Phương Pháp Giải Phương Trình Vi Phân Cấp Bốn Tổng Quát Và Phương Pháp Sai Phân

Nhiều hiện tợngkhoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phơng trình vật lý toán.Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thựctiễn.. Trong một số ít

Lời nói đầu

Trong lĩnh vực toán ứng dụng thờng gặp rất nhiều bài toán có liên quantới phơng trình vi phân thờng Việc nghiên cứu phơng trình vi phân thờng vìvậy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học Nhiều hiện tợngkhoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phơng trình vật lý toán.Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thựctiễn Trong một số ít trờng hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm đợc nhờ vàonghiệm tờng minh của bài toán dới dạng các công thức sơ cấp, các tích phânhoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trờng hợp khác, đặc biệt là đối vớicác bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miềnbất kỳ thì nghiệm tờng minh của bài toán không có hoặc có nhng rất phức tạp.Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phơng pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần

Trong phạm vi đồ án của mình, em xin trình bày một phơng pháp gần

đúng để giải phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát và phơng pháp sai phân

Đây là một trong hai lớp phơng pháp gần đúng quan trọng đợc nghiên cứunhiều và phơng pháp sai phân và phơng pháp phần tử hữu hạn Cả hai phơngpháp đều tìm cách đa bài toán đã cho về một bài toán đại số, thờng là một haynhiều hệ đại số tuyến tính Trong phơng pháp này miền trong đó ta tìmnghiệm của phơng trình thờng đợc phru bằng một lới gồm một số hữu hạn

điểm (nút), còn các đạo hàm trong phơng trình đợc thay bằng các sai phân

t-ơng ứng của các giá trị của hàm tại các nút lới

Đồ án đợc chia thành các chơng nh sau:

Ch

ơng 1 : Trình bày những khái niệm cơ bản cảu phơng pháp sai phân

tổng thông qua bài toán biến đổi với phơng trình vi phân cấp hai

Ch

ơng 2 : Dùng phơng pháp sai phân để giải bài toán biên đối với

ph-ơng trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết

Phần phụ lục ở cuối là chơng trình và ví dụ minh hoạ.

Do hạn chế về thời gian cũng nh khả năng bản thân nên đồ án còn thiếuxót Rất mong đợc sự thông cảm và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

Em xin cảm ơn thầy Lê Trọng Vinh đã tận tình hớng dẫn em trong thờigian làm đồ án vừa qua

Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2004

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Viết Thanh

Chơng 1 Khái niệm mở đầu về phơng pháp sai phân

1.1 Mở đầu.

Trong chơng này để trình bày những khái niệm cơ bản của phơng phápsai phân ta sẽ xét bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai

1.2 Khái niệm bài toán biên.

Bài toán biên có phơng trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và điềukiện bốung đợc cho tại nhiều hơn một điểm

Chẳng hạn bài toán biên đối với phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai

có dạng:

[p(x)y'(x)k]' - q(x) y(x) = -f(x) a < x < by(a) = ; y(b) = 

Bài toán trên đợc gọi là bài toán biênloại một

Nếu điều kiện biên y(a) = ; y(b) =  đợc thay thế bởi điều kiện biên:-p(a)y'(a) + 1y(a) = ; p(b) y'(b) + 2y(b) = thì ta có bài toán biênloại ba nếu 1  0; 2  0; 1 +2 > 0 Còn nếu 1 = 2 = 0 thì ta có bài toánbiên loại hai

Trong thực tế tat còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điềukiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại một còn tại

x = b ta có điều kiện biên loại hai hoặc ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp

Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phơng pháp sai phân thông quabài toán biên loại một

Giả sử đại lợng (h) là một vô cùng bé khi h  0 Nếu tồn tại số  > 0

và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho:

(h) Mh

Thì ta viết:

(h)= O(h)Viết nh trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì (h) là một đại lợng nhỏ và khi h

Khi đó   

m 1 (m 1)

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lới.

Giả sử hàm y(x) đủ trơn Theo công thức Taylor (1.4) ta có:

1.11 Gi¶i bµi to¸n sai ph©n (1.9) - (1.10) b»ng ph¬ng ph¸p truy ®uæi

ViÕt cô thÓ bµi to¸n (1.9) - (1.10) ta cã:

Nh vậy hệ (1.11) - (1.12) là trờng hợp riêng của hệ (1.13) - (1.14) khi:

Điều kiện này đợc thoả mãn nhờ giả thiết (1.15) - (1.16) Vì ta có:

Theo giả thiết (1.16), ta có 0m1 1 nên 0  do đó:1 1

i = k + 1 Điều này rõ ràng vì

Giả thiết (1.15) - (1.16) cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy

FB

Sau đó từ (1.20) cho phép tính tất cả các i, i

Bây giờ công thức (1.17) tại i = N - 1 viết

Vậy thuật toán:

