ω J Phương trình biểu thị trạng thái tĩnh của đối tượng có dạng Mđo = Mco Khi trạng thái cân bằng bị phá vỡ, ví dụ như có sự thay đổi phụ tải đối tượng lệch khỏi trạng thái cân bằng, trạ
Trang 1Chương 5 Đối tượng điều chỉnh
5.1 Khái niệm về đối tượng điều chỉnh và phân loại
5.1.1 Khái niệm về đối tượng điều chỉnh
Khái niệm đối tượng điều chỉnh (đối tượng điều khiển theo nghĩa rộng) được sử dụng với hai ý nghĩa khác nhau
Đối tượng điều chỉnh có thể là một quá trình công nghệ có một hay nhiều thông số cần được điều
chỉnh, đối tượng điều chỉnh khi đó là một quá trình được điều chỉnh hoặc điều khiển, ví dụ như quá trình luyện thép, quá trình thay đổi mức nước, quá trình cháy trong nồi hơi, quá trình thay đổi vòng quay của động cơ diesel, quá trình thay đổi nhiệt độ dầu đốt, dầu nhờn, nhiệt độ trong phòng, quá trình thay đổi áp suất
ý nghĩa thứ hai của khái niệm đối tượng điều chỉnh là tổ hợp thiết bị công nghệ mà trong đó xảy ra quá trình điều chỉnh hoặc điều khiển Ví dụ: nồi hơi, động cơ diesel, lò nung như đã thấy ở phần đầu "sơ
đồ chức năng"
Với ý nghĩa nào thì đối tượng điều chỉnh vẫn là khâu cơ bản trong hệ thống tự động, toàn bộ sự hoạt động của các phần tử khác nhằm mục đích phục vụ cho đối tượng Vì vậy việc nắm được tính chất
cơ bản của đối tượng có ý nghĩa quyết định sự thành công hay thất bại đối với người thiết kế, khai thác các hệ thống tự động
5.1.2 Phân loại đối tượng điều chỉnh
1 Trên quan điểm tính chất của đối tượng điều chỉnh người ta có thể phân loại đối tượng điều chỉnh như sau:
a Phân loại theo dung tích
Đối tượng điều chỉnh có thể có một hoặc nhiều dung tích mà trong đó vật chất hay năng lượng được tích tụ Trên cơ sở đó người ta chia thành:
- Đối tượng điều chỉnh một dung lượng
- Đối tượng điều chỉnh nhiều dung lượng
- Đối tượng điều chỉnh không dung lượng
b Phân loại theo tính tự chỉnh:
- Đối tượng có tính tự chỉnh Fođ > 0
- Đối tượng không có tính tự chỉnh Fođ < 0
- Đối tượng trung tính Fođ = 0
c Phân loại theo giá trị thông số điều chỉnh
- Đối tượng có các thông số tập trung
- Đối tượng có các thông số phân tán
Đối tượng được xem là có các thông số tập trung khi đại lượng được điều chỉnh của nó chỉ phụ thuộc vào thời gian Còn đối tượng được gọi là đối tượng có các thông số phân tán khi đại lượng được
Trang 2điều chỉnh của nó phụ thuộc cả vào các thông số bổ sung Ví dụ như nồi hơi là đối tượng điều chỉnh có các thông số phân tán vì đại lượng cần điều chỉnh là áp suất hơi trong trống hơi phụ thuộc vào nhiều thông số: phụ tải, áp suất dầu đốt, nhiệt trị của dầu đốt
2 Trên cơ sở mô hình hóa đối tượng điều chỉnh ta có thể nhóm đối tượng điều chỉnh thành các nhóm cơ bản sau:
Nhóm 1: Các đối tượng có khối lượng quay quanh trục
Chế độ làm việc cân bằng của đối tượng ở nhóm này được minh hoạ bằng biểu thức giữa mômen quay (hoặc xoắn) ở chế độ làm việc đang khảo sát và mômen cản của phụ tải
ω
J
Phương trình biểu thị trạng thái tĩnh của đối tượng có dạng Mđo = Mco
Khi trạng thái cân bằng bị phá vỡ, ví dụ như có sự thay đổi phụ tải đối tượng lệch khỏi trạng thái cân bằng, trạng thái mới này sẽ được phản ánh bằng phương trình toán học (phương trình động)
c
d M
M
dt
d
