Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 3

Chương III khái niệm về hàm truyền, hàm tần, đặc tính tần số của hệ thống tự động điều chỉnh3.1 Phép biến đổi Laplace và phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử 3.1.

Chương III khái niệm về hàm truyền, hàm tần, đặc tính tần số của hệ thống tự động điều chỉnh

3.1 Phép biến đổi Laplace và phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử 3.1.1 Khái niệm về phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử

Phương trình động của phần tử hay hệ thống tự động điều chỉnh khi được biểu diễn dưới dạng phươngtrình vi phân có nhiều nhược điểm:

- Phương trình cồng kềnh, việc giải phương trình phức tạp, mất nhiều thời gian

- Khó có thể phân biệt ngay phương trình đó thuộc dạng phương trình động của khâu tiêu biểu nào

- Phương trình có thứ nguyên của các biến số: điện áp, áp suất khí nén, cường độ dòng điện v.v chỉ mô

tả sự làm việc của các phần tử trong hệ thống tự động cụ thể Vì vậy các phương trình của phần tử trong

hệ thống hoặc của hệ thống thường được viết dưới dạng khác chung hơn và thuận tiện hơn, đó dạngphương trình động không thứ nguyên Phương trình động không thứ nguyên là dạng phương trình trong

đó tất cả các đại lượng biến thiên (trừ biến số thời gian) đều không có thứ nguyên Muốn chuyển từ dạngphương trình có thứ nguyên sang dạng không thứ nguyên chỉ cần nhân và chia mỗi số hạng của phươngtrình cho một đại lượng không đổi có thứ nguyên của biến số nằm trong số hạng đó Thường lấy đạilượng không đổi nói trên có giá trị bằng trị số định mức của biến số Phương trình không thứ nguyên tuy

có thuận tiện hơn nhưng vẫn cồng kềnh và vẫn phức tạp khi tính toán

Trong lý thuyết tự động điều chỉnh người ta thường biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử đểphương trình có dạng gọn hơn, đơn giản hơn và để giảm bớt quá trình biến đổi toán học trung gian khikhảo sát quá trình động của hệ thống Để biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử người ta đưavào những ký hiệu toán tử vi phân:

3 3

3 2 2

2

p dt

d

; p dt

d

p

1 dt

t

 ; t 1 2 

0 t

0 1 2 2

p

1 dt dt

Ví dụ: Phương trình vi phân của phần tử hay hệ thống:

f b dt

df b x a dt

dx a dt

x d a dt

x d

2

2 2 3

3

có thể được viết dưới dạng toán tử:

(a3p3 + a2p2 + a1p + a0).x(t) = (b1p + bo).f(t)Trong một số trường hợp p không những là ký hiệu mà còn có giá trị như một chữ số, ta có thể thực hiệncác phép tính đại số với số đó Cụ thể là các phương trình vi phân được thành lập bởi các số gia của cácbiến số với các giá trị của chính nó ở trạng thái ổn định Như vậy các điều kiện ban đầu của phương trìnhđược xem như bằng không Trường hợp này phương trình vi phân dưới dạng chứa toán tử p trùng vớiphương trình vi phân dưới dạng toán tử biến đổi theo Laplace Điều kiện đã nêu ra hoàn toàn phù hợp vớinhững giả thiết khi thành lập phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thống Vìthế có thể xem p như một trị số Phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thốngdưới dạng toán tử có thể viết dưới dạng tổng quát:

A(p)y = B(p)x + C(p)f (3.1.1)

y: đại lượng ra của phần tử hay hệ thống

x: đại lượng vào của phần tử hay hệ thống

f: tác động nhiễu loạn

A(p); B(p); C(p) là các đa thức chứa p

3.1.2 Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace và phép tính toán tử Laplace là phương pháp chủ yếu được sử dụng trong lýthuyết tự động và trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác để nghiên cứu phương trình động và khảo sát cácphần tử và hệ thống tự động

Như chúng ta đã biết trong toán học, ảnh Fourier F(jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:ω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:





dt e ).