1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân

Trớc hết để đo độ lớn của hàm lới   N 1

Định nghĩa Nói bài toán sai phân (1.9) - (1.10) là bài toán ổn định nếu

nó có nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệmthoả mãn:

 

ý nghĩa của bài toán ổn định là:

Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộcliên tục vào vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vếphải của phơng trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũngthay đổi ít

Bất đẳng thức (1.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn

định của bài toán (1.9) - (1.10)

1.13 Sự xấp xỉ

Bằng công thức Taylor (1.4) ta có:

1.14 Sù héi tô

§Þnh nghÜa Gäi y(x) lµ nghiÖm cña bµi to¸n vi ph©n (1.1) - (1.2) vµ i

lµ nghiÖm cña bµi to¸n sai ph©n (1.9) - (1.0)

Nãi ph¬ng ph¸p sai ph©n (1.9) - (1.10) héi tô nÕu:

Nãi ph¬ng ph¸p sai ph©n cã cÊp chÝnh x¸c O(hm), m > 0 nÕu:

§Þnh lý Ph¬ng ph¸p sai ph©n (1.9) - (1.10) lµ ph¬ng ph¸p héi tô v¬Ý cÊp

Nghiệm gần đúng i, i = 1, 2, 3 là nghiệm của hệ phơng trình sau:

Dựa vào các điều kiện biên, ta tìm đợc C1 = 0, C2 = -0,274156

Suy ra nghiệm riêng tơng ứng của phơng trình là

y arcsin x  0,274156

So sánh với các nghiệm gần đúng tại các nút lới, ta có bảng kết qủa sau:

i x i Nghiệm gần đúng  i Nghiệm đúng y(x i )

vi phân cấp bốn

Trong chơng một ta đã xét các khái niệm của phơng pháp sai phânthông qua bài toán biênđói với phơng trình vi phân cấp hai nhằm hiểu đợc t t-ởngcủa phơng pháp Chơng này đi vào nội dung chính của đồ án là dùng ph-

ơng pháp sai phân để giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát mộtcách chi tiết

p = p(x) liên tục và các đạo hàm p', p" liên tục

q = q(x) liên tục và đạo hàm q' liên tục

G(x), f(x) là những hàm số liên tục

Đồng thời:

0 < c0  q(x)  c1

0 < c2  p(x)  c3 (c0, c1, c2, c3 = const)g(x)  0

p(x), q(x), g(x), f(x) là những hàm số cho trớc

ya, yb, y'a, y'b là những hàm số liên tục cho trớc

§Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm.

Giả sử hàm y(x) đủ trơn Theo công thức Taylor, ta có:

y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi) + hy'(xi) + O(h2)

  2

1 i+ 2

Gọi các giá trị gần đúng đó là i Muốn có i ta thay bài toán vi phân(2.1) - (2.2) bởi bài toán sai phân tơng ứng

   

1 i-

= p yi i p yi 1 i 1  2

O hh

hh

y O(h)h



  fMµ:

xx1 2

y O(h)h

   



 Mµ:

xxN 1 2

Hệ (I) cũng đợc gọi là lợc đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho.

Thay cho bài toán vi phân (2.1) - (2.2) đối với ẩn hàm y = y(x) ta có bài toánsai phân (I) đối với ẩn hàm 

(I) là hệ phơng trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đờng chéo

1.6 Cách giải bài toán sai phân (I).

yi-1 = iyi - iyi+1 + i, 1  i  N - 1 (2.24)

yi-2 = i-1yi-1 - i-1yi + i-1 = i-1 (iyi - iyi+1 +i) - i-1yi + i-1

yi-2 = (ii-1 - i-1)yi - ii-1yi-1 + i-1i + i-1, 2  i  N (2.25)

Từ (2.26) ta thấy để xác định đợc i+1, i+1 và i+1 ta phải biết đợc , i-1, i, 

i-1, i và i-1 Nh vậy, trớc hết ta cần xác định các i, i và i với 3 iN-1

Bây giờ, ta cần sử dụng các phơng trình (2.20) - (2.21) trong hệ Từ (2.24) và(2.25) với i = N- 1 kết hợp với phơng trình (2.20) và sử dụng công thức (2.23),

ta có:

yi = i+1yi+1 - i+1yi+2 + i+1, i = N - 2, N - 3, …)., 0

1.6.1.2 Ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ tr¸i.