J là mômen quán tính quy đổi của trục và các khối lượng quay khác với đường tâm trục, với một đối tượng nhất định (khối lượng tham gia chuyển động quay và bán kính quay không thay đổi) thì J có giá trị không đổi
là vận tốc góc là tín hiệu ra hay đại lượng cần điều chỉnh của đối tượng điều chỉnh
Mđ và Mc là mômen quay và mômen cản ở chế độ động
Nhóm 2: Các đối tượng tích trữ công chất là khí, hơi trong không gian có thể tích không đổi
Đối tượng đặc trưng của nhóm này là bình chứa khí nén có thể tích không đổi với lượng khí cấp vào và thoát ra thay đổi Đại lượng cần điều chỉnh của đối tượng là áp suất khí trong bình
p
Qt
V
To
Trang 3Phương trình của đối tượng ở chế độ tĩnh có dạng Qco = Qto
Quá trình động xảy ra khi có sự mất cân bằng giữa lượng khí thoát và lượng khí cấp Hiệu giữa lượng khí cấp và lượng khí thoát là lượng khí tích trữ trong bình, vì vậy phương trình động của đối tượng
có dạng Q c Q t
dt
dG
G là khối lượng khí tích trữ trong bình (kg) G = V.
V là thể tích của bình, là trọng lượng riêng của khí
Qc, Qt là lượng khí cấp và thoát ở chế độ động
Vì V = const do đó Q c Q t
dt
d
V Giả sử quá trình xảy ra trong bình chứa là quá trình đa biến, từ phương trình nhiệt động của khí và
hơi ta có
dt
dp np dt
d p p
o
o n
o
o
n
o
dt
dp np
Giả sử nhiệt độ ở chế động đang khảo sát T = To = const khi áp suất thay đổi, dựa vào phương trình đặc tính của hệ nhiệt động
p.V = G.R.T = G.R.To => dGdt RV.T .dpdt
o
Kết hợp lại ta có phương trình động của đối tượng loại này:
t c o
Q Q dt
dp T R
V
Với V là thể tích của bình chứa, R là hằng số của chất khí, To là nhiệt độ của chất khí ở chế độ khảo sát
Nhóm 3: Các đối tượng tích trữ công chất dạng lỏng trong bình chứa ở áp suất không đổi
Đối tượng đặc trưng của nhóm này là bình chứa chất lỏng không có áp suất trên mặt thoáng, lượng chất lỏng cấp Qc, và thoát Qt thay đổi, đại lượng cần điều chỉnh là mức chất lỏng
Qc
h
F
Qt
Phương trình của đối tượng ở chế độ tĩnh có dạng Qco = Qto
Giả sử F là tiết diện của bình và F = const ta có khối lượng chất lỏng trong bình chứa G = .V =
.F.h
Trang 4Với h là mức chất lỏng trong bình, là trọng lượng riêng của chất lỏng và = const
Phương trình động của bình chứa có dạng Q c Q t
dt
dh
Nhóm 4: Đối tượng tích trữ nhiệt lượng trong không gian bị giới hạn
Đối tượng đặc trưng của nhóm này là buồng kín có nhiệt lượng cấp Hc và nhiệt lượng thoát Ht thay đổi Đại lượng cần điều chỉnh của đối tượng là nhiệt độ T trong buồng kín
Trạng thái cân bằng của đối tượng đặc trưng cho sự cân bằng giữa lượng nhiệt cấp vào và thoát ra khỏi buồng kín Hco = Hto
Trạng thái cân bằng bị phá vỡ có nghĩa là có sự tích tụ nhiệt lượng trong buồng kín, phương trình
động có dạng K H c H t
dt
dT
Ck là nhiệt dung của buồng cháy, Ck phụ thuộc vào cấu tạo và vật liệu tạo nên buồng cháy
Ngoài các loại nhóm đối tượng như trên còn có thể có các loại đối tượng khác, tuy nhiên đây là các nhóm đối tượng tiêu biểu thường gặp nhất trong các hệ thống thiết bị năng lượng trên tàu thủy
Như vậy một cách tổng quát phương trình động của các nhóm đối tượng có dạng:
2
1 E E dt
dy
dt
dy
B là đại lượng đặc trưng cho năng lượng tích tụ trong đối tượng với B là hệ số không đổi của đối tượng, y là đại lượng cần điều chỉnh của đối tượng.
