cách giải các bài toán xác suất thống kê , để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài trong kì thi đại học.bộ tài liệu này nhằm giúp các bạn bị yếu phần xác xuất thống kê có kả năng làm bài tốt nhất có thể
Trang 1Dạng I: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển
Cách giải: Để tính xác suất P(A)P(A) của một biến cố AA ta thực hiện các bước
+ Xác định không gian mẫu ΩΩ, rồi tính số phần tử n(Ω)n(Ω) của Ω.Ω
+ Xác định tập con mô tả biến cố A,A, rồi tính số phần tử n(A)n(A) của tập hợp AA + Tính P(A)P(A) theo công thức P(A)=n(A)n(Ω)P(A)=n(A)n(Ω)
Thí dụ 11. Một tổ học sinh gồm 99 em, trong đó có 33 nữ được chia thành 33 nhóm đều nhau Tính xác suất để mỗi nhóm có 11 nữ
Lời giải Gọi AA là biến cố : “ ở 33 nhóm học sinh mỗi nhóm có 11 nữ”
+ Để tìm n(Ω)n(Ω) ta thực hiện
Chọn ngẫu nhiên 33 trong 99 em đưa vào nhóm thứ nhất, số khả năng là C39C93 Chọn 33 trong số 66 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai, số khả năng là C36.C63
Chọn 33 em đưa vào nhóm thứ 3,3, số khả năng là C33=1.C33=1
Vậy n(Ω)=C39.C36.1=1680n(Ω)=C93.C63.1=1680
Vì phân ngẫu nhiên nên các biến số sơ cấp trong không gian biến cố sơ cấp này có cùng khả năng xuất hiện
Để tìm n(A)n(A) ta thực hiện
Phân 33 nữ vào 33 nhóm nên có 3!3! Cách khác nhau
Phân 66 nam vào 33 nhóm theo cách như trên, ta có C26.C24.1C62.C42.1 cách khác nhau
Suy ra n(A)=3!.C39.C36.1=540n(A)=3!.C93.C63.1=540
+ Do đó P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784
DẠNG II Tính xác suất bằng quy tắc cộng
Cách giải Sử dụng kỹ thuật đếm và các công thức sau để tính xác suất của biến cố đối,
biến cố hợp,
P(A¯¯¯¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B),
nếu A B= ∩ ∅A B=∩ ∅
Thí dụ 22: Một hộp đựng 88 viên bi xanh và 44 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 33 viên bi Tính xác suất để
a) Lấy được 33 viên bi cùng màu
b) Lấy được 33 viên bi khác màu
c) Lấy được ít nhất 22 viên bi xanh
Lời giải:
a) gọi AA là biến cố “ Lấy được 33 viên bi xanh”, BB là biến cố “ lấy được 33 viên bi đỏ”
và HH là biến cố “ lấy được 33 viên bi cùng màu” Ta có H=A∪BH=A∪B,
vì AA và BB xung khắc nên P(H)=P(A)+P(B)P(H)=P(A)+P(B)
Ta
có P(A)=C38C312=1455;P(B)=C34C312=155P(A)=C83C123=1455;P(B)=C43C123=1 55
Từ đó P(H)=1455+155=311P(H)=1455+155=311
b) Biến cố “ lấy được 33 viên bi khác màu” là biến cố H¯¯¯¯¯H¯, Vậy
c) Gọi CC là biến cố lấy được 22 viên bi xanh và một viên bi đỏ” , K là biến cố “ lấy được
ít nhất 22 viên bi xanh” Ta có K=A∪CK=A∪C , vì AA và CC xung khắc,
Trang 2nên P(K)=P(A)+P(C)P(K)=P(A)+P(C)
Ta có P(C)=C28.C14C312=2855P(C)=C82.C41C123=2855
Suy ra P(K)=1455+2855=4255P(K)=1455+2855=4255
DẠNG III Tính xác suất bằng quy tắc nhân
Cách giải Để tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập AA và BB ta dùng công thức P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)
Thí dụ 33 Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ thất chứa 33 quả cầu trắng, 77 quả cầu đỏ và 1515 quả cầu xanh Hộp thứ hai chứa 1010 quả cầu trắng, 66 quả cầu đỏ
và 99 quả cầu xanh Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra có màu giống nhau
Lời giải : Gọi AA là biến cố "Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng", BB là biến cố "Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng"
Ta có P(A)=325,P(B)=1025P(A)=325,P(B)=1025 Vậy xác suất để hai quả cầu được lấy ra đều màu trắng là
P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625( do A,BA,B độc lập)
Tương tự, xác suất để hai quả cầu được lấy ra đều màu xanh
là 1525.925=1356251525.925=135625, và xác suất để lấy ra hai quả cầu đều màu
đỏ là 625.725=42625.625.725=42625
Theo quy tắc cộng, xác suất để lấy ra hai quả cầu cùng màu là
30625+135625+42625=20762530625+135625+42625=207625
