TÌM HÀM HỒI QUY THỰC NGHIỆM Số liệu cho: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (9) y 21 34 49 59 73 78 84 89 94 Biểu diễn dãy số liệu đã cho các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho: Hình biểu diễn các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho Đường 1: Đồ thị hàm y = logaxb (hàm logarit) Đường 2: Đồ thị hàm y = axb (hàm luỹ thừa) Đường 3: Đồ thị hàm y = aebx (hàm exp) Đường 4: Đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2) Từ hình biểu diễn ở trên ta thấy: đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2) gần với dãy số liệu đã cho nhất vì vậy ta chọn hàm hồi quy là hàm bậc 3. Để xác định các hệ số ta sử dụng phương pháp “Tổ hợp tuyến tính nhiều biến số”. Với số biến số ở đây là 1 và có 3 hàm f(x). Ta viết lại dạng hàm như sau: ỹ = a0f0(x) + a1f1(x) + a2f2(x) () Trong đó: f0(x) = 1 F1(x) = x F2(x) = x2
Trang 1chän bËc cña ®a thøc tèi u (trebusop)
Sè liÖu cho:
64.5556 9.1 -0.8355 0.00926 0.03234 -0.0006 5198.2222 229.6222 14.6196 14.4976 8.3443 8.3368 649.7778 32.8032 2.4366 2.8995 2.08607 2.7789
Sè lîng thÝ nghiÖm: N = H0 = 9
TÝnh S0: S 0 = ∑
=
−
9
1
2
0 ) (
i
i b
y = 5198,2222
=
9 1
9
1
i
i
y = 64,5556
TÝnh S1: S1 = S0 – b12.H1
Tra b¶ng IV ta cã: H1 = 60
ν1 = 60
1 , 9 60
546 ) /
9
1
* 1
=
ν
i
P y b
1
y
1
* 1
4
P
* 2
yP
* 2
3
P *
3
yP yP4* *
5
P *
5
yP
Σ
i
S i
b i
Trang 25 9
1 9 1
*
1
−
=
−
=
i i i
i
i
x h
y x
u
P
∑
=
9
1
i
i
y = 581
20
3 2
*
2 = u −
p
7778
,
649
8
0 =
S
S1 = S0 – b12.H1
= 5198,2222 – 9,12.60
= 229,6222
8032 , 32 7
6222 , 229 7
S
TÝnh S2: S2 = S1 – b22.H2
Tra b¶ng IV ta cã: H2 = 308
ν2 = 924
8355 , 0 924
772 )
/
9
1
*
2
=
ν
i
P
y
b
S2 = S1 – b2 H2
= 229,6222– (-0,8355)2.308
= 14,6196
4366 , 2 6
6196
,
14
6
S
TÝnh S3: S3 = S3 – b32.H3
Tra b¶ng IV ta cã: H3 =
5 7128
ν3 = 1188
00925 , 0 1188
11 ) /
9
1
* 3
=
ν
i
P y b
S3 = S3 – b32.H3
= 14,6196 – 0,009252
5 7128
= 14,4976
8995 , 2 5
4976 , 14 5
S
TÝnh S4: S4 = S4 – b4 H4
Tra b¶ng IV ta cã: H4 =
7 41184
ν4 = 3432
03234 , 0 3432
111 )
/
9
1
*
4
=
ν
i
P
y
b
S4 = S4 – b4 H4
= 14,4976 – 0,032342
7 41184
= 8,3443
TÝnh S5: S5 = S5 – b5 H5
Tra b¶ng IV ta cã: H5= 20800
ν5 =3120
0006 , 0 3120
2 ) /
9
1
* 5
=
ν
i
P y b
S5 = S5 – b52.H5
= 8,3443 – (-0,0006)2 20800
= 8,3368
7789 , 2 3368 , 8
S
Trang 308607 , 2 4
3443
,
8
4
S
Với kết quả nh trên ta thấy: Theo phơng pháp này thì dừng lại ở bậc 2 là
tối u hơn cả do 2 , 4366
6
2 =
S
và 2 , 8995 5
3 =
S
chênh lệch ít nhất.