E 1 và E 2 tương ứng là năng lượng cấp và năng lượng thoát.
5.2 Các tính chất đặc trưng của đối tượng điều chỉnh
Đối tượng điều chỉnh có một số tính chất đặc trưng cơ bản sau:
- Dung tích của đối tượng
- Quán tính của đối tượng
- Sức cản trở của đối tượng
- Khả năng tự ổn định
Chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất cơ bản của đối tượng điều chỉnh
5.2.1 Tính chất dung tích của đối tượng
Dung tích của đối tượng là khả năng tích trữ năng lượng hoặc vật chất Dung tích của đối tượng
thường được biểu thị bằng hệ số dự trữ hay còn gọi là hệ số dung tích
y
E
Kz
Kz là hệ số dự trữ năng lượng, E là lượng vật chất hoặc năng lượng đưa vào trong đối tượng, y là giá trị của đại lượng được điều chỉnh
Hệ số dung tích được xác định bằng lượng vật chất hoặc năng lượng đưa vào đối tượng để làm thông số ra (đại lượng được điều chỉnh) thay đổi một đơn vị Lượng vật chất hoặc năng lượng cần thiết
Trang 5đưa vào đối tượng để làm thông số ra thay đổi một đơn vị càng lớn thì hệ số dung tích càng lớn và tất nhiên dung tích của đối tượng cũng sẽ càng lớn
Hình vẽ 5.2.1 biểu thị mối quan hệ giữa hệ số dung tích và dung tích của đối tượng điều chỉnh có cùng đại lượng ra
Hình 5.2.1: Hệ số dung tích của các đối tượng có dung tích khác nhau
Hình vẽ 5.2.2 minh họa một cách hình ảnh các đối tượng điều chỉnh có dung tích khác nhau Các đối tượng điều chỉnh ở đây là các két hình khối có đáy hình vuông chứa chất lỏng Đại lượng được điều chỉnh là mức chất lỏng h, lượng vật chất E đưa vào đối tượng là lượng nước cấp Qc, giả sử lượng chất
lỏng thoát Qt không thay đổi Hệ số dung tích Kz của các đối tượng như thế này được xác định
h
Q
z
h
h
h
Hình 5.2.2: Dung tích của đối tượng Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối tượng thứ nhất không có dung tích, vì lượng chất lỏng cấp vào sau đó thoát không làm tăng mức, đối tượng không tích trữ vật chất Với đối tượng thứ hai để cho mức chất lỏng tăng một đơn vị thì cần đưa vào một lượng chất lỏng Q2 = 1.F2 Với đối tượng thứ ba để cho mức chất lỏng tăng một đơn vị thì cần đưa vào một lượng chất lỏng Q3 = 1.F3 Với đối tượng thứ tư để cho mức chất lỏng tăng một đơn vị thì cần đưa vào một lượng chất lỏng Q4 = 1.F4 Vì F4 > F3 > F2 nên Q4 > Q3 > Q2
vì vậy đối tượng thứ hai có dung tích nhỏ hơn đối tượng thứ ba và đối tượng thứ tư có dung tích lớn nhất
Đối tượng điều chỉnh cũng có thể có một dung tích, hai dung tích và nhiều dung tích Hình vẽ 5.3.3 minh họa các đối tượng có một, hai, và ba dung tích
F
h
h
F
h
Hình 5.2.3: Đối tượng một hai và nhiều dung tích
K z Δyy
1 Kz nhỏ Kz trung bình Kz lớn
Trang 6Đồ thị đặc tính biểu thị quá trình chuyển tiếp, khi tín hiệu vào hoặc nhiễu loạn là hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) được gọi là đường cong chuyển tiếp hay đường cong biểu thị phản ứng của đối tượng Hình vẽ 5.2.4 cho thấy đường cong biểu thị phản ứng của các đối tượng không có dung lượng, có dung tích nhỏ, có dung tích trung bình và có dung tích lớn
