sáng kiến kinh nghiệm phương pháp phán đoán trong giải toán Oxy.

Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng của thầy giáo Ngô Quang Vân đã đạt bậc 4 sở giáo dục nghệ an năm học 20142015Ngô Quang VânNgô Quang VânNgô Quang VânNgô Quang VânNgô Quang VânNgô Quang VânNgô Quang Vân

A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bài toán hình học toạ độ luôn là bài toán khó trong đề thi đại học và trong

đề thi học sinh giỏi những năm qua Là một phần rất quan trọng trong hình học

10 Đây là phần tiếp nối phần hình học phẳng ở THCS nhưng được nhìn dướiquan điểm đại số và giải tích Như vậy mỗi bài toán toạ độ đều mang nặng trong

nó bản chất của một bài toán phẳng nào đó

Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học toạ độ khó đa số học sinh thườnglúng túng không biết bắt đầu tìm lời giải từ đâu, thường chỉ chú trọng đến cácgiả thiết toạ độ có mặt trong bài toán mà ít có thiên hướng tím lời giải xuất phát

từ những kiến thức hình học phẳng ở THCS Đa số các bài toán hình học toạ độkhó đều là do bản chất của bài toán phẳng chứa đựng trong nó Việc định hướng

để học sinh biết phán đoán ra bài toán phẳng có trong bài toán hình học toạ độ

và biết cách huy động các kiến thức đã học vào giải quyết bài toán là một vấn đềkhó khi dạy bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng

Cái xuất phát để giải được bài toán hình học toạ độ khó là phải giải quyếtđược bài toán phẳng chứa đựng trong nó mà bài toán phẳng đó đề bài chưa cho.Việc định hướng để học sinh biết phán đoán ra bài toán phẳng trong bài toánhình học toạ độ là một vấn đề cần thiết của mỗi giáo viên khi dạy ôn thi đại học

và bồi dưỡng học sinh giỏi Ngoài định hướng để học sinh biết cách phán đoán

ra bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ giáo viên còn phải giúp cho họcsinh biết huy động các kiến thức đã biết để giải quyết bài toán hình học phẳng

đó Việc phán đoán và giải quyết được bài toán phẳng bản chất trong bài toánhình học toạ độ cung cấp thêm cho ta các giả thiết mới Kết hợp giả thiết mớitìm được và các giả thiết toạ độ đã cho giúp cho học sinh giải quyết vấn đề cònlại của bài toán hình học toạ độ một cách đơn giản hơn

Trong những năm qua thông qua việc dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng họcsinh giỏi tôi nhận thấy rằng, nếu chúng ta định hướng được cho học sinh biết

phán đoán tìm ra bài toán phẳng có mặt trong bài toán hình học toạ độ thi đa sốhọc sinh đều giải quyết được bài toán đó và cảm thấy tự tin và linh hoạt hơntrước bài toán hình học toạ độ khó

Việc định hướng cho học sinh phán đoán ra bài toán phẳng trong bài toánhình học toạ độ nó có thể xuất phát từ các giả thiết phẳng có sẵn, căn cứ vàohình vẽ biểu thị và căn cứ vào kết luận của bài toán toạ độ để dự đoán bài toánphẳng trong bài toán hình học toạ độ Đó là các căn cứ có cơ sở vì từ hình phẳngbiểu thị được vẽ với các giả thiết phẳng chính xác, kết hợp với kết luận của bàitoán yêu cầu ta tìm toạ độ điểm nào? hay viết phương trình đường gì ? Từ đónảy sinh ra vấn để là phải tìm thêm được giả thiết mới như thể nào cho phù hợpvới việc giải bài toán hình học toạ độ đã cho

Căn cứ vào hình phẳng biểu thị các giả thiết phẳng được vẽ một cách chínhxác học sinh có thể phán đoán được các yếu tố như góc vuông, hai đoạn thẳngbằng nhau, hai góc bằng nhau …Ngoài ra từ các giả thiết của bài toán học sinh

có thể phán đoán được cần phải xác định thêm được yếu tố nào thì bài toán hìnhhọc toạ độ được giải quyết

Dạy cho học sinh khả năng phán đoán ra bài toán phẳng, giải quyết bài toánphẳng, từ đó giải quyết bài toán đã cho phù hợp với yêu cầu đổi mới dạy họchiện nay là dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh Trong bài viết

này tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm để giúp “Rèn luyện khả năng phán đoán cho học sinh trong hoạt động giải toán hình học toạ độ lớp 10” thông qua một

số ví dụ sau

B NỘI DUNG

Thực ra mỗi bài toán hình học toạ độ đều chứa đựng trong bản chất của nó mộtbài toán phẳng Nhưng đề bài toán lại không đề cập đến bài toán phẳng đó Nênphán đoán và giải quyết bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ luôn làmột vấn đề khá hấp dẫn Với bài viết này tôi muốn thông qua các ví dụ cụ thể

