07. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM HỮU TỈ VÀ 2 NGHIỆM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1 [Video].. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM HỮU TỈ VÀ 2 NGHIỆM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắ

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video] Giải phương trình 2 ( ) ( )

2

2

x x

x x

x x

Ví dụ 2 [Video] Giải phương trình ( 2 ) 2 3 2 ( )

Ví dụ 3 [Video] Giải phương trình x3−4x2+4x+ =4 3 7x2+ +x 310x2+10x+7

Ví dụ 4 [Tham khảo] Giải phương trình 8 1 6 1 1 ( )

0 1

3 4 1

x x

x

+

PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x∈ −[ ]1;1 Trước hết, chúng ta có:

8 1 6 1 9

2 1 3

x

Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 1 3 1 0

1

x x

x

−

+

Dùng chức năng SHIFT CALC, ta có được một nghiệm của phương trình ( )∗ là x=0, tuy nhiên khi khảo sát bằng TABLE hay tính chất nghiệm ta sẽ thấy nó còn hai nghiệm vô tỷ nữa, cụ thể là với SHIFT CALC, ta tiếp tục tìm được nghiệm x=0.866025403 và khi thay vào căn thức, ta được

1

1 1.366025404

2 1

1 0.366025408

2









Nên các biểu thức liên hợp cần tìm là (2 1+ −x 2x−1 ; 2 1) ( − −x 2x+1) Do đó, ta có:

( )

2

2 2

3

x



− = ⇔ = ±



 − + − − + =

 Với phương trình ( )i ⇔2x− +2 3 1− −x 1+ =x 0, đây là một phương trình có chứa nghiệm kép là 0

x= nên ta xác định biểu thức liên hợp cho căn thức như sau:

• Đặt 1 x− =ax+b, ta có hệ phương trình

1 1

2

x

x

a

=

=

⇒



nên biểu thức

liên hợp chính là 2 1− + −x x 2

07 LIÊN HỢP 1 NGHIỆM HỮU TỈ VÀ 2 NGHIỆM VÔ TỈ

Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

• Đặt 1+ =x mx+n, ta có hệ phương trình

1 1

2

x

x

m

=

=

⇒



nên biểu thức

liên hợp chính là 2 1+ − −x x 2

Do đó ( )i ⇔2x− +2 3 1− −x 1+ = ⇔x 0 4x− +4 6 1− −x 2 1+ =x 0

3

2 2 1 2 1 2

[ ]

Hoặc ta có thể tìm x=0 bằng cách là kết hợp ( )i với phương trình ( )∗ , ta có hệ phương trình:

 + − + + − =







Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là 0; 3

2

x= x=±

LỜI GIẢI Điều kiện: x∈ −[ ]1;1

Phương trình đã cho tương đương với

3 4 1

x

x

2

x

( )

2 2

3



− = ⇔ = ±



 − + − − + =

 Lấy pt i( )+ +2 2x−3 1+ +x 1− = ⇔x 0 4x= ⇔ =0 x 0

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là 0; 3

2

x= x=±

Ví dụ 5 [Tham khảo] Giải phương trình 2 ( ) 3 2

1 4 2 6 2

A Phân tích CASIO

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2, 414213562

Bấm SHIFT STO A để gán 2, 414213562= A

0

X A

=

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

Nhập vào máy tính ( )

3

0 1

X A X

=

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 414213562

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 414213562− =B

3

0 1

X A X X B

=

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 2

A B

A B

+ =



⇒



= −

2

2 1

x − x−

Mà x=1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( ) ( 2 ) 3 2

x− x − x− = −x x + +x

Quan sát (x−1) 4x+2 đã có x−1

Ta cần cân bằng ax b+ = 4x+2 khi biết hai nghiệm x= A x, =B

Aa b

a b

Ba b B



⇒ = = ⇒



Ta cần cân bằng cx+ =d 36x2+2x khi biết ba nghiệm x=1, x= A x, =B

Bấm máy giải hệ

3 2

3 2

3 2

6.1 2.1

c d

Ac d A A c d

Bc d B B











nhóm x+ −1 3 6x2+2 x

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

ĐK: 1

2

x≥ − (*)

1 4 2 6 2 0

Đặt ( ) (2 )3 2 ( 2 )2

3

T = +x + +x x + x+ x + x

2

2

x

x

T

0

1 4 2

T

0

1 4 2

T

x x x

T

2

x≥ − và 0 1 1 0

T

T

x

x x x

x

=



= ±

 thỏa mãn (*)

Đ/s: 1

x

x

=





= ±



Ví dụ 6 [Tham khảo] Giải phương trình 2 ( ) ( 2 )