Đối tượng có dung tích càng lớn hoặc càng nhiều dung tích thì thông số ra của nó càng biến đổi chậm khi có tác động của nhiễu Như vậy việc xác định được đường cong biểu thị phản ứng của đối tượng rất quan trọng cho quá trình lựa chọn bộ điều chỉnh thích hợp với đối tượng
5.2.2 Sức cản trở của đối tượng
Sức cản trở của đối tượng là khả năng cản trở dòng năng lượng hoặc vật chất lưu thông qua đối tượng Nếu các thông số khác không thay đổi, đối tượng có sức cản trở càng lớn thì thông số ra của đối tượng biến đổi càng chậm khi xuất hiện tác động nhiễu Trên hình 5.5.5 biểu thị các đường cong của đối tượng có sức cản khác nhau
x(t) = 1(t)
yo
t
y
x
R3
R2
R1
Hình 5.2.5: Phản ứng của các đối tượng có sức cản trở khác nhau
Trang 75.2.3 Quán tính của đối tượng
Quán tính của đối tượng được tạo nên bởi hai thông số dung tích và sức cản trở, tính quán tính của đối tượng đặc trưng cho khả năng chống lại những thay đổi Thông số đặc trưng của tính quán tính là hằng số thời gian quán tính T của đối tượng Thông số này biểu thị thời gian cần thiết để đại lượng được điều chỉnh đạt được giá trị ở trạng thái cân bằng mới hoặc trở về giá trị ở trạng thái cân bằng cũ sau khi
có tác động nhiễu loạn dạng hàm bước nhảyđơn vị Nếu đại lượng được điều chỉnh thay đổi với vận tốc không đổi bằng giá trị ở thời điểm bắt đầu có tác động nhiễu thì hằng số thời gian quán tính của đối tượng
tỷ lệ với dung tích và sức cản trở và có thể biểu thị bằng công thức
T = R.C
R là sức cản trở, C là dung tích
Tính quán tính là một trong những tính chất quan trọng của đối tượng vì các quá trình thay đổi của thông số ra trong trạng thái chuyển tiếp phụ thuộc chặt chẽ vào nó
5.2.4 Bậc của đối tượng
Bậc của đối tượng dùng để xác định số lượng dung tích Đối tượng không có dung tích được gọi là đối tượng không có tính quán tính hay đối tượng bậc không Đối tượng có một dung tích được gọi là đối tượng quán tính bậc nhất hay còn gọi là đối tượng bậc nhất Các đối tượng có n dung tích được gọi là các đối tượng bậc n
5.2.5 Tính tự ổn định của đối tượng
Rất nhiều đối tượng có khả năng tự trở về trạng thái cân bằng sau khi xuất hiện nhiễu loạn mà không cần có sự tham gia của bất cứ tác động điều chỉnh nào (không cần sự hỗ trợ bằng năng lượng từ bên ngoài) Tính chất tự hồi phục lại trạng thái cân bằng sau khi có tác động nhiễu loạn được gọi là tính
tự ổn định (tính tự chỉnh) của đối tượng
Các đối tượng có khả năng tự ổn định được gọi là đối tượng có tính tự chỉnh (đối tượng bền vững), các đối tượng không có khả năng này được gọi là đối tượng không có tính tự chỉnh (đối tượng không bền vững)
Để có thể xác định bằng toán học khả năng tự chỉnh của các đối tượng, người ta dựa vào định luật bảo toàn năng lượng (hoặc bảo toàn vật chất)
Gọi E1 là năng lượng (lượng vật chất) cấp vào đối tượng; E2 là năng lượng (lượng vật chất) thoát
ra khỏi đối tượng E1, E2 là hàm của thông số ra y và các thông số vào x1, x2 xn của đối tượng:
E1 = E1(y, x1, x2 xn), E2 = E2(y, x1, x2 xn)
ở trạng thái tĩnh (trạng thái cân bằng) có sự cân bằng giữa năng lượng (lượng vật chất) cấp và năng lượng (lượng vật chất) thoát E1o = E2o, các thông số tương ứng ở trạng thái cân bằng có ký hiệu yo,
x1o, x2o xno