GV: Ngô Quang Vân 2 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

hình thành cho học sinh khả năng phán đoán bài toán hình học phẳng có trongbài toán hình học toạ độ thông qua hình phẳng vẽ biểu thị chính xác, các giảthiết phẳng đã cho và kết luận của bài toán hình học toạ độ

1/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua hình phẳng biểu thị

a/ Yêu cầu Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ

theo cách này đòi hỏi học sinh phải thực hiện được hai yêu cầu sau

+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đãcho của bài toán

+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán để xét xem bài toán phẳng mà ta dự đoánnếu giải quyết được thì có tìm được kết quả của bài toán hình học toạ độ không

b/ Các ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường

tròn ( )T có phương trình: (x-3)2+y2 = Biết chân các đường cao của tam5giác kẻ từ B và C lần lượt là (2;1) H và (3; 1)K - Tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C

biết đỉnh A có tung độ dương

Rõ ràng trong bài toán hình học toạ độ trên nếu ta chỉ đơn thuần sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết thì không thể thực hiện được.

Để giải quyết bài toán đó cần phải định hướng để học sinh phán đoán ra bài toán phẳng có mặt trong bài toán hình học toạ độ đó.

Xuất hiện bài toán phẳng sau.

- Yêu cầu học sinh vẽ hình phẳng biểu thị

- Từ hình phẳng biểu thị ta dự đoán IA vuông

góc với KH Nếu chứng minh được vấn đề này

và kết hợp với giả thiết toạ độ đã cho ta lập được

phương trình IA suy ra toạ độ A suy ra

phương trình AB AC suy ra toạ độ , B và C

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I Gọi H, K là chân đường

cao tương ứng kẻ từ B và C Chứng minh rằng IA vuông góc với KH.

Ta có : ·BKC BHC= · =900 suy ra tứ giác BKHC nội tiếp suy ra ·KBH = ·KCH ,

HBC CKH= mà ·ABC KBH HBC= · +· , ·KHA KCH HKC=· +· nên ·ABC KHA=·

(1) Gọi At là tiếp tuyến của đường tròn ( ) T suy ra ·ABC CAt= · (2)

- Từ (1) và (2) Þ·KHA HAt=· ÞKH / /At ÞKH ^IA

Bài toán phẳng được giải quyết thì bài toán hình học toạ độ đã được cung cấp thêm các giả thiết mới nên việc vận dụng các kiến thức toạ độ vào giải bài toán trên là không khó.

Suy ra HK = -(1; 2) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng IA suy ra phương

trình đường thẳng IA x: -2y- = Điểm 3 0 A AI= Ç( )T suy ra tọa độ điểm A là

nghiệm của hệ phương trình: 2 2 3 02

ìï í ïî

51

x y

ì í î

=Û

= hoặc

11

x y

ì í î

- - =

22

x y

ì í î

=Û

= - hoặc

51

x y

ì í î

=

= suy ra B=(2; 2- hoặc)(5;1)

A - ngoại tiếp đường tròn tâm I( )1;5 Đường thẳng vuông góc với IA tại A

GV: Ngô Quang Vân 4 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Xuất hiện bài toán phẳng

Cho tam giác ABC vuông tại A, ngoại tiếp đường tròn tâm I Đường thẳng vuông góc với IA tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại điểm thứ hai là D Chứng minh rằng B, I và D thẳng hàng.

Gọi I là giao điểm của 1 BI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì điểm I

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ·ABI CBI= · Þ AI1=CI1 Lại có

I IA IAB ABI= + =ACI +CAI CAI= +CAI =I AI suy ra DAI I1 cân tại I suy1

ra AI1=I I1 =I C1 suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI Mà1

- Giả thiết còn cho ta toạ độ D mà ta

chưa sử dụng và quan sát hình vẽ biểu

Bài toán phẳng được giải quyết đã cung cấp cho ta thêm giả thiết mới Khi đó

bài toán hình học toạ độ được giải quyết như sau.

