Nội dung ôn thi học kì 2 môn toán lớp 11

CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc  Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900... a Chứng minh các mặt bên của h

Giáo viên : LÊ ANH

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11

A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN

1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0

Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un | ≤ v n , n và lim v n = 0 thì limu n = 0

- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0

2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:

+) Nếu limun = + thì lim 1 0

 ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia

tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử

và mẫu với một lượng liên hợp;…

u v

x

0

x g x f

x x

x f

x

0

x g

x x Dấu của

)(lim

0 g x

x f

x x

2n 3n 1lim

2

12

4

1143

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u 1

)32)(

21(

3) lim 2

331

2

n

n n





4) lim

252

33

3 2







n n

n n

5) lim(n – 2n3) 6) lim ( n1 n) 7) lim

75

33423

2 3

n n n

8) lim 2 2

3

)13

(

)23()

9) lim( 3n1 2n1) 10) lim n n

n n

5.32

54

2 1

n c

( 2) (5 1)

n n d

 

 

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

2

x

x x

3

x

x x

x

x x

2 3lim

7 3

x

x x

7 3

x

x x

x

x x

3 2lim

1

x

x x x



 

 c) 3 2

3lim

1lim

1

x

x x





 e)

2 2 1

2 3lim

9lim

1 2

x

x x





  h) 4

2 1 3lim

2

x

x x



 

 i) 1

2 1lim

5 2

x

x x



 

  k)

2 2

3 2lim

2

x

x x x

1

x

x x

2 1lim 9

3

x

x x

2

x

x x

1 coslimsin

x x

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao

B : Kết luận

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

6

* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0 Để c/m PT có k nghiệm trên a b : ; 

(

x

x x

1,

1,

( )

x voi x x

11)

x x

f

0,

0,

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

2

3 2 2

( )

3 2

x

khi x x

ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2

c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1

Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0

a)  

2

2

11

a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x310x 7 0

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3

1000 0,1 0

x  x  c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)

d) Chứng minh phương trình 2

x xx x  có ít nhất một nghiệm x00; e) Chứng minh phương trình m x 1 3 x22x   luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 3 0

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

g) x33x2 1 0 có 3 nghiệm phân biệt

h) 1m2 x13x2   luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m x 3 0

i)  3 2  4

m x x  x   luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

x tg x

tgx

x x

x x

2 2

/

2 2

/

/ /

cot1sin

1cot

1cos1

sincos

cossin

/ 2 /

/ /

/ /

sin

1cot

cos

1

.sincos

.cossin

U U gU

U U tgU

U U U

U U U

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U  x

- Đạo hàm cấp cao của hàm số

Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)' '  

Đạo hàm cấp n : f (x) = f(x)n  n-1 '

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:

; x0 = 0 d) y = x - x; x0 = 2

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =

1

12

3 i) Cho f(x) 3x1, tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x) m) Cho f x   x 10 6. TÝnh f '' 2     l)f x sin 3x Tính ;   0

56

32

x 18) y = 2

3 22

x xx

1 31/ y= (2x+3)10 29/ y= x(x2- x+1) 32/ y= (x2+3x-2)20

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1)y3sin2 x.sin3x 2) 2

)cot1

y  3) ycosx.sin2 x 4)

x

x y

sin2

sin1

y 

6)

x x

x x

1

)2sin1(

14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 16) ycot 1 x3  2 17) y= sin(sinx)

18) y sin (cos3x) 2 19) y x sin x

c bx ax y

c bx ax y

43

22

y

32

432 2

x x y

Bài 6: Cho hai hàm số : f x( )sin4xcos4x và ( ) 1cos 4

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

10

Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3sinxcosxx

xcosxsin3 3





; y’' = - y d) Cho y =

4 x 3 x



 ; 2(y’)2 =(y -1)y’’

e) Cho y = cot g x cot gx x 3 7

xcos2 2

 ; (4) 3f'(4)3





g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0

h) Cho hàm số:

2

22

b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8

Bài 11: Chứng minh rằng f x'( )0   x , biết:

y x





 (C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : yx35x22 Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1

7x – 4

2

x y x

Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:

a) yx3 2x1 b)

