Kinh nghiệm và kiến thức cần nhớ khi thi đại học FPT

Tài liệu dành cho những người có ý định thi vào fpt, taif liệu bao gồm nhiều kiến thức toán cơ bản nhưng vô cùng cần thiết để các bạn đi thi đại học fpt.Với bộ tài liệu ôn thi đại học fpt này, tôi tin bạn sẽ dành học bổng fpt vô cùng đơn giản nếu bạn tiếp thu tốt! Sinh viên FPT

MỘT SỐ KINH NGHIỆM CHUẨN BỊ CHO PHẦN THI TOÁN – LOGIC

Contents

KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC FPT 3

1 Lời nói đầu: 3

2 Giới thiệu đề thi: (đề cho các ngành khối Công nghệ) 4

3 Một số kiến thức cần thiết 5

A Số học và Đại số: 5

B Hình Học 6

C Giải Tích 6

D Logic (phần này chiếm nhiều điểm) 6

4 Tóm tắt 1 số kiến thức 7

Tính chia hết & số nguyên tố 8

Số nguyên tố 9

Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất 10

Bài tập luyện tập: 11

Tính chẵn – lẻ 13

Bài tập luyện tập: 13

Độ ưu tiên các phép tính 15

Hình học 16

Đa giác 16

Tam giác 16

Tứ giác 17

Bài tập luyện tập: 18

Chap 1: Hệ phương trình căn bản 20

1) Phương trình bậc nhất một ẩn 20

2) Hệ phương trình bậc nhất với hai hoặc ba ẩn 20

3) Hệ phương trình dạng khuyết 20

4) Hệ phương trình dạng tổng hợp 20

5) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối 20

Chap 2: Phương trình với số mũ 20

1) Phương trình với số mũ chẵn 20

2) Phương trình với số mũ lẻ 21

3) Phương trình mũ 21

4) Phương trình với dấu căn 21

Chap 3: Phương trình bậc hai 21

Dạng bị biến đổi (ngụy trang) 21

Dạng đảo 21

Phương trình bậc hai chỉ có 1 nghiệm 21

Chap 4: Phương trình dạng công thức 22

Chap 5: Hàm số 22

1) Phép thế bằng số 22

2) Phép thế bằng biến 22

3) Hàm hợp 22

4) Hàm số với hệ số chưa biết 22

5) Đồ thị hàm số 22

6) Các dạng hàm số thường gặp 23

Chap 6: Bất đẳng thức 23

1: Khái quát về hệ thống số thực 25

Một số Mẹo giải nhanh 33

Cách tìm nhanh tất cả ước số của 1 số 33

“Dịch đề” – Tóm tắt đề 33

Đôi khi có thể tìm ra đáp án mà không cần giải toàn bộ bài toán 33

Cách giải câu hỏi tính đầy đủ dữ kiện 33

5 Bài tập luyện tập: 35

KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC FPT

1 Lời nói đầu:

Kỳ thi tuyển sinh đại học FPT thời gian qua đã thu hút được khá đông sự chú ý của các bạn học sinh ở sự mới lạ trong cả cách thi, đề thi và tiêu chí chấm điểm Trong đó, phần thi Toán – Logic gây thích thú và cũng gây không ít khó khăn cho rất nhiều các bạn thí sinh

Vì tính chất mới lạ, và khác biệt so với các kỳ thi truyền thống, nhiều bạn thí sinh cảm thấy bối rối và đôi khi “hơi sợ” kỳ thi, dẫn đến không phát huy hết khả năng của mình Ngoài ra, nhiều bạn cũng không biết phải ôn tập cho kỳ thi như thế nào Chính vì lý do đó, Chúng tôi, một nhóm

“Sinh Viên Rảnh”, đã mạnh dạn tổng hợp lại các kinh nghiệm mà chúng tôi đã tích lũy được, sau

“một vài lần” thi vào ĐH FPT

Đây không phải là “Tài liệu chính thức”, cũng không phải “300 bài hát thiếu nhi” đủ để các bạn làm ngon lành đề thi FPT Chúng tôi chỉ mong rằng qua đây, truyền cho các bạn cảm hứng, không còn sợ đề FPT nữa, với một số bạn sẽ thấy rằng, được học bổng không phải là quá khó Chúc các bạn thành công!