t ( )

j (

F j t (3.1.2)Với phép biến đổi Fourier, mỗi một hàm f(t) có một hàm tần số F(jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:ω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:) Tuy nhiên trên thực tế rất nhiềuhàm quan trọng f(t) không có ảnh Fourier có nghĩa là tích phân Fourier 

t ( j t không hội tụ

Để cải thiện điều kiện hội tụ, có nghĩa là để mở rộng cấp của hàm người ta sử dụng ảnh Laplace và đượcđịnh nghĩa như sau:

F(p)  

dt e ).

t ( pt (3.1.3)

ở đây toán tử p =  + jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau: là một số phức

Như vậy ảnh Fourier có thể coi là một trường hợp đặc biệt của ảnh Laplace khi  = 0 và p = jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau: Phépbiến đổi Laplace có hai chiều vì chúng có giới hạn tích phân từ -  + Trong thực tế chúng ta thườngquan tâm đến quá trình biến đổi thông thường từ thời điểm t = 0, nếu f(t) = 0 với t < 0 thì ta chỉ cần sửdụng phép biến đổi một chiều:

F(p)  

0

pt

dt e ).

t ( (3.1.4)Bên cạnh đó cần phải nhớ rằng giả thiết để tiến hành biến đổi Laplace một chiều là:

- f(t) = 0 với t < 0,

- hàm f(t) phải liên tục từng khúc khi t > 0

- hàm f(t) bị chặn (hội tụ) khi t => + ∞: nghĩa là tồn tại một số thực dương ú bất kỳ sao cho

0 )





dp e ).

p ( F j 2

1 ) t ( (3.1.6)

Với c là bán kính hội tụ của tích phân Laplace  

0 pt

dt e

Phép biến đổi Laplace ngược được ký hiệu như sau:

f(t) = L-1{F(p)}

Mối quan hệ giữa hàm theo thời gian f(t) và hàm theo biến số p là phép biến đổi Laplace xuôi và ngượcthường được ký hiệu:

f(t)  F(p)F(p) f(t)Vậy bản chất của phép biến đổi Laplace là từ một hàm theo thời gian f(t) gọi là hàm gốc, nhờ phép biếnđổi toán học theo công thức (3.1.3) chúng ta nhận được một hàm mới với biến số p = +jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau: F(p) được gọi

là ảnh Laplace của hàm gốc f(t) Hàm mới F(p) cho phép thực hiện xử lý toán học dễ dàng hơn so vớihàm gốc và nhờ đó chúng ta giải các phương trình tích - vi phân dễ dàng hơn Phép biến đổi Laplace(phép biến đổi toán tử) tạo ra những thuận lợi sau:

- Giải phương trình vi phân dễ dàng hơn bởi vì quá trình tính toán rất hệ thống

- Cho phép giải quyết một cách hoàn toàn các tích phân đặc biệt, cũng như các đạo hàm mà chỉ cần mộtphép biến đổi

- Những điều kiện ban đầu được đề cập đến và chỉ cần một lần ở thời điểm ban đầu chứ không phải ởthời điểm cuối

So với phép biến đổi Fourier thường được ứng dụng để phân tích các vấn đề tần số trong động lực họcnhằm hình ảnh hoá tính chất vật lý thì phép biến đổi Laplace không có bất kỳ một ý nghĩa vật lý nào

3.1.3 Một số tính chất quan trọng và ảnh của một số hàm tiêu biểu qua phép biến đổi Laplace

Trong lý thuyết tự động một số hàm sau đây thường được ứng dụng như là hàm nhiễu chuẩn để khảo sátcác hệ thống và các phần tử tự động:

a Hàm đột biến đơn vị 1(t)

b Hàm đenta (hàm diraca) (t)

c Bước nhảy của tốc độ f(t)

a ảnh Laplace của hàm đột biến đơn vị (hàm bước nhảy đơn vị):

Hàm đột biến đơn vị được định nghĩa như sau:

Hàm bước nhảy cho tín hiệu 1 đơn vị xuất hiện ngay tại thời điểm t = 0 và được duy trì sau thời điểmđó.

Theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace:

pt pt

0

pt

p

1 e

p

1 dt e 1 dt e ).

t ( 1 ) p ( 1 ) t ( 1

Vậy ảnh Laplace của hàm đột biến đơn vị là: I(p) =

p 1

b ảnh Laplace của hàm Đenta (hàm Điraca)

Hàm Điraca hay người ta còn gọi là xung Điraca được định nghĩa như sau:

(t) = 0 khi t < 0 và với t > 1/K

(t) = K khi 0 < t <

K1

)t( Như vậy có thể viết

0 

0 (t)dt 1(t), nghĩa là hàm đột biến đơn vị sẽ là tích phân của hàm Diraca và ngược lại

dt

)t(1)t( 

ảnh Laplace của hàm denta là L{(t)} = 1

c ảnh Laplace của hàm bước nhảy tốc độ

Hàm này được định nghĩa như sau:

t 0 t

L{f(t)} = 0 

ptdte.t

1/K

pt pt

0 pt pt

p

1 e

p

1 0 dt ) p

e ( e

t p

1 dt e t

ảnh Laplace của hàm bước nhảy tốc độ là:

p

1 ) t (

) p ( t

p ( o

pt t t

e p

1 dt

e dt e e e

(3.1.13)

Sử dụng công thức này có thể tìm được ảnh Laplace của các hàm sin(t), cos(t) và các hàm sinh(t)

và cosh(t) khi đưa các hàm này về dạng hàm mũ nhờ công thức ơ-le:

) e e ( j 2

1 ) t

2

1 ) t

) e e ( 2

1 ) t

1 dt ) t ( x { L

t o

i Tính chất giới hạn

- Giá trị đầu: limt0x ( t )  limpp . X ( p )

- Giá trị cuối: limt x ( t )  limp0p . X ( p )

3.2 Hàm truyền và phương pháp biểu thị hệ thống bằng sơ đồ khối

3.2.1 Khái niệm về hàm truyền:

Với việc sử dụng ảnh Laplace của các hàm cơ bản và những định lý cơ sở của phép biến đổi Laplacenhư định nghĩa về tính tuyến tính, về đạo hàm, về tích phân (xem lại lý thuyết về phép tính toán tử) ta

có thể giải quyết được rất nhiều vấn đề cụ thể của hệ thống tự động Ví dụ như dùng phép biến đổiLaplace để biến đổi phương trình dạng tổng quát của hệ thống dạng:

xb

dt

xdbdt

xdbya

dt

ydadt

yd

1 m 1 m m

m m o 1

n

1 n 1 n n

Với điều kiện ban đầu bằng không:

0 t

m 0

t 0

n 0

t 0

n 1 n n n

o 1

m 1 m m m

a

p a p a

b

p b p b ) p ( X

) p ( Y

n

o m

m

a

p a

b

p b ) p ( X

) p ( Y ) p ( G

(

X

) p

(

Y

được gọi là hàm truyền

Định nghĩa hàm truyền: hàm truyền của một phần tử hay của một hệ thống là tỷ số giữa ảnh của tín

hiệu ra và ảnh của tín hiệu vào qua phép biến đổi Laplace với điều kiện ban đầu bằng không.

Có nghĩa là ảnh Laplace của tín hiệu ra của một phần tử hoặc một hệ thống nào đó sẽ bằng tích của ảnhtín hiệu vào và hàm truyền của chúng

ý nghĩa cơ bản của hàm truyền: hàm truyền đặc trưng cho khả năng truyền đạt tín hiệu của một phần tử

hay hệ thống Hàm truyền cho biết tính chất của phần tử hay hệ thống cụ thể và biểu thị phương trìnhđộng ở dạng phương trình đại số Bằng sơ đồ khối ta có thể biểu thị một phần tử và một hệ thống như sau:

Hình 3.2.1: Sơ đồ khối của một phần tử và của một hệ thống

Với các phần tử có nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra sơ đồ khối được biểu thị trên hình 3.2.2