Trạng thái cân bằng của đối tượng có thể bị phá vỡ bởi nhiễu loạn ngoài và nhiễu loạn trong, nhiễu loạn ngoài có thể là sự thay đổi của phụ tải, thay đổi thông số của công chất, nhiễu loạn bên trong
có thể nảy sinh ở dòng công chất, hiện tượng cộng hưởng
Trang 8Trên cơ sở phương trình động tổng quát của đối tượng E1 E2
dt
dy
B nhận thấy dấu của E = (E1
- E2) được xác định bằng dấu của
dt
dy
hay độ lệch của đại lượng điều chỉnh y so với trạng thái cân bằng Khi độ lệch y mang dấu dương (đại lượng được điều chỉnh tăng) thì hiệu năng lượng E = E1 - E2 cũng mang dấu dương và ngược lại
Sau đây ta xét lần lượt từng trường hợp
a Đối tượng có tính tự chỉnh (đối tượng bền vững)
Giả sử các đặc tính năng lượng cấp và thoát của đối tượng có dạng phi tuyến như biểu thị trên hình vẽ 5.2.5 Tại điểm A năng lượng cấp và năng lượng thoát cân bằng nhau, A được gọi là điểm cân bằng và được xác định bằng các toạ độ tương ứng yo, x1o, x2o
Tuyến tính hoá các đường cong đặc tính cấp và thoát năng lượng E1, E2 tại điểm cân bằng A và lân cận
Giả sử thông số được điều chỉnh y của đối tượng bị lệch khỏi trạng thái cân bằng ban đầu đến trạng thái khác là y1 (y tăng), khi đó trong đối tượng sẽ có sự chênh lệch giữa năng lượng cấp và năng lượng thoát E ≈ E' = E'1 - E'2 < 0 có nghĩa là ở vị trí y = y1 thì y < 0 Như vậy tương quan năng lượng cấp và thoát có xu hướng làm cho y giảm và khi tác động nhiễu loạn mất đi thì trạng thái cân bằng
cũ lại được phục hồi
Trường hợp thông số điều chỉnh bị lệch về phía ngược lại (y giảm) độ lệch năng lượng E ≈ E' >
0 do đó y > 0 nghĩa là y sẽ có xu hướng tăng lên khi tác động nhiễu loạn mất đi
Như vậy khi đại lượng được điều chỉnh y (thông số ra) của đối tượng điều chỉnh bị lệch khỏi trạng thái cân bằng về bất kỳ phía nào do ảnh hưởng của tác động nhiễu loạn, tương quan năng lượng cấp và thoát trong đối tượng sẽ sinh ra tác động làm cho đối tượng tự phục hồi được trạng thái cân bằng ban đầu khi tác động của nhiễu mất đi Đối tượng có khả năng này được gọi là đối tượng bền vững hay là đối tượng có tính tự chỉnh
Đối tượng loại này có thể minh hoạ như một quả cầu có khối lượng đặt trong một mặt cầu lõm Bình thường nếu không có lực tác dụng quả cầu sẽ nằm yên tại đáy mặt cầu, đây chính là điểm cân bằng của quả cầu Giả sử dùng một lực đẩy quả cầu lệch khỏi vị trí cân bằng, khi lực tác dụng mất đi quả cầu
sẽ tự trở lại vị trí cân bằng nhờ trọng lực của bản thân nó
E 1
E 2
A α α
ΔyE' 2 ΔyE' 1 ΔyE'
E
1, E
2
E1O =E2O = E'1O
=E'2O
y y
O y1
ΔyE
ΔyE'1 = E'11 - E'1O < 0 ΔyE'2 = E'21 - E'2O > 0
=> ΔyE'= ΔyE'1 - ΔyE'2 < 0
Trang 9Hình 5.2.5: Đối tượng có tính tự chỉnh
b Đối tượng không có tính tự chỉnh
Hình 5.2.6 biểu thị đặc tính năng lượng cấp và thoát E1, E2 của đối tượng không có tính tự chỉnh Khi thông số ra của đối tượng thay đổi trạng thái từ yo sang y1 (y tăng) thì E ≈ E' = E'1 - E'2 > 0 =>
y > 0, có nghĩa là thông số ra y sẽ tăng mãi Khi y thay đổi theo chiều ngược lại (y giảm) thì E < 0 suy