Dạng IV Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Cách giải : Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc XX ta thực hiện các bước :
+ Xác định tập các giá trị có thể {x1,x2,⋯,xn}{x1,x2,⋯,xn} của XX
+ Tính các xác suất pi=P(X=xi),pi=P(X=xi), trong đó {X=xi}{X=xi} là biến cố
"XX nhận giá trị xixi"
+ Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau
Ví dụ 4.4 Một lô hàng gồm 1010 sản phẩm trong đó có 33 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 44 sản phẩn để kiểm tra Gọi XX là số sản phẩm xấu gặp phải khi kiểm tra Lập bảng phân bố xác suất của XX
Lời giải :
Dễ thấy XX nhận các giá trị thuộc tập {0,1,2,3}{0,1,2,3} Ta có :
P(X=0)=C47C410=35210P(X=0)=C74C104=35210
Trang 3P(X=2)=C23.C27C410=63210P(X=2)=C32.C72C104=63210
P(X=3)=C33.C17C410=7210P(X=3)=C33.C71C104=7210
Vậy bảng phân bố xác suất của XX là
Dạng V Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Cách giải : Để tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc XX ta dùng các công thức :
E(X)=∑i=1nxipi;V(X)=∑i=1n(xi−μ)2piE(X)=∑i=1nxipi;V(X)=∑i=1n(xi−μ)2pi hoặc
V(X)=∑i=1nx2ipi−μ2;σ(X)=V(X)−−−−−√V(X)=∑i=1nxi2pi−μ2;σ(X)=V(X), trong
đó
pi=P(X=xi),∀i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯;μ=E(X)pi=P(X=xi),∀i=1,n¯;μ=E(X)
Ví dụ 55 Một chiếc hộp đựng 1010 tấm thẻ, trong đó có bốn thẻ ghi số 11, ba thẻ ghi
số 22, hai thẻ ghi số 33và một thẻ ghi số 44 Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ rồi cộng hai
số trên hai tấm thẻ với nhau Gọi XX là số thu được
a) Lập bảng phân bố xác suất của XX
b) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của XX
Lời giải :
a) Gọi AijAij là biến cố "Chọn được tấm thẻ ghi số ii và tấm thẻ ghi số jj."
Dễ thấy XX nhận các giá trị thuộc tập {2,3,4,5,6,7}{2,3,4,5,6,7} Ta có :
P(X=2)=P(A11)=C24C210=645P(X=2)=P(A11)=C42C102=645
P(X=3)=P(A12)=C14.C13C210=1245P(X=3)=P(A12)=C41.C31C102=1245
P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C14.C12C210+C23C210=1145P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C41 C21C102+C32C102=1145
P(X=5)=P(A14)+P(A23)=C14.C11C210+C13.C12C210=1045P(X=5)=P(A14)+P(A23)
=C41.C11C102+C31.C21C102=1045
P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C210+C13.C11C210=445P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C 102+C31.C11C102=445
P(X=7)=P(A34)=C12.C11C210=245P(X=7)=P(A34)=C21.C11C102=245
Vậy bảng phân bố xác suất của XX là
b) Ta có :
E(X)=2.645+3.1245+4.1145+5.1045+6.445+7.245=4E(X)=2.645+3.1245+4
Trang 4V(X)=22.645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78.V(X)=22 645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78
σ(X)=V(X)−−−−−√=1,78−−−−√≈1,33.σ(X)=V(X)=1,78≈1,33
BÀI TẬP ÁP DỤNG
11 Một hộp đựng 1212 quả cầu cùng kích thước trong đó có 33 quả cầu xanh, 44 quả cầu đen và 55 quả cầu trắng Chọn nhẫu nhiên cùng lúc 44 quả cầu tính xác suất để trong 44 quả cầu chọn được có
a) 44 quả cầu cùng màu
b) 22 quả cầu trắng
c) 11 quả cầu trắng, 11 quả cầu đen
22 Gieo đồng thời đồng 55 xu Tính xác suất để
a) được 33 mặt ngửa
b) có ít nhất 33 mặt ngửa
c) có ít nhất 11 mặt ngửa
33 Hai bạn Đào và Mai học xa nhà Xác suất để Đào và Mai về thăm nhà vào ngày chủ nhật tương ứng là 0,20,2 và 0,250,25 Tính xác suất để vào ngày chủ nhật
a) cả hai về thăm nhà
b) cả hai không về thăm nhà
c) có đúng 11 người về thăm nhà
d) có ít nhất 11 người về thăm nhà
4.4 Một hộp đề thi vấn đáp có 3030 câu hỏi, trong đó có 1010 câu hỏi khó Một học sinh cần rút ngẫu nhiên 33câu hỏi để trả lời Gọi XX là số câu khó trong số 33 câu hỏi
đã rút ra
a) Lập bảng phân bố xác suất của XX
b) Tính xác suất để học sinh này chỉ nhận được toàn câu khó
c) Tính xác suất để học sinh này nhận được ít nhất 22 câu khó
d) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của XX