Đa thức có dạng sau:
ŷ = b0 + b1u + b2(u2 -
3
20
) (*) Với u = x-5 thay vào (*) và thu gọn ta có:
ŷ = b0 +b1(x-5) + b2 − − 3
20 ) 5 (x 2
=3,7381+ 16,6195x – 0,8355x2
Tính các phơng sai:
4366 , 2
6
2
σ
5203 , 0 9
4366 , 2 )
(
0
2
H
60
4366 , 2 )
(
1
2
H
σ
0889 , 0 308
4368 , 2 )
(
0
2
H
σ
tìm hàm hồi quy thực nghiệm
Số liệu cho:
Biểu diễn dãy số liệu đã cho các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho:
3
Trang 4
Hình biểu diễn các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho
Đờng 1: Đồ thị hàm y = logaxb (hàm logarit)
Đờng 2: Đồ thị hàm y = axb (hàm luỹ thừa)
Đờng 3: Đồ thị hàm y = aebx (hàm exp)
Đờng 4: Đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2)
Từ hình biểu diễn ở trên ta thấy: đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2) gần với dãy số liệu đã cho nhất vì vậy ta chọn hàm hồi quy là hàm bậc 3 Để xác định các hệ số ta sử dụng phơng pháp “Tổ hợp tuyến tính nhiều biến số” Với số biến số ở đây là 1 và có 3 hàm f(x)
Ta viết lại dạng hàm nh sau:
ỹ = a0f0(x) + a1f1(x) + a2f2(x) (**)
Trong đó: f0(x) = 1
F1(x) = x
F2(x) = x2
Xác định ma trận F:
Trang 51 1 1
Ma trận chuyển vị F* của F:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Xác định ma trận M = F*.F:
9 45 285
Xác định ma trận đảo M-1 của M bằng phơng pháp khử Gauss
Các bớc khử Gauss:
5
Trang 61.000 5.000 31.667 0.11111 0.00000 0.00000
1.61905 -0.67858 0.05952 ⇒ M-1= -0.67857 0.34135 - 0.03247
0.05952 -0.03247 0.00325
Xác định ma trận các hệ số â = M-1.F*.Y:
[-8,26191 17,45498 -0,83550]
Thay các hệ số vào (**) ta có hàm hồi quy thức nghiệm cần tìm:
ŷ = – 8,26191 + 17,45498x – 0,83550x2
Thay các giá trị của x ta có các giá trị ŷ i:
ŷ 1 = 8,35758 ŷ 2 = 23,30306 ŷ 3 = 36,58355
ŷ 4 = 48,19004 ŷ 5 = 58,12554 ŷ 6 = 66,390043
ŷ 7 = 72,98355 ŷ 8 = 77,90606 ŷ 9 = 81,15758
Tính tổng bình phơng các sai lệch S(â):
Trang 7S(â) = ∑
=
9
1
i
(yi – ŷi)2 = 14,62078
Đánh giá kết quả của hàm hồi quy thực nghiệm
• Đánh giá sự tồn tại của các hệ số:
Lập tỷ số:
ii d
i ti
m S
a
t =
Trong đó:
S2
d = S(â)/(n-m-1) n: Là số thí nghiệm n = 9
m+1: Là số tham số cần xác định (âi) m+1 = 3
mii: Số hạng trong ma trận M có hàng và cột là i
S2
d = 14,62078/(9 – 3) = 2.43680 ⇒ Sd=1,56102
⇒ 156102826191161905 415951
00
0
, ,
, m
S
a t
d
13863 19
34135 0
56102 1
45498 17
11
1
, ,
, m
S
a t
d
38850 9
00325 0
56102 1
83550 0
22
2
, ,
, m
S
a t
d
Tra bảng phânvị Student với tb
(n-m-1;1-2
α
) = tb(n-m-1,p) = P ta có:
(α: Là mức ý nghĩa đợc đặt ra trớc)
Điều kiện: Với α cho trớc nếu | tt | < tb thì không tồn tại âi
Với α cho trớc nếu | tt | > tb thì tồn tại âi Kết luận: Nếu α > 0,01 thì các giá trị âi luôn tồn tại
7
Trang 8Nếu α≤ 0,05 thì không tồn tại â0.
Tìm khoảng tin cậy
Chọn mức ý nghĩa α = 0,01 ⇒γ = 1 - α = 0,99 = 99%
Tra bảng V Phân vị Student với n-m-1 = 9 – 3 = 6 và 1-α2 = 0,995 ta có:
tb
(n-m-1;1-2
α) = t
b(n-m-1,p) = 3,707
Syi = D(ŷi) = σ2.uii = Sd2.uii
Tính ma trận U: U = F.M-1.F*
Nhân lần lợt từ trái sang phải ta đợc ma trận U:
0.66061 0.38182 0.16364 0.00606 -0.09091 -0.12727 -0.10303 -0.01818 0.12727 0.38182 0.27879 0.19091 0.11818 0.06061 0.01818 -0.00909 -0.02121 -0.01818 0.16364 0.19091 0.20087 0.19351 0.16883 0.12684 0.06753 -0.00909 -0.10303 0.00606 0.11818 0.19351 0.23203 0.23377 0.19870 0.12684 0.01818 -0.12727 -0.09091 0.06061 0.16883 0.23377 0.25541 0.23377 0.16883 0.06061 -0.09091 -0.12727 0.01818 0.12684 0.19870 0.23377 0.23203 0.19351 0.11818 0.00606 -0.10303 -0.00909 0.06753 0.12684 0.16883 0.19351 0.20087 0.19091 0.16364 -0.01818 -0.02121 -0.00909 0.01818 0.06061 0.11818 0.19091 0.27879 0.38182 0.12727 -0.01818 -0.10303 -0.12727 -0.09091 0.00606 0.16364 0.38182 0.66061
Ta có các giá trị uii:
u11 = 0.66061 u22 = 0.27879 u33 = 0.20087
u44 = 0.23203 u55 = 0.25541 u66 = 0.23203
u77 = 0.20087 u88 = 0.27879 u99 = 0.66061
Lần lợt tính các yi theo công thức:
yi = ŷi ± Sd uii tb(n-m-1;1+2γ )
Trong đó:
Sd = 2.43680 = 1.56102
ŷ 1 = 8,35758 ŷ 2 = 23,30306 ŷ 3 = 36,58355
Trang 9ŷ 4 = 48,19004 ŷ 5 = 58,12554 ŷ 6 = 66,39004
ŷ 7 = 72,98355 ŷ 8 = 77,90606 ŷ 9 = 81,15758 VËy ta cã kÕt qu¶ nh sau:
y1 = 8,35758 ± 4,70333
y2 = 23,30306 ± 3,05542
y3 = 36,58355 ± 2,59352
y4 = 48,19004 ± 2,78743
y5 = 58,12554 ± 2,92450
y6 = 66,39004 ± 2,78743
y7 = 72,98355 ± 2,59352
y8 = 77,90606 ± 3,05542
y9 = 81,15758 ± 4,70333
9
