Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.. Tính xác suất để sốđược chọn có các chữ số khác chữ số 0 và tổng các chữ ố là 8.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPT QG) NĂM 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số y =x3 −3x2 +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
b) Tìm m để phương trình x3 −3x2 +1=m có ba nghiệm thực phân biệt
Câu 2.(1 đ i ể m)
a) Giải phương trình: sin2x+4cos( π −x)=0
b) Tính môđun của số phức z biết
2
3 1
2
i
i
+
+
−
Câu 3.(0,5 đ i ể m) Giải phương trình: log25 x+log5x−2=0
Câu 4.(1 đ i ể m) Giải hệ phương trình: ( )( )
= + +
= +
−
− +
3 2 2
3
3
1 1
3
y xy y x x
x
y y
y x
Câu 5.(1 đ i ể m) Tính tích phân: I = ∫2( + x)dx
0
5 cos 1
π
Câu 6.(1 đ i ể m) Cho lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=2a,AC=a,AA’ = 3a Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC
Câu 7.(1 đ i ể m) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy co hình ch ữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường tròn
10
2
2 +y =
x ,đỉnh C thuộc đường thẳng x+2y−1=0.Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên AC Biết rằng
các điểm N
−
5
1
; 5
3 ,P(1;1) lần lượt là trung điểm của AM ,CD đồng thời B có hoành độ dương,C có tung độ
âm.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Câu 8.(1 đ i ể m) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( )S : 0
4
15 4 2
2 2
2 + y +z −x− y+ z− =
mặt phẳng (P):2x−y+2z+13=0.Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ( )S Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với mặt phẳng (P đồng thời tiếp xúc với ( )S
Câu 9.(0,5 đ i ể m) Gọi A là tập hợp các số ự nhiên có 3 chữ sốđôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Chọn ngẩu nhiên một số ừ A Tính xác suất để sốđược chọn có các chữ số khác chữ số 0 và
tổng các chữ ố là 8
Câu 10.(1 đ i ể m) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: log2a+log8b3 +log32c5 =0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
2
1
1 1
1 1
1
c b
a
P
+
+ +
+ +
Trang 2Đ ÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPTQG) 2016 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang)
a (1,0 điểm)
+) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:y'=3x2 −6x,y'=0⇔ x=0∨x=2
Giới hạn:
xlim y
→+∞ = +∞ ,
xlim y
→−∞ = −∞
0,25
Bảng biến thiên:
+∞
−∞
+∞
−∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng(−∞;0) và (2;+∞),nghịch biến trên khoảng ( )0;2
Hàm số đạt cực đại tại x=0,y CĐ =1,hàm số đạt cực tiểu tại x=2,y CT =−3
0,25
+) Đồ thị
Đồ thị hàm số đi qua các điểm
(0;1),(1;-1),(2;-3)
Đồ thị đối xứng qua điểm I ( 1; -1)
0,25
b (1,0 điểm)
Số nghiệm của phương trình x3 −3x2 +1=m chính là số giao điểm của đồ thị ( )C với đường
1
(2,0
đ iểm)
Từđồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi −3≺ m≺1 0,5
a (0,5 điểm)
Ta có :sin2x+4cos( π −x)=0⇔2sinx.cosx−4cosx=0⇔2cosx(sinx−2)=0
2
(1,0
đ iểm)
Trang 3=1 i − vậy z = 12+ − ( 1)2 = 2 0,25
3 (0,5 điểm)
Đk: x>0,Pt log52 x+log5 x−2=0⇔(log5x−1)(log5 x+2)=0 0,25
3
(0,5
đ iểm)
) ( 25 1
5 2
log
1 log
5
5
TM x
x x
x
=
=
⇔
−
=
=
⇔
0,25
Đk: x≠0
