Tính xác suất để Nam thắng cuộc.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và ,, D 1.. Tìm tọa độ đỉnh ,D biết rằng đỉnh A có tung độ âm.. Để nhận được bài thi
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 – LẦN 2
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) H của hàm số 1
2
x y x
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số f x( )3x4 4x3 12 x2
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho hàm số f x( ) e x e2x
Tìm x để '( ) f x 2 ( )f x 3
b) Cho số phức z thỏa mãn (1i z)2 2 4 i Tìm phần thực và phần ảo của z
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1
0
5
x
x
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :, P x y z 3 0 và điểm (1; 2; 3).I Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm , I tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P Tìm tọa độ tiếp
điểm của ( )S và ( ) P
Câu 6 (1,0 điểm)
3
a Tính giá trị biểu thức sin 3 sin
sin 2
P
a
b) Nam và Hùng chơi đá bóng qua lưới, ai đá thành công nhiều hơn là người thắng cuộc Nếu để bóng ở vị trí A thì xác suất đá thành công của Nam là 0, 9 còn của Hùng là 0, 7; nếu để bóng ở vị trí B thì xác suất đá thành công của Nam là 0, 7 còn của Hùng là 0, 8 Nam và Hùng mỗi người đều đá 1 quả ở vị trí A và 1 quả ở vị trí B Tính xác suất để Nam thắng cuộc
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh , ' ' ' a góc giữa
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45 , hình chiếu của A lên mặt phẳng ( ' ' ')0 A B C là trung điểm
của A B Gọi M là trung điểm của ' '.' ' B C Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C theo ' ' ' a và côsin của góc giữa hai đường thẳng A M AB ' , '
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và ,, D
1 3
AB AD CD Giao điểm của AC và BD là (3; E 3), điểm (5;F 9) thuộc cạnh AB sao
cho AF 5FB Tìm tọa độ đỉnh ,D biết rằng đỉnh A có tung độ âm
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 1 2
2 x log x x 1 4 log (3 ).x x
Câu 10 (1,0 điểm) Tìm số thực m lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm x y z, , thỏa mãn
4
xy z và x3 y3 z3 8xy2 yz2 zx2m
- Hết -
Ghi chú: 1 BTC sẽ trả bài vào các ngày 16, 17/4/2016 Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại
phiếu dự thi cho BTC
2 Thi thử THPT Quốc gia lần 3 sẽ được tổ chức vào chiều ngày 07 và ngày 08/5/2016 Đăng ký
dự thi tại Văn phòng Trường THPT Chuyên từ ngày 16/4/2016.
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 – LẦN 2
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
1o Tập xác định: \ {2}
2o Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
2
lim
và
2
Do đó đường thẳng x là2 tiệm cận đứng của đồ thị ( ).H
nên đường thẳng y là tiệm cận ngang của đồ thị 1 ( ).H
* Chiều biến thiên: Ta có ' 1 2 0,
( 2)
y x
với mọi x 2
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 2), (2; )
0,5
* Bảng biến thiên:
Câu 1
(1,0
điểm)
3o Đồ thị:
Đồ thị ( )H cắt Ox tại (1; 0), cắt Oy
tại
1
2 nhận giao điểm I(2; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng
0,5
Hàm số xác định với mọi x
Ta có
0,5
Câu 2
(1,0
điểm)
''( ) 12 3 2 2
Ta lại có ''( 1)f 0, f ''(0) 0, f ''(2) 0.
Suy ra x 1, x 2 là các điểm cực tiểu; x là điểm cực đại của hàm số 0
Chú ý Học sinh có thể lập Bảng biến thiên để đưa ra kết luận
0,5
a) Hàm số xác định với mọi x và f x'( )e x 2e2x, x Khi đó
0,5 Câu 3
(1,0
điểm)
b) Từ giả thiết ta có
2
2 (1 )
i
Vậy, phần thực của z bằng 2, phần ảo của z bằng 1.
0,5
x
'
y
1
y
O
1
y
1
2
I
x
Trang 3Ta có
5
x
x
1 1
0 0
0,5
Câu 4
(1,0
điểm)
+) Tính
1
0
d 5
x
x x
Đặt 3x 1 t
Khi đó x 0 t 1; x 1t 2 và
x dx dt
Suy ra
2
2
1
2t 4 lnt 4 4 lnt 4 2 8 ln 3 4 ln 5
Từ đó ta được I 2 2 8 ln 3 4 ln 5.
