Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 4

Chương IV các phần tử tự động cơ bản các khâu cơ bản4.1 Khái niệm về các khâu cơ bản Khi nghiên cứu các hệ thống tự động, ta thường gặp các phần tử có tính chất đặc trưng như nhaumặc dù

Chương IV các phần tử tự động cơ bản (các khâu cơ bản)

4.1 Khái niệm về các khâu cơ bản

Khi nghiên cứu các hệ thống tự động, ta thường gặp các phần tử có tính chất đặc trưng như nhau(mặc dù chúng có thể có tính chất vật lý giống hoặc khác nhau) và đều hoạt động tuân theo cùng định luậthay nói cách khác là chúng đều được biểu thị bằng những phương trình động giống nhau Các phần tửtrên được gọi là các phần tử cơ bản (hay các khâu cơ bản)

Khâu cơ bản là khâu biểu thị các phần tử có sự đồng nhất về tính chất lý, hóa, kỹ thuật hoặc đồngnhất về cấu tạo và có định hướng Một phần tử được gọi là có định hướng khi tín hiệu (năng lượng, vậtchất, sản phẩm ) được truyền trong khâu từ vào đến đầu ra theo một hướng nhất định, khi tín hiệu vàothay đổi thì tín hiệu ra thay đổi theo, tín hiệu vào không thay đổi thì tín hiệu ra cũng không thay đổi Một

ví dụ về khâu cơ bản là nồi hơi tàu thủy Nếu giả thiết sự thay đổi nhiên liệu vào buồng đốt là đại lượngvào và sự thay đổi lượng hơi sinh ra của nồi hơi là đại lượng ra, loại trừ những yếu tố khác ảnh hưởng đến

sự sinh hơi trong nồi hơi và không sử dụng hệ thống tự động điều chỉnh thì sự thay đổi lưu lượng hơikhông làm thay đổi lượng nhiên liệu cấp vào buồng đốt nhưng ngược lại nếu thay đổi lượng nhiên liệucấp vào buồng đốt sẽ dẫn đến sự thay đổi lượng hơi sinh ra Nồi hơi được coi là một khâu với lượng nhiênliệu cấp là tín hiệu vào và lượng hơi sinh ra là tín hiệu ra của nó

Các hệ thống tự động được nghiên cứu có thể khác nhau về mặt cấu trúc, tính chất vật lý, ứngdụng, số lượng các phần tử, nhưng chúng đều được tạo nên bởi sự kết hợp của các phần tử cơ bản Về mặtcấu trúc một hệ thống tự động có thể có nhiều hệ cơ cấu, mỗi cơ cấu này được tạo ra bởi sự kết hợp củamột chuỗi các nhóm cấu trúc Các phần tử cơ bản sẽ tạo nên đầy đủ những phần tử biểu thị cho các nhómcấu trúc Một phần tử không phải là một hệ thống phức tạp mà thường có thể phân biệt thành những thànhphần tử cơ bản có ý nghĩa toán học Việc phân chia hệ thống thành các phần tử cơ bản và nắm được địnhluật biểu thị bằng toán học cho phép ta phân tích và tổng hợp các hệ thống tự động một cách dễ dàng hơn.Trong thực tế các phần tử chỉ có thể biểu thị một cách gần đúng nhóm cấu trúc của hệ thống

Những phần tử cơ bản cấu thành nên bất cứ một hệ thống tự động nào bao gồm:

a Phần tử tỷ lệ lý tưởng (không quán tính)

b Phần tử tỷ lệ quán tính bậc một và bậc hai

c Phần tử dao động

d Phần tử tích phân lý tưởng, tích phân bậc hai

e Phần tử vi phân lý tưởng, vi phân thực tế

f Phần tử có tính trễ

Ta sẽ lần lượt khảo sát tính chất của từng phần tử cơ bản Nguyên lý chung để khảo sát một phần

tử cơ bản là đặt ở đầu vào của nó các tín hiệu chuẩn như tín hiệu là hàm đột biến đơn vị, hàm đenta hayhàm bước nhảy tốc độ, sau đó nghiên cứu phản ứng của phần tử thông qua tín hiệu ra Thông thường,

người ta khảo sát phần tử bằng tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị hay còn gọi là hàm nhảy bậc x = 1(t)(đặc tính của hàm này được mô tả ở phần trên)

Trước khi khảo sát các phần tử cơ bản một cách cụ thể cần có những quy ước và giả thiết sau:

a Trong các phần tử cơ bản không có sự tác động ngược của đại lượng ra đối tới đại lượng vào

b Các giá trị tuyệt đối của các tín hiệu vào và ra được ký hiệu bằng dấu “0” ở chân ký hiệu củabiến số, ví dụ xo và yo Sở dĩ phải đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối trong quá trình phân tích các trạng tháitĩnh vì thường không có đủ thông tin để chọn điểm công tác nếu chỉ biết phương trình đặc tính tĩnh y =f(x) Do đó phải biết phương trình (hoặc đồ thị) của đặc tính tĩnh yo = f(xo) trong toàn bộ miền xác địnhcủa tín hiệu

c Độ lệch của các tín hiệu vào và ra so với trạng thái tĩnh ban đầu sẽ được ký hiệu bằng x, ykhông có chỉ số nào cả (hoặc đôi khi ký hiệu là y và x) Độ lệch thường được sử dụng để xây dựngphương trình động (phương trình của phần tử ở trạng thái không ổn định (trạng thái động)) và khi xâydựng phương trình chung

Các bước chung để khảo sát toán học một phần tử cơ bản:

1 Nêu định nghĩa, viết phương trình vi phân biểu thị phần tử, xác định đặc tính tĩnh của phần tử

5 Đánh giá đặc điểm và tính chất động của phần tử

Phương trình động tổng quát của phần tử cơ bản:

]dt

)t(xdT

dt

)t(dxT)Tt(x[K

)t(ydt

)t(dyT

dt

)t(ydTdt

)t(yd.T

m m m

m 1

1 c

1 1

n

1 n 1 n n n n

ở đây T1, T2 1, m các hằng số thời gian của khâu

Tc: thời gian chết của khâu, xuất hiện khi trong khâu có quá trình tích luỹ năng lượng

4.2 Khâu tỷ lệ (phần tử tỷ lệ)

1 Phương trình tổng quát biểu thị phần tử tỷ lệ không có tính quán tính (phần tử tỷ lệ lý tưởng) có dạng

y(t) = K.x(t) với y(t) là đại lượng ra, x(t) là đại lượng vào và K là hệ số tỷ lệ

) p ( X

) p ( Y ) p (

60

Phương trình đặc tính tĩnh của phần tử yo = K.xo (hoặc dưới dạng giá trị tuyệt đối yo = K.xo + Cvới C là hệ số biểu thị sự dịch chuyển của đường đặc tính so với gốc toạ độ) Đặc tính tĩnh của khâu đượcthể hiện trên hình (4.2.1).

Hình 4.2.1: Đặc tính tĩnh của phần tử tỷ lệ lý tưởng

3 Đặc tính thời gian

Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị 1(t) tín hiệu ra của phần tử khi đó y(t) = K.1(t) = K

Hình 4.2.2: Phản ứng của khâu tỷ lệ lý tưởng với tín hiệu vào là hàm 1(t)

4 Hàm tần và các đặc tính tần số của phần tử tỷ lệ lý tưởng

K )

p ( G ) j ( G

Hình 4.2.3: Đặc tính tần số - biên độ, pha (biểu đồ Nyquist)

Đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode) của phần tử được biểu thị trên hình(4.2.4)

K lg 20 )]

( Q [ )]

( R [ lg 20 lg

20 ) (

xoarctgK

t 1(t)

0 K

0 arctg )

( R

) ( Q arctg )

-1 -0.5 0 0.5 1

Hình 4.2.4: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha (biểu đồ Bode)

5 Nhận xét:

Từ đặc tính thời gian: phản ứng (tín hiệu ra) của phần tử tỷ lệ lý tưởng khi tín hiệu vào là hàm đột

biến đơn vị 1(t) xuất hiện ngay khi có tín hiệu vào, tín hiệu ra có độ lớn gấp K lần tín hiệu vào

Từ đặc tính tần số: phản ứng của phần tử tỷ lệ lý tưởng không phụ thuộc vào tần số của tín hiệu

vào, giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không có sự lệch pha mà chỉ khác nhau về biên độ

6 Một số thí dụ về các phần tử tỷ lệ cơ bản:

a Cánh tay đòn:

Tín hiệu vào và ra chính là độ dịch chuyển x, y:

K a

b ) p ( X

) p ( Y ) p ( G x a

Giả sử không có phụ tải và ký hiệu U1, U2 là điện áp, R1, R2 là điện trở thì:

KRR

R)p(U

)p(U)p(GU.RR

RU

2 1 2 1

2 1

2 1

c Phần tử cảm biến áp suất kiểu màng:

Nếu bỏ qua khối lượng của các chi tiết chuyển động và sự ma sát của công chất Giả sử A là diệntích có ích của màng, y là chuyển dịch của cần, p là áp suất của công chất tác dụng phía trên màng, C là

độ cứng của lò xo thì từ phương trình cân bằng lực A.p = C.y xác định được mối quan hệ giữa chuyểndịch y và áp suất:

K C

A ) p ( X

) p ( Y ) p ( G p C

A

d Cơ cấu cam:

Với x và y là độ dịch chuyển và  là góc nghiêng của cam thì:

U1

R1

R

2 U2

y p

ỏ

y x

y = x.tg tg K

) p ( X

) p ( Y ) p (

)t(dy

T   (4.3.1)

K là hệ số tỷ lệ, T là hằng số thời gian

2 Hàm truyền có dạng:

1Tp

K)p(X

)p(Y)p(G





 (4.3.2)Phương trình đặc tính tĩnh của phần tử là yo = K.xo, đặc tính tĩnh của phần tử quán tính bậc nhấtgiống như đặc tính tĩnh của phần tử tỷ lệ lý tưởng biểu thị trên hình (4.2.1)

3 Đặc tính thời gian

Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t) ta có phương trình động:

) t ( 1 K ) t ( y dt

) t ( dy

T   (4.3.3)

Để khảo sát phản ứng của phần tử với tín hiệu vào x(t) = 1(t) ta sẽ giải phương trình này tìm y(t)

Cách thứ nhất: Giải phương trình vi phân sử dụng hàm truyền G(p) của phần tử ảnh Laplace của tín hiệu

vào 1(t) là I(p) = 1/p

) T

1 p ( p

1 T

K p

1 ) 1 Tp (

K p

1 ).

p ( G ) p ( ).

p ( G ) p ( X ).

p ( G )

1 (

T 1

T T

K )]

p ( Y [ L ) t (

K ) t (

) t ( dy

T   (4.3.5)

64

tìm nghiệm tổng quát ytq Sau đó tìm nghiệm riêng yr của phương trình (4.3.3) Nghiệm tổng quát cần tìmcủa phương trình 4.3.3 sẽ là y(t) = ytq + yr.

Nghiệm tổng quát của 4.3.5 có dạng / T

e C ) t (

0

 thay vào 4.3.6 có C.e-0/T + K = 0 => C + K = 0 => C = - KVậy y(t) = - K.e-t/T + K = K(1 - e-t/T) (4.3.7)

Đồ thị đặc tính thời gian của phần tử (biểu thị y(t)) được thể hiện trên hình 4.3.1

Từ đồ thị ta thấy khác với phần tử tỷ lệ lý tưởng (hay còn gọi là phần tử không có tính quán tính) khi tínhiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị x(t) = 1(t) thì tín hiệu ra y(t) của phần tử quán tính đạt được giá trị Kvới thời gian dài không hạn chế, tên phần tử quán tính bắt nguồn chính từ nguyên nhân này

Hệ số T được gọi là hằng số thời gian của phần tử, T chính là khoảng thời gian để hệ thống đạtđược trạng thái cân bằng mới ở tốc độ biến thiên không đổi được tính từ thời điểm xuất hiện nhiễu

Ta sẽ chứng minh rằng hằng số thời gian T chính là đoạn AC trên hình 4.3.1:



 tg

BC

AC (4.3.8)

e K )]

e 1 (

K K [

)]

e 1 (

K [ d dt

dy tg

T / T

e K tg

BC

T /

Nếu ta thay t = T vào phương tình 4.3.7 thì khi đó:

K 632 , 0 ) e

1 1 (

K ) e 1 (

K )

e 1 (

K

T t T / T

KT j 1 ) T (

K 1

) T (

) 1 Tj ( K 1 ) j (

T

K )

p ( G ) j (

K )

KT )

K )

( Q ) ( R )

(

2 2

) ( Q arctg )

K )

( Q ) ( R

)

(

2

2 2

2 2

) ( Q )

( R

) ( Q )

T ( ) ( R

) ( Q

2 2 2

K ) ( R K ) ( R

2 2

2 2

2

4

K ) ( Q 2

K ) (

-80 -60 -40 -20

L(ω))

lg ω)

