Nghiên cứu các mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ

- Nghiên cứu khảo sát đặc điểm của mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic trên phân hoạch vành đa thức, làm cơ sở đề xuất phương án, cách tiếp cận để xây dựng mã đối ngẫu của lớp

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

NGUYỄN VĂN TRUNG

NGHIÊN CỨU CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA MÃ

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ - BỘ QUỐC

PHÒNG Người hướng dẫn khoa học:

GS TS Nguyễn Bình

TS Phạm Việt Trung Phản biện 1:

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng bảo vệ cấp Viện theo quyết định

số 489/QĐ-VKHCNQS ngày 25 tháng 4 năm 2016 của Giám đốc Viện Khoa học và Công nghệ quân sự, họp tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự vào hồi … giờ … ngày tháng … năm …

Có thể tìm hiểu luận án tại

- Thư viện Viện KH-CNQS

- Thư viện Quốc gia

PHẦN MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài

Thông tin và vấn đề mã hóa thông tin hiện nay vẫn luôn là một trong những lĩnh vực được nhiều chuyên gia hàng đầu trên thế giới tiếp tục nghiên cứu và phát triển dựa trên nền tảng của lý thuyết mã hóa (được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 40 của thế kỉ trước) Các nghiên cứu trong lĩnh vực này thường là các nghiên cứu về độ tin cậy của truyền tin trên các kênh truyền có nhiễu, xây dựng các bộ mã tốt

và các phương pháp giải mã hiệu quả Một trong những kết quả nổi bật nhất về lý thuyết mã hóa ứng dụng trong truyền tin là các lớp mã tuyến tính, đặc biệt là lớp mã xyclic

Tiếp tục kế thừa và phát triển theo hướng phát triển mã khối tuyến tính và mã xyclic, mã xyclic cục bộ bắt đầu được nghiên cứu và phát triển Đây là một loại mã không những bao hàm mọi tính chất của

mã xyclic truyền thống mà nó còn có nhiều ưu điểm nổi trội và thiết thực như: khả năng lựa chọn mã đa dạng, tốc độ lập mã và giải

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

- Nghiên cứu sâu về mã xyclic cục bộ, tập trung vào các mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic

- Nghiên cứu khảo sát đặc điểm của mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic trên phân hoạch vành đa thức, làm cơ sở đề xuất phương

án, cách tiếp cận để xây dựng mã đối ngẫu của lớp mã xyclic cục bộ xây dựng trên nhóm nhân xyclic

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án thuộc phạm vi lý thuyết cơ sở, tập trung nghiên cứu khảo sát và chứng minh chặt chẽ về mặt toán học các tính chất của nhóm nhân xyclic, cấp số nhân xyclic và các lớp mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic trên phân hoạch vành đa thức, đề xuất cách xây dựng mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ xây dựng theo nhóm nhân xyclic

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tổng hợp, phân tích kết hợp với xây dựng chương trình khảo sát trên ngôn ngữ lập trình Matlab để tìm ra những tính chất mới của mã xyclic cục bộ xây dựng theo nhóm nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức, sử dụng kiến thức toán học để chứng minh tính đúng đắn của các tính chất trên, từ đó đề xuất phương

án xây dựng các lớp mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ xây dựng theo nhóm nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức

Luận án sử dụng các kết quả nghiên cứu về các cấu trúc đại số trong lý thuyết đại số tuyến tính, các kết quả nghiên cứu về mã xyclic cục bộ và lý thuyết mã kết hợp với kết quả khảo sát để chứng minh cho tính đúng đắn về những tính chất của mã xyclic cục bộ

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Luận án là một công trình nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh về các lớp mã xyclic cục bộ xây dựng theo nhóm nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức Những đóng góp mới của luận án: xác định được tính chất của nhóm nhân xyclic: cấp của nhị thức trên phân hoạch vành đa thức; xây dựng và xác định cấp của nhóm nhân xyclic tích bằng cách kiến thiết

thông qua các nhóm nhân xyclic thành phần; chứng minh các mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic trên phân hoạch vành đa thức là

mã xyclic ; xác định tính chất của mã xyclic trên một lớp vành đa thức đặc biệt: Vành Mersenne Với các tính chất đã được xây dựng để thiết lập và tìm kiếm mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ trên các phân hoạch vành đa thức

Cấu trúc của luận án

Luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương nội dung

Chương 1 trình bày tổng quan về mã khống chế sai, các quan điểm

và xu hướng xây dựng mã khống chế sai, các tiêu chuẩn đánh giá về một bộ mã tốt, tập trung chủ yếu vào mã xyclic cục bộ và các kiểu phân hoạch vành đa thức để xây dựng mã xyclic cục bộ

Chương 2 trình bày về các tính chất của nhóm nhân xyclic, vành

đa thức và mã xyclic, khảo sát và chứng minh những tính chất mới của nhóm nhân xyclic và cấp số nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức

Chương 3 trình bày chứng minh các mã xyclic cục bộ xây dựng

từ một lớp kề xyclic là mã xyclic, tính chất của các mã xyclic xây dựng trên vành Mersenne và các kiến thức cơ sở, nền tảng về mã đối ngẫu của mã tuyến tính nói chung và mã xyclic nói riêng, từ đó đề xuất phương án và thuật toán xây dựng mã đối ngẫu của mã xyclic cục

bộ trên vành đa thức

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐNG CHẾ SAI

1.1 Những vấn đề cơ bản và các hướng nghiên cứu về mã khống chế sai

1.2 Các quan điểm xây dựng mã có kiểm tra sai

1.3 Các tiêu chuẩn đánh giá mã khống chế sai

1.4 Các loại mã khống chế sai điển hình

1.5 Mã xyclic cục bộ

Trong phần này tác giả trình bày về định nghĩa của mã xyclic cục

bộ, cách biểu diễn mã xyclic cục bộ, các cách phân hoạch vành đa thức

để xây dựng và biểu diễn mã xyclic cục bộ cũng như mối liên hệ giữa

mã xyclic cục bộ với các bộ mã tuyến tính được xây dựng trên các cấu trúc đại số cũng như các kết quả đạt được và các hướng nghiên cứu mở đối với mã xyclic cục bộ

Các dạng phân hoạch vành đa thức được sử dụng để xây dựng mã xyclic cục bộ:

- Phân hoạch chuẩn

- Phân hoạch cực đại

- Phân hoạch cực tiểu

- Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số

- Phân hoạch vành thành các phần tử có cùng tính chẵn lẻ của trọng số

- Phân hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo…

Đối với mã xyclic cục bộ và các mã tuyến tính xây dựng trên các cấu trúc đại số, có thể khái quát và phân loại các dạng mã thuyến tính theo hình 1.6

Qua một thời gian dài nghiên cứu, thành tựu về mã xyclic cục bộ

đã có được những kết quả nhất định góp phàn không nhỏ vào lĩnh vực nghiên cứu một dạng mã khống chế sai được ứng dụng và đưa vào thực tiễn, có thể kể đến những thành tựu trong quá trình nghiên cứu về mã xyclic cục bộ như:

- Xây dựng được các dạng phân hoạch khác nhau và các kiểu phân hoạch khác nhau của vành đa thức làm cơ sở để xây dựng mã xyclic cục bộ

- Xây dựng một số mã xyclic cục bộ tự trực giao và mã xyclic cục

bộ có khả năng tự trực giao

- Xây dựng một số mã xyclic cục bộ đối xứng và tự đối xứng trên các lớp kề (cấp số nhân) đối xứng và tự đối xứng

- Xây dựng được một số lớp mã xyclic cục bộ và mã xyclic trên

các phần tử liên hợp của lũy đẳng nuốt   1

0

n i i





 trên các phần tử liên hợp của zero trên vành chẵn

- Xây dựng một số mã xyclic cục bộ trên các phân hoạch hỗn hợp

- Xây dựng được hệ mật đa biểu và trường hợp riêng của nó là hệ mật luân hoàn trên một số loại vành đặc biệt (vành đa thức có

Ma trận

Cauchy

Vành đồng dư

Phân hoạch vành theo các nhóm nhân cyclic

Mã cyclic cục bộ

Ma trận Vandermon

Mã Gopa Mã BCH

Mã cyclic theo Ideal I=<g(x)>

Trên 1 vành

Trên 2 vành

Phân hoạch cực tiểu

Phân hoạch cực đại

Vành và vành ước của vành

Hai vành bất kì

Phân hoạch chuẩn

Mã cyclic cục bộ đa tốc độ

Mã cyclic cục bộ liên hợp

Mã tựa cyclic cục bộ

Mã cyclic đơn nhịp

Mã cyclic với nhịp đa thức

Mã cyclic với nhịp

x: I={x i mod h(x)}

n chẵn

n lẻ

Hình 1.6: Phân hoạch các loại mã tuyến tính

Với các kết quả đạt được ở trên có thể nói, mã xyclic cục bộ cũng

đã được nghiên cứu khá khoàn chỉnh về mặt lý thuyết, tuy nhiên vẫn còn có các hướng nghiên cứu mở để hoàn thiện về mặt lý thuyết mã xyclic cục bộ như:

- Nghiên cứu phổ trọng số của các mã xyclic cục bộ

- Khảo sát kỹ các cấu trúc các nhóm nhân xyclic và cấp số nhân xyclic trong vành Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho các đa thức có cấp cực đại trong vành

