05 ki thuat lien hop 3 nghiem huu ti BG(2016)

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1 [Video].. KĨ THUẬT LIÊN HỢP BA NGHIỆM HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc... Đây

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình 3 2 2 ( )

3

x x x

x x

Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình 3 4 6 2 3 10 3 ( )

7 13

4 10 3

x

Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình 2x3−2x2−6x+ =9 3 x2+4x− +4 3 4x2+7x−3

Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 3 2 4 3 2 ( )

3

2

x x x x

x x

PHÂN TÍCH CASIO Tương tự như ví dụ 2, với điều kiện

3

2 0

x x

x x





+ + ≠

 , ta sẽ tìm nghiệm của bài

toán bằng chức năng SHIFT CALC hoặc bảng TABLE như sau:

3

2

X X X X

F X X X

X X

+ + Và nhập các giá trị:

• Start = −1

• End =5

• Step =0.5

Ta được bảng như bên Và ta sẽ thấy được phương trình có 2 nghiệm đó chính là

{ }0;1

x= Với các nghiệm hữu tỷ, ta sẽ chọn x=1 thì thấy

2x +x + = = +1 2 x 1, do đó biểu thức liên hợp mà ta sẽ chọn là

2x +x + − −1 x 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

Nhưng trước khi liên hợp, ta cần xét trường hợp:

2

1 0

x

x x

+ ≤



− =

 ( loại do điều kiện )

Từ đó suy ra

( )

2

3

2

x x

x x

Điều kiện 2x3+ + ≥x2 1 0 Phương trình (*) tương đương với

2

x x x





-1 ERROR -0.5 -0.045

0.5 0.0104

1.5 0.1168

2 0.5825 2.5 1.4004

3.5 3.8219

4 5.3173 4.5 6.9906

5 8.795

05 KĨ THUẬT LIÊN HỢP BA NGHIỆM HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

( ) 3 2 2 3 ( 2 ) { }

1

1 0

x

x

x x

≥ −



− =

1

1 0

x

x

x x

≤



+ =

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm S ={ }0;1

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 2 ( )3 2 ( )

2x = 8x −8x−12+ +x 2 x +2x− +7 2 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: 8x2 −8x−12≥0 Đây là một bài toán chứa cả căn bậc hai, lẫn căn bậc

ba, giải pháp tối ưu sẽ là liên hợp và vì chứa căn bậc ba nên có thể bài toán sẽ có ba nghiệm Vậy ta sẽ dùng bảng TABLE để xét miền nghiệm của nó như sau:

F X = X − X − X − − +x X + X − − Nhập các giá trị:

• Start = −5

• End =5

• Step =0.5

Ta có bảng TABLE như bên Và thấy được

rằng

phương trình đã cho có tới 4 nghiệm Mục tiêu

của ta là tìm biểu thức liên hợp với các căn

thức, nên ta xét như sau:

• Với ( )3 2

x+ x + x− chứa nghiệm

2

x= − nên ta chỉ cần tìm biểu thức

liên hợp với 3 x2+2x−7 sao cho

xuất hiện nhân tử

(x+1)(x−2)(x−3)

Đặt 3 2

2

1

1

b a

a

b

a b

− = −



=



 + − = + ⇒ + = ⇔

= −





, do đó biểu thức liên hợp là

2 3

x− − x + x−

• Với 8x2−8x−12, ta đặt 2 2

− − = + + ⇒ + + = ⇔ = −

 − + =  =

, do đó

biểu thức liên hợp chính là x2 − −x 8x2 −8x−12

Do đó phương trình đã cho tương đương với: 2 2 ( )3 2

2x − −2 8x −8x−12− +x 2 x +2x− =7 0

( )( )( )( )

3

2

2

0

0

x x x x

⇔ + + − − f x( )= ⇔ = −0 x 1; x= −2; x=2; x=3

0.5 ERROR

1.5 ERROR

2.5 -1.031

3.5 2.2055

4 5.4071 4.5 9.5409

5 14.578

-5 38.9 -4.5 28.911 -4 19.834 -3.5 10.015 -3 5.2474 -2.5 1.9884

-1.5 -0.753

-0.5 ERROR

Với ( )

f x

8

x − +x x − x− =x − +x x − −x ≥ ⇒ f x >

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên

Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình 3 2 4 ( )

3x +6x −9x+ =8 8 x − +x 1 x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Tương tự các ví dụ bên trên, ta khảo sát nghiệm bằng TABLE như sau:

F X = X + X − X + − X − +X và các giá trị

• Start = −3

• End =3

• Step =0.5

Bảng TABLE này có rất nhiều điều để nói

• Phương trình đã cho có ba nghiệm gồm x=0; x=1 và một nghiệm

sẽ nằm trong khoảng (−1, 5; 1− ) Và SHIFT CALC ta tìm được

nghiệm đó là 1.666666667 5

3

x= − = −

• Điểm chú ý tiếp theo chính là tại nghiệm x=1 có dấu hiệu của

nghiệm bội vì hàm số tại đó tiếp xúc với trục hoành

Sau khi xác định được nghiệm, ta tiếp tục dự đoán biểu thức liên hợp

Biểu thức liên hợp có dạng ( 4 2 )

1

x − + +x ax +bx+c có chứa ba nghiệm

5

0;1;

3

−

 , khi đó ta có hệ phương trình

1 2

1

2

1 0

a

a b c

c

a b c



= −

= −

, do đó nhân tử liên hợp cần

tìm đó chính là 2 x4− + −x 1 x2+ −x 2 Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

3x +6x −9x+ −8 8 x − + =x 1 3x +2x −5x−4 2 x − + −x 1 x + −x 2 =0

Chú ý:

2

( )( )

2

1 3 5

x x x

x x x x

x x x x

2

1 3 5 0

x x x

x x x x x x x







Dùng TABLE ta sẽ khảo sát được 2 x4 − + +x 1 x2−5x+ ≥2 0, thật vậy, ta có:

( )

2 2

-3 -65.75 -2.5 -31.06 -2 -8.871 -1.5 -2.875 -1 6.1435 -0.5 3.625

0.5 -0.625

1.5 1.0369

2 7.0161 2.5 20.844

3 44.894

Do đó suy ra phương trình ( )i vô nghiệm hay nói cách khác ( ) 0;5 1

3

x x x





∗ ⇔ 

= −



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên

Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 ( ) ( )

2x −9x+ = −7 x 3 4x− + −7 x 4 3x−5

A Phân tích CASIO

2X −9X + −7 X −3 4X − −7 X −4 3X − =5 0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3

2X −9X + −7 X −3 4X− −7 X −4 3X−5 : X− =3 0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =4

2X −9X + −7 X −3 4X − −7 X −4 3X−5 : X −3 X −4 =0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

2X −9X + −7 X −3 4X − −7 X −4 3X −5 : X −3 X −4 X −2 =0 Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có 3 nghiệm là x=2, x=3, x=4⇒(x−2)(x−3)(x− =4) 0

Quan sát (x−3) 4x−7 đã có x−3 và (x−4) 3x−5 đã có x−4

Ta cần cân bằng ax b+ = 4x−7 khi biết 2 nghiệm x=2, x=4

1

b

a b



= −

Ta cần cân bằng cx+ =d 3x−5 khi biết 2 nghiệm x=2, x=3

1

d

c d



= −

B Lời giải

4

x≥ (*)

2x 9x 7 x 3 4x 7 x 4 3x 5 0

( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) (2 )

( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )

0

( 3)( 2)( 4) ( 4)( 2)( 3)

0

x x x

x

Do đó (2) ( )( )( )

2

4

x

x

=





⇔ − − − = ⇔  =

 thỏa mãn (*)

Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 ( ) 3 2

x − x+ = −x x− + x − +x

A Phân tích CASIO

X − X + − X − X− − X − X + =

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3

X − X + − X − X − − X − X+ X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

