06 ki thuat lien hop 2 nghiem vo ti BG(2016)

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm... Tương tự như các ví dụ trên, thì sẽ đi thực hiện các bước: • Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính v

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video] Giải phương trình 2 ( )

Ví dụ 2 [Video] Giải phương trình ( ) 2 2 2

2

x x

Ví dụ 3 [Video] Giải phương trình x3− − + =x2 x 3 4x+ +3 2 6x+6

2x +8x+ +8 x −4x−1 9x+ = +8 x 1 7x+3 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 3

7

x≥ − Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

7

  Kết luận phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 5 [Tham khảo] Giải phương trình 2 ( )

x − = x+ − x+ x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 9

7

x≥ − Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x x

x x

7

x

+

 , kết luận phương trình có hai nghiệm

06 KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỈ

Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

1

x

x

x x

+

Lời giải

Điều kiện x> −1 Phương trình đã cho tương đương với

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

2

2

2

2

2

0

0

0

1 3

x x

x x

x x

x

− −

− −

− −

⇔

2

0

1 0

0

x x





Rõ ràng

x x x − + − − 

  Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm

Ví dụ 7 [Tham khảo] Giải phương trình x3− − + =x2 x 1 4x+ +3 3x2+10x+6

A Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X3−X2− + −X 1 4X + −3 3X2+10X + =6 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050808

Bấm SHIFT STO A để gán 0, 732050808− = A

Nhập vào máy tính

0

− Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2, 732050808

Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808=B

Nhập vào máy tính

0

X A X B

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 2

A B

A B

+ =



⇒



= −

2

2 2

x − x−

Ta cần cân bằng ax b+ = 4x+3 khi biết 2 nghiệm x=A x, =B

Aa b A

a b

Ba b B



⇒ = =





Ta cần cân bằng cx+ =d 3x2+10x+6 khi biết 2 nghiệm x= A x, =B

Bấm máy giải hệ

2

2

2

c d



⇒ = =





Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

ĐK:

2

3

4

x



≥ −







(*)

( ) (2 ) ( )2 ( 2 )

2

2

( 2 )

2

Với

2

Do đó (2) ⇔x2−2x− = ⇔ = ±2 0 x 1 3 thỏa mãn (*)

Đ/s: x= ±1 3

Ví dụ 8 [Tham khảo] Giải phương trình ( ) ( )3 ( )2

A Phân tích CASIO

X + X + + X + X + − X + =

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050808

Bấm SHIFT STO A để gán 0, 732050808− = A

0

X A

=

−

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2, 732050808

Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808=B

2 3

0

X A X B

=

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 2

A B

A B

+ =



⇒



= −

2

2 2

x − x−

Ta cần cân bằng ax b+ = 4x+3 khi biết 2 nghiệm x=A x, =B

Aa b A

a b

Ba b B



⇒ = =





Ta cần cân bằng 3

cx+ =d x+ khi biết 2 nghiệm x= A x, =B

Bấm máy giải hệ

3

3

0

d

Bc d B



⇒

=



Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

B Lời giải

ĐK: 3

4

x≥ − (*)

Dấu " "= xảy ra

3

3

0 3

x

x

x

=



+ =

Điều này là vô lý nên dấu " "= không xảy ra ⇒T >0

x≥ − ⇒x+ + x+ ≥ + >

T

0

T

( 2 ) 2 ( 1)( 2)

x

T

4

x T

T

+

Do đó (3) ⇔x2−2x− = ⇔ = ±2 0 x 1 3 thỏa mãn (*)

Đ/s: x= ±1 3

Ví dụ 9 [Tham khảo] Giải phương trình 4 3 2 ( 2 )( 2 )

A Phân tích CASIO

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =0, 3819660113

Bấm SHIFT STO A để gán 0, 3819660113=A

0

X A

=

−

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2, 618033989

Bấm SHIFT STO B để gán 2, 618033989=B

0

=

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Bấm A+B và A B ta được 3

A B

A B

+ =



⇒



=

3

3 1

x − +x

Đại lượng ( 2 )( 2 )

x − +x x − x+ có 2 căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình thường là khá khó khăn Chú ý rằng ( 2 ) ( 2 ) 2

