chuyên đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THI THPT QUỐC GIA

Giải bất phương trình: 1... Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;.

CHUYÊN ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên tập: Nguyễn Phú Khánh

Giải bất phương trình: 2x 7 5 x 3x2 Lần 2 – THPT ĐÔNG DU

Điều kiện:  2 5

3 x

Bất phương trình viết lại: 2x 7 3x 2 5x, bình phương hai vế, rút gọn về dạng AB

Đưa bất phương trình về 2  

3x 17x 14 0, giải ra được x 1 hoặc 14

3

x

Kết hợp điều kiện, ta được:  2 1

3 x hoặc 14 5

3 x Giải bất phương trình: 

 1 1 1 x 1

x

x x x Lần 2 – THPT HỒNG LĨNH

Điều kiện:   1 x 0;x1

Nhận thấy, VP của bất phương trình không âm, nên chỉ có nghiệm khi

 1 1      1 1 1 1 1

Với x 1 thì bất phương trình cho viết lại:  

  1 1 x 1  1 x 1 1 (*)

Hơn nữa, x 1 thì     2 

x

Do đó bình phương hai vế của (*) , ta được:   

 1 x 12 x2 1   1 1 2 x2 1 1 0

2

2

x

Đối chiếu điều kiện, thì  1 5

1

2

x thỏa mãn

Giải bất phương trình:

2x  x  2 5 2 x 2 x x   x 3 x Lần 1 – THPT SỞ THANH HÓA

2x 6x 10x 6x 8 x  x x 1 x2 Lần 1 – THPT PHÚ RIỀNG

3

 2   

2

x

    Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC

1 x  2

Bất phương trình cho tương đương:   2   2

2 x 2 x x   x 3 x 2 x 2x 2x 5

Bài 9

Bài 10

   2  2

2

2x 2x     ) 5 0, x

2

Đặt a x2,b x 1(a0), (2) trở thành

2

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 3 13

2

2

3

0



  



 2  2 

0 0

x x



Bất phương trình cho tương đương: 2 2 2 2  

x  x  x  x  x x  x 

2x 6x 8 x x 2 0 (1)

Với x 0 thì (1) vô nghiệm

Với x 0, chia hai vế của (1) cho x , ta được :

             

4

x x

      , thay vào (2) ta được :

2

2 2

1 1

t t

  



Với t 1 thì x 2 1 x x 2 0 x 1 0

x

          ( vô nghiệm ) hoặc x   2 x 4

3 x  2

Bất phương trình tương đương    2   

2 x  2 2 6 x 2x4 2 x2

2 x 2 2x 12 x 2 6x 1

Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình

Khi x  2 chia hai vế bất phương trình  1 cho x  2 0 ta được

 

2

x t x



 thì bất phương trình  2 :

2

2

1

2 2 0

t t

  



Với 2 2 2 0 2 2 3

4 8 0 2

x x

x

 



          

Giải bất phương trình:  2   2

1 4x 20 x 4x 9 Lần 2 – THPT YÊN LẠC

Nhận xét: bất phương trình cho viết lại:   2  2   

Điều kiện: x 1

Bất phương trình tương đương:

x

x

Nên nghiệm của bất phương trình là: x 2

Giải bất phương trình:

1 3 3

2 2 3 2

x x  x Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ

2 4 2

32x 16x 9x9 2x  1 2 0 Lần 2 – THPT ĐA PHÚC

3

    hoặc x  2vì 2

2

2

x

 

2 1

2

x 

2 2

2

9 2 2

x

x



2

18

18

x

x

Bài 11

3

32

8

16

2

x

x

  









  





Giải bất phương trình: 3 2   

x x x x x x x

Lần 2 – THPT LÝ THƯỜNG KIỆT

Điều kiện: x 0

Bất phương trình tương đương:

               



2

2

0

x

Với x 0 thì (*)           

 2

1

3 4 15 0

t

với t x 2 ;t2 2

đây tìm được t 3, suy ra tập nghiệm bất phương trình là S [0;1] [4; )

Giải bất phương trình:

1 2

4x   x 6 x 1 4x2 Lần 1 – THPT SỞ BÀ RỊA VŨNG TÀU

2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16 Lần 2 – THPT NAM DUYÊN HÀ

3

2

2 2

1

x

 

  Lần 1 – THPT THẠCH THÀNH 1

1 x  1

2

4x   x 6 x 1 4x 2 2x1 5 x 1 x 1 2 2x 1 (*)

Nhận thấy x  1 là một nghiệm của bất phương trình

Đặt 2 1,

1

x

t

x





 ta thu được bất phương trình:

3

t   t  t

1

x

x



Vậy, bất phương trình có tập nghiệm: 1;10 5

18

Bài 12

2 x  1

2x 3 x 1 2x 3 x1 20, đặt t 2x 3 x1,t 0

Khi đó, ta có: 2

20 0

t  t  , bất phương trình này có t 5 thỏa điều kiện

2x 3 x  1 5 2 2x 5x  3 3x21

2

2

x

x

  

   



 





7

3

x

x x

 



  



Đối chiếu với điều kiện x  1 suy ra tập nghiệm bất phương trình là: S 3; 

3 x  3

  

2

2

 

2 2

2 2

2

6

x

2

      

Giải bất phương trình:  2         2 

Lần 2 – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC

Điều kiện: x 1

Dùng máy tính, phân tích được

 2              2 

      

2

2

2

2

2 2

x

x

Đối chiếu điều kiện, ta được x  1;2 3;

