đặt vấn đề:Định lý về dấu tam thứ bậc hai là một trong những định lý rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông.. Nó có nhiều ứng dụng như: Xét dấu biểu thức, giải phương trình và
Trang 1A đặt vấn đề:
Định lý về dấu tam thứ bậc hai là một trong những định lý rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Nó có nhiều ứng dụng như: Xét dấu biểu thức, giