiện cần và đủ) áp dụng cho các trạng thái thuần hai thành phần, chẳnghạn như tiêu chuẩn Schmidt, tiêu chuẩn entropy von Neumann, entropytuyến tính [31] Tuy nhiên trạng thái thuần là những trạng thái rất khótạo ra trên thực tế do luôn có tác dụng của môi trường xung quanh Nóicách khác, các trạng thái trong thực tế đều là các trạng thái hỗn tạp do

ta không thể tách hệ vật lý ra khỏi tương tác của nó với môi trường Vấn

đề bây giờ trở nên phức tạp hơn Mãi đến khi Peres đưa ra phép chuyển

vị riêng (vào năm 1996) mới được xem là bước ngoặc cho sự phát triểncủa các tiêu chuẩn đan rối [31], [76] Ngay sau đó, một tiêu chuẩn tổngquát hơn do gia đình Horodecki đưa ra vào năm 1997 [57], tuy nhiên

nó cũng chỉ áp dụng cho hệ biến rời rạc và một lớp nhỏ các trạng thái.Nghĩa là các tiêu chuẩn đan rối cần được tiếp tục mở rộng cho phạm vibiến liên tục Tiêu chuẩn đầu tiên phải kể đến là tiêu chuẩn Duan-Cirac(2000) [36] rồi đến tiêu chuẩn do Simon đưa ra dựa trên phép chuyển

vị riêng âm, điều kiện đủ cho các trạng thái đan rối, tác dụng lên toán

tử mật độ của trạng thái hai thành phần [84] Dựa trên ý tưởng củatiêu chuẩn này, một loạt các tiêu chuẩn khác dưới dạng các bất đẳngthức được đề xuất dẫn đến việc mở rộng trạng thái đan rối cũng nhưphạm vi áp dụng Trong số này có thể kể đến hai tiêu chuẩn nổi bật,

một tiêu chuẩn mang ý nghĩa thực tiễn cao, tiêu chuẩn Hillery-Zubairy(2005) [52], và một tiêu chuẩn rất mạnh, tiêu chuẩn Shchukin-Vogel [80].Không dừng lại ở đó, các nghiên cứu xoay quanh vấn đề dò tìm và đorối vẫn đang tiếp tục để hướng đến một tiêu chuẩn hoàn hảo (bao gồm

cả điều kiện cần và đủ) áp dụng không chỉ cho hệ hai thành phần mà là

hệ đa thành phần bất kỳ và trên cơ sở đó tìm cách mô phỏng nó để cóthể tiến hành đo rối bằng thực nghiệm [31]

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, đó là dò tìm hiệu ứng đan rốicủa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, sau khi xem xétcác tiêu chuẩn đan rối khả dĩ chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn Shchukin-Vogel và tiêu chuẩn entropy tuyến tính Lý do cho lựa chọn này là vì cáctiêu chuẩn này hoàn toàn phù hợp với trạng thái chúng tôi đang khảosát và dẫn đến kết quả giải tích có thể tính số được bằng phần mềmMathematica Tiêu chuẩn Shchukin-Vogel dùng để kiểm tra sự tồn tạicủa tính chất đan rối kết hợp với tiêu chuẩn entropy tuyến tính để đánhgiá độ rối Bên cạnh dò tìm đan rối, việc đánh giá mức độ rối của nguồnrối cũng rất quan trọng, nó giúp ta có thể ước đoán hiệu suất của cácquá trình xử lý thông tin lượng tử trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể.Như là cơ sở lý thuyết cho việc khảo sát tính chất đan rối ở chương 3,chúng tôi tóm lược những ý chính liên quan đến hai tiêu chuẩn vừa đềcập ở trên

1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái của một hệ lượng tử được

trong đó pi là xác suất để hệ ở trạng thái |ψii Xét một hệ lượng tử haithành phần có trạng thái được mô tả bởi ma trận mật độ ˆρ Ma trậnmật độ của hai hệ con A và B chính là các ma trận mật độ rút gọn củaˆ