- Xây dựng các ma trận kiểm tra của các mã xyclic cục bộ

- Nghiên cứu các mã xyclic cục bộ theo quan điểm lý thuyết hệ thống

- Nghiên cứu các mã xyclic cục bộ trên trường mở rộng GF 2n

- Nghiên cứu lý thuyết phổ cho các mã xyclic cục bộ

- Nghiên cứu các mã đối ngẫu của mã xyclic cục bộ

- Nghiên cứu trên vành chẵn và các mã được xây dựng trên vành này

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương này đề cấp đến các xu hướng và quan điểm xây dựng mã không chế sai hiện nay trên thế giới, các bộ mã khống chế sai điển hình xây dựng trên cấu trúc đại số và mối quan hệ của những bộ mã này đối với mã xyclic cục bộ, các cách xây dựng và biểu biễn mã xyclic cục

bộ trên phân hoạch vành đa thức, các phương pháp phân hoạch vành

đa thức để xây dựng mã xyclic cục bộ cùng với những thành tựu quan trọng trong quá trình nghiên cứu về mã xyclic cục bộ cũng như các hướng nghiên cứu tiếp theo cho mã xyclic cục bộ, hướng nghiên cứu của tác giả đối với mã xyclic cục bộ Nội dung của chương cũng đề cấp đến mối liên hệ của mã xyclic cục bộ và các bộ mã tuyến tính trong bảng phân loại các bộ mã tuyến tính

CHƯƠNG 2 NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC

2.1 Cơ sở đại số

Phần này đề cập đến các định nghĩa và tính chất của các cấu trúc đại số liên quan đến luận án: nhóm vành trường

2.2 Vành đa thức và trường Galois

Phần này đề cập đến khái niệm, các định nghĩa cơ bản và tính chất của vành đa thức trên trường Galois, đa thức bất khả quy

2.3 Lũy đẳng trên vành đa thức theo modulo x n1

Tính chất của lũy đẳng trên vành đa thức:

(i) Tập các lũy đẳng của vành đa thức 2 x /x n1lập thành một vành con

(ii) e x  là một lũy đẳng trên vành đa thức, khi đó gcde x ,1 là ước không tầm thường của x n1

Trong mỗi vành đa thức 2 / n 1

x x  đều tồn tại một lũy đẳng

Trong một vành đa thức 2 x /x n1bất kì, với n lẻ luôn tồn

tại một lớp kề chỉ chứa một lũy đẳng nuốt e0 x

Tính chất của lũy đẳng nuốt:

- Nếu   2 / n 1

a x  x x  và W a x    là một số lẻ thì

   0 0 

2.3.2.2 Sự tồn tại của lũy đẳng nguyên thủy trên vành đa thức

Bổ đề 2.1: Đa thức e x  là một lũy đẳng khi và chỉ khi tập các chỉ

số với các hệ số khác không của nó trùng với một hợp nào đó của các chu trình

Đây chính là lũy đẳng nuốt của vành

Như vậy, dựa vào việc phân tích các chu trình, ta có thể nhận thấy,

ý nghĩa của các chu trình như sau:

- Số các chu trình cho biết số các đa thức bất khả quy trong vành

- m là cấp của nhóm nhân xyclic, cũng chính là cấp của phần tử sinh

 Cấp của nhóm nhân cylic là tổng số các phần tử của nhóm

a x   x x x trên vành    9 

2 x / x 1 Ta có:

Định nghĩa 2.18: Đa thức  a x  được gọi là có cấp hữu hạn nếu

tồn tại một số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho

   mod 1

Trong đó

- e x  là một lũy đẳng nào đó của vành

- m được gọi là cấp của đa thức kí hiệu mord a x 

Tính chất về cấp của phần tử trong vành:

Bổ đề 2.2: Cho R là một vành hữu hạn, khi đó mọi phần tử aR

đều có cấp hữu hạn

Chứng minh:

Thật vậy, a R, ta có dãy  a i ,i1, 2, gồm vô hạn các phần

tử thuộc R , mà tập R là một tập hữu hạn các phần tử, do đó sẽ tồn tại

các giá trị ,j k1 sao cho

Bổ đề 2.4 Với mọi đa thức F x q /x n1 và mọi số tự nhiên

gcd  ,x n 1 1 Nói cách khác, ta có thể viết

  , trong đó  là một lũy đẳng nào đó thì

đa thức  được xác định như sau:

Nếu n lẻ và x n 1 f x i , trong đó f x là các đa thức bất khả quy i Khi đó ord   2m1 Trong đó mmax degf x i 

 , nhóm này chứa tất cả các nhị thức 1x j với jC i Như vậy mọi phần tử đều có cùng cấp và chúng có cùng cấp và chúng có cấp là ước của 2m i 1 với m i là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 2m i mod ,