X − X + − X − X − − X − X+ X − X− = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

X − X + − X − X − − X − X+ X − X− X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có 3 nghiệm là x=1, x=2, x=3⇒(x−1)(x−2)(x− =3) 0

Quan sát (x−3) 3x−2 đã có x−3

Ta cần cân bằng ax b+ = 3x−2 khi biết 2 nghiệm x=1, x=2

0

b

a b



=

Ta cần cân bằng cx+ =d 39x2− +8x 7 khi biết 3 nghiệm x=1, x=2, x=3

9.1 8.1 7 2

3 9.3 8.3 7 4

c d

c d









nhóm x+ −1 39x2− +8x 7

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

3

x≥ (*)

⇔ − + − − − − − + =

3

T = +x + +x x − x+ + x − +x

( )

2

2

x

Do đó (2) ( ) 2 ( ) ( )3 ( 2 )

3 2

3 2

x x x

T

x x

( 3)( 1)( 2) 3 6 2 11 6

0

T

+ −

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

0

x− x− x− x− x− x−

( )( )( ) 1 1

3 2

x x x

T

x x

Với 2

3

x≥ và 0 1 1 0

3 2

T

T

x x

Do đó (3) ( 1)( 2)( 3) 0 12

3

x

x

=





⇔ − − − = ⇔ =

 thỏa mãn (*)

Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình 3 2 ( ) 2 3

x + − − −x x x− = x − x+ x + −x

A Phân tích CASIO

X +X − − X − X − − X − X + X + − =X

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =3

X +X − − X − X − − X − X + X + −X X− = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =2

X +X − − X − X − − X − X + X + −X X − X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X =1

Nhập vào máy

X +X − − X − X − − X − X + X + −X X − X − X− =

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm

Như vậy (1) có 3 nghiệm là x=1, x=2, x=3⇒(x−1)(x−2)(x− =3) 0

Quan sát (x−2) 6x−2 đã có x−2

Ta cần cân bằng ax b+ = 6x−2 khi biết 2 nghiệm x=1, x=3

1

b

a b



=



6x −10x+5 x + −x 1 có 2 căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình thường là khá phức tạp Chú ý, dễ dàng thấy được, với x=1, x=2, x=3 thì 6x2−10x+ =5 x3+ −x 1

x + − −x x − x+ → x + −x x + − −x x − x+ với nhau Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:

B Lời giải

ĐK:

3

2

1 0 1

3

x x

x

 + − ≥





≥







(*)

Ta có

2

− + = −  + > ⇒ = + − + − + >

T

+ − − − + + − −

+ + −

( ) ( 2 ) 3 2

3

x x

T

+ + −

( 2)( 1)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3)

x x

T

+ + −

x x

x x x

T

(3)

Với (*) và

3

x x T

T

+ −

Do đó (3) ( )( )( )

1

3

x

x

=





⇔ − − − = ⇔ =

 thỏa mãn (*)

Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 ( ) ( ) ( )

2x −5x= −x 3 3x− + −2 x 2 4x−3 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 3

4

x≥ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( )( )( )

2

0

x x x

4

+ − + − nên thu được (x−2)(x−1)(x− = ⇔ ∈3) 0 x {1; 2;3} Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm

Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình 4 3 2 ( ) ( )

Lời giải

Điều kiện 3

4

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

( )( )( )

2

x x x x x x x x x x x x

x x x x

4

+ − + − nên thu được (x−2)(x−1)(x− = ⇔ ∈3) 0 x {1; 2;3} Kết luận phương trình đã cho có S={1; 2;3}

Ví dụ 12 [Tham khảo]. Giải phương trình 3 ( 2 ) ( 2 ) ( )

2x −5x= x −1 5x− +6 x −4 4x−3 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 6

5

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

0

0

x x x

4

x

+ − + − nên ta thu được (x−2)(x−1)(x− = ⇔ ∈3) 0 x {1; 2;3} Kết luận phương trình đã cho có S={1; 2;3}

Em gái Thầy Đặng Việt Hùng