Ta có DIuuur =( )8;1 là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD nên phương trình

là vectơ chỉ phương của AI nên phương trình AI: 2x y- + =3 0 Giả

sử AB có vectơ pháp tuyến n a br( ); suy ra đường thẳng AB có phương trình dạng( 1) ( 1) 0

a b b a

é ê ê êë

=Û

( ) : (T x-3) +(y-2) =25 Gọi ,B C là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn

( )T ( , B C khác A ) Viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm (1;1) I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Với giả thiết toạ độ các yếu tố đã cho ta chỉ có thể giải quyết được bài toán sau

Tìm toạ độ A ’ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với đường tròn (T).

GV: Ngô Quang Vân 6 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Đường tròn ( )T có tâm (3;2) K , bán kính là R= Ta có 5 AI x y: - = , khi đó0

đường thẳng AI cắt đường tròn ( ) T tại A (' A khác A ) có tọa độ là nghiệm của'

hệ:

10

x y

ì í î

- Độ dài đoạn IA đã biết và quan sát hình vẽ ta nhận thấy IA' ’ = A ’ B = A ’ C

Xuất hiện bài toán phẳng

Cho đường tròn (T) đi qua A B và C là hai điểm thuộc (T) khác A và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi A ’ là giao điểm thư hai của AI và (T) Chứng minh rằng IA ’ = A ’ B = A ’ C

Bài toán phẳng được giải quyết đã cung cấp cho ta thêm giả thiết mới do

đó việc giải bài toán trên trở nên đơn giản

Do đó ba điểm , ,B I C thuộc đường tròn tâm A , bán kính ' A I có phương trình'

là (x-6)2+(y-6)2 =50 Suy ra tọa độ điểm B và điểm C là nghiệm của hệ

CBA =BAI (1) (Vì cùng bằng ·IAC ) Mặt khác ta

có góc ·ABI =·IBC (2) Nên từ (1) và (2) ta có:

BIA = ABI BAI+ =IBC A BC IBA+ = Do đó ta

suy ra tam giác BA I cân tại ' A , do đó ' A B A I' = '

(**) Từ ( ) ( )* , ** ta có A B A C' = ' =A I'

- + - = Nên tọa độ các điểm B và C là (7; 1)

-và ( 1;5)- Khi đó điểm I nằm trong tam giác ABC (thoả mãn)

Vậy phương trình đường thẳng BC x: 3 +4y-17 0=

Ví dụ 4 Trong măt phăng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giac ABC Đương

thăng d song song với BC căt cac canh AB , AC lân lươt tai M N sao cho,

AM CN= Biêt răng M( 4;0)- , (5;2)C và chân đương phân giac trong cua goc

A là (0; 1)D - Hay tim tọa độ cua cac đỉnh A và B của tam giác ABC

Định hướng tìm bài toán phẳng

- Vẽ hình phẳng biểu thị

- Từ hình vẽ ta có thể dự đoán bài toán phẳng có mặt trong bài toán hình học toạ độ như sau:

Lấy điểm D là điêm trên canh BC sao cho ' CD' =MN

Ta co tứ giac MNCD là hinh binh hành suy ra ' MD' =CN =AM suy ra DAMD'

cân tai M suy ra ·MD A MAD' =· ' =D AC· ' suy ra AD là phân giac trong cua goc'

·

BAC suy ra D trung ' D

Đến đây bài toán hình học toạ độ đã được bổ sung thêm nhiều giả thiết mới

và việc giải quyết bài toán toạ độ không còn là vấn đề khó.

GV: Ngô Quang Vân 8 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Cho tam giac ABC Đương thăng d

song song với đương thăng BC căt

cac canh AB, AC lân lươt tai cac điểm

M và N sao cho AM CN và D là=

chân đường phân giác trong góc A

của tam giác ABC Chứng minh rằng

tứ giác MNCD là hình bình hành.

N M

C

B

D A

AB + = 4Û x y- = - ; 16 DC=(5;3) 

1:

x y

ì í î

=

-= -  B( 5; 4)- - Vậy ( 3;4)A - và ( 5; 4)B - -

Ví dụ 5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi

M là trung điểm của đoạn BC , G là trọng tâm tam giác ABM , (7; 2) D - là điểm

nằm trên đoạn MC sao cho GA GD= Viết phương trình đường thẳng AB biết

đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phương trình đường thẳng AG là 3x y- - 13 0 =

Định hướng tìm bài toán phẳng

- Vẽ hình phẳng biểu thị

- Từ hình vẽ biểu thị dự đoán AG vuông góc với GD

Ta có bài toán phẳng sau

Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi

M là trung điểm của đoạn BC, G là trọng

tâm tam giác ABM, D là điểm nằm trên

đoạn MC sao cho GA = GD Chứng minh

Gọi N là trung điểm AB thì MN là đường trung trực của đoạn AB do đó

GA GB GD= = Nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD , mà

·ABM =450 nên ·AGD=900 tức là AG vuông góc với GD

- Đến đây bài toán toạ độ đã có thêm giả thiết mới, kết hợp giả thiết mới và các giả thiết cho sẵn ta có thể lập được phương trình AB.