Khi đó nhóm nhân cylic A sinh bởi  cũng có cấp m với  là

đa thức đối xứng (đa thức bù) của 

Từ tính chất của lũy đẳng nuốt, ta có:

A A

Như vậy, theo định lý 2.7 nêu trên, có thể nhận thấy, từ các phần tử có

cấp nhỏ, ta có thể xây dựng được các phần tử có cấp là n nếu các phần tử

được chọn có cấp nguyên tố cùng nhau và có cùng đa thức lũy đẳng

2.5 Thuật toán tìm cấp của đa thức trong  / n 1

Thuật toán xác định cấp của nhóm nhân xyclic

Input: a x F x q /x n1 với pchar F q , n không là bội của p

Output: ord   mod , 1n





 và lưu vào mảng k chiều P cặp số p c i, i

6.4 While a tmodF x q, n 1 e and jc do

6.4.1 dt // d luôn là bội của ord mod , n 1

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Mã xyclic và mã xyclic cục bộ đều xây dựng trên cơ sở của các cấu trúc đại số: nhóm, vành trường Trong lý thuyết mã đã chỉ ra là mã được xây dựng trên cơ sở cấu trúc đại số càng phức tạp sẽ càng có điều kiện để xây dựng nên các lớp mã tốt

Các kết quả trình bày trong chương 2:

Xác định cấp của các nhóm nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức bằng cách kiến thiết thông qua hai phương án:

- Xác định cấp của đa thức thông qua việc xác định cấp của các nhị thức trên phân hoạch vành đa thức

- Xác định cấp của đa thức tích thông qua việc xác định cấp của các đa thức thành phần với điều kiện các đa thức thành phần có cùng đa thức lũy đẳng và có cấp nguyên tố cùng nhau

- Chứng minh các tính chất và đề xuất thuật toán hiệu quả xác định cấp của đa thức trên một vành hữu hạn bất kì

CHƯƠNG 3 CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA NHÓM NHÂN XYCLIC

3.1 Các mã đối ngẫu của mã khối tuyến tính

Phần này tác giả đề cập đến cấu trúc của một mã khối tuyến tính xây

dựng trên không gian k chiều của không gian tuyến tính n chiều, mã khối

tuyến tính hệ thống và phương pháp xây dựng mã đối ngẫu của mã khối tuyến tính tông qua việc biến đổi mã tuyến tình về dạng hệ thống

3.2 Các mã đối ngẫu của mã xyclic

Nội dung phần này tập trung vào định nghĩa mã xyclic, ma trận sinh

và ma trận kiểm tra của mã xyclic trên một vành đa thức

3.3 Các mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic

Đối với mã xyclic, việc khảo sát và lựa chọn để tìm ra một bộ mã

tối ưu trên các vành đa thức có giá trị n lớn là rất phức tạp và khó

khăn, thậm chí để nhớ được đa thức sinh của những bộ mã xyclic này cũng là một vấn đề Để giải quyết được yêu cầu nêu trên, tác giả đề suất thật toán và chứng minh một thính chất của mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic Tình chất trên được phát biểu thông qua định lý 3.2, kèm theo đó là thuật toán xác định đa thức sinh của mã xyclic thông qua khảo sát và xây dựng mã xyclic cục bộ từ nhóm nhân xyclic (là một dạng lớp kề xyclic (trên phân hoạch vành đa thức)

Định lý 3.2: Mã xyclic cục bộ xây dựng từ một lớp kề xyclic trên

phân hoạch vành đa thức cũng là một mã xyclic Mã xyclic này được xây dựng trên vành đa thức có bậc là cấp của lớp kề xyclic trong phân hoạch của vành đa thức xây dựng lớp kề xyclic

Thuật toán xác định mã xyclic xây dựng từ nhóm nhân xyclic Input: Nhóm nhân xyclic trên phân hoạch vành đa thức

Output: Mã xyclic xây dựng từ nhóm nhân xyclic ở trên

Ví dụ 3.7: Trong vành    9 

2 x / x 1 , đa thức 9

1

x  được phân tích thành 3 đa thức bất khả quy:

Dễ dàng nhận thấy G là nhóm nhân được xây dựng trên phân hoạch

vành đa thức theo modulo h x  với

3.4 Các mã xyclic trên vành Mersenne

Nội dung phần này đề cập đến một tính chất của mã xyclic cục bộ xây dựng theo nhóm nhân xyclic trên vành Mersenne, tính chất đó được trình bày theo bổ đề 3.3

Bổ đề 3.3: Trên vành Mersenne ( n2m1), tất cả mã xyclic cục bộ xây dựng từ nhóm nhân xyclic là mã xyclic được xây dựng trên vành này và và các vành ước của nó