Tìm các đỉnh còn lại của hình thoi biết điểm A có tung độ âm.. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI.. và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
Trang 11
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1
-
ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 1, NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán khối A,A1,B,D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
(Dành cho học sinh lớp 11 mới lên 12)
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH THI KHỐI A,A1,B,D (7,0 điểm)
Câu1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2− 2 x − 3 (P)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
b/Tìm m để đường thẳng (d): y = − + x m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
Câu 2: (1,0 điểm)
Giải phương trình: cos 2 cos x x + cos x = sin 2 sin x x
Câu 3: (1,0 điểm)
Giải bất phương trình : x2+ 3 x ≥ + 2 5 x2+ 15 x + 14
Câu 4: (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 5: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng 0xy cho hai đường thẳng (d1 ): x − 2 y + = 3 0 và
(d2): 3 x − − = y 2 0 Tìm các điểm M∈ (d1), N ∈ (d2) sao cho 3 OM + ON = 0
Câu 6: (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
(Thí sinh chỉ được làm đề theo khối thi đã đăng ký)
A KHỐI A, A1
Câu 7a.(1,0 điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho hình thoi ABCD có diện tích S = 20, một đường
chéo có phương trình (d): 2 x + − = y 4 0 và D(1;-3) Tìm các đỉnh còn lại của hình thoi biết điểm A
có tung độ âm
Câu 8a.(1,0 điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho e líp (E):
1
+ = có hai tiêu điểm F1,F2 (biết F1
có hoành độ âm) Gọi ( ∆ ) là đường thẳng đi qua F2 và song song với ( ∆1): y = − + x 1 đồng thời
cắt (E) tại hai điểm A, B phân biệt Tính diện tích tam giác ABF1
Câu 9a.(1,0 điểm): Chứng minh rằng: 1 cos 2cos 2 cos 3 2 cos
x
B KHỐI B, D
Câu 7b.(1,0 điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho ∆ ABC có diện tích S = 3, B(-2;1), C(1;-3) và trung
điểm I của AC thuộc đường thẳng (d): 2 x + = y 0 Tìm tọa độ điểm A
Câu 8b.(1,0 điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (T): x2+ y2− 4 x − 6 y + = 3 0 và đường
thẳng ( ∆ ): x − 2 y − = 1 0 Gọi A, B là giao điểm của ( ∆ ) với (T) biết điểm A có tung độ dương
Tìm tọa độ điểm C ∈ (T) sao cho ∆ ABC vuông tại B
Câu 9b.(1,0 điểm):Chứng minh rằng: 4 4 2
π
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán khối A, A1, B,D - Lớp 11
a (1,0 điểm)
b.(1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d) là: x2− 2 x − = − + 3 x m
⇔ x2− − − = x 3 m 0 (1) 0.25
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì pt(1) phải có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = 4 m + 13 >0 ⇔ m > 13
4
−
Gọi A x ( 1; − + x1 m B x ) ( , 2; − + x2 m ) là giao điểm của (d) và (P) thì x1, x2 là nghiệm của pt(1)