§Ó tÝnh y0, ta sö dông (2.34) t¹i i = 2 vµ (2.35) råi thay vµo ph¬ng tr×nh(2.17) ta cã:

Nhận xét rằng, các công thức (2.29) – (2.33) chỉ có nghĩa khi và chỉ khi:

Định lý: Khi tìm nghiệm hệ (2.17) – (2.21) theo công thức truy đuổi (2.29)

– (2.33) ta sẽ gặp phải sai số quy tròn, vì vậy có thể dẫn đến sự mất ổn địnhcủa công thức tính Quá trình tính sẽ ổn định nếu các điều kiện sau đây đợcthoả mãn

       đã đợc chứng minh ở trên ta cần giả thiết thêm

là các bất đẳng thức thứ này không đồng thòi xảy ra dấu bằng Khi đó, ta có

Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp O(h2)

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân

Định lý: Bài toán sai phân (I) là bài toán ổn định:

khi đó v thỏa mãn (I)

Công thức truy đuổi từ phải áp dụng vào bài toán (II) cho:

(Định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo)

Bây giờ ta đánh giá i , i2, N 2

j 2,N 2

i k 1 2

j 2,N 2

i 1 2

 

i j

j 2,N 2

i 1 2

j 2,N 2

i 1 2

2.9 Bài toán sai phân đối với sai số

Gọi y là nghiệm của bài toá vi phân (2.1) - (2.2) và v là nghiệm của bàitoán sai phân (I) Đặt z = v - y  zi = vi - yi (zi - biểu thị sai số tại nút i khi talấy vi  y(xi)) Ta có bài toán sai phân đối với sai số z

2.10.Sự hội tụ và sai số

Định lý: phơng pháp sai phân (I) là phơng pháp hội tụ với cấp chính xácO(h2)

Chứng minh

Với mọi hàm lới  xác định trên  , ta định nghĩa chuẩnh

h

i i

Chú ý: Từ chứng minh trên của định lý ta có thể phát biểu gọn

Xấp xỉ + ổn định = hội tụXấp xỉ cấp 2 + ổn định = hội tụ cấp 2Thí dụ 1: Để kiểm tra sự đúng đắn của phơng pháp, ta xét thí dụ sau:

đó ta có thể đa ra nhận xét về sự phù hợp của phơng pháp

Nhận xét rằng phơng trình đã cho là phơng trình vi phân cấp 4 tuyếntính không thuần nhất hệ số hằng Ta có thể tìm đợc nghiệm tổng quát của ph-

ơng trình thuần nhất tơng ứng là:

Do f(x) là hàm cha biết (cần tìm) nên các hệ số Ci, i 1,4 cha xác

định đợc Nh vậy dựa vào dạng của nghiệm y ta tìm đợc trên ta có thể chọn:

Sau khi tính toán các đạo hàm y”, y(4) và thay vào phơng trình đã cho, ta

đợc:

f(x) = 28(sinx + cosx) - 90e2x - 25

Bây giờ đã biết p(x), q(x), g(x), f(x) Ta cần giải bài toán sau:

x0 = 0, x1 = 0.025, x2 = 0.05, x3 = 0.075,x2 = 0.1

x5= 0.125, x6 = 0.15, x7 = 0.175, x8 = 0.2, x9 = 0.225, x2=0.25,

Dựa vào phơng pháp sai phân đã nêu ở phần lý thuyết, ta đa về hệ năm

đờng chéo sau đây để tính nghiệm gần đúng của phơng trình vi phân đẫ cho

Giải ra ta đợc các vi, 0, N đồng thời so sánh với các nghiệm đúng y(xi),

i = 0, N cho trong bảng sau:

I Xi Nghiệm gần đúng vi Nghiệm đúng y(x)

y(x) = (x2 + 1)ex - xcosx (coi là nghiệm đúng)

Sau khi tính các đạo hàm và thay vào phơng trình đã cho, ta đợc:

0 1

2 ' 1

Tính các hệ gần đúng Ai, Bi, Ci, Di, Ei, Fi i2,23 rồi thay vào hệ trên

và giải ra đợc các nghiệm gần đúng vi, i2,23 đồng thời so sánh với cácnghiệm đúng y(xi), i0,25 ta đợc bảng kết quả sau

Là bài toán mà vế phải F và ỹ bị nhiễu một chút

Bài toán sai phân đối với sai số (tính toán)

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Chơng 1: Khái niệm mở đầu về phơng pháp sai phân 3

1.1 Mở đầu 3

1.2 Khái niệm bài toán biên 3

1.3 Bài toán vi phân 4

1.4 Lới sai phân 4

1.5 Hàm lới 4

1.6 Đạo hàm lới 5

1.7 Qui ớc viết vô cùng bé 5

1.8 Công thức Taylor 6

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lới 7

1.10 Phơng pháp sai phân 8

1.11 Giải bài toán sai phân bằng phơng pháp truy đuổi 8

1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải 9

1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái 11

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân 11

1.13 Sự xấp xỉ 12

1.14 Sự hội tụ 13

1.15 Trờng hợp điều kiện biên loại b 14

Chơng 2: Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn 18

1.3 Hàm lới 20

1.4 Đạo hàm lới 20

1.5 Phơng pháp sai phân 21

1.6 Cách giải bài toán sai phân (I) 29

1.6.1 Phơng pháp truy đuổi 29

1.6.1.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải 29

1.6.1.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái 33

2.6.2 Phơng pháp lặp Seidel co dãn 39

2.7 Sự xấp xỉ 40

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân 40

2.9 Bài toán sai phân đối với sai số 48

2.10.Sự hội tụ và sai số 49