= Với4

m= suy ra (4; 1)G - (m = loại vì G trùng với A) Gọi K là trung điểm của3

Vậy phương trình đường thẳng AB là: x- = 3 0

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân

giác trong của góc A là điểm (1; 1) D - Phương trình AB x: 3 +2y- = , tiếp9 0

tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại

E và có phương trình x+2y - = Viết phương trình đường thẳng BC 7 0

Định hướng tìm bài toán phẳng

GV: Ngô Quang Vân 10 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

- Vẽ hình phẳng biểu thị

- Với các giả thiết toạ độ và giả thiết

phẳng có sẵn ta chưa thể lập được

phương trình BC Do đó ta cần phải

tìm bài toán phẳng có trong bài toán

hình học toạ độ này từ đó tìm được

giả thiết mới để giải bài toán trên.

D E

C B

A

- Từ hình vẽ biểu thị ta có thể dự đoán tam giác AED cân tại E

Vậy bài toán phẳng đặt ra là

Cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại

E Chứng minh rằng tam giác AED cân tại E

Ta có EAB ACB· =· , BAD DAC· =· ÞEAD EAB BAD ACB DAC· =· +· =· +· =·ADE

E Khi đó DE=(4;2) suy ra n= -(1; 2) là vectơ pháp tuyến của đường

thẳng BC Vậy phương trình đường thẳng BC là x-2y- = 3 0

2/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua giả thiết phẳng đã có và kết luận của bài toán hình học toạ độ.

a/ Yêu cầu Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ

theo cách này thì học sinh cần thực hiện những yêu cầu sau

+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đãcho của bài toán

+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán và các giả thiết phẳng đã cho để phán đoánxem cần tìm được một giả thiết mới nào từ các giả thiết phẳng đã cho thì bàitoán hình học toạ độ được giải quyết

b/ Các ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm (3;0) H

và trung điểm của đoạn BC là M(6;1) Đường thẳng AH có phương trình

x+ y- = Gọi ,D E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC , biết đường thẳng DE cóphương trình x- = và điểm 2 0 D có tung độ dương

Định hướng tìm bài toán phẳng

- Vẽ hình phẳng biểu thị

- Từ các giả thiết đã cho thì chưa thể tìm được ngay toạ độ của các đỉnh Do đó

ta phải đi tìm thêm các giả thiết từ các giả thiết về hình học phẳng có mặt trong bài toán hình học toạ độ đã cho Từ kết luận của bài toán hình học toạ độ ta xét thấy nếu có được MK ^DE thì bài toán toạ độ được giải quyết, với K là trung điểm của AH

Vậy bài toán phẳng đặt ra là

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm của BC là M Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Gọi K là trung điểm

AH chứng minh rằng MK vuông góc với DE

GV: Ngô Quang Vân 12 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Từ giả thiết ta có tứ giác BCDE nội tiếp

đường tròn tâm M , tứ giác ADHE nội

tiếp trong đường tròn tâm K Hai đường

tròn này cắt nhau theo dây cung DE suy

ra MK vuông góc với DE Như vậy bài

toán hình học toạ độ đã được bổ sung thêm

giả thiết Với giả thiết đó và các giả thiết

về toạ độ đã cho ta có thể tìm được toạ độ

H

D E

K

C B

A

đường thẳng AC là: x-3y + = và phương trình đường thẳng BC là:7 0

2x y- - = Suy ra điểm (8;5)11 0 C và điểm M(6;1) là trung điểm đoạn thẳng

BC suy ra (4; 3) B - Vậy ( 1;2)A - , (4; 3)B - và (8;5)C

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm (1;3) H ,

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (2;0) I và (3;4)A Viết phương

trình của đường thẳng BC

Định hướng tìm bài toán phẳng

- Vẽ hình phẳng biểu thị

Vậy bài toán phẳng đặt ra là

Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

- Từ giả thiết đã có ta chưa đủ để lập

được phương trình của BC Do đó từ các

giả thiết phẳng ta phải đi tìm thêm giả

thiết mới Căn cứ vào giả thiết phẳng đã

có và kết luận của bài toán toạ độ gợi cho

ta đi đến bài toán quen thuộc ở THCS là:

Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình

hành ( D là điểm đối xứng của A qua I ).