Bài 13

Giải bất phương trình:

(4x  x 7) x 2 4x8x 10 Lần 1 – THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32 Lần 2 – THPT LỘC NINH

1 x 2

2

2

2

2

2

4 7 2 2 2 0 2 2 0

4 3 2 2 2 2 0

2

4

x

 



 

2

2

3

3 0 (2), 2 1;

4











Khi đó, (3) có tập nghiệm là: 3  

T

     

     

Kết hợp với (2) và điều kiện ban đầu, bất phương trình đã cho có tập nghiệm:

 2 ; 1 5 48;

8

T



    



2 x  2

(5x 5x10) x  7 3 (2x6) x  2 2 3(5x 5x10)2(2x6)x 13x 6x32

(5x 5x 10) x 7 3 (2x 6) x 2 2 x 2x 5x 10 0

2

2 2

x

  và 2x  6 0

3 2

2 2

x x

5

7 3

x

x

2

5x 5x100    x

5

Từ (1) và (2)

2

2

5 0

x

    Do đó (*)     x 2 0 x 2 Kết hợp điều kiện x     2 2 x 2

Giải bất phương trình: 3 2 9

x

   Lần 1– THPT CAO LÃNH 2

Điều kiện:   1 x 9;x0

Bất phương trình tương đương:

2

0



2

0

0

3 3 1 2 9

1 3 1 9

x



Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 x 8

Giải bất phương trình:   



x

x Lần 2 – THPT YÊN THẾ

Bất phương trình tương đương:



  

0

       



3 3 1 2 9

0

0

0

1 3 1 9 8

x

x

x

x x

Giải bất phương trình:   3 2 

x x x x x Lần 2 – THPT ĐỒNG GIA

Điều kiện: x  0.

Bất phương trình tương đương:

  3 2   2  

Bài 14

Bài 15

( x)  x x(x2) (x2) (x 2) (*) Xét hàm số      3 2

f t t t t t có  3     

'( ) 3 1 0,

Do đó hàm số ( )f t đồng biến trên 

Hơn nữa (*) có dạng f x f x 2 x x 2(**)

Với 0 x 2 là nghiệm của (**)

Với x 2, bình phương hai vế (**) ta được 2     

Kết hợp nghiệm ta được 2 < x  4 là nghiệm của (**)

Vậy nghiệm của (**) là 0 x 4, cũng là nghiệm của bất phương trình đã cho

Giải bất phương trình:

1

2

( 1) ( 2 3 1)

2 ( 1)(2 3)

  Lần 2 – THPT NGHỀ NINH HÒA

2

3

1

x

x

 

  Lần 2 – THPT PHƯỚC BÌNH

1 3; \ 1

2

x   



2 ( 1) ( 2 3 1)

2 ( 1)(2 3)

2 ( 1) ( 2 3 1)

1

2 3 1 ( 2 3 1)(2 3)

2

2 ( 1)

x x



2

( 2) (2 3) 2 3 3 0

         x 2 Vậy điều kiện của phương trình là : x 2

 * viết lại       2

2

x  x  x  x  * * với x   2 x 1 1

Xét hàm số 2

( ) ( 1) , 1

'( ) 3 2 , 1

     Suy ra ( )f t số đồng biến trên 1;

 * * có dạng (f x 1) f( 2x3)  x 1 2x 3

Ta có :

2

2

x x



2 x 1,x13

 

3

x

 

  Nếu 32x    1 3 0 x 13 (1) thì (*) 2x 1 32x 1 x1 x 1 x1

Do hàm 3

( )

f t   là hàm đồng biến trên  , mà (*) có dạng: t t f32x 1 f x 1



    

    

DK(1)

vô nghiệm

Nếu 32x      1 3 0 1 x 13 (2) thì (*)   3  

Do hàm 3

( )

f t   là hàm đồng biến trên  , mà (2*) có dạng: t t f32x 1 f x 1

2

         hoặc

1

13 2

x

  







Suy ra:  1;0 1 5;

2

x

  

    DK(2)  

1 5

2

x

  





Vậy, tập nghiệm bất phương trình là  1;0 1 5;13

2





Giải bất phương trình: 2 2 2

1x x  1 x  x 1(1 x  x 2)

Lần 2 – THPT ANH SƠN 2

Bất phương trình đã cho tương đương

(x x  1 x  x 1 x  x 2) (1 x   x 1) 0

2

0

x

 

(x 1).A 0

A

 

Nếu x 0thì

2

2



    



Nếu x 0 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM :

1





2

x A

x



Tóm lại , với mọi x   ta có A>0 Do đó (1) tương đương x   1 0 x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (1; )

Chú ý : Cách 2 Phương pháp hàm số

u x   x u x  x thế vào bất phương trình đã cho ta có

Bài 16

2 2 2 2 2 2 2 2

u x  x x x  u  u  u  u u u  x  x x x  (*)

f t   t t t t  )

f t   t t   t   t nên hàm nghịch biến trên R

Do đó (*) có dạng ( )f u  f x( )   u x x 1

Giải bất phương trình:

    Lần 1 – THPT ĐA PHÚC

Đặt 2

2

tx  , bất phương trình trở thành: 1 1 2

Điều kiện: t 0, bất phương trình (*) tương đương ( 1)( 1 1 ) 2

t

Theo Cô-si ta có:

3

3

t

t





      



2 3 1 2 2 3 1

3 1

1 3 1 2 1 3 1

3 1

t

t



      



        

 2