2x −4x+ −3 x − + =x 2 x −3x+1 nên ta sẽ nhóm

( )

2x −4x+3 2x −4x+ −3 x − +x 2

A



Cụm A có dạng bậc 4, ta hoàn toàn tách được A thành tích khi biết A có nhân tử x3− +3x 1

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

  

ℝ (*)

( 2 ) ( 2 )

2

Đ/s: 3 5

2

x= ±

PHÂN TÍCH CASIO Tương tự như các ví dụ trên, thì sẽ đi thực hiện các bước:

• Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì thế ta sẽ sử dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm khoảng nghiệm của phương trình

f X = X − X − + X − −X X − −X X + Vì điều kiện bài toán là 1

0

x

x

≥



 ≤

 nên ta sẽ gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn và với hai miền nghiệm khác nhau tức là sẽ ứng với hai bảng giá trị

TH1 Với điều kiện x≥1 Bảng giá trị của hàm số F(X)

o Start ? Nhập START =1 x≥1 x≤0

o End ? Nhập END=5

o Step ? Nhập STEP=0.5

TH2 Với điều kiện x≤0

o Start ? Nhập START = −4

o End ? Nhập END=0

o Step ? Nhập STEP=0.5

• Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm

phương trình là 2;5

2

x  

  và

1

; 0 2

∈ − 

 

Và bây giờ ta sẽ sử dụng đến công cụ SHIFT

X F(X)

2 −3.767

X F(X) 4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

CALC để dò nghiệm trong hai khoảng nghiệm trên

o Nhập phương trình bài cho vào máy

o Với khoảng nghiệm 2;5

2

x  

  gán x=2.25 suy ra được nghiệm x=2.414213562

o Với khoảng nghiệm 1; 0

2

∈ − 

  gán x= −0.25 suy ra được nghiệm x= −0.414213562

• Xét hai nghiệm tìm được, thế vào hai căn thức của bài toán, ta có:

o Theo Viet đảo, sẽ thấy được 1 2

1 2

2 1

x x





= −

 nên nhân tử chung cần tìm là

2

x − x−

( ) ( )( )

x − =x x x − = x x− x+ = x −x x+ Vì thế ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai căn thức x2 −x và x+1

o Với x=2.414213562 suy ra

2

2

1.847759065

1

1 1.847759065

x



 + =



o Tương tự với x= −0.414213562 ta cũng có được x2 − =x x+1, do đó nhân tử chung hay nói cách khác biểu thức liên hợp cần tìm là ( 2 )

1

x − −x x+

TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát bài toán, ta đã có được ngay nhân tử

chung giữa hai căn là ( 2 )

1

x − −x x+ , việc còn lại chỉ là đi ghép biểu thức liên hợp với căn thức 3

x −x, hay để đơn giản hóa ta sẽ đi giải phương trình ( ) 3 3

• Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình g x( )=0 thôi thì ta thấy phương trình có dạng ( ) ( )

h x = k x nên hoàn toàn có thể chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau đó sẽ chia đa thức tạo nhân

tử Bình phương hai vế của phương trình g x( )=0 với điều kiện 3

x − x− ≥ ta được

( 3 )2 3

x − x− = x −x

o Với kỹ năng ở CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được:

( 3 )2 3 6 4 3 2

x − x− =x − ⇔x x − x − x + x + x+ =

o Nhân tử tìm được là x2 −2x−1 nên tiếp tục thực hiện phép chia đa thức để giảm bậc:

2

o Và chứng minh x4+2x3−3x2−7x− =1 0 vô nghiệm với điều kiện xác định của nó

• Còn trong trường hợp này, ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp với căn thức x3 −x

o Với hai nghiệm tìm được, ta có x=2.414213562 suy ra x3− =x 3.414213561= +x 1

Vì thế biểu thức liên hợp chính là ( 3 )