ra y < 0, có nghĩa là thông số ra y sẽ giảm mãi Như vậy sau khi tác động nhiễu loạn phá vỡ trạng thái cân bằng thì tương quan năng lượng cấp và thoát trong tự bản thân đối tượng sẽ sinh ra một lực làm cho đối tượng càng chuyển dịch xa trạng thái cân bằng ban đầu mặc dù khi đó không còn ảnh hưởng của nhiễu nữa Đối tượng có tính chất như vậy gọi là đối tượng không có tính tự chỉnh hay còn gọi là đối tượng không bền vững
Đối tượng loại này giống như một quả cầu có khối lượng nằm trên đỉnh một mặt cầu lồi Nếu không có ngoại lực tác dụng quả cầu sẽ nằm yên trên đỉnh mặt cầu, đây là trạng thái cân bằng của quả cầu Giả sử tác dụng một lực vào quả cầu làm cho nó lăn khỏi đỉnh mặt cầu Khi lực tác dụng mất đi quả cầu sẽ không thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu tức là không thể tự trở về nằm trên đỉnh của mặt cầu Muốn trở lại trạng thái cũ quả cầu cần có ngoại lực hỗ trợ
Hình 5.2.6: Đối tượng không có tính tự chỉnh
c Đối tượng trung tính
Hình 5.2.7 biểu thị đặc tính năng lượng cấp và thoát E1, E2 của đối tượng trung tính Trong mọi trường hợp đặc tính năng lượng E1 và E2 luôn trùng nhau do vậy đối tượng loại này luôn thiết lập được trạng thái cân bằng với mọi thông số điều chỉnh y
E2
E 1
A α α
ΔyE' 1 ΔyE' 2 ΔyE'
E
1, E 2
E
1O =E
2O = E'1O = E'2O
y y
O y1
ΔyE
ΔyE'1 = E'11 - E'1O > 0 ΔyE'2 = E'21 - E'2O < 0
=> ΔyE'= ΔyE'1 - ΔyE'2 > 0
Trang 10Hình 5.2.7: Đối tượng trung tính Đối tượng loại này tương tự như một quả cầu có khối lượng đặt trên một mặt phẳng Khi không có ngoại lực tác dụng quả cầu nằm yên tại một vị trí cân bằng, khi có ngoại lực tác dụng rồi mất đi quả cầu
sẽ chuyển sang nằm ở một vị trí cân bằng khác Như vậy quả cầu không có khả năng tự trở về trạng thái cân bằng cũ nhưng có khả năng thiết lập trạng thái cân bằng mới sau khi ngoại lực tác dụng mất đi
d Hệ số tự ổn định của đối tượng
Khả năng tự chỉnh của đối tượng là một trong những tính chất quan trọng là cơ sở để lựa chọn bộ điều chỉnh phù hợp với đối tượng Nhưng nếu chỉ nói chung chung (nói một cách định tính) về khả năng
tự chỉnh của đối tượng thì vẫn rất khó để thực hiện việc thiết kế, lựa chọn bộ điều chỉnh cho đối tượng
Hệ số tự ổn định Fođ - đại lượng đặc trưng cho khả năng tự chỉnh của đối tượng - chính là thông số định lượng khả năng tự chỉnh của đối tượng Nhờ có hệ số tự ổn định Fođ, người thiết kế và khai thác có
cơ sở để lựa chọn và khai thác hệ thống một cách chính xác và hiệu quả hơn
Các đối tượng điều chỉnh tự động đều có quá trình trở lại trạng thái cân bằng ban đầu (quá trình động) là hàm của thời gian Nếu quá trình đó xảy ra càng nhanh thì chất lượng hàm làm việc của hệ thống càng tốt Tốc độ mà đối tượng trở lại trạng thái cân bằng hay dịch chuyển ra xa trạng thái cân bằng được quyết định bởi độ lệch năng lượng (tương quan năng lượng) E Với E càng lớn thì quá trình xảy ra
càng nhanh hay
dt
dy
càng lớn và ngược lại Trên cơ sở đó hệ số tự ổn định của đối tượng được định nghĩa bằng biểu thức sau:
y
E
Fod
Để có thể xác định được hệ số tự ổn định, trên hình (5.2.5) ta thay gần đúng các giá trị E1 và E2
bằng các giá trị sau khi đã tuyến tính hoá E'1 và E'2 ta có:
với y y1 y o
E
1 ≡ E 2 A
E
1, E
2
E
1O = E
2O
y y
1 ΔyE'= ΔyE'1 - ΔyE'2 = 0
