Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Tìm trên đồ thị C điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của C là nhỏ nhất.. Tính giá trị của biểu thức 2 sin.
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
có đồ thị ( ) C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm
cận của ( ) C là nhỏ nhất
Câu 2 (1 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức 2
sin os3 os
P x c x c x biết os2 3 , ;0
c x x
2 Giải phương trình: 3
log ( x 1) log ( x 2) 2 log (3 x 2) Câu 3 (1 điểm)
1 Tìm hệ số của 5
x trong khai triển 10
3
1
x
(với x 0 )
2 Một đoàn tàu có 3 toa chở khách đỗ ở sân ga Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Có 4 vị khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau, chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
Câu 4 (1 điểm) Tìm nguyên hàm ( x 1) ln x dx
x
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm A(4;-1;5) và điểm B(-2;7;5) Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mp(Oxy)
Câu 6 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy
bằng 0
60 Gọi M là trung điểm của DC Tính thể tích khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), tâm đường tròn ngoại tiếp I 3 ;2
2
, tâm đường tròn nội tiếp K(2,1) Tìm tọa độ đỉnh B biết 3.
B
x
Câu 8 (1 điểm) Giải bất phương trình x3 x 2 2 3x3 2
Câu 9 (1 điểm) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn 3
2
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y3 z3 x y z2 2 2
-HẾT -
www.MATHVN.com
Trang 2www.MATHVN.com FB.com/mathvn.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm)
1
+
= +
x y
x TXĐ: R\{-1}
2
1 ' 0 1 ( 1)
+
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;-1) và (-1;+∞)
0,25
Giới hạn:
2 1 2 1
;
1 1
0,25
bảng biến thiên
x -∞ -1 +∞
y’ + +
0,25
2
;2
1
M a
a
−
+
6
4
2
-2
y
Trang 3www.MATHVN.com FB.com/mathvn.com
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ∆1: x = − 1là d M ( ; ∆ = +1) a 1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang ∆2: y = 2là ( 2)
1
;
1
d M
a
∆ =
+
0,25
1
1
a
+
Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc a = -2
0,25
Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất bằng 2 khi M(0;1) hoặc M(-2;3) 0,25
2
(1điểm)
1
c x = ⇒ x = mà ;0 sin 2 0
2
π
sin 2
5
0,25
2 sin 4 sin 2 os2 1 18 sin os3 os
2 Điều kiện: x > 1
Phương trình⇔ log (2 x − + 1) log (2 x + 2) = log (32 x − 2)
log ( x 1)( x 2) log (3 x 2)
0,25
( 1)( 2) (3 2) 2 0
2 ( )
=
=
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2
0,25
3
(1điểm)
1
khai triển
5
i
i
−
Hệ số của x5là 2 8( )2
10.2 1 11520
2 Vì mỗi vị khách có 3 lựa chọn lên một trong ba toa tàu , Suy ra số cách để 4 vị khách lên
Số cách chọn 3 vị khách trong 4 vị khách ngồi một toa là C43 = 4
Số cách chọn một toa trong ba toa là C31 = 3
Vị khách còn lại có 2 cách chọn lên 2 toa còn lại Suy ra có 2.3.4=24 cách để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách Vậy xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách là:
24 8
81 27
0,25
4
(1điểm)
ln
1
ln xdx = x ln x − xd ln x = x ln x − dx = x ln x − + x C
2
2
ln ln ln
2
x
Trang 4www.MATHVN.com FB.com/mathvn.com
K
I
E
M
H
C B
D A S
2
0,25
5
(1điểm)
Gọi M(x;y;0) thuộc mặt phẳng Oxy là tâm hình vuông
(4 ; 1 ;5) ( 2 ;7 ;5)
− − −
uuur uuur
Vì ABCD là hình vuông nên tam giác MAB vuông cân tại M MAMB 0
⇔
=
uuur uuur
0,25
0,25
(4 )( 2 ) ( 1 )(7 ) 25 0 (4 ) ( 1 ) 25 ( 2 ) (7 ) 25
⇔
1 3
x y
=
⇔
=
Vậy M(1;3;0)
0,25
Vì M là trung điểm của AC và BD nên C(-2;7;-5); D(4;-1;-5)
0,25
6
(1
điểm)
+) Tính thể tích
Gọi H là trung điểm của AD
Vì HB là hình chiếu của SB lên đáy nên
0
tan 60
2
a
3
a
0,25
+) Tính khoảng cách:
Dựng hình bình hành ABME
Vì BM//(SAE)⇒ d SA BM ( , ) = d M SAE ( ,( )) = 2 ( ,( d D SAE ))
=
Chứng minh HK ⊥ ( SAE ) ⇒ d H SAE ( ,( )) = HK
0,25
2 5
AE
a HK
,
19
a
0,25
Trang 5www.MATHVN.com FB.com/mathvn.com
7
(1
điểm)
Gọi D là giao của AK với đường tròn (I)
Phương trình đường thẳng AK là:
x+3y-5=0
2
Gọi D(5-3a,a) thuộc AK Vì D khác A nên a ≠ 2 .Ta có
(5 3 ) ( 2) ( 1 ) (2 2)
2( ) 1 2
a
=
⇔
=
;
2 2
0,25
Gọi B(x;y) (x>3)ta có hệ
( ) ( 2)
0,25
; ( )
4 3 10 0
Vậy B(4;2)
0,25
8
(1điểm)
x − + ≤ x 2 2 3x − 2
3 3
2
3x 2 x
x 3x 2 2
x x 3x 2 3x 2
− −
3
2
2
x x 3x 2 3x 2
0,25
Chứng minh
2
x x 3x 2 3x 2
0,25
Suy ra bất phương trình
(x 3x 2) 0 =
K
I
D
C B
A
Trang 6www.MATHVN.com FB.com/mathvn.com
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( −∞ − ∪ ; 2 ] { } 1
9
[0; ] 2
Ta có x3+ y3+ − z3 3 xyz = + + ( x y z x )( 2 + y2 + − z2 xy − yz − zx )
3
0,25
8 2
2
Vì
2
Suy ra
2
( )
0,25
Xét
2
0; ( ) ( )
2 f x f 2 64
Vậy GTLN của P bằng 25
64đạt khi x = y = z =
1 2
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
