PHÂN TÍCH ĐỘNG lực HỌC CỦA dầm với điều KIỆN BIÊN THAY đổi BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu HẠN

TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hiện nay, để mô tả điều kiện biên của kết cấu người ta thường sử dụng các mô hình liên kết lý tưởng là ngàm, gối tựa, gối tựa,… Tuy nhiên, trong thực tế tính toán thì một số chuyên gia đã nhận ra rằng những mô hình liên kết lý tưởng không còn phù hợp với thực tế. Bài toán động lực học kết cấu với điều kiện biên thay đổi đã được đặt ra và nhận được sự quan tâm của nhiều chuyên gia. Một hướng nghiên cứu của lĩnh vực này là tính toán động lực học kết cấu khi thay đổi các phần tử của ma trận độ cứng tổng thể K tương ứng với các mô hình liên kết có điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữuhạn. Do đó, đồ án của em muốn đi vào phân tích động lực học của dầm với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung đồ án tập trung trình bày phương pháp giải bài toán động lực học của dầm với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp PTHH, trên cơ sở đó phát triển phần mềm tính toán để phân tích động lực học của kết cấudầm khi điều kiện biên thay đổi. Từ khóa: PTHH, Động lực học của dầm, điều kiện biên thay đổi.

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới các thầy cô giáo trongtrường Đại học Công nghệ – ĐHQGHN cũng như các thầy cô trong Viện Cơ học –Viện KHCN nói chung và các thầy cô giáo trong khoa Cơ học kỹ thuật và tự động hóanói riêng đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho em nhưng kiến thức, kinh nghiệm quybáu trong suốt thời gian qua

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo Nguyễn Việt Khoa, người thầy đãtận tình giúp đỡ, trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình làm đồ án tốtnghiệp

Sau cùng em xin giửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè và người thân,những người luôn động viên, đóng góp y kiến và giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập, nghiên cứu và hoàn thành đồ án tốt nghiệp

Chúc thầy cô, gia đình bạn bè mạnh khỏe và thành công!

Em xin chân thành cảm ơn!

TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Hiện nay, để mô tả điều kiện biên của kết cấu người ta thường sử dụng các môhình liên kết ly tưởng là ngàm, gối tựa, gối tựa,… Tuy nhiên, trong thực tế tính toánthì một số chuyên gia đã nhận ra rằng những mô hình liên kết ly tưởng không còn phùhợp với thực tế Bài toán động lực học kết cấu với điều kiện biên thay đổi đã được đặt

ra và nhận được sự quan tâm của nhiều chuyên gia Một hướng nghiên cứu của lĩnhvực này là tính toán động lực học kết cấu khi thay đổi các phần tử của ma trận độ cứngtổng thể K tương ứng với các mô hình liên kết có điều kiện biên thay đổi bằng phươngpháp phần tử hữuhạn Do đó, đồ án của em muốn đi vào phân tích động lực học củadầm với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung đồ ántập trung trình bày phương pháp giải bài toán động lực học của dầm với điều kiện biênthay đổi bằng phương pháp PTHH, trên cơ sở đó phát triển phần mềm tính toán đểphân tích động lực học của kết cấudầm khi điều kiện biên thay đổi

Từ khóa: PTHH, Động lực học của dầm, điều kiện biên thay đổi.

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đồ án tốt nghiệp: “Phân tích động lực học của dầm với điềukiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn”là công trình nghiên cứu củabản thân tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Việt Khoa

Các kết quả nêu trong đồ án là trung thực, không phải là sao chép toàn văn củabất kỳ tài liệu, công trình nghiên cứu nào khác mà không chỉ rõ trong tài liệu thamkhảo

Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2011

Tác giả ĐATN Cao Văn Mai

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ii

LỜI CAM ĐOAN iii

MỤC LỤC iv

DANH MỤCHÌNH VẼ, ĐỒ THI vii

BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT viii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH 3

Kết luận chương 1 23

Chương 3 PHÁT TRIỂN PHẦN MỀM MÔ PHỎNG SỐ 35

3.2.Modul tính toán phản ứng động học của kết cấu 35

3.3.Modul tính toán sự thay đổi tần số của kết cấu 37

Kết luận chương 3 41

Chương 4 MÔ PHỎNG SỐ ĐỘNG LỰC HỌC DẦM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY ĐỔI 42