1

x+ − x −x

o Do đó, phương trình g x( )=0 tương đương với: ( 3 ) ( 3 )

x − x− + x+ − x −x =

3

2

1

1

o Và một lần nữa, sức mạng của TABLE lên tiếng, ta có thể dùng bảng giá trị này để khảo sát nghiệm của phương trình

3

1

1

x x

+

+ + − còn lại

2

1

X

f X X

+

+ + − , ta sẽ xét trong khoảng điều kiện x≥1

Start ? Nhập START =1

End ? Nhập END=4.5

Step ? Nhập STEP=0.5 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng và không có dấu hiệu cắt trục hoành vì thế ta có thể khẳng định rằng phương trình f X( )=0 vô nghiệm

Hướng chứng minh vô nghiệm ta có thể khảo sát hàm

số để chỉ ra đó là một HÀM TĂNG, hoặc có thể biến đổi tương đương hay nhóm hằng số đê đưa về tổng các đại lượng luôn dương Ta có:

3

1 2

x x

+

2

; 0 1;

x

 ∈ −∞ ∪ +∞



x − x− − x −x + x − −x x+ =

2

2

3 2

2

1

x

x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= ±{1 2}

6x =2x +3x+ x+3 3x+ +2 2 x+1 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Bài toán chứa hai căn thức và tư tưởng của chúng ta là vẫn đi liên hợp cho căn,

tuy nhiên cần xác định được nghiệm thì mới xác định được biểu thức liên hợp đó Dùng chức năng SHIFT

CALC ta sẽ có được nghiệm x=1.618033989 suy ra 3 2 2.618033989 1

1 1.618033989





liên hợp đó chính là (x+ −1 3x+2) và (x− x+1), tuy nhiên lại thấy x+3 trước căn thức 3x+2

do đó ta cần thêm bớt đại lượng (x+1)(x+3) Do đó, phương trình đã cho tương đương với:

X F(X)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

( )

6x −2x − − +3x x 3 3x+ −2 2 x+ =1 0

2

2

2

x

+

3

x

+

2

2

3

2

1 0

x

x

x x







Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1 5

2

x= +

x

PHÂN TÍCH CASIO Bài toán với kết cấu khá là phức tạp, có chứa rất nhiều phân số vì thế khả năng

lớn sẽ là nhóm được nhân tử chung bằng liên hợp Tuy nhiên, trước hết ta cần tìm nghiệm của phương trình đã cho bằng chức năng SHIFT CALC, nhưng hãy khảo sát bằng TABLE như ở ví dụ 1 nhé Ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình là 0.3819660113

2.618033989

x x

=



 =

3 1 0.3819660113





Mặt khác phương trình đã xuất hiện 1

3x−1 ta sẽ ghép liên hợp với

1

x, và biến đổi phương trình trở

thành:

2

2

3

x

x

2

1

2

x



Cái khó ở bài toán trên chính nhận ra được hai yếu tố cân bằng nhau để tìm ra biểu thức liên hợp đó chính

là biểu thức 2+ 3x− =1 7x+3 và sau khi liên hợp ta được:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 5

2

x= ±

Ví dụ 13 [Tham khảo] Giải phương trình 3 2 2 ( ) ( )

11x+ 9x +15x+ =7 x + +x 2 8x+3 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Không khác các ví dụ ở trên là bao nhiêu, vẫn là những kỹ năng cơ bản, tìm

nghiệm của phương trình bằng SHIFT CALC đồng thời xét bảng TABLE tìm khoảng nghiệm, ta sẽ có 0.2679491924

x= là một nghiệm của phương trình Với nghiệm này ta thấy

2

3





x+ − x + x+ x+ − x+

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: 2 ( ) 3 2

2

2

2

2





( ) 0





8

x

+ + + − −

trình ( ) 2

x

x

+ ≥



Em gái thầy Đặng Việt Hùng