2 Giới thiệu đề thi: (đề cho các ngành khối Công nghệ)

- Phần 1 gồm 20 câu là các câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán có

- Phần 2 gồm 25 câu (từ câu 21 đến câu 45) Mỗi câu hỏi sẽ 2 dữ kiện đi kèm (1) và (2) Có 5 phương án

trả lời cho trước chung cho tất cả các câu như sau:

(A) Dùng một mình dữ kiện (1) là đủ để có thể trả lời câu hỏi, nhưng dùng một mình dữ kiện (2) thì không đủ

(B) Dùng một mình dữ kiện (2) là đủ để có thể trả lời câu hỏi, nhưng dùng một mình dữ kiện (1) thì không đủ

(C) Phải dùng cả 2 dữ kiện (1) và (2) mới trả lời được câu hỏi, tách riêng từng dữ kiện sẽ không trả lời được

(D) Chỉ cần dùng một dữ kiện bất kỳ trong 2 dữ kiện đã cho cũng đủ để trả lời được câu hỏi

(E) Dùng cả 2 dữ kiện đã cho cũng không thể trả lời được câu hỏi

Nhiệm vụ của thí sinh là tìm ra phương án đúng (trong 5 phương án trả lời cho trước) cho mỗi câu hỏi

5 phương án này sẽ được ghi lại ở đầu mỗi trang để thí sinh tiện tham khảo

- Phần 3 gồm 45 câu (từ câu 46 đến câu 90), trong đó có một số câu hỏi riêng lẻ và một số câu hỏi nhóm

Các câu hỏi nhóm sẽ có dạng “Câu N – M”, sau đó là đoạn văn tình huống chung cho tất cả các câu trong nhóm và các câu hỏi lần lượt từ N đến M

- Tất cả các số trong bài thi đều là số thực

b Số nguyên, tính chia hết, Ước, UCLN, Bội, BCNN, Số nguyên tố

d Bài toán vận tốc, năng suất:

Vận Tốc (năng suất), Thời gian, Đường đi (công việc) Vận tốc trung bình

e Các phép toán:

Cộng, Trừ, Nhân, Chia Lũy thừa (Mũ), Căn Giai thừa

Logarit Giá trị tuyệt đối Min, Max của 1 tập hợp, của 1 hàm Thứ tự ưu tiên của các phép tính

f Dãy số, Cấp số cộng (CSC), Cấp số nhân(CSN)

Tổng 1 dãy số Trung bình cộng 1 dãy số

Số số hạng

Số hạng tổng quát của CSC, CSN

g Giải Phương trình, hệ Phương trình

Phương trình bậc nhất 1 ẩn, bậc 2, bậc n, phân thức Phương trình chưa căn, chứa trị tuyệt đối

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn 2 phương trình, 3 ẩn 3 phương trình Phương trình nghiệm nguyên

Giải toán đố bằng cách đặt ẩn, đưa về giải phương trình, hệ phương trình

h Bất phương trình

i Hàm số:

Định nghĩa hàm số Các phép toán Hàm chẵn, Hàm lẻ và tính chất Hàm bậc I,

Hàm bậc II, ĐL Viet, dấu của tam thức bậc 2 Hàm phân thức

B Hình Học

a Tam giác

b Góc

c Hình vuông, HCN, Hình thoi, HBH

d Đa giác, Đa giác đều góc trong đa giác, đường chéo

e Hình tròn, các công thức tính chu vi, diện tích

C Giải Tích

a Hệ trục tọa độ

b Biểu diễn Điểm

c Biểu diễn Vector

d Biểu diễn đường thẳng: Pt tổng quát, Pt tham số, Pt hệ số góc

D Logic (phần này chiếm nhiều điểm)

a Mệnh đề

b Tập hợp

c Biểu đố Venn

d Phép đếm (cộng, nhân), Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, Xác suất

e Các phép suy luận: Phép suy ra; Phép tương đương

f Mệnh đề thuận – Mệnh đề đảo; Mệnh đề tương đương

Chúng tôi có tóm tắt 1 số phần kiến thức, do thời gian có hạn nên chưa thể biên soạn 1 tài liệu đầy đủ hơn Các bạn nên tham khảo sách giáo khoa them