4.3.1 Tính toán động lực học 52

Kết luận chương 4 57

KẾT LUẬN 58

PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ CÔNG THỨC MA TRẬN KHỐI LƯỢNG, MA TRẬN ĐỘ CỨNG, VECTOR LỰC 59

PHỤ LỤC 2: CODE PHẦN MỀM TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

DANH MỤCHÌNH VẼ, ĐỒ THI

Hình 1: Rởi rạc hóa kết cấu 4

Hình 2: Chuyển vị tại nút của phần tử dầm 5

Hình 3: Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn 6

Hình 4: Quy đổi lực nút phần tử 8

Hình 5: Mô hình dầm ngàm - ngàm chuyển sang dầm ngàm – gối tựa 16

Hình 6: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm Công xôn 18

Hình 7: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm gối tựa – gối tựa 20

Hình 8: Modul tính toán sự thay đổi tần số của kết cấu 38

Hình 9: Đồ thị chuyển vị mô hình dầm 2 đầu ngàm sang dầm ngàm– gối tựa 44

Hình 101: Sự biến đổi của tần số trong môi hình dầm 2 đầu ngàm sang dầm ngàm– gối tựa 46

Hình 112: Đồ thị chuyển vị mô hình dầm ngàm – gôi di động sang dầm Công xôn 49

Hình 123:Sự biến đổi của tần số trong mô hình dầm ngàm – gối tựa sang dầm Công xôn 51

Hình 134:Đồ thị chuyển vị mô hình dầm ngàm – gối tựa sang dầm gối tựa – gôi di động 53

Hình 145: Sự biến đổi của tần số trong mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm gối tựa – gôi di động 54

BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

A Diện tích mặt cắt

1, , ,2 9

a a a Các hệ số tích phân

[b] Ma trận liên hệ Boolean

ĐATN Đồ án tốt nghiệp

đkb Điều kiện biên

F Vector lực tổng thể

e

F Vector lực phần tử

I Moment quán tính mặt cắt ngang

K Ma trận độ cứng tổng thể

e

K Ma trận độ cứng phần tử

L Độ dài của toàn bộ kết cấu

l Độ dài của phần tử

M Ma trận khối lượng tổng thể

e

M Ma trận khối lượng phần tử

N Ma trận các hàm dạng

PTHH Phương pháp phần tử hữu hạn

∆ Bước thời gian tính tích phân

ρ Khối lượng riêng

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, các kết cấu nói chung, kết cấu dầm nói riêng chịu tác động củanhiều tải trọng khác nhau như: Tải trọng bản thân, tải trọng do con người gây ra, tảitrọng do nhiệt độ, sự co ngót, sự sụt lún không đều,… gây ra hư hỏng kết cấu, làm suygiảm các điều kiện biên Sự suy giảm, thay đổi của các điệu kiện biên dẫn đến ứng xửcủa kết cấu cũng thay đổi theo Ở mực độ nào đó nó có thể dẫn tới sự phá hủy mộtphần kết cấu hoặc toàn bộ kết cấu gây thiệt hại về kinh tế, vật chất và con người Dođó, yêu cầu tìm hiểu sự ứng xử của kết cấu khi điều kiện biên thay đổi là vấn đề cầnthiết

Xuất phát từ thực tế trên, em xin chọn đề tài: “Phân tích động lực học của dầmvới điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp phần tử hữu hạn” để làm đồ án tốtnghiệp

Mục tiêu của đồ án là: Nghiên cứu, phân tích tính động lực học cầuvớiđiều kiện

biên thay đổi để xác định phản ứngvà đặc trưng động lực học của kết cấu.

