CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN C A CÁC HÀM Ủ
S CĂN TH C Ố Ứ
Nguy n Văn Trung ễ
T tr ổ ưở ng t toán tr ổ ườ ng THPT Phong
Đi n ề
Trong nh ng năm g n đây trong các đ thi tuy n sinh Đ i h c, Caoữ ầ ề ể ạ ọ
đ ng và THCN chúng ta thẳ ường th y có m t bài toán tính phân mà ph nấ ộ ầ
l n là tính tích phân c a các hàm s căn th c, đ giúp các em h c sinh l pớ ủ ố ứ ể ọ ớ
12 ôn t p t t các bài toán tích phân c a các hàm s căn th c m t cách hậ ố ủ ố ứ ộ ệ
th ng, b n thân đã m nh d n vi t m t cách h th ng các phố ả ạ ạ ế ộ ệ ố ương pháp tính tích phân c a các hàm s căn th c, m t ph n nào đó nh m giúp cácủ ố ứ ộ ầ ằ
em h c sinh đ t k t qu t t trong kỳ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng vàọ ạ ế ả ố ể ạ ọ ẳ THCN năm h c 2008 - 2009.ọ
D ng 1 ạ : ∫ ax2 dx+bx+c
Ví d ụ : 1.Tính tích phân ∫
= 0
1 x2 x 4
dx
Đ t ặ t = x+ x2 +x+4
⇒ =∫2 +
1 2 1
2
t
dt I
T ng quát ổ : Tính tích phân 2 ; >0
+ +
c bx ax
dx I
Đ t ặ t = a x+ ax2 +bx+c
2.Tính tích phân ∫ =∫ − −
+ +
−
2
dx x
x
dx I
Đ t ặ
−
∈
=
−
2
; 2 ,
sin 2 ) 1 (
T ng quát ổ : Tính tích phân
2 2 2
nu m
c bx ax
a c bx ax
dx I
−
= + +
<
+ +
= ∫
Đ t ặ
−
∈
=
2
; 2
; sin
t t m u n
Trang 2D ng 2 ạ : ∫ ax mx2 ++bx n dx+c
) (
Ví dụ : Tính tích phân =∫1 +− +
) 3 4 (
x x
dx x
I
(x2 – x + 1)’ = 2x – 1
4x + 3 = 2(2x – 1) + 5
+
−
−
=
1
) 1 2 ( 2
x x
dx x
x
dx x
I
T ng quát ổ : Tính tích phân =∫ ++ +
c bx ax
dx n mx I
2
) (
TS = A(2ax + b) + B
+ +
+
=
⇒
c bx ax
dx B
c bx ax
dx b ax A
I
2 2
) 2
(
D ng 3 ạ : ∫ (ax+b)(cx+d)3
dx
Ví dụ : Tính tích phân
∫
∫
+
+ +
=
+ +
=
3
3
1
3 2 ) 1 (
) 1 )(
3 2 (
x
x x
dx
x x
dx I
Đ t : ặ
1
3 2
+
+
=
x
x t
T ng quát ổ : Tính tích phân ∫ ( ) ( ) −
+ +
dx
2
n k
d cx
b ax d
cx
+
+ +
=
Đ t : ặ n
d cx
b ax t
+
+
=
D ng 4 ạ : dx
d cx
b ax
∫ ++
Ví dụ : Tính tích phân I =∫1 3−x
Trang 3Đ t : ặ dx t dt
x
x x
1
3
+
−
⇒ +
=
T ng quát ổ : Tính tích phân dx
d cx
b ax
∫ ++
Đ t : ặ t cx d
d cx
b ax
+
+
D ng 5 ạ : dx
a x x
dx
∫ 2 +
Ví dụ : Tính các tích phân : ∫ = ∫ −
−
2 2 2
6
xdx x
x
dx I
J = 2∫3 +
5 x x2 4
dx
(ĐT TSĐH KA 2003)
Gi iả :
Đ t : ặ
tdt xdx
xdx tdt
t x x
t
x t
=
⇒
=
⇒
+
=
⇒
−
=
⇒
−
=
2 2
3 3
3
2 2 2
2 2
Do đó : ∫ = ∫ +
+
1 2
3