4 Tóm tắt 1 số kiến thức

Tính chia hết & số nguyên tố

Các khái niệm cơ bản

Khi ta lấy a chia cho b được c và dư d, ta gọi:

Một vài quy tắc về tính chia hết

Một vài dấu hiệu nhận biết của các số chia hết cho:

 Chia hết cho 2: là số chẵn (có chữ số cuối cùng chia hết cho 2, nghĩa là bằng 0, 2, 4, 6, hoặc 8)

 Chia hết cho 3: tổng các chữ số tạo thành số đó cũng chia hết cho 3

 Chia hết cho 4: số được tạo bởi 2 chữ số cuối cùng chia hết cho 4 (ví dụ 15824 chia hết cho 4 vì 24 chia hết cho 4)

 Chia hết cho 5: có chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5

 Chia hết cho 6: vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, vì vậy thỏa mãn cả hai điều kiện chia hết cho

2 và 3 ở trên

 Chia hết cho 8: số được tạo bởi 3 chữ số cuối cùng chia hết cho 8 (ví dụ 83104 chia hết cho 8 vì 104 chia hết cho 8)

 Chia hết cho 9: tổng các chữ số tạo thành số đó cũng chia hết cho 9

 Chia hết cho 10: có chữ số cuối cùng là 0

 a ÷ b chưa chắc chia hết cho n

 a + c không chia hết cho n

 a – c và c – a không chia hết cho n

 a × c chia hết cho n

 a ÷ c (nếu kết quả là số nguyên) chia hết cho n

Số nguyên tố

Số nguyên tố:

 Là những số nguyên dương

 Lớn hơn 1

 Có đúng hai ước số là 1 và chính nó, ngoài ra không có một ước số nào khác nữa

Một vài điều cần lưu ý về số nguyên tố:

 Số các số nguyên tố là vô hạn Không có một giới hạn trên nào cho kích thước của một số nguyên tố

cả

 Không có một dấu hiệu nhận biết đơn giản nào cho số nguyên tố Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, tất cả các số nguyên tố còn lại đều lẻ Tuy nhiên, không có một cách nhanh chóng nào để xác định xem một số lẻ có phải là số nguyên tố hay không

 Số 1 không phải là số nguyên tố, vì nó chỉ có duy nhất 1 ước số là chính nó

 Số 0 cũng không phải là số nguyên tố, vì nó chia hết cho mọi số (trừ chính nó)

Phân tích ước số nguyên tố

Một cách hữu hiệu để phân tích một số nguyên dương là phân tích nó ra thành các ước số nguyên tố

 Tất cả các ước số của một số nguyên ngoại trừ số 1 đều có thể được tạo ra từ các ước số nguyên tố của số đó

VD: nhìn hình vẽ trên, chúng ta có thể thấy ngay 8 là ước số của 72 vì có ba con số 2 ở hàng cuối (8

= 2 × 2 × 2)

số nguyên tố, và không bao giờ góp mặt trong các

viên gạch xây dựng nên một số nguyên

mục đích sau đây:

 Xác định xem một số có chia hết cho một số khác hay

không

 Xác định bội số chung nhỏ nhất của hai số

 Xác định ước số chung lớn nhất của hai số

 Rút gọn phân số

 Rút gọn số dưới dấu căn

 Xác định số mũ ở một vế của một phương trình với ràng buộc số nguyên

Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất

Ước số chung lớn nhất (UCLN) của hai số là số lớn nhất có thể mà cả hai số đó cùng chia hết

Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số là số nhỏ nhất có thể chia hết cho cả hai số đó

