tuyển chọn các bài toán hay và khó

Tuy nhiên trong một số trường hợp việc thế đánh giá trực tiếp không... Trong trường hợp người ra đề muốn làm khó bạn đọc bằng cách cho vế trái  * là một hàm số phức tạp... thì bạn đọc

Ngô Minh Ngọc Bảo

A

B

D C

2

1

nx y

ny x









, ,

f a b c

Tài Liệu Lưu Hành Facebook

Bài toán 1: Giải hệ phương trình :

3

2

     





  



Lời giải chi tiết Điều kiện : x y 0,x y 0

Đặt

a x y

b x y

 





 

 ,a b , 0 khi đó hệ trở thành

 

3

2







Ta có :  1 2 2 2



Dễ thấy, để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì a2b Xét hàm số f a   a b 3 4a 3 ,b a 2 ;b 

f a  a b    a R

Do đó hàm số f a 

đồng biến trên R Khi đó :        

Mặt khác, b  0 27b3 5b  0 VT 2  0

Đẳng thức xảy ra khi

0

0

x y

x y



Vậy nghiệm của hệ phương trình là : x y ;  0;0

Nhận xét : Việc xét hàm số f a 

có lẽ “ hơi thừa” vì từ điều kiện a2bta dễ dàng suy ra VT 2  27b3  5b 0

Tuy nhiên trong một số trường hợp việc thế đánh giá trực tiếp không

thuận lợi thì khảo sát hàm số sẽ phát huy được khả năng tối ưu!

Bài toán 2: Giải hệ phương trình

 

 

2 2

2

1 2

x









Lời giải chi tiết Điều kiện : x0,y0. Từ phương trình  2

ta có :

2

Thay vào phương trình  1

ta có :



. 3

Xét hàm số f t   t3 t t R, 

Ta có : f t'   3t2   1 0,  t R

Do đó hàm số f t 

đồng biến trên R Khi đó  3  f x f  y  x y

Thay vào phương trình  2

ta có: y y y  2y

1

2 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;   2 1; 2 1   

Bài toán 3: Giải hệ phương trình

 

2 2

2

x







Lời giải chi tiết Điều kiện: x y x , 2 1 Từ phương trình 1 của hệ ta có :

1

Thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta có: x3 2 3 33 x 2  *

Từ điều kiện 2x   1 0 VT *  0

Do đó để phương trình  *

có nghiệm thì 3 33 x 2 0  3x 2 0

Theo bất đẳng thức AM GM ta có :

Đẳng thức xảy ra khi x 1 y0

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;  1;0

Nhận xét: Bài này có một lỗi mà nhiều bạn sẽ dễ mắc phải?

Đó là việc áp dụng AM GM mà quên chứng minh 3x  2 0 Bài toán này chứng minh 3x  2 0khá đơn giản vì vế trái  *

khá cơ bản Trong trường hợp người ra đề muốn làm khó bạn đọc bằng cách cho vế trái  *

là một hàm số phức tạp

thì bạn đọc cố gắng khảo sát chứng minh Min VT   0

hoặc dùng những đánh giá mạnh hơn

Bài toán 4 : Giải hệ phương trình

2







Lời giải chi tiết Điều kiện : y 0

Nhận thấy y 0 không là nghiệm của hệ do đó y 0

Từ phương trình 1 của hệ ta có:  

2

4

y

Đặt

2

4

t

Xét hàm số f u  3u 4, u 0;  f u'  3 42 0 u

Do đó hàm số f u  đồng biến trên 0;  Khi đó ta có :

2

y x







Thay vào phương trình 2 của hệ ta có :

4

x









Với

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  1 ; 2 2

2

Bài toán 5 : Giải hệ phương trình