Bài giảng sức bền vật liệu uốn phẳng thanh thẳng

Phương pháp hàm gián đoạnPhương pháp hàm gián đoạn cho phép biểudiễn moment uốn thành biểu thức duy nhấttrên toàn chiều dài của dầm, và chỉ có 2 hằng số tích phân xác định từ điều kiện b

Ngô Văn Cường Đại học công nghiệp TPHCM

Strength Of Materials

SỨC BỀN

VẬT LIỆU

Chuyển vị của dầm chịu uốn

UỐN PHẲNG THANH THẲNG

Chuyển vị của dầm chịu uốn

 Khi dầm chịu uốn phẳng ⇒ trục của dầm bị

uốn cong gọi là đường đàn hồi

 Chuyển vị đứng của MCN tại K gọi là độ

Chuyển vị của dầm chịu uốn

 Góc lập bởi tiếp tuyến với đường đàn hồi tại

điểm K’ và trục của dầm trước khi biến dạng

Chuyển vị của dầm chịu uốn

x

M EI

1

1

y y

   

1 x

x

M EI

''

3 ' 2 2

1

1

y y

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Dấu “-” do moment uốn ( y′2 ≈ 0 do biến dạng

là vô cùng bé) và độ lồi (lõm) của dầm là trái

2 Tính độ võng, góc xoay bằng phương pháp

tích phân không định hạn.

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Muốn tính góc xoay và độ võng tại mặt cắt bất

kỳ của dầm, ta lần lượt tích phân phương trìnhsau hai lần:

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Ví dụ 1

Xét dầm công-xôn chịu moment uốn M0 tại đầu

tự do (hình), biết độ cứng của dầm EIx = const.Tính độ võng và góc xoay tại điểm A

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Bài giải: Xét mặt cắt 1-1, ta có: Mx = M0 Thayvào pt và tích phân lần lượt hai lần ta được:

2 0 2

( ) 0 '( ) 0 ( )

2

x

M l C

Vậy độ võng, góc xoay tại A là

Chuyển vị của dầm chịu uốn

Dấu “-” chứng tỏ điểm A chuyển vị lên trên,

ngược chiều dương của trục y

Góc xoay tại A quay ngược chiều kim đồng hồ

Ví dụ 2

Cũng với dầm như trên nhưng chịu lực tậptrung P (hình) Tính độ võng, góc xoay tại A?

Ví dụ 2

Ta có '' .

x

P z y

EI



Lấy tích phân liên tiếp 2 lần ta được

2 '

3 Phương pháp hàm gián đoạn

Phương pháp hàm gián đoạn cho phép biểudiễn moment uốn thành biểu thức duy nhấttrên toàn chiều dài của dầm, và chỉ có 2 hằng

số tích phân xác định từ điều kiện biên ⇒ việctính toán độ võng góc xoay tại mặt cắt bất kỳ

trên toàn dầm được đơn giản hoá rất nhiều ⇒

Phương pháp hàm gián đoạn

Hàm gián đoạn được định nghĩa như sau:

 Có nghĩa là hàm gián đoạn chỉ có giá trị

khác 0 khi đối số là không âm Khi đó cácdấu ngoặc nhọn có thể coi như dấu ngoặctròn thông thường Còn khi đối số âm thìhàm gián đoạn bằng 0

Phương pháp hàm gián đoạn

 Từ định nghĩa hàm gián đoạn ta có tính chất

sau:

Phương pháp hàm gián đoạn

1 1

a) Moment tập trung

0 0

x

M   M z  a

Phương pháp hàm gián đoạn

Phương pháp hàm gián đoạn

d) Lực phân bố đều trên một đoạn của dầm

Áp dụng nguyên lý cộng tác tác dụng ta sẽ viếtđược biểu thức moment uốn cho dầm với tácdụng đồng thời của nhiều tải trọng khác nhau.Thay biểu thức của Mx vào vàtích phân lần lượt hai lần giống như phươngpháp tích phân không định hạn ta sẽ thu được

Hai hằng số tích phân được xác định từ cácđiều kiện liên kết của dầm.