Tìm UCLN và BCNN sử dụng biểu đồ Venn

Một cách để hình dung trực quan về UCLN và BCNN của hai số là đặt các ước số nguyên tố của hai số vào biểu đồ Venn – một loại biểu đồ biểu thị những thành phần trùng nhau và những thành phần không trùng nhau của hai tập hợp Để tìm UCLN và BCNN bằng biểu đồ Venn, hãy thực hiện theo các bước sau:

1 Phân tích hai số thành các ước số

nguyên tố

2 Vẽ một biểu đồ Venn

3 Đặt các ước số nguyên tố chung (bao

gồm cả các ước số xuất hiện nhiều hơn

1 lần) vào vùng giao nhau giữa hai

vòng tròn

VD: tìm UCLN và BCNN của hai số 30 và 24

30 = 2 × 3 × 5

24 = 2 × 2 × 2 × 3

30 24

2

3

30 24

nhau) của hai số vào các vùng không

giao nhau

3 2

Từ biểu đồ trên, ta có thể dễ dàng tìm được UCLN và BCNN của 30 và 24:

 UCLN là tích của các số bên trong vùng giao nhau = 2 × 3 = 6 (nếu vùng giao nhau rỗng thì UCLN

Các câu hỏi về tính đầy đủ của dữ kiện:

4 Tính giá trị của số nguyên x?

1) x có đúng 2 ước số

2) Khi ta x chia cho 2, số dư là 0

5 Số tự nhiên x có chia hết cho 36?

là ước số của 4054, nên 3X

phải được tạo nên bởi các “viên gạch cơ bản” trong phân tích ước

số nguyên tố của 4054  giá trị tối đa mà X có thể nhận chính là số lần xuất hiện của “viên gạch” số

3 trong hình trên Giá trị đó là 12

Vậy đáp án đúng là (B) 12

3 Để biết một số có chia hết cho mọi số nguyên từ 1 đến 7 hay không, ta chỉ cần kiểm tra điều kiện chia hết cho 3, 4, 5, 7 (vì mọi số nguyên đương nhiên chia hết cho 1; nếu chia hết cho 4 thì chắc chắn sẽ chia hết cho 2; và vừa chia chết cho 2 vừa chia hết cho 3 chắc chắn sẽ chia hết cho 6)

Chia hết cho 3: cả 5 số đều có tổng các chữ số chia hết cho 3  đều chia hết cho 3

Chia hết cho 4: cả 5 số đều có 2 chữ số cuối tạo thành số chia hết cho 4  đều chia hết cho 4

Chia hết cho 5: cả 5 số đều có chữ số cuối cùng là 0  đều chia hết cho 5

Chia hết cho 7: ta bắt đầu thử chia cho 7 theo thứ tự từ số nhỏ nhất đến lớn nhất Ta thấy ngay số đầu tiên là 420 chia hết cho 7

Vì đề bài hỏi số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện, nên ta không cần thử với các số còn lại

mà có thể kết luận luôn đáp án là (A)

4 Riêng dữ kiện 1: chỉ biết x là số nguyên tố  chưa tìm được giá trị của x

Riêng dữ kiện 2: chỉ biết x là số chẵn  chưa tìm được giá trị của x

Kết hợp 2 dữ kiện: ta biết số chẵn duy nhất là số nguyên tố là số 2  tìm được giá trị của x

Tính chẵn – lẻ

Một số nguyên chia hết cho 2 (chia 2 dư 0) được gọi là một số chẵn

Một số nguyên không chia hết cho 2 (chia 2 dư 1) được gọi là một số lẻ

Quy luật chẵn – lẻ với các phép toán

Tổng của 2 số nguyên là một số chẵn khi cả hai cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Ngược lại, tổng sẽ là một số lẻ

Hiệu của 2 số nguyên là một số chẵn khi cả hai cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Ngược lại, hiệu sẽ là một số lẻ

Tích của 2 số nguyên sẽ là chẵn nếu ít nhất một trong 2 số đó là chẵn Tích

chỉ có thể là lẻ nếu cả hai số đều lẻ

Khả năng chẵn – lẻ của thương giữa 2 số nguyên được tổng hợp theo bảng sau (trong trường hợp chia hết)