2( x − x ) = 2( x + x ) − 8 x x Theo viet ta có 1 2
1 2
1 3
x x
+ =
= − −
Suy ra AB2 = 8m+26
0.25
1 (2,0
đ iểm)
Theo gt AB = 3 2 ⇔ 8m+26 =( 3 2 )2 ⇔ m = -1 (thỏa mãn đk (*)) KL:… 0.25
Giải phương trình
Pt cos 2 cos x x + cos x = sin 2 sin x x ⇔ cos 2 cos x x − sin 2 sin x x = − cos x 0.25
π π
= − +
2
k x
π π
π π
= +
−
= +
2 (1,0
đ iểm)
k
x = − + π k π x = + π π
Giải bất phương trình
Bpt x2+ 3 x ≥ + 2 5 x2+ 15 x + 14 ⇔ 5 x2+ 15 x + − 14 5 5 x2+ 15 x + 14 − 24 ≥ 0 0.25
Đặt 2
t = x + x + , đk t ≥ 0 , bpt trở thành t2− − 5 t 24 ≥ 0 8( )
3( )
t tm
≥
Với t ≥ 8 thì 5 x2+ 15 x + 14 ≥ ⇔ 8 5 x2+ 15 x + ≥ 14 64 ⇔ x2+ 3 x − ≥ 10 0 2
5
x x
≥
⇔ ≤ −
0.25
3 (1,0
đ iểm)
Giải hệ phương trình
4 (1,0
đ iểm)
0
y
≥
Ta có pt (1) 3 2 2 2 1 0
2
y x
+
y x
⇔ = + (3)
0.25
Trang 2www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Giải pt(4) đặt
3
= −
đk u ≥ 0 , ta được hệ pt 2 13
u v
+ =
0
u v
=
=
0
u
v
=
=
x x
− =
− =
2
x
4
y = (tmđk)
KL: Vậy hệ pt có nghiệm là 1 9 ;
2 4
0.25
Ta có 3 OM = (6a-9; 3a) ON = (b; 3b-2)
0.25
3 OM + ON = 0 6 9
a b
a b
+ =
5 3 1
a b
=
= −
0.25
5
(1,0
đ iểm)
Suy ra 1 5 ;
3 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…
Ta có M
yz zx xy
xyz
Ta có
2
2
0 0 0
x y
z x
.Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
x = = y z
0.25
Suy ra M
xyz
M
Áp dụng bđt cô si với 5 số dương ta có
5
5
Dấu= xảy ra
1
x
x x
Chứng minh tương tự ta được
y y
+ ≥ Dấu= xảy ra
1
y
y y
4
z z
+ ≥ Dấu= xảy ra
4
1 1
z
z z
0.25
6
(1,0
đ iểm)
4
M ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Vậy min 15
4
M = Đạt được khi x = = = y z 1
0.25
.
7.a
(1,0
đ iểm) Dễ thấy D ( ) ∉ d , suy ra đường thẳng (d): 2x + y – 4 = 0 là pt của đường chéo AC 0.25
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD, và D ∈ BD suy ra pt của BD là: x – 2y – 7 = 0
Gọi I= AC ∩ BD , tọa độ điểm I là nghiệm của hệ pt:
.
⇔
Mặt khác I là trung điểm của BD Suy ra: B(5;-1) ⇒ IB = 5
0.25
Lại có A ∈ (d) ⇒ A x ( ; 4 2 ) − x Có
2 5
IA = ⇔ IA2= 20 ⇔ 5( x − 3)2= 20 ⇔ − ( x 3)2= 4
1 (1; 2)
Theo gt suy ra A (5;-6) (thỏa mãn) Vì C đối xứng với A qua I nên C(1;2) KL: Vậy A(5;-6), B(5;-1), C(1:2)
0.25
T a có a2= 6; b2= 2 mà c2= a2− b2⇒ c2= 4 ⇒ c = 2 Suy ra F1(-2;0), F2 (2;0)
0.25
Vì ∆ ∆ // 1 và ∆ đi qua F2 nên pt của ( ∆ ) là: y = -x + 2
0.25
Tọa độ A,B là nghiệm của hpt 2 2
2
1
= − +
2
= − +
2
2
x
y
= +
−
=
hoặc
2
2
x
y
= −
+
=
A + − B − +
0.25
8.a (1,0
đ iểm)
Ta có AB = 6 , d F AB ( ,1 ) = d F ( , )1∆ = 2 2 Suy ra diện tích tam giác ABF1 là 1 ( ,1 ) 2 3
2
2
1 cos cos 2 cos 3
2 cos
x
+ − (*), đk cos 2 x + cos x ≠ 0
Ta có VT(*) (1 cos 2 ) (cos2 cos 3 )
=
− +
0.25
VT(*)
2
2 cos 2 cos cos 2 cos 2 cos
+
=
VT(*) 2 cos (cos cos 2 )
cos 2 cos
+
9.a (1,0
đ iểm)
I ∈ d ⇒ I x − x Vì I là trung điểm của AC nên A(2x - 1; - 4x + 3) 0.25
7.b (1,0
đ iểm)
Có BC = (3; 4) − ⇒ BC = 5
Trang 3www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
5
x
d A BC = − +
2