M H

I

D C

B A

I và D là điểm đối xứng của A qua I Chứng minh rằng tứ giác BDCH là hình bình hành

Ta có BH ^ AC DC, ^ AC  BH / /DC Tương tự CH / /BD suy ra tứ giác BDCH là hình bình hành.

Khi đó bài toán hình học toạ độ đã được bổ sung thêm giả thiết mới xuất phát từ các giả thiết đã cho và giả thiết này giúp ta giải quyết được bài toán toạ độ như sau.

Khi đó (1; 4)D - , gọi M là giao điểm của BC với HD suy ra điểm M là trung điểm của đoạn HD suy ra Mæç1; 12ö÷

è - ø Vậy đường thẳng BC đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng AH có phương trình là 4 x+2y- = 3 0

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có ·ACB = 750, đỉnh( 4; 2)

B - - Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình là 2 x y + = ; D là điểm0

thuộc cạnh BC sao cho DC =2DB Tìm toạ độ đỉnh A , biết ·ADC = 600 và A

Vậy bài toán phẳng đặt ra là

Cho tam giác ABC có ·ACB=750, đường cao kẻ từ đỉnh A là AH, H thuộc

BC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho DC = 2DB và ·ADC =600 Tính số đo góc ·BAH

Lấy điểm E đối xứng với điểm C qua AD Vì CAD· =1800 -750 -600 =450

nên CAE· =900 Vì ·ADC =600 nên ·ADE=600, suy ra BDE· =600(1) Gọi K

là trung điểm của DE Ta có 1 1

DK = DE = DC DB= (2)

GV: Ngô Quang Vân 14 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Từ (1) và (2) suy ra tam giác BDK là tam giác đều Do đó 1

2

BK =DK = DE,

suy ra tam giác BDE vuông tại B Vậy tứ giác ACBE là tứ giác nội tiếp Suy

ra ·ABC=·AEC=450, hay BAH· =450

Vì điểm A nằm trên đường cao AH có phương trình 2x y+ = nên ( ; 2 )0 A a - a .

Suy ra BA=(a+4;2 2 )- a , vectơ chỉ phương của AH là u= -(1; 2)

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm (5;5) H

và phương trình đường thẳng BC là x y+ - = Biết đường tròn ngoại tiếp8 0

tam giác ABC đi qua hai điểm M(7;3) và (4;2)N Tính diện tích tam giác

ABC

Định hướng tìm bài toán phẳng

- Vẽ hình phẳng biểu thị

- Yêu cầu HS xoay quanh các giả thiết bài toán đã cho đó là toạ độ trực tâm H

và phương trình đường thẳng BC, đồng thời đường tròn ngoại tiếp đi qua hai

Như vậy từ các giả thiết phẳng đã cho ta

giải được bài toán phẳng tính số đo của góc

·

BAH đến đây ta chỉ cần kết hợp với các giả

thiết toạ độ đã cho để tìm toạ độ A

Qua ví dụ này một lần nữa cho chúng ta thấy

cái khó của bài toán toạ độ là bắt nguồn từ bài

toán hình học phẳng bản chất của nó.

D K

E

B

C H A

Bài toán phẳng ở đây là bài toán khá quen thuộc đối với chương trình THCS và

đa số các học sinh khá giỏi đều biết.

Vậy bài toán phẳng đặt ra là

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C), H là trực tâm Đường hẳng

AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D Chứng minh D và H đối xứng nhau qua BC.

Ta có phương trình AD là x y - = Toạ độ điểm K là nghiệm của hệ phương 0

trình ìíx y x y 8 00 K(4;4)

î

+ - =  (3;3)D Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

đi qua ba điểm M N D có phương trình là , , (x-5)2+(y-4)2 = Toạ độ 5 A là

- =

- + - = suy ra (6;6)A Toạ độ điểm B và điểm

C là các nghiệm của hệ phương trình: 28 0 2

x y

ìï í ïî

+ - =

- + - = suy ra (3;5)B ,C(6;2) hoặc (6;2), (3;5)B C Khi đó độ dài đoạn BC =3 2, ( ,d A BC) 2 2=

ABC

Một số bài tập tương tự rèn luyện thêm

GV: Ngô Quang Vân 16 Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An

Ta có: DBC DAC· =· và HBK· =·DAC Þ

HBK =KBD nên tam giác HBD có đường

cao BK vừa là phân giác nên K là trung điểm

HD hay H và D đối xứng nhau qua BC Bài

toán phẳng được giải quyết Từ đây ta có thể

xác đinh được toạ độ A, B, C và tính được diện

tích tam giác ABC

K

H

D C

B

N

M

A