1 ( 2 3) t 3
dt t
t
tdt
T ng quát ổ : x x a dx
a x x
dx
∫
+
2
Đ t : ặ t = x2 +a
D ng 6 ạ : dx
c b ax
x P
∫ +( )+
Ví dụ : Tính các tích phân sau :
x
x
I = ∫2 + −
11 1 (ĐTĐH KA 2004)
x
x
J = ∫1 + − +
3 4
T ng quát ổ : dx
c b ax
x P
∫ +( )+
Trang 4Đ t ặ t = ax+b +c
Ta được : ax+b =t−c ≥0
dt c t a dx
b c ct t
a x
c ct t
b ax
) 2 2 ( 1
) 2
( 1
; 2
2 2
2 2
−
=
− +
−
=
+
−
= +
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
1) =∫3 +
0 x2 16
dx I
2) =∫4 +
0 x2 9
dx J
Bài 2 : Tính các tích phân sau :
1) =∫1 − +
0 x2 x 1
dx I
2) =∫1 − − +
0 x2 2x 3
dx J
Bài 3 : Tính các tích phân sau :
1) =∫3 −− +
) 6 3 (
x x
dx x I
2) ∫
− − −
−
= 0
) 8 2 (
x x
dx x J
Bài 4 : Tính các tích phân sau :
1) ∫
= 0
2 ( 2x 1 )2(x 1 )4
dx I
2) =∫2 + +
0 ( 4x 1 )(x 1 )3
dx J
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1) =∫8 +
3 1
3
x
xdx I
2) =∫4 +
1
x dx J
Trang 53) dx
x x
x
1
1
4) =∫2 +
1 x 2x 1
dx L
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1) =∫2 +
1 x 1 x2
dx I
2) dx
x
x
1 2
2
1
3) K x x2dx
1 0
2 1 −
=∫ 4) =2∫2 −
2 x x2 2
dx L
Bài 6 : Tính các tích phân sau :
1) =∫7 + +
2 2 x 1
dx I
2) =∫1 +
0 2x 1
xdx J
3) =∫6 + + +
2 2x 1 4x 1
dx K
4) =10∫ − −
5 x 2 x 1
dx L
Trên đây là m t s d ng toán v các tích phân c a các hàm s căn th cộ ố ạ ề ủ ố ứ
thường g p trong kì thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng và THCN môn toán,ặ ể ạ ọ ẳ
người vi t đã tích lu đế ỹ ược trong nhi u năm gi ng d y, m t s d ng toánề ả ạ ộ ố ạ này người vi t đã đem ra gi ng d y các l p 12 trế ả ạ ở ớ ường THPT Phong
Đi n trong nh ng năm g n đây, m t ph n nào đó đã giúp cho các em h cề ữ ầ ộ ầ ọ sinh ôn t p v tích phân c a các hàm s căn th c m t cách có h th ng vàậ ề ủ ố ứ ộ ệ ố
đ t k t qu cao trong kì thi Đ i h c, Cao đ ng và THCN.ạ ế ả ạ ọ ẳ
Trang 6L I C M N Ờ Ả Ơ
Ng ườ i vi t xin chân thành c m n BGH tr ế ả ơ ườ ng THPT Phong
Đi n đã quan tâm giúp đ , v m t v t ch t l n tinh th n, c m n các ề ỡ ề ặ ậ ấ ẫ ầ ả ơ
ý ki n đóng góp h t s c thi t th c c a quí th y cô giáo trong t toán, ế ế ứ ế ự ủ ầ ổ
đ bài vi t đ ể ế ượ c hoàn thành.
Phong Đi n, ngày 20 tháng 05 năm 2009 ề
Ngườ i vi t sáng ki n kinh nghi m ế ế ệ
NGUY N VĂN TRUNG Ễ