Phương pháp hàm gián đoạn

Ví dụ 1

Xác định độ võng và góc xoay tại A của dầm

như hình vẽ

Từ hình ta có (chọn gốc toạ độ tại A):

Phương pháp hàm gián đoạn

Phương pháp hàm gián đoạn

Điều kiện biên

 

 

0 1

2

0

Ví dụ 2

Phương pháp hàm gián đoạn

Xác định độ võng và góc xoay tại A của dầm

như hình vẽ

chọn gốc toạ độ tại A M x   P z  0 1

Phương pháp hàm gián đoạn

0 :

Phương pháp hàm gián đoạn

Vậy độ võng, góc xoay tại A là

Phương pháp hàm gián đoạn

Phương pháp hàm gián đoạn

Vậy độ võng và góc xoay tại C

4 Phương pháp tải trọng giả tạo

 Liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực

Phương pháp tải trọng giả tạo

 Còn đối với phương trình đường đàn hồi, ta

Ta có sự tương đương nhau, do vậy nếu tạo

ra một tải trọng giả tạo x

gt

x

M q

EI

 

Phương pháp tải trọng giả tạo

 Bằng phương pháp mặt cắt xác định

được Q gt và M gt trên dầm giả tạo Giá trị

đó chính là độ võng và góc xoay trên dầmthực tương ứng

 Điều kiện liên kết của dầm giả tạo và dầm

thực phải có mối tương quan sao cho giátrị Qgt và Mgt trên dầm giả tạo phải đúngbằng giá trị độ võng và góc xoay trên dầmthực tương ứng

Phương pháp tải trọng giả tạo

Phương pháp tải trọng giả tạo

Phương pháp tải trọng giả tạo

 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp tải

trọng giả tạo:

 Vẽ biểu đồ moment uốn Mx cho trên dầm thực

 Vẽ dầm giả tạo với các liên kết phù hợp với

điều kiện độ võng, góc xoay tương ứng trêndầm thực

 Đặt biểu đồ Mx lên dầm giả tạo, nhưng chú

ý là tung độ bằng Mx/EIx, chiều mũi tên củatải trọng giả tạo hướng về phía thớ căng

của dầm thực (do đó thỏa mãn gt x )

x

M q

Ðể tiện lợi trong quá trình tính toán sau này,chúng ta xác định trước diện tích và hoành độtrọng tâm của một số biểu đồ.

Phương pháp tải trọng giả tạo

 Nếu Mx > 0 thì qgt <0 (chiều hướng xuống);

Mx <0 thì qgt > 0 (chiều hướng lên)

Phương pháp tải trọng giả tạo

Ví dụ: Cho dầm có liên kết và chịu tải trọngnhư hình vẽ Xác định độ võng tại tiết diện đặtlực P

Phương pháp tải trọng giả tạo

Bước 1: Vẽ biểu đồ moment uốn nội lực

Bước 2: Xác định liên kết trên dầm giả tạo, tải

trọng giả tạo, M > 0 nên tải trọng giả tạo hướng

Phương pháp tải trọng giả tạo

4

x gt

Phương pháp tải trọng giả tạo

3

48 x

PL y

EI



 Phương pháp tải trọng giả tạo chỉ có ưu thế

khi biểu đồ moment uốn trên dầm thực là các diện tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích.

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

 Vẽ biểu đồ moment (Mp) do tải trọng gây ra

 Chia tung độ biểu đồ (Mp) cho độ cứng EIx

 Để tính độ võng, ta bỏ hết tải trọng và đặt

vào tại vị trí đó lực đơn vị P k =1, có chiều tựchọn và vẽ biểu đồ moment (Mk) do lực đơn

vị gây ra

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

 Để tính góc xoay, ta bỏ hết tải trọng và đặt

vào tại đó moment đơn vị M k =1, có chiều tựchọn và vẽ biểu đồ (Mk) do moment đơn vịgây ra

 Độ võng và góc xoay được tính bằng tổng

đại số của tích giữa diện tích biểu đồ (Mp) và

tung độ của biểu đồ (M k ) tại trọng tâm tương

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

 Lưu ý: Biểu đồ của (M k ) phải liên tục

 Nếu kết quả ra dương thì độ võng và góc

xoay cùng chiều với các tải đơn vị gây ra vàngược lại

CÁC TRƯỜNG HỢP CÓ THỂ XẢY RA

 Phương pháp nhân biểu đồ chỉ thực hiện

được khi cả hai biểu đồ là hàm liên tục Nếumột trong hai biểu đồ là hàm không liên tụcthì ta phải chia ra thành các hàm liên tục đểnhân

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

 Nếu (Mp) và (Mk) cùng là hàm bậc nhất thì ta

có thể lấy diện tích của biểu đồ nào cũngđược, sau đó nhân với tung độ của biểu đồkia ứng với trọng tâm của biểu đồ đã lấy diệntích

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

 Nếu một biểu đồ là đường cong, biểu đồ

còn lại là đường thẳng thì biểu đồ tính diệntích phải là biểu đồ đường cong

 Nếu hai biểu đồ cùng bên (cùng dấu) thì

kết quả nhân ra dấu dương và ngược lại

 Nếu biểu đồ phức tạp thì ta phải chia ra

biểu đồ đơn giản để nhân.