S = d A BC BC mà S = 3 1 4 10 5 3
x
− +
0.25
1 4
x
x
=
⇔ =
Suy ra A(1;-1); A(7;-13)
0.25
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ pt
0.25
2
1 0
x y
=
=
5 2
x y
=
=
Suy ra A(5;2), B(1;0)
0.25
Đường tròn (T) có tâm I(2;3)
Vì A, B, C ∈ (T) và ∆ ABC vuông tại B ⇒ AC là đường kính của đường tròn (T) 0.25
8.b
(1,0
đ iểm)
Chứng minh rằng: cos4 cos4 2 sin2 1
π
Ta có VT(**) = cos4 cos4 sin4 cos4
π
9.b
(1,0
đ iểm)
VT(**) = − (cos2x − sin2x ) = − − ( 1 2 sin2x ) = 2 sin2x − 1 =VP(**) (đpcm) 0.25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa
-
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
-
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 33mx24m3 1 , m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị , A B sao cho OA OB 6 (O là gốc tọa độ)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
4
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
5
12
x y
x y
y
R
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1 3
d
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm ,I AB a BC a ; 3, tam giác SAC
vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SAB
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn ac2b và ac b ab c a c2 24b2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuôngABCD Gọi E là trung điểm của cạnh AD,
là trung điểm của đoạn BH Xác định tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm A có hoành độ âm
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 :
và điểm A1; 1;2 Viết phương trình mặt phẳng P , biết P vuông góc với đường thẳng và cách điểm A một khoảng bằng 3
Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 Chọn ngẫu nhiên một số từ ,S tính xác suất để số được chọn lớn hơn số 2014
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giácABCvuông tại A Gọi M là điểm trên cạnh
AC sao cho AB3AM.Đường tròn tâm I1; 1 đường kính CMcắt BMtạiD Xác định tọa độ các đỉnh của ABC
biết đường thẳng BC đi qua 4;0
3
, phương trình đường thẳng CD x: 3y 6 0 và điểmCcó hoành độ dương
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
x y z Viết phương trình mặt
cầu S có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với tại A1;2;2
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình
2
2 12
x
-Hết -
Trang 4SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
LẦN THỨ I NĂM 2014
-
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Môn: Toán; Khối: A và khối B
(Đáp án-thang điểm gồm 04 trang)
-
1
(2,0 điểm)
a (1,0 điểm)
Khi m1, ta có y x 33x24
Tập xác định D R
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Đạo hàm
2
x
0,25
Khoảng nghịch biến 0;2 ; Các khoảng đồng biến ;0 và 2;
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x0,yC§4; đạt cực tiểu tại x2,y CT0
- Giới hạn
0,25
Bảng biến thiên
x 0 2
y’ + 0 - 0 +
y
0,25
Đồ thị
0,25
b (1,0 điểm)
Ta có y'3x26mx3x x 2m Hàm số có hai điểm cực trị m 0 0,25