Ta có x3+x2y+xy2 =3y3 ⇔(x−y) (x2 +2xy+3y2)=0⇔(x−y)( [x+y)2 +2y2]=0
0
≠
=
⇔ x y do [ (x+y)2 +2y2]=0⇔ x= y=0không thỏa mản
0,5
Vớ x = ≠ y 0 từ phương trình đầu ta có ( x+3− x)( 1−x+1)=1 ,x∈(0;1]
Khi đó ( x+3− x)( 1−x+1)=1⇔3( 1−x+1) (= x+3+ x) (*) 0,25
4
(1,0
đ iểm)
Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (*)
Vớ 0< x<1 thì 3 ( 1 x − + > 1 ) 3 còn ( x+3+ x)<3 nên (*) vô nghiệm.Vây (*) có
nghiệm duy nhất là x=1 từđó suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = ( ) 1;1
0,25
Ta có I =∫2( + x)dx
0
5 cos 1
π
=∫2 +∫
0 2 0
5 cos
xdx
Trong đó:
2 0 2
2 0
π π
π
=
=
Xét K =∫2 =∫ =∫ ( − )
0
2 0
2 0
2 2 4
5
cos sin 1 cos
cos cos
xdx x
xdx x
5
(1,0
đ iểm)
Đặt t =sinx suy ra dt =cosx.dx, 1
2 , 0
0⇒ = = ⇒ =
khi đó K = ∫1( )−
0
2 2
1 t dt
15
8 0
1 5 3
2 2
1
5 3 1
0
4
+
−
= +
−
Vậy
15
8
2 +
=π
I
0,25
6
(1,0
đ iểm)
Thể tích khối lăng trụ là
V = AA S ABC AA AB.AC
2
1 '
' ∆ =
= 2 3 3
2
1
3a a a= a
0,5
Trang 4Gọi M và M' lần lượt là chân đường cao hạ từ A và ' A trong các tam giác ABC , A'B'C'
ta có B'C'⊥(AA'M'M) nên (AB 'C')⊥(AA'M'M).Trong mp (AA'M'M) hạ MH ⊥ AM' thì
) ' ' (AB C
Khi đó d(AB,'BC) =d(BC,(AB'C') ) =d(M,(AB'C") ) =MH
'
1 1
'
1 1
AC AB
MM AM
MM
a a
a a
6 36
49 1
4
1 9
1 1
2 2
2 2
7
6
,' =
0,25
Gọ Q là trung điểm BM thì PCQN là hình bình hành nên NP // CQ,mặt khác Q là trực tâm trong
tam giác BNC nên CQ ⊥ BN suy ra BN ⊥ NP 0,25
Ta có
=
5
4
; 5
8
NP là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng BN nên phương trình đường
5
1 5
4 5
2 5
− +
độ B là nghiệm của hệ
=
−
=
∨
−
=
=
⇔
= + +
−
−
=
⇔
= +
= + +
5 13 5 9
3
1 0
9 4 5
2 1 10
0 1 2
2 2
2
y
x y
x x
x
x y
y x
y x
suy ra B(1;−3) vì B có hoành độ dương
0,25
Gọi C(1−2c;c) ta có CB=(2c;−3−c),CP=(2c;1−c) do CB⊥CP nên CP.CB=0
5
do C có tung độ âm nên C( )3;−1
0,25
7
(1,0
đ iểm)
Suy ra D(−1;3) , A(−3;1)
Vậy A(−3;1),B(1;−3),C( )3;−1 ,D(−1;3) 0,25
Mặt cầu có tâm
−2
; 1
; 2
1
4
15 4 1 4
1
= + + +
=
Do Mp ( )Q song song với mp ( )P nên phương trình có dạng 2x−y+2z+D=0,D≠13 0,25
( )Q tiếp xúc vớ (S nên ) ( ) 3
9
4 1 1
) ( =R=> − − +D =
8
(1,0
đ iểm)
⇔ − = ⇔ = ∨ = − , do D≠13 nên ta lấy D=−5 vậy phương trình cần tìm là
0 5 2
Ký hiệu abc là một số bất kỳ thuộc A
Ta thấy a có 6 cách chọn do (a≠0),b có 6 cách chọn do (b≠a) tương tự c có 5 cách chọn
Vậy số phần ử của A là 6.6.5 = 180
0,25
9
(0,5
đ iểm)
Trang 5abc có các chữ số khác chữ số 0 và tổng các chữ số là 8 Xác suất cần tìm là
15
1 180
12 =
=
p
Từ giả thiết suy ra a,b,c>0và a.b.c=1, không mất tính tổng quát ta giả sử a=max{a ,,b c}
Ta chứng minh
bc c
2 1
1 1
1
2
2
2 3 1
2 1
1
+
+
2 2
2 2
2 2
1 1
1
1 1
1 )
1
1 1
1 ( 2
1
c b
c b
c b
c
+ + +
= +
+ +
≤ +
+ +
( )
( )( ) ( ( ) )
2
1 bc
+
+
≤ +
+
4 )
1
1 1
1
2
2 1
1 1
1
2 2
0,25
10
(1,0
đ iểm)
Với (2) ta có
a
2 1
1
2 =>
2
2 3 1
2 1
2 1
2 1
1
+
+ +
≤ +
+
+
+
3 1
2 1
1
bc
2
3
0 1
2 1
1
≥ +
−
a a a
a
a a
a
+
+
− +
= +
− +
+
⇔
1 2
1 2 2 3 1 1
2 1
2
3 1
=
1 2
) 1 2
≥ +
+
−
a
a a
đúng,
Suy ra
2
2 3 1
2 1
1
+
+
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta có :
2 2
1
1 1
1
b
2 3 1
1
2 ≤ +
+
c
dấu bằng khi a=b=c=1
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
2 3
0,25
- Hết -