Trong đồ án này, mô hình của dầm dưới dạng tác dụng của tải trọng di động vớiđiều kiện biên thay đổi sẽ được trình bày và giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Các mô hình số được xây dựng, tính toán bằng phần mêm tính toán phân tích được emphát triển dựa trên ly thuyết trên để phân tích đánh giá các phản ứng động lực học củakết cấu dầm Bố cục đồ án gồmphần mở đầu,4 chương và phần phụ lục:

MỞ ĐẦU - Giới thiệu đề tài, xác định mục tiêu, nội dung và phạm vi thực hiệncủa đồ án tốt nghiệp

Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN THAY ĐỔI BẰNGPHƯƠNG PHÁP PTHH - Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn và một số mô hìnhphần tử hữ hạn của dầm có điều kiện biên thay đổi

Chương 2: GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNGPHÁP NEWMARK - Giới thiệu phương pháp Newmark, giải bài toán động lực họcbằng phương pháp Newmark

Chương 3: PHÁT TRIỂN PHẦN MỀM MÔ PHỎNG SỐ - Giới thiệu về phầnmềm mô phỏng số đã pháp triển dựa trên cơ sở ly thuyết đã nêu ở chương 1 và chương

2 Phần mềm cũng là công cụ để phân tích tính toán động lực học của dầm với điềukiện biên thay đổi (điều kiện biên không ly tưởng) ở chương 4

1

Chương 4: PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC DẦM - Tập trungphân tích phản ứng và đặc trưng động học của kết cấu dựa trên kết quả tính toán củaphần mềm đã phát triển.

KẾT LUẬN - Đánh giá đồ án, kết quả đã đạt được và các mặt còn hạn chế, từ đóđưa ra định hướng phát triển nghiên cứu trong tương lai

PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ CÔNG THỨC MA TRẬN KHỐI LƯỢNG, MA TRẬNĐỘ CỨNG, VECTOR LỰC

PHỤ LỤC 2: CODE PHẦM MỀM TÍNH TOÁN ĐỘNG HỌC BẰNGPHƯƠNG PHÁP PTHH

Chương 1 ĐỘNG LỰC HỌC DẦM CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN

THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH 1.1 Xây dựng mô hình PTHH cho dầm

1.1.1 Giới thiệu về phương pháp PTHH

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp rất tổng quát và hữu hiệucho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng thái ứngsuất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của ly thuyết trường như: lythuyết truyền nhiệt, cơ học hất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.[4]Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin nhiều bài toán phức tạp đã được tínhtoán và phân tích một cách dễ dàng

Tư tưởng chủ yếu của phương pháp này là việc chia vật thể biến dạng hay kếtcấu thành một số hữu hạn các phần tử có hình đơn giản (ví dụ như đoạn thẳng trongtrường hợp một chiều, tam giác hay tứ giác trong trường hợp hai chiều, khối hộp trongtrường hợp ba chiều) với trường chuyển vị có thể biết được (thanh, dầm, màng, bản,vỏ, khối ba chiều, v.v.)

1.1.2 Thiết lập bài toán động lực học của dầm

Xét bài toán: Kết cấu dầm với điều kiện biên thay đổi có chiều dài là L, Chiềurộng mặt cắt ngang là b, Chiều cao mặt cắt ngang là h, Khối lượng riêng ρ,Modul đàn

hồi E Hệ số cản modal cho các tần số là ξ ξ1; 2 Kết cấu chịu tải trọng F(t) di chuyểnvới vận tốc không đổi v.Yêu cầu đặt ra là ta phải tính toánh phản ứng động của kết cấuvà sự thay đổi tần số của kết cấu với điều kiện biên thay đổi bằng phương pháp PTHH.Để giải bài toán này ta cần phải thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số bậc tự do

Bước 2: Thiết lập ma trận, vector phần tử:

- Ma trận khối lượng phần tử: M e

- Ma trận độ cứng phần tử: K e

- Vector lực nút: F e

3

Bước 3: Ghép nối các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng , vector lực nút củaphần tử trên cơ sở ma trận mô hình tương thích để tạo thành ma trận khối lượng tổngthể M, ma trận độ cứng tổng thể K (có kể đến điều kiện biên) Riêng ma trận hệ số cản

C thường áp dụng các giả thiết nhằm đơn giản hòa vì: một phần do bản chất phức tạpcủa hệ số cản, phần khác do yêu cầu của các phương pháp tính toán Một dạng cảnthường dùng trong kết cấu ma trận hệ số cản Rayleigh tính qua các ma trận M và K.Bước 4: Giải hệ phương trình động học

( )