20lgK

ω) = 1/T20lgK - 20lgT - 20lgự

Tín hiệu vào là mômen quay M, còn tín hiệu ra là vận tốc góc  Trên cơ sở định luật cân bằngmômen ta có:

J là mô men quán tính của khối lượng so với trục quay,  là hệ số ma sát

Hoặc có thể viết:

M

1 dt

d

d

T    

Ví dụ 2: Két chất lỏng với lượng nước thoát tự do

Tín hiệu vào là lưu lượng nước cấp Q1 và tín hiệu ra là mức chất lỏng h

ở trạng thái cân bằng ta có Q1o = Q2o

Viết phương trình Becluli cho các mặt thoáng 1.1 và 2.2

0

p g 2

v h

p g 2

Coi v1 = 0 và p1 = p2 (áp suất khí quyển) thì v2  2 gh

Trên cơ sở Q2 = f.v2 (với f là diện tích thiết diện thông qua của van cấp) có thể viết Q2 = f 2 gh

Phương trình đặc tính tĩnh của két chứa 2

o

2 o o

f g 2

Q2h

Q

2 2

h

o

Qo

Q1on

fo

fon

hon

Q1o = const

Hình 4.3.5: Đặc tính tĩnh của két chứa chất lỏng thoát tự do

ở trạng thái động sự thay đổi mức chất lỏng trong két có thể biểu thị bằng phương trình

2

Q dt

dh

ở đây A là tiết diện bề mặt cắt ngang của két (m2) Vì các đặc tính tĩnh là những đường cong, đểđơn giản hoá trước hết phải thực hiện phép tuyến tính hoá Giả sử các thông số tại điểm công tác cân bằngđịnh mức là h1n, fn và Q1n Ta thay thế đặc tính tại lân cận điểm cân bằng định mức bằng đường tiếp tuyến.Các số gia của các đại lượng được ký hiệu là 

2

Q dt

h d

h d

T     1  1 2 

ở đây

n nh 2

g f

A

T 

,

n n 1

h 2

g f

f

h 2

K 

Trong các phương trình ta thường bỏ ký hiệu :

f K Q K h dt

dh

Khi f = const

2

1 Q K h dt

dh

Khi Q1 = const

f K h dt

dh

Hai phương trình trên đều có dạng giống như phương trình tổng quát của khâu quán tính bậc nhất

4.3.2 Phần tử quán tính bậc hai và bậc cao

h h

g f f gh h

h

Q f

f

Q Q

n n n

n n

1 Phương trình động của phần tử quán tính bậc hai

) t ( x K ) t ( y dt

) t ( dy T 2 dt

) t ( y d

2 2

K )

p (

) t ( dy T 2 dt

) t ( y d

2 2

T e

T T

T 1

t

2 1

2 T

t

2 1

2 2

y(t) = K.1- e-.t [cos(t) + (/).sin(t)]

Khâu tỷ lệ bậc hai lúc này là khâu tỷ lệ bậc hai dao động (khâu bậc hai dao động)

Đặc tính thời gian của khâu bậc hai với các hệ số  khác nhau, đường cong phía bên trái biểu thịđặc tính thời gian của khâu tỷ lệ bậc hai quán tính, đường bên phải biểu thị đặc tính thời gian của khâu tỷ

lệ bậc hai dao động

70

Trường hợp đặc biệt khi  = 0 sẽ có khâu bậc hai dao động điều hoà, đường đặc tính của khâu bậchai dao động điều hoà được biểu diễn trên hình vẽ sau:

4 Hàm tần và các đặc tính tần số

Hàm tần

1 ) j (

T 2 ) j (

T

K )

p ( G ) j (

2 2 2

2 2 2

2 2

) T ( 4 ) T 1 (

KT 2

j ) T ( 4 ) T 1 (

) T 1 ( K )

j ( G

2 2

2 2

) T ( 4 ) T 1 (

) T 1 ( K )

( R

KT 2 )

( Q

K )

( Q ) ( R

T 2 arctg )

( R

) ( Q arctg

-150 -100 -50 0

-150 -100 -50 0

Các đặc tính tần số của khâu bậc hai ứng với  < 1 và  > 1

Hình vẽ bên phải là đặc tính thời gian của khâu bậc hai quán tính với hệ số  nhỏ, hình bên tráiứng với  lớn

Hình vẽ bên phải là đặc tính thời gian của khâu bậc hai dao động với hệ số  lớn, hình bên trái ứngvới  nhỏ