Lúc đó hai giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A0;4m3,B m2 ;0 0,25
6 4 32 6
1 1
1
m m
Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 1 và m1
0,25
4
2
O -1
y
x
Tra cứu điểm thi: www.thpt-dangthuchua-nghean.edu.vn hoặc www.k2pi.net
2 (1,0 điểm)
2
4
x
2 2
2
x k
sinx 0 x k k Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm ; 2
2
3 (1,0 điểm)
Điều kiện
0 0 12
8 0
3
y
x y x
Từ phương trình thứ nhất ta có x2y2 1 2xy2y2x 0 y x 12 0 y x 1
0,25
Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta:
5
Xét hàm số
x
f x
0,25
f x
0,25
Bảng biến thiên:
3
2
f(x)
0 +∞
-∞
Từ đó suy ra phương trình (*) chỉ có hai nghiệm là x3 và x8 Hay nghiệm của hệ đã cho là x y; 3;4 , x y; 8;9
0,25
4 (1,0 điểm)
2 3 3 1 2
1 2
e
1
2
x
Suy ra 1 2 7 32
4 4
5 (1,0 điểm)
a
Tam giác SAC vuông tại S,nên 2 2 3
2
a
S ABCD ABCD
0,25
Trang 02 – Tra cứu điểm thi: www.thpt-dangthuchua-nghean.edu.vn hoặc www.k2pi.net
Trang 5Gọi J là hình chiếu vuông góc của H lên AB,
K là hình chiếu vuông góc của H lên SJ
AB SH
0,25
Trong tam giác vuông SHJ: 12 12 12 202
3
0,25
6
(1,0 điểm)
2
b
a c
1
a
0,25
Đặt t act 2
b
, từ (*) ta có
2
1
t t
ac
b
0,25
Lại có
2
1
b
P
b
ac
Xét hàm số 1 2 1 2,
1
1 4
3
4 1
u
f
0,25
144
2
7.a
(1,0 điểm)
Gọi F là điểm đối xứng của E qua A
Suy ra BCEF là hình bình hành nên AM là đường trung bình của hình thang vuông EHBF Do đó AM//EHAMBH
0,25
M là trung điểm BH B 1; 2 Phương trình đường thẳng AM: 2x y 0 Phương trình đường thẳng CE: 2x y 4 0
0,25
Do góc ̂ ̂ ̂ 2
5
Giả sử A a; 2 a, từ ̂ 2 . 2
AM
AM
AB u
AB u
2
1
5 5
a
a
a
0,25
Phương trình đường thẳng AD y: 2
mà E CE ADE 1;2 D 3;2 Phương trình đường thẳng BC y: 2
mà C BC CE C3; 2
0,25
Trang 03 – Tra cứu điểm thi: www.thpt-dangthuchua-nghean.edu.vn hoặc www.k2pi.net
www.VNMATH.com
8.a (1,0 điểm)
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u1; 2;2 0,25
Do mặt phẳng (P) vuông góc với nên có phương trình x2y2x d 0 0,25
Lại có ; 3 7 3 7 9 2
16 3
d d
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x2y2x 2 0 hoặc x2y2x16 0. 0,25
9.a (1,0 điểm)
Giả sử abcd là số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 và lớn hơn 2014
+) TH1: a2, chọn b,c,d có A3 cách chọn
0,25
+) TH2: a2, chọn a có 5 cách chọn, chọn b,c,d có A3 cách chọn 0,25
Vậy
4
0,857 7
P
7.b (1,0 điểm)
Ta có ̂ ̂900 tứ giác ABCD nội tiếp
Suy ra ̂ ̂ Lại có ̂ 3
10
AB BM
10
Giả sử C c3 6;c, ta có ̂ 3
10
DC
DC
IC u
IC u
2 2
1
c
c c
c c
c c
lo¹i
0,25
Với c 1 C3; 1 Phương trình đường thẳng BC: 3x 5y 4 0 Điểm M 1; 1 Phương trình đường thẳng BM: 3x y 4 0
Điểm B BC BMB2;2
0,25
Phương trình đường thẳng AC: y 1 0 Phương trình đường thẳng AB: x 2 0 Điểm A AB ACA 2; 1
0,25
8.b (1,0 điểm)
Ta có B0;1;0;u1;1;2 Giả sử I t;0;0, ta có:
2 2 5 2 2
5
7 6
t t
Khi đó I7;0;0 , IA2 11 hay 2 2 2
9.b (1,0 điểm)
2
3
x
x x
8 2x4 2 2x x12 22x4.2x32 0
lo¹i
4
2x
2x 4 x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x2 0,25