Bước 5: Đưa ra kết quả tính

1.1.2.1 Rời rạc hóa kết cấu và thiết lập ma trận phần tử:

Giả sử dầm được chia thành ne phần tử bởi ne+1 nút Nếu mỗi nút có 2 bậc tự dothì số bậc tự do của cả hệ là n = ( ne + × 1 2 )

Hình 1: Rởi rạc hóa kết cấu

Ở đây, để đơn giản ta xét dầm Bernoulli Ta có giả thiết Bernoulli-Euler về dầmmỏng như sau:

- Mặt cắt duy trì phẳng trong quá trình biến dạng uốn

- Không có biến dạng trượt mặt phẳng, nghĩa là đường trung hòa trực giao vớimặt cắt trước và sau biến dạng

Vậy theo giả thiết trên thì mỗi nút có 2 bậc tự do là độ võng w và góc xoayθ.Vậy tương ứng với mỗi phần tử dầm có 4 chuyển vị nút:

{ 1; 2; 3; 4} { 1; ; ;1 2 2}

e

Hình 2: Chuyển vị tại nút của phần tử dầm

Trường chuyển vị U biểu diễn qua các chuyển vị nút U nhờ các hàm nội suy i e

Hình 3: Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn

Khi đó biến dạng dọc trục :

2 2

EJ K

Trong đó : z 2

A

J =∫y dA là momen quán tính của mặt cắt ngang lấy với trục z

Ma trận ma trận khối lượng phần tử nhận được từ tích phân sau :

[ ]

0( ) ( )

L T e

A A

ρρρρ

Trong đó : ρlà khối lượng riêng ; E là modul đàn hồi ; A là diện tích mặt cắt ; l

độ dài của phần tử ;

Ta có các hàm dạng và các vi phân của nó đã tính được ở trên như sau:

Hình 4: Quy đổi lực nút phần tử

6

e

T e

V V

l gAl

2

3 2

4

( ) 2

12

( ) 2

12

F

F e

F F

gAl

F N x gAl

F N x F

gAl

F N x gAl

F N x

ρ ρ ρ ρ

1.1.2.2 Ghép nối phần tử hay sử dụng ma trận chỉ số để xây dựng ma trận độ cứng,

ma trận khối lượng vả vector tải tổng thể.

Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử {Ue} thuộc {U} người ta lập ma trậnchỉ số [b] (còn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà giá trị của mỗi phần tử thành phầnchính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i

Ma trận chỉ số [b] có số hành bằng số phần tử của hệ, số cột bắng số bậc tự docủa một phần tử.

Sau đây là là cách ghép nối đối với dầm được chia thành ne=3 phần tử một chiềubậc nhất Với dầm chia thành ne phần tử ta cũng có thể làm theo các tương tự

Ta có ma trận khối lượng của các phần tử lần lượt là :

M thành ma trận độ cứng M tổng thể ta

cần thực hiện lần lượt các bước như sau :

- Bước 1 : Xây dựng ma trận chỉ số [b] để ghép nối phần tử :

(1) 1 (1)

(1) 3 (1) 4

e

F F F

F F

(2) 3 (2) 4

e

F F F

F F

(3) 3 (3) 4

e

F F F

F F

(1) 1 (1) 2 (1) (2)

F F

1.1.2.3 Áp đặt điều kiện biên

Trong điều kiện biên cổ diển (điều kiện biên ly tưởng) thì các liên kết ở biên cóthể là ngàm hoặc khớp hoàn toàn, nhưng trong thực tế thì các liên kết này có thể suyyếu ở một mức độ nào đó không còn ly tưởng nữa Để mô tả tính không ly tưởng này

ta đưa vào một hệ số gọi là hệ số thay đổi điều kiện biên với định nghĩa về hệ số nàynhư sau:

Hệ số thay đổi điều kiện biên là hệ số đặc trưng cho sự thay đổi của điều kiệnbiên tại bậc tự do nào đó của kết cấu

Ky hiệu là s với k là vị trí bậc tự do có sự thay đổi điều kiện biên k

k

s nhận các giá trị trong đoạn [0;100% với ] s k =0 tương ứng với bậc tự do thứ

k là ngàm chặt;s k =100% tướng ứng với bậc tự do thứ k là khớp hoàn toàn,

0< <s k 100% tương ứng với điều kiện biên ở bậc tự do thứ k không ly tưởng

Với định nghĩa như trên ta có các trường hợp cụ thể như sau:

- Khi s k =0 thì các phần tử hàng thứ k, cột thứ k của ma trận độ cứng tổng thể K,

ma trận khối lượng M và các phần tử hành thứ k của vector lực tông thể F đượclược bỏ [5].Trường hợp này tương ứng với việc liên kết biên là ngàm chặt,chuyển vị tại bậc tự do thứ k bằng 0, hayU k =0.Vậy hệ để giải sẽ nhận đượcbằng cách “nôm na” là “bỏ đi” các hàng và cột tương ứng , tức là “bỏ” hàng thứ

k, cột thứ k của hệ phương trình động học (1.1).Với:

1 1

1 1

k k

n n

F F

F F

− +

vẫn được giữ nguyên.Trường hợp này tương ứng với việc liên kết biên là ngàmkhớp hoàn toàn.

- Khi 0< <s k 100% thì các phần tử ở hàng thứ k và cột thứ k của ma trận độ cứngtổng thể K được nhân với s ; các phần tử ma trận khối lượng tổng thể M và các k

phần tử vector lực F vẫn giữ nguyên Trường hợp này ứng với việc liên kết biênkhông còn ly tưởng Cụ thể các ma trận và vector trong hệ phương trình độnghọc trên trở thành:

Sau tính được các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của các phần tử ta ghépnối thành ma trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng thể Ma trận cản hệ số cảnRayleigh có dạng :

1.2 Các mô hình PTHH của dầm có điều kiện biên thay đổi

Sau đây, đồ án đi vào trình bày cách áp đặt điều kiện biên của trong các mô hìnhcần phân tích Ta có ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vector lực tổng thể của hệ

n bậc tự do là:

L L

(1.33)

15

L L

(1.34)

1 2

1

1 2

1

n n

F F F

Hình 5: Mô hình dầm ngàm - ngàm chuyển sang dầm ngàm – gối tựa

Trong điều kiện biên cổ điển dầm ngàm - ngàm, các phần tử hàng, phần tử cộtthứ 1, 2, n-1, n của ma trận K, M ở biểu thức 1.33, 1.34 và phần tử hàng thứ 1, 2, n-1,

n của vector lực F ở biểu thức 1.35 bị “bỏ” đi tương ứng với bậc tự do thứ 1,2,n-1,n bịngàm chặt Để xét dầm có điều kiện biên không ly tưởng tại bậc tự do xoay ở đầu bênphải của dầm thì các phần tử hàng và cột thứ n của ma trận K ở biểu thức 1.33 sẽ đượcnhân với một hệ số s ( n 0%< ≤s n 100%)

Ta có biểu thức ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và vector lực tổng thể

sẽ thay đổi sang điều kiện biên không ly tưởng như sau:

- Đối với trường hợp điều kiện biên cổ điển dầm ngàm - ngàm

n n n

2

n n n

L

(1.37)

3 4 5

2

345

2

n

F F

L L

(1.39)

17

(1.40)

3 4

2

3 4

2

n n

F F F

Hình 6: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm Công xôn

Ta có biểu thức ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và vector lực tổng thể

sẽ thay đổi như sau:

- Đối với trường hợp điều kiện biên cổ điển dầm ngàm – gối tựa

L L

L L

(1.43)

3 4

2

3 4

2

n n

F F F

L L

3 4

1

n

n n

L L

(1.46)

3 4

1

3 4

1

n n

F F F

Hình 7: Mô hình dầm ngàm – gối tựa chuyển sang dầm gối tựa – gối tựa

Ta có biểu thức ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M và vector lực tổng thể

sẽ thay đổi như sau:

- Đối với trường hợp điều kiện biên cổ điển dầm ngàm – gối tựa

L L

L L

(1.49)

3 4

2

3 4

2

n n

F F F

L L

(1.51)

21

L L

(1.52)

2 3

2

2 3

2

n n

F F F

Kết luận chương 1

Trong chương 1 đã trình bày phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán độnglực học kết cấu dầm có điều kiện biên thay đổi Đồng thời, xây dựng cách áp đặt điềukiện biên vào các mô hình dầm mà đố án nghiên cứu.Trên cơ sơ đó tạo tiền đề để giảibài toán động học dầm sẽ trình bày ở trong chương 2