Phương pháp nhân biểu đồ

Phương pháp nhân biểu đồ

k p

a b



Phương pháp nhân biểu đồ

VêrêsaghinCách 1: chia hình thang thành một hình tam

giác và một hình chữ nhật

k p

Cách 2: chia hình thang thành hai hình tam giác.

Phương pháp nhân biểu đồ

M M   a l c    bl  c 

M M  a l b

    

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

7 Mp là một hình phức tạp là hình bậc nhất hình thang)

k

M

Phương pháp: chia biểu đồ moment thành 2 hình tam giác và một parabol cực trị, sau đó nhân biểu đồ

1

21

22

8 Trường hợp biểu đồ là đường thẳng cắt trục

hoành, ta chia làm tổng của hai tam giác

Phương pháp nhân biểu đồ

Vêrêsaghin

a

b

l a

b

Ví dụ: Tìm độ võng tại B và góc xoay tại A củadầm chịu lực như trên hình (bỏ qua ảnh hưởngcủa lực cắt).

Ví dụ

 Trạng thái ″p″ là trạng thái chịu lực của dầm.

Biểu đồ moment uốn do tải trọng gây ra Mpbiểu diễn trên hình

Ví dụ

 Để tìm độ võng tại B ta tạo nên trạng thái

″k″, biểu đồ moment được biểu diễn

trên hình sau

B k

M

Ví dụ

Ví dụ

Ở đây ta thấy trong hai đoạn AB và BC biểu

đồ được biểu diễn bằng những đườngthẳng khác nhau, vì vậy để tính độ võng dùngphương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin

B k

M

Ví dụ

 Ta phải chia biểu đồ Mp theo 2 phần từ A đến

B và từ B đến C Phép nhân Vêrêsaghin chokết quả như sau:

Dấu ‘-’ chứng tỏ chiều của góc xoay tại A

ngược lại với chiều moment M

Ví dụ

Tìm độ võng tại B của dầm chịu lực và có sơ

đồ như trên hình (bỏ qua ảnh hưởng của lựccắt)

Bài giải

A

P q

B C

l

P  ql

Ví dụ

Xác định phản lực và vẽ biểu đồ trạng thái ‘p’ (tải trọng tác dụng)

B C

l

P  ql

Dầm AD có tiết diện mặt cắt ngang rỗng, liênkết, chịu lực và kích thước như trên hình.

Biết:   10 kN2 ; q 140 kN ; a 1,5 m

a) Xác định phản lực liên kết tại các gối và vẽ

biểu đồ nội lực theo q, a.

Trong câu b và c khi tính bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt

b) Xác định b (kích thước của tiết diện) theo

điều kiện bền

c) Tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt qua

D theo q, a, E, I x

5qa/2

qa qa/2

qa22qa2

P=qa

q M=qa 2

17qa2/8

qa22qa2

 Điều kiện cứng của dầm chịu uốn phẳng

Khi chế tạo các bộ phận của công trình (cầu,dầm chịu lực của các toà nhà, …) ⇒ cầnkiểm tra xem biến dạng lớn nhất của kết cấukhông được vượt quá giá trị cho phép đượcquy định bởi yêu cầu của thiết kế

trong đó ymax; max là độ võng và góc xoay

lớn nhất của dầm; l là chiều dài của dầm [f]

là giá trị cho phép của độ võng trên một đơn

vị dài [] là giá trị cho phép của góc xoay

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Cũng như trong các bài toán về kéo, nén vàxoắn, ở đây ta cũng gặp những bài toán siêutĩnh về uốn ⇒ cần phải thiết lập thêm phươngtrình biến dạng

Ví dụ

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho như hình vẽ

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Ta chỉ có 3 phương trình cân bằng tĩnh học,nhưng muốn giải được 4 ẩn số phản lực, cầnthêm 1 phương trình phụ về biến dạng củadầm

 Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay

vào đó một phản lực VB, ta được một hệmới

 Hệ này chỉ có thể làm việc giống như hệ trên

khi VB phải có trị số và chiều thế nào để độvõng tại B, do tải trọng q và V B sinh ra phảibằng không

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Áp dụng phương pháp ‘hàm gián đoạn’ ta

tính độ võng và góc xoay tại B, do tải trọng q

và lực VB gây ra Gốc tại B

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Điều kiện biên

Khi có phản lực tại B rồi ta tiến hành vẽ biểu đồnhư bài toán tĩnh định thông thường.

BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

HỌC TẬP NGHIÊM TÚC LÀ

Serious learning is the key

to success.