ρ, tương ứng là ˆρA = TrBρ và ˆˆ ρB = TrAρ, trong đó Trˆ A(B) ký hiệu chophép lấy vết lên chỉ không gian của hệ A (B) Một hệ lượng tử được gọi

là có thể tách nếu ma trận mật độ của nó có thể được viết dưới dạng

Định lượng độ rối có thể hiểu là phép đo mức độ vướng víu giữacác thành phần trong hệ Với các trạng thái đan rối hỗn tạp, phép đonày vô cùng phức tạp Tuy nhiên, với các trạng thái thuần ta có thể dễdàng đo một cách chính xác hoặc ít ra có thể so sánh mức độ rối giữacác trạng thái cùng một họ Trong một hệ hai thành phần thuần mà matrận mật độ rút gọn của các thành phần mô tả cho trạng thái của một

hệ cô lập, tức ˆρA và ˆρB có tính chất của một trạng thái thuần, thì rõràng không có bất kỳ sự ràng buộc nào giữa A và B Trái lại nếu ˆρA và

ˆB là các ma trận mật độ của trạng thái hỗn tạp chứng tỏ giữa A và

B có một mối liên kết nào đó, thể hiện hệ AB là hệ rối Mức độ hỗntạp của các ma trận rút gọn càng lớn chứng tỏ sự tương quan giữa haithành phần của hệ càng mạnh Do đó, độ rối của trạng thái hai thànhphần thuần có thể được đo thông qua phép đo mức độ hỗn tạp của ˆρAhoặc ˆρB, nói cách khác, thông qua entropy von Neumann của trạng thái

ˆA (hoặc ˆρB) có dạng [21]

S( ˆρA) = −TrA[ ˆρAlog2 ˆA] (1.27)

với quy ước 0 log20 = 0 Ưu điểm của phương pháp định lượng độ rốinày là độ chính xác tuyệt đối dựa trên quan điểm thống kê Tuy nhiên,việc xác định entropy von Neumann đòi hỏi phải chéo hóa ma trận mật

độ ˆρA, là một việc không hề dễ dàng cho các trạng thái bất đối xứng.Khi chỉ cần so sánh mức độ rối giữa các trạng thái với nhau, entropyvon Neumann là phương pháp quá tinh tế Lúc đó ta có thể đánh giá độthuần (hay hỗn tạp) của ˆρA (hoặc ˆρB) dựa trên tính chất của ma trậnmật độ Cụ thể, ta có Tr ˆρ2 của một trạng thái bất kỳ luôn nhỏ hơn hoặcbằng 1, dấu bằng ứng với trạng thái thuần Do đó, một đại lượng có têngọi entropy tuyến tính, được định nghĩa bởi [61]

L( ˆρA) = 1 − TrAˆ2A, (1.28)

sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 L = 0 ứng với TrAˆ2A = 1 thể hiện tínhchất có thể tách của hệ Nói cách khác, một trạng thái sẽ rối nếu L > 0

và giới hạn L = 1 ứng với trạng thái đan rối cực đại

1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel

Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng [76], Shchukin và Vogel đãđưa ra được một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh, bao trùm lên nhiều tiêuchuẩn đã được đề xuất trước đó [80] Có thể tóm tắt ý tưởng chính củatiêu chuẩn chuyển vị riêng như sau Phép chuyển vị chỉ tác dụng lên mộttrong hai hệ con của một hệ hai thành phần được gọi là phép chuyển vịriêng Phép chuyển vị riêng biến ma trận mật độ dương của trạng tháihai thành phần có thể tách ˆρ = P

ipiˆi,A⊗ ˆρi,B thành ma trận chuyển

vị ˆρTB = Pipi( ˆρi,A) ⊗ ( ˆρi,B)T cũng xác định dương nên được gọi là phépchuyển vị riêng dương Từ đó suy ra ma trận mật độ chuyển vị của mộttrạng thái nào đó có một trị riêng âm sẽ là trạng thái đan rối và đây chỉ

là điều kiện đủ.

Một toán tử ˆA được gọi là không âm nếu

hΦ| ˆA|Φi = Tr( ˆA|ΦihΦ|) ≥ 0 (1.29)với mọi trạng thái |Φi Đặt ˆf = |00ihΦ|, dễ dàng nhận thấy ˆf†f = |ΦihΦ|ˆ

và do đó hΦ| ˆA|Φi = Tr( ˆA ˆf†f ) ≡ h ˆˆ f†f iˆAˆ Viết |Φi dưới dạng các toán tửsinh photon tác dụng lên chân không, nghĩa là |Φi = ˆg†|00i, trong đó ˆg

là hàm của các toán tử hủy ˆa và ˆb của trường Khi đó