0,5
Ta có R d I P , ( ) 3 Suy ra ( ) : (S x 1)2 (y 2)2(y 3)2 3 0,5 Câu 5
(1,0
điểm) Gọi H là tiếp điểm của ( ) S và ( ) P Khi đó H là hình chiếu của I lên ( ) P
Ta có u IH n P(1; 1; 1)
Do đó H t( 1;t2;t 3) Vì H ( )P nên
(t 1) (t 2) (t 3) 3 0 t 1
Suy ra H(0; 1; 2)
0,5
a) Ta có
2
sin 3 sin 2 cos 2 sin cos 2 2 cos 1 7
P
Câu 6
(1,0
điểm)
b) Gọi X là biến cố Nam thắng cuộc; N i i ( 0, 1, 2) là biến cố Nam đá thành công i
quả; H i i ( 0, 1, 2) là biến cố Hùng đá thành công i quả
Khi đó
X N H N H N H Theo giả thiết ta có
1 0 1 0 0, 9.0, 3 0, 1.0, 7 0, 3.0, 2 0, 0204
2 0 2 0 0, 9.0, 7 0, 3.0, 2 0, 0378
2 1 2 1 0, 9.0, 7 0, 7.0, 2 0, 3.0, 8 0, 2394
Suy ra (X)P 0, 02040, 0378 0, 2394 0, 2976
0,5
Trang 445 0
M H
C
B A
C'
B'
A'
Gọi H là trung điểm của A B Khi đó ' '
( ' ' ')
AH A B C Suy ra
' (', ( ' ' ')) 45 0
2
a
AH A H Suy ra
3 0 ' ' '
.sin 60
ABC A B C
0,5
Câu 7
(1,0
điểm)
Gọi N là trung điểm của BC Khi đó ( ' ,A M AB') ( AN AB, ')
Trong tam giác vuông HAB ta có '
AB AH HB
Tam giác ABC đều cạnh a nên 3
2
a
AN Gọi K là trung điểm của AB Khi đó ' B K / /AH nên ' B K KN Suy ra
B N B K KN
Áp dụng hệ quả của định lý hàm số côsin trong tam giác AB N ta có '
4
0,5
1 1
I
F E
B
giác EAI vuông cân tại E
Đặt AB a AD, b
Khi đó a b
và 0
a b Ta có AC ADDC b3 a
FE AE AF AC AB b a a b a
Suy ra
1
12
AC EF b a
Từ (1) suy ra tứ giác ADIE nội tiếp Suy ra 0
Từ (1) và (2) suy ra tam giác EAI vuông cân tại E
0,5
Câu 8
(1,0
điểm)
Ta có n AC EF(2; 6)
nên AC x: 3y 12 0A a(3 12; ).a
Theo định lý Talet ta có
3
EI 3FE I( 3; 15).
Trang 5Khi đó
9
a
a
Vì A có tung độ âm nên ( 15; A 9)
Ta có n AD AF(20; 0)
nên AD x: 15CD y: 15 Do đó ( 15; 15).D
Điều kiện: x 0. Phương trình đã cho tương đương với
2x x log x x 1 2 log (3 ).x x
Xét hai trường hợp sau:
3
x
Khi đó 2x x21log2x x2 1 2 0 2 log (3 ).3x 2 x
Suy ra (1) không thỏa mãn
0,5
Câu 9
(1,0
điểm)
TH2 1.
3
x Ta có x x2 1 và 3x đều thuộc khoảng [1; + ). Xét hàm số f t( ) 2 log t 2t trên khoảng [1; + ).
'( ) 2 ln 2 log 2 0
ln 2
t
với mọi t thuộc khoảng [1; + ). Suy ra ( )f t đồng biến trên khoảng [1; + ).
Do đó (1) tương đương với x x2 1 3 x Từ đây giải ra được 1
3
x
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1
3
x
0,5
Giả sử tồn tại các số thực x y z, , thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra
Không mất tính tổng quát ta giả sử y nằm giữa x và z Kết hợp với giả thiết ta có
0y 2 và (x yx y)( z) 0.
Từ đây ta được xy2 yz2 zx2 y x z2
Mặt khác, do x z, không âm nên x3 z3 x z3
Do đó
m x z3 y3 8y x z2 4y3 y3 8 4y y2
8y 52y 80y 64
0,5
Câu
10
(1,0
điểm)
Xét hàm số f y( ) 8 y3 52y2 80y64, 0y 2 Ta có
( )f y 0, 0y 2y 1
Ta có (0)f 64, (1) 100, (2) 80.f f
Suy ra ( )f y f(1) 100, y [0; 2] (2)
Từ (1) và (2) ta được m 100
Khi x 0, y 1, z 3 ta có dấu đẳng thức
Vậy số m lớn nhất cần tìm là 100
0,5