a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số.. Gọi D là điểm đối xứng của S qua K; E là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng SHI.. Chứng minh rằng AD vuông góc với SE và tính
Trang 1Câu 1
(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1 1
x y x
có đồ thị (H)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (H) Tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ dương thuộc (H) cắt hai đường tiệm cận của (H) tại A, B sao cho AB 2 10 .
Câu 2 (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos 2 cos x x sin x 1 0
b) Tính môđun của số phức z (1 2 )(2 i i )2
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình
2 1
3 x 4.3x 1 0
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
x y
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân
3 1
1 ln
2 ln
x x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a đồng thời SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tại S Gọi
H, I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Gọi D là điểm đối xứng của S qua K; E là giao điểm của đường thẳng
AD với mặt phẳng (SHI) Chứng minh rằng AD vuông góc với SE và tính thể tích của khối tứ diện SEBH theo a.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, các đường thẳng AI,
BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm M 1; 5 ,
7 5
; ,
2 2
N
13 5
;
2 2
P
(M, N, P không
trùng với A, B, C) Tìm tọa độ của A, B, C biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua Q 1;1
và điểm A có hoành độ dương.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x 2y z 1 0 và đường thẳng d:
1 3
2
1
y t
z t
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3
Câu 9 (0,5 điểm Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau và đều khác 0 Chọn ngẫu nhiên
một số từ tập hợp A Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho a b c , , là các số thực dương thỏa mãn a 2 b c 0 và a2b2c2 ab bc ca 2
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Trang 2Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA SỐ 1 NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
1.a
Tập xác định: D \ 1
Sự biến thiên
,
2
3
0, 1 1
x
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng( ;1) và (1;)
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:
*lim 2;lim 2
Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ;lim
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
1
-∞
+∞
+∞
-∞
y
y' x
Đồ thị: Giao điểm của (H) với Ox là
1
;0 2
, giao điểm của (H) với Oy là 0; 1
Đồ thị nhận I 1;2
làm tâm đối xứng
Trang 3Gọi
0
0
2 1
1
x
x
Phương trình tiếp tuyến của H
tại M là
0 0 2
0 0
2 1 3
:
1 1
x
x x
(d) cắt tiệm cận đứng (x=1) tại
0 0
1;
1
x A x
(d) cắt tiệm cận ngang (y=2) tại B x 2 0 1;2
2
0
36
1
x
0
0
2 4
x
x
(do 0 x 0)
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán M 2;5
và M 4;3
Trang 42 a
0,5
cos 2 cos x x sin x 1 0
cos 2 0
1 sin
x
0,25
4 2
k
x x k
+) Với
2 1
2
x k
0,25
2.b 0.5
(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8 11 2
Vậy z 11 2 i z 112 22 5 5
3 (1điểm)
2 1
1 3
3
x
x
x x
Trang 54 1,0
3
8 13 1 3 2 7 1
Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được
y x
Với y 1 thay vào (1) ta được 8 x 13 x 1 7 x x 1
0,25
Với y x 2 thay vào (1) ta được
8 x 13 x 7 x x 1 3 x 2 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 2 x 1 x x 1
Đặt a 2 x 1, b 33 x2 2 ta được
1 0
a b
0,25
2
a ab b x b x x b x x x
Vậy hệ có nghiệm ; 1;1 , 1 1 ;
8 64
0,5
Trang 65 1,0
3
1 ln
;
2 ln
x
3
1
e e
2 ln
1 ln
ln 2 ln
e
x
2
e
Vậy
ln
0,5
Gọi HIAK J SJ, AD E
Ta có J là trung điểm của AK, kẻ FK//SE
0,25
F E
J
K
I H
D
C
B A
S
Trang 7Trong tam giác vuông cân SBC,
2
a
Trong tam giác vuông SAD,
3
a
Tam giác SAB cân tại S nên SH AB
Ta lại có
2 2
a
SH
, SHEB SEAH
0,25
Mà
EAH
DAB
3
1
.
a
(đvtt)
0,25
Đường tròn ngoại tiếp ABC chính là đường tròn ngoại tiếp MNP có phương trình là
x y x có tâm là
3
;0 2
K
0,25
Vì P là điểm chính giữa cung AB nên đường thẳng chứa AB đi qua Q 1;1
vuông góc với KP
PT của AB: 2x y 3 0
Tọa độ A, B là thỏa mãn hệ
2 3
2 3
1
4
x y
x
x
Từ đó, tìm được A 1;3 , B 4; 5
Ta lại có AC đi qua A, vuông góc với KN có phương trình 2x y 7 0
0,5
Nên tọa độ điểm C thỏa mãn
7 2
7 2
4; 1 1
4
x y
C x
x
0,25
Trang 88 1,0
Ta có d(M,(P)) = 3
2(1 3 ) 2(2 ) 1 1
3 3
Suy ra, có hai điểm thỏa bài toán là M1(4, 1, 2) và M2( – 2, 3, 0) 0,25
Trang 99 0,5
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau và đều khác 0 lập được là A 93 504 n A 504
Chọn ngẫu nhiên một số từ A có 84 cách nên n 84
Gọi B: “Số chọn được chia hết cho 3”
0,25
Số lập được chia hết cho 3 được lập từ các bộ số sau:
1; 2;3 , 1;2;6 , 1;2;9 , 1;3;5 , 1;3;8 , 1; 4;7 , 1;5; 6 , 1;5;9 , 1;6;8 , 1;8;9
2;3; 4 , 2;3;7 , 2; 4;6 , 2;4;9 , 2;5;8 , 2;6;7 , 2;7; 9 , 3; 4;5 , 3;4;8
3;5;7 , 3;6;9 , 3;7;8 , 4;5;6 , 4;5;9 , 4;6;8 , 5;6; 7 , 5;7;9 ,
6;7;8 , 7;8;9
Mỗi bộ số lập được 3!=6 số nên có tất cả 29.6=174 số
Chọn một số trong các số đó có 174 cách n B 174
Vậy xác suất là
174 29
504 84
n B
P B
n
0,25
Trang 1010 1,0
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
ab bc ac a b c a bc ab ac a bc ab ac
2
a b a c
1
a c
Mặt khác,
2
2
0,5
2
a b P
Vậy GTLN của P bằng
1
4.
0,5