2x −6x− + −5 x 1 4x+ =3 x −2x−2 4x+5

A Phân tích CASIO

2X −6X − +5 X −1 4X + −3 X −2X −2 4X + =5 0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2, 732050808

Bấm SHIFT STO A để gán 2, 732050808= A

0

X A

=

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

0 1

X A X

=

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050807

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 732050807− =B

0 1

X A X X B

=

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 2

A B

A B

+ =



⇒



= −

2

2 2

x − x−

Mà x=1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( ) ( 2 ) 3 2

x− x − x− = −x x + Quan sát (x−1) 4x+3 đã có x−1

Ta cần cân bằng ax b+ = 4x+3 khi biết hai nghiệm x=A x, =B

1

Aa b A a

b

Ba b B



=

Quan sát ( 2 )

x − x− x+ đã có ( 2 )

2 2

x − x−

Ta cần liên hợp để có nghiệm x=1⇒ nhóm 4x+ −5 3

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

ĐK: 3

4

x≥ − (*)

( 2 ) 4 5 9 ( ) ( 1) (2 4 3)

x

+ −

0

x x x

Với 3 1 4 1 0.

x

x

x x x

x

=



= ±

 thỏa mãn (*)

Đ/s: 1

x

x

=





= ±



Ví dụ 7 [Tham khảo] Giải phương trình 3 2 3 2 ( 2 )

x − x + x+ = x + x+ − x − x− x+

A Phân tích CASIO

X − X + X + − X + X + + X − X − X + = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =4, 236067977

Bấm SHIFT STO A để gán 4, 236067977= A

0

=

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

3

0 1

X A X

=

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 236067977

Bấm SHIFT STO B để gán 0, 236067977− =B

3

0 1

X A X X B

=

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 4

A B

A B

+ =



⇒



= −

2

4 1

x − x−

Mà x=1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( ) ( 2 ) 3 2

x− x − x− = −x x + x+ Quan sát ( 2 )

x − x− x+ đã có x2−4x−1

Ta cần liên hợp để có nghiệm x=1⇒ nhóm x+ −3 2

Ta cần cân bằng ax b+ =311x2 +9x+7 khi biết ba nghiệm x=1, x= A x, =B

Bấm máy tính giải hệ

3 2

3 2

3 2

11.1 9.1 7

1

2

a b

a

Aa b A A

b

Ba b B B



=







nhóm x+ −2 311x2+9x+7

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

ĐK: x≥ −3 (*)

( 2 ) 3 2

Ta có

2

44

2 11

( ) (2 )3 2 ( 2 )2

3

2

2

3 2

+ +

3 2

2

1 4 1

5 3 1

1 4 1 0

2

1 4 1 0

x x x

T

x

x x x

x

=



= ±

Đ/s: 1

x

x

=





= ±



Ví dụ 8 [Tham khảo] Giải phương trình 2 ( ) ( )

2

x x

x x

x x

Lời giải:

ĐK:

( )2 2

2

2 0

2

x x

x

≥ −

 + ≥

2

2

2

2

(2)

x

=



=



f x f x

Với x≥ −2⇒x− ≥ −1 3, x+ ≥2 0

Xét hàm số ( ) ( ) ( 2 )

f t = +t t + với t∈ − +∞[ 3; ) có

3 3

Kết hợp với f t( ) liên tục trên [− +∞3; )⇒ f t( ) đồng biến trên [− +∞3; )

Do đó (3)

2

x x

− ≥



− − =



Ta thấy x=2 và 3 13

2

x= +

đã thỏa mãn (*)

Ví dụ 9 [Tham khảo] Giải phương trình

x

x

Lời giải

Điều kiện 1

3

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

2

2

3

3 1 1

2 2 3 1 1

1 1

2 1 3 1 1

x

x

x



=

Ta có

( )

2

x x

x x

x x

− +

Kết luận phương trình có ba nghiệm với 2 3; 5 3; 5

S

Ví dụ 10 [Tham khảo] Giải phương trình 22 ( )

x x

x x

Lời giải

Điều kiện 1 2

6

x≥ x − x+ ≠ Phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2

5

24

x



=



Ta có

2

2 6 1

6 1 2

6 1

Kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm 5 ;3 2 2;3 2 2

24

Ví dụ 11 [Tham khảo] Giải phương trình 2 ( )

x

x x

Lời giải

Điều kiện 2; 2 2 13 5 0

7

x≥ x − x+ ≠ Phương trình đã cho tương đương với

( )

2

3

7

7 2 1

2 13 4 7 2 1

x

x



=



Ta thấy

2

x x

x x

x x

Đối chiếu điều kiện ta được 3 7; 41 7; 41

S  + − 

Em gái Thầy Đặng Việt Hùng