VD: 12 ÷ 2 = 6

✓ VD: 12 ÷ 4 = 3

 Trong cả 4 trường hợp đều có thể xảy ra khả năng không chia hết

Tích của hai số lẻ phải là một số lẻ  I chắc chắn sai

Hiệu của hai số lẻ phải là một số chẵn  II cũng chắc chắn sai

Tổng của hai số lẻ phải là một số chẵn  III chắc chắn đúng

Tuy nhiên, câu hỏi đề bài là mệnh đề nào KHÔNG THỂ là đúng Vì vậy đáp án sẽ là (B) chỉ I và

Tổng các góc trong của một tam giác là 180o

Khái quát hơn, tổng các góc trong của một đa giác n cạnh là (n - 2) × 180o

Lý do là vì ta có thể chia một đa giác n cạnh ra thành n – 2 tam giác, và tổng các góc trong của các tam giác tạo thành đó cộng lại bằng tổng các góc trong của đa giác

Bảng thống kê tổng các góc trong của đa giác:

Các loại tam giác phổ biến:

Tam giác vuông Có một góc bằng 90o

Tam giác đều Cả ba cạnh bằng nhau

h là chiều cao từ đỉnh đối diện hạ xuống cạnh đó

Diện tích tam giác vuông:

Các loại tứ giác phổ biến:

Hình thang Có một cặp cạnh đối diện song song với nhau

Hình bình hành Các cặp cạnh đối diện song song với nhau

Các cặp góc đối diện bằng nhau Hình chữ nhật Là hình bình hành có các góc đều là góc vuông

Hình thoi Là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau

Hình vuông Vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật

Tất cả các cạnh bằng nhau Tất cả các góc bằng nhau và bằng 90o

a và b là độ dài 2 cạnh song song

h là chiều cao giữa hai cạnh song song đó

2) Y là số nguyên lẻ

X và Y là 2 cạnh của tam giác vuông Để S là số nguyên thì (X × Y) phải chia hết cho 2  hoặc X hoặc Y, ít nhất 1 trong 2 số phải là số chẵn Ngược lại, chỉ khi cả 2 số phải cùng lẻ thì (X × Y) mới

không chia hết cho 2 (tham khảo kiến thức phần Tính chẵn – lẻ)

Riêng dữ kiện 1: số nguyên tố có thể là chẵn (số 2) hoặc lẻ  chưa kết luận được gì

Riêng dữ kiện 2: ta biết được Y lẻ, nhưng X là chẵn hay lẻ vẫn chưa xác định  chưa kết luận được

có thể tính được đường chéo  tính được chu vi đường tròn

Vậy đáp án đúng là (C)

Chap 1: Hệ phương trình căn bản

Bài thi GMAT thường yêu cầu thí sinh giải được 5 dạng hệ phương trình căn bản sau:

Hệ phương trình dạng khuyết là hệ mà số ẩn phải tìm không tương ứng với số phương trình đã cho Không

nên áp dụng các quy tắc đại số thông thường để giải bài toán dạng này Các hệ phương trình dạng khuyết đều có cách giải tùy trường hợp (không có phương pháp chung cố định)

4) Hệ phương trình dạng tổng hợp

Cho x = Tìm 2x + y = ? Với dạng hệ này chúng ta không phải đi tìm giá trị cụ thể của biến số x và y, mà phải biết biến đổi làm sao cho biểu thức cần tìm về riêng một vế trong phương trình

5) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

12 + = 30

Giá trị tuyệt đối là một số mà giá trị của nó luôn là số dương (không âm) Nhưng nên lưu ý là biến số của

biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc | | có thể là số âm hoặc số dương Do vậy, phương trình có chứa giá trị tuyệt đối thường có tới 2 đáp số Ví dụ nếu |x| = 5 thì x có thể bằng 5 hoặc -5

Chap 2: Phương trình với số mũ

Có hai điều quan trọng cần nắm vững để giải các phương trình với số mũ trong bài thi GMAT đó là:

 Nắm rõ quy tắc số mũ và phần nghiệm

2) Phương trình với số mũ lẻ thì bài toán chỉ ra 01 kết quả (01 nghiệm)

Chap 3: Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình với 01 ẩn số với dạng ax²+by+c = 0

Đa số các phương trình bậc hai trong GMAT đều có thể chia được thành thừa số và hiếm khi phải dùng đến

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Dạng bị biến đổi (ngụy trang)

Trong bài thi GMAT rất hay sử dụng các phương trình bậc hai dạng đã bị biến đổi để ngụy trang, đánh lừa thí sinh vì chúng không còn giống dạng truyền thống ax²+by+c = 0 nữa

Ví dụ:

Dạng đảo

Chuyển (x + 7)(x – 3) về dạng phương trình bậc hai

Với những phương trình bậc 2 dạng đảo như trên, chúng ta sẽ nhân tất cả 4 thành phần trên lại, sau đó rút gọn để trở thành phương trình bậc 2 dạng truyền thống ax²+by+c = 0

Phương trình bậc hai chỉ có 1 nghiệm

Không phải tất cả phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm, có những dạng chỉ có duy nhất 1 nghiệm:

Ví dụ:

Lưu ý! Khi mẫu số bằng 0 thì phương trình trở nên không xác định:

Ví dụ:

Chap 4: Phương trình dạng công thức

Bài thi GMAT được đưa ra để thử thách khả năng của bạn với những biến số chưa xác định Công thức là một dạng hệ phương trình đặc biệt mà rất nhiều biến số cùng tham gia vào

Có 4 kiểu Công thức chính mà bài thi GMAT hay ra:

1) Kiểu công thức cho ghép sẵn

Cho f(x) = Tìm giá trị của f(5)?

Đây là một dạng bài căn bản trong các bài liên quan đến hàm số Chỉ việc thay thế số trực tiếp vào biến (x)

4) Hàm số với hệ số chưa biết

Bạn sẽ được cho sẵn giá trị cụ thể của hàm số với tham số truyền vào cụ thể

 Tỷ lệ nghịch: hai lượng sẽ luôn luôn thay đổi bởi một thừa số nghịch đảo Có thể biểu diễn mối quan

hệ này dưới dạng công thức y = , trong đó x là giá trị đầu vào, y là giá trị đầu ra và k là hằng số đối xứng

6.2) Hàm tuyến tính

Các lượng sẽ được xác định bởi hàm tuyến tính dạng y = mx + b Trong đó, m là hằng số độ dốc của đường,

b là giá trị tại mốc thời gian 0, và biến x đại diện cho thời gian

Rất nhiều các phép biến đổi, tính toán trong các bất phương trình đều giống với phương trình bình thường,

ví dụ: bạn có thể cộng hoặc trừ một hằng số vào cả hai vế

Hay cộng hoặc trừ một biến số vào cả hai vế:

Hoặc nhân hay chia một số dương vào cả hai vế:

Nhưng phải lưu ý, nó khác với phương trình bình thường ở chỗ: khi bạn nhân hay chia một hằng số mà là số

âm thì dấu của bất phương trình sẽ đảo chiều!

Ví dụ: Cho 4 – 3x < 10, tìm khoảng giá trị của x

Bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối có thể được thể hiện thông qua một đoạn thẳng đơn giản trên trục số:

Ví dụ: |x| = 5 được thể hiện như sau:

Bất đẳng thức bậc hai

Cũng giống với các hệ phương trình với số mũ chẵn, khi giải bất đẳng thức bậc 2 cũng cần phải xét đến hai trường hợp

1: Khái quát về hệ thống số thực (The Real- Number System)

 Những con số như 1,2,3… được gọi là số nguyên dương, đó là những con số thường được dùng trong việc đếm

Số nguyên

(Intergers)

Số thập phân (Fractions)

Số hữu tỉ (Rational numbers)

Số vô tỉ (Irrational numbers)

Số thực (Real numbers)