23

Chương 2 GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM BẰNG

PHƯƠNG PHÁP NEWMARK 2.1 Giới thiệu về phương pháp Newmark

Phương pháp Newmark là công thức tích phân bước đơn (Single-step) Biếnvector trạng thái của hệ tại một thời gian t n+1 = +t n h được suy ra từ các vector trạng

thái đã biết ở thời gian t n[2], dựa trên khai triển xấp xỉ chuỗi Taylor Phương pháp sốnày được đặt theo tên một kỹ sư người Mỹ, Nathan Mortimore Newmark (Nathan M.Newmark) là Giáo sư Kỹ thuật xây dựng tại Đại học Illinois tại Urbana-Champaign,người giới thiệu nó vào năm 1959 cho tính toán đáp ứng động lực học của hệ tuyếntính và phi tuyến (Newmark – β)

Xét phương trình chuyển động liên tục của một chất điểm theo thời gian:

2

12

u ut= +& ut&& (2.1)Dựa trên khải triển xấp xỉ chuỗi Taylor đối với vận tốc :

& & && &&

& && && (2.4)

Tương tự ta có khải triển xấp xỉ chuỗi Taylor đối với chuyển vị :

1

1 2

u + = + ∆ u tu & + ∆ tu &&β (2.5) Với : u&&β = −(1 2β)u&&n+2βu&& ,0n+1 ≤ ≤β 1

Newmark nhận thấy một giá trị hợp ly của γ là ½ , do đó các phương trình trở

thành:

& & && &&

& && &&

(2.6)

Với các giá trị β thay đổi trong khoảng từ 0 đến 1 ta có một loạt kết quả Thông thường lấy β=1/4 đối với phương pháp gia tốc trung bình không đổi

2.2 Giải bài toán động lực học dầm bằng phương pháp Newmark

Hệ phương trình cân bằng đáp ứng động của phương pháp phần tử hữu hạn viếtcho bài toán kết cấu dầm chịu tải trọng động có dạng:

& && &&&

& & && &&&

(2.7)

Ta bỏ qua thành phần bậc cao và biểu diễn chúng dưới dạng sau:

2

3 2

& && &&&

& & && &&& (2.8)

Nếu gia tốc được giả định là tuyến tính trong bước thời gian, ta có công thức sau:

& & && &&

& && && (2.10)

Trong đó: γ và β là các tham số có thể được xác định được sự ổn định và độchính xác của tích phân (2.44) phụ thuộc vào chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thờiđiểm t+∆t

25

Ta xét phương trình cân bằng tại thời điểm t+∆t:

MU&&+∆ +CU&+∆ +KU+∆ =F+∆ (2.11)

Ta tìm biểu diễn của U& , t+∆t U&& qua t+∆t U t+∆t từ phương trình (2.11) ta có:

2 12

U +∆ =U + ∆tU + ∆t  −β÷U +βU+∆

& && && (2.12)

Từ (2.12) suy ra gia tốc và vận tốc tại thời điểm t+∆t:

1

1 2

Thế (2.13), (2.14) vào (2.12) ta được:

12

) & && & &&

Và các hằng số tích phân

Quy trình thuật toán:

A Tính toán ban đầu:

1 Xây dựng ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M, và ma trận cản C.

2 Cho giá trị ,U U U U t o, & &&.o, o

3 Chọn bước thời gian ∆t và tính các tích phân (2.17):

B Tại mỗi bước tính

1 Tính vector tải hữu hiệu tại thời điểm t+∆t:

F)+∆ =M a U +a U&+a U&& +C a U +a U&+a U&& +F+∆ (2.20)

2 Giải phương trình :

Kết luận chương 2

-Hình 6: Rời rạc hóa kết cấu dầm

Chương 2 đi vào giới thiệu về phương pháp Newmark và áp dụng phương phápnày để giải hệ phương trình động học của kết cấu dầm Ly thuyết trình bày trongchương này và chương 1 là cơ sở để hình thànhvà phát triển phần mềm mô phỏng sốđược giới thiệu trong chương 3.

31