Hình 3.2.2: Sơ đồ khối của phần tử có nhiều tín hiệu vào và ra

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định hàm truyền của phần tử có nhiều tín hiệu ra và vào như trên ởphần tử có dạng trên mỗi một sự thay đổi của tín hiệu vào sẽ làm ảnh hưởng đến từng tín hiệu ở đầu ra, vìthế sẽ tồn tại rất nhiều phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các tín hiệu trong phần tử (số lượng phụthuộc vào chỉ số m, n), và mỗi phương trình đều có một hàm truyền thành phần tương ứng Để xác địnhhàm truyền chung ta có thể viết mối quan hệ giữa các tín hiệu của phần tử bằng các phương trình sau:Với sự thay đổi của tín hiệu vào x1:

) p ( X

) p ( X

) p ( X

.

) p ( G )

p ( G ).

p ( G

p ( G ).

p ( G

) p ( G )

p ( G ).

p ( G

) p ( Y

) p ( Y

) p ( Y

m

2 1

nm 2

1

m 2 22

21

m 1 12

11

n

2 1

 (3.2.6)

Vậy hàm truyền tổng hợp của một phần tử có nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra có dạng:

 ) p ( G

) p ( G ).

p ( G )

p ( G

p ( G ).

p ( G

) p ( G )

p ( G ).

p ( G

nm 2

1

m 2 22

21

m 1 12

11

(3.2.7)

Trong lý thuyết tự động, việc nối các phần tử với nhau trong hệ thống được chia thành 3 loại cơ bản:

- Các phần tử mắc nối tiếp với nhau

- Các phần tử mắc song song với nhau

- Các phần tử nối với nhau theo liên hệ ngược

Chúng ta lần lượt xét từng nguyên lý nối các phần tử với nhau trong hệ thống

a Các phần tử mắc nối tiếp với nhau

Hình 3.2.3: Hệ thống các phần tử mắc nối tiếp nhau

Từ công thức xác định hàm truyền theo định nghĩa chúng ta có:

1 1 n

n G G G ( p ) G

) p

(

X

) p

G

n(p)

b Các phần tử mắc song song với nhau

Hình 3.2.4 biểu thị sơ đồ khối của các phần tử mắc song song với nhau trong cùng một hệ thống

Hình 3.2.4: Hệ thống các phần tử mắc song song

Điểm đặc trưng trong hệ thống này là tín hiệu vào đối với tất cả các phần tử giống nhau (giống tín hiệuvào của hệ thống), còn tín hiệu ra của từng phần tử thì khác nhau và phụ thuộc vào hàm truyền của mỗiphần tử này Tín hiệu ra của hệ thống là tổng hợp các tín hiệu thành phần

Y(p) = Y1(p) + Y2(p) + + Yn(p)Theo định nghĩa hàm truyền ta có thể viết:

i in

2

G ) p ( X

) p ( Y ) p (

Vậy hàm truyền tổng hợp của hệ thống tự động có n phần tử mắc song song với nhau sẽ bằng tổng cáchàm truyền thành phần

c Các phần tử mắc với nhau theo kiểu có liên hệ ngược

Kiểu liên kết các phần tử có mạch liên hệ ngược rất phổ biến trong các hệ thống tự động Có 3 dạng mắccác phần tử thành mạch có liên hệ ngược (mạch phản hồi) như sau:

-Kiểu hàm truyền ở mạch phản hồi Gph = 1

Hình 3.2.5: Hệ thống có mạch liên hệ ngược

Theo định nghĩa hàm truyền tổng hợp của hệ thống được xác định:

) p ( X

) p ( Y ) p (

G  (3.2.12)Còn hàm truyền của mạch thành phần xác định như sau:

) p ( E

) p ( W ) p (

)p(W

)p(Y)p(

G2  (3.2.13)Với liên hệ ngược âm:

e = x - y => x = e + y => X(p) = E(p) + Y(p) (3.2.14)

Từ các biểu thức 3.2.12; 3.2.13; 3.2.14 ta có:

)p(W/)p(Y)p(W/)p(E

)p(W/)p(Y)

p(Y)p(E

)p(Y)

p(X

)p(Y)p(G

p ( G 1

) p ( G ).