2sin4 x

y  c) y x2 6x7 d) ycosx.sin2 x e) y(1cotx)2

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

x y



 4)

yx x 

5) yx2sinx 6) y(1x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS: 1)

 3

6''

''

1

x x y

y  x x x x 6) y''4 sinx x(x23) cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1

1

y x

1

n n

n

n y

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

12

B HÌNH HỌC

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

 Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900

 Phương pháp 2: a   b u v    0

(u v   ,

lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b)

 Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )   hoặc b b  ( )   a

 Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( abab' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a)

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P)

 Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)

 Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)

 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc )

 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:

+) Phương pháp 1: Nếu a  b :

- Dựng (P)  a và (P)  b

- Xác định A = (P)  b

- Dựng hình chiếu H của A lên b

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

+) Phương pháp 2:

- Dựng (P)  a và (P) // b

- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’  a = H

- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

+) Phương pháp 2:

- Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O

- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O)

- Kẻ IK  b’ tại K

- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H

- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A

- AH là đoạn vuông góc chung của a và b

II BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

14

BAD 60

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC)

b) Chứng minh SC  (AHK)

c) Chứng minh HK  (SAC)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC)

Gọi I là trung điểm BC

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC

1 CMR: BC(OAI)

2 CMR: (OAI)(OHK)

3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS:a / 3

5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK) ĐS:cos  6 / 3

6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan  2

7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai

đường ấy ĐS: a / 2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA a 2

1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

2 CMR: mp (SAC)mp(SBD)

3 Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB) ĐS: 45 ,0300

4 Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ĐS: tan 2

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)

ĐS: a 6 / 3

6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a / 2

7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SI a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2  

và Gọi H là hình chiếu của S trên AC

 0

ADC45

8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a 3 / 3

9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần

lượt là trung điểm của AB và AD

6 Tính tang của góc giữa AC và (MNC’) ĐS: tan 2 2 / 3

7 Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD) ĐS:tan  2

8 Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’) ĐS:cos 7 / 51

9 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’ ĐS: a 3 / 3

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

2 1

3

7 1lim





2) Cho hàm số x

y x

11







a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: x

8lim

ĐỀ THAM KHẢO

Đề số 2

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút

5

2 11lim

1 1lim



 



2 2

2 21





b) y 1 2 tan x 2) Cho hàm số yx4x23 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có tung độ bằng 3

b) Vuông góc với d: x2y 3 0

Bài 4 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung

điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC)

Bài 6a Cho ysin 2x2 cosx Giải phương trình y/= 0

2 Theo chương trình nâng cao

Bài 5b Cho y 2x x 2 Chứng minh rằng: y y3 / / 1 0

Bài 6b Cho f( x ) = f x x

x

x3

64 60( )  3 16 Giải phương trình f ( ) 0x 

-Hết -

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

18

ĐỀ THAM KHẢO

Đề số 3

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y2sinxcosxtanx b) ysin(3x1) c)ycos(2x1) d) y 1 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  BAD600 và SA = SB = SD =

a

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

II Phần riêng

1 Theo chương trình chuẩn

Bài 5a: Cho hàm số y f x( ) 2 x36x1 (1)

a) Tính f '( 5)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)

c) Chứng minh phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1)

2 Theo chương trình Nâng cao

ĐỀ THAM KHẢO

Đề số 4

ĐỀ THI HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3

b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x53x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong



 d) y x22x e) x

y x

4 2 2

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM là

đường cao của SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho

IS = a

a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC)

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là tâm của

đáy ABCD

a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC)

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và

SC

-Hết -

HTTP://THAYHUY.NET Thầy: Lê Anh

20

ĐỀ THAM KHẢO

Đề số 5

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y2x37x1 (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1

Câu 7a (1,5 điểm) : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC),

SA= a M là một điểm trên cạnh AB,  ACM, hạ SH CM

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB

b) Hạ AK  SH Tính SK và AH theo a và 

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): x

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm

Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB

ĐỀ THAM KHẢO

Đề số 6

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút

lim

3

24

5

1 2lim

4lim

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD =

a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung

điểm AH

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

II Phần riêng

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x33x26x 2 0

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp

B Theo chương trình nâng cao

1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm: (m22m2)x33x 3 0

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA

= a 3 Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó

-Hết -