Từ đặc tính tần số: Tín hiệu ra của phần tử tỷ lệ bậc hai luôn chậm pha hơn so với tín hiệu vào, tần

số của tín hiệu vào càng lớn thì góc chậm pha càng lớn ở dải tần số thấp thì phản ứng của phần tử gầngiống với phần tử quán tính bậc nhất

Phần tử tỷ lệ bậc cao hơn có thể phân tích cấu trúc thành các phần tử bậc nhất và hai để khảo sát

4.4 Phần tử tích phân

4.4.1 Phần tử tích phân lý tưởng (khâu tích phân cơ bản)

1 Phương trình động tổng quát mô tả khâu tích phân lý tưởng có dạng

) t ( x K dt

) t ( dy

 (4.4.1)Sau khi lấy tích phân cả hai vế với điều kiện ban đầu bằng 0 ta có:

0

dt ) t ( x T

1 dt ) t ( x K ) t (

K ) p ( X

) p ( Y ) p (

G    (4.4.3)

3 Đặc tính thời gian

Cho tín hiệu vào là hàm đột biến đơn vị x(t) = 1(t)

Như ta đã biết ảnh của hàm đột biến đơn vị là

p

1 ) p (

Trên cơ sở hàm truyền của phần tử ta có:

2Tp

1 ) p ( X Tp

1 )

p ( Y { L ) t (



Đồ thị của y(t) thể hiện trên hình

Hình 4.4.1: Đặc tính thời gian của phần tử tích phân bậc nhất

T

1 ) j (

( Q

,

2 ) ( arctg )

( R

) ( Q arctg )

-91 -90.5 -90 -89.5 -89

arctgK

Từ đặc tính thời gian: Phản ứng của phần tử tích phân lý tưởng khi cho tín hiệu vào là hàm bướcnhảy đơn vị xuất hiện ngay khi có tín hiệu vào và sau đó tăng dần theo thời gian Tốc độ tăng của tín hiệu

ra phụ thuộc vào độ lớn của hằng số thời gian tích phân

Từ các đặc tính tần số: Tín hiệu ra của phần tử tích phân lý tưởng luôn chậm pha hơn so với tínhiệu vào một góc 90o

Một số ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Két chứa chất lỏng thoát có điều chỉnh (thoát không tự do)

Tín hiệu vào là lưu lượng cấp Q1 và thoát Q2, tín hiệu ra là mức chất lỏng h trong két Giả sử Q2

không phụ thuộc vào h mà chỉ phụ thuộc vào năng suất của bơm P

Điều kiện để thiết lập trạng thái cân bằng là Q1o = Q2o

Nếu Q1o = const ta nhận được đặc tính tĩnh h = (Q2o) Theo lý thuyết Q2o = Q1o có khả năng xảy ravới mọi giá trị mức công chất ho Trong thực tế 0 < ho < hmax và đặc tính có dạng là đường gạch trên hình4.4.3

Hình 4.12: Đặc tính tĩnh

ở trạng thái động sự thay đổi mức chất lỏng trong két có thể biểu thị bằng phương trình

dt

) t ( dh

=

K = 1/A tiết diện bề mặt của két

Trên cơ sở phương trình 4-26 ta xác định hàm truyền

Khi Q1o = const (Q1 = 0) thì G(p) =

p

K ) p ( Q

) p ( H

p ( Q

) p ( H

2





Q1

Q2

Trên hình 4.12 biểu thị sự thay đổi của mức chất lỏng trong két khi thay đổi lưu lượng nước cấp,lưu lượng nước thoát theo quy luật hàm bước nhảy đơn vị

Ví dụ 2: Mạch điện có cuộn cảm với cảm kháng L như hình vẽ

Tín hiệu vào là điện áp đặt lên cuộn cảm, tín hiệu ra là dòng điện qua cuộn cảm Phương trìnhđộng biểu thị mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào có dạng:

L

dt

) t ( di

= U(t)

Ví dụ 3: Hệ xylanh điều khiển thuỷ lực như hình vẽ

Hoạt động: Van trượt điều khiển chuyển động trong xy-lanh điều khiển làm đóng hoặc mở các cửađiều khiển Giả sử van trượt điều khiển đi lên, các cửa điều khiển được mở ra, cửa phía trên thông vớiđường dầu vào có áp suất cao, còn cửa phía dưới thông với đường dầu xả ra ngoài không có áp lực Dầu

pn

px

Q

A

t pt

pd

px