p ( G )

p ( G ) p ( G 1

) p ( G )

p ( G

2 1

2 1

2 1

Như vậy ta đã thành lập được công thức xác định hàm truyền cho hệ thống có liên hệ ngược âm

Trong trường hợp liên hệ ngược dương: e = x + y => E(p) = X(p) + Y(p) Tính toán như trên ta đượcbiểu thức xác định hàm truyền tương tự chỉ khác là dấu (+) ở mẫu số được thay thế bằng dấu (-)

) p ( X )

) p ( W ) p (

G2  =>

) p ( E

) p ( X ) p ( Y

) p ( X ) p ( G ).

p (

) p ( G ).

p ( G 1

1 )

p ( E

) p ( X 1

1 )

p ( X ) p ( E

) p ( E )

p ( X

) p ( E ) p ( X

) p ( Y ) p ( G

2 1

rph rph

- Kiểu hàm truyền ở mạch chính và mạch liên hệ ngược đều khác 1:

Hình 3.2.7: Hệ thống có mạch liên hệ ngược

Với liên hệ ngược âm thì e = x - xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p)

Có

) p ( E

) p ( Y )

p

(

) p ( Y

) p ( X ) p (

G2  rph =>

) p ( E

) p ( X ) p ( G ).

p (

) p ( G ).

p ( G 1

) p ( G )

p ( E

) p ( X 1

) p ( E

) p ( Y )

p ( X ) p ( E

) p ( Y )

p ( X

) p ( Y ) p ( G

2 1

1 rph

Với liên hệ ngược dương, dấu (+) ở mẫu số sẽ được thay bằng dấu (-)

Ba biểu thức xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược 3.2.15, 3.2.16, 3.2.17 có mẫu

số M(p) = 1 ± G1(p).G2(p) giống nhau, chỉ có tử số (chính là hàm truyền ở mạch chính) là khác nhau

Vậy: Hàm truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược bằng tỷ số giữa hàm truyền ở mạch chính của hệ thống với biểu thức 1 + tích của tất cả các hàm truyền thành phần Dấu (+) ứng với liên hệ ngược âm còn dấu (-) ứng với liên

hệ ngược dương.

d Xác định hàm truyền của hệ thống phức tạp có các phần tử mắc chéo nhau

Trên thực tế hệ thống tự động có từ 2 phần tử trở lên thường có mối quan hệ giữa các phần tử rất phứctạp Trong một số trường hợp nếu chỉ đơn thuần ứng dụng các cách xác định như trên thì không thể tìmđược hàm truyền tổng hợp của hệ thống Để có thể tìm được hàm truyền tổng hợp của các hệ thống phứctạp một cách nhanh chóng, người ta áp dụng những nguyên tắc biến đổi sơ đồ cấu trúc thật của hệ thốngthành sơ đồ cấu trúc tương đương cho phép tính toán nhanh chóng hơn Người ta còn gọi phương phápbiến đổi sơ đồ tương đương này là đại số sơ đồ khối

Cơ sở lý thuyết để xây dựng các quy tắc biến đổi dựa trên cơ sở về hàm truyền và phương trình của núttổng hợp (phần tử so sánh) dưới đây là một số quy tắc biến đổi thường dùng:

1 Biến đổi nút thông tin

2 Phân chia nút thông tin kép

3 Phân chia mạch giữa 2 nút thông tin

4 Hoán vị nút tổng hợp

5 Phân chia nút tổng hợp kép

6 Phân chia mạch giữa 2 nút tổng hợp

7 Hoán vị nút thông tin sang phía trước phần tử

8 Hoán vị nút thông tin về phía sau phần tử

9 Chuyển nút tổng hợp sang phía trước phần tử

1/G x

x

G y

G y

10 Chuyển nút tổng hợp về phía sau phần tử

11 Tạo nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (y)

12 Tạo thêm nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (x)

Ví dụ 1: Hãy xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống tự động biểu thị trên sơ đồ sau:

Biến đổi sơ đồ tương đương:

Hàm truyền tổng hợp của hệ thống:

+ x

x

2

±

+ x

1/G

x

2-

y

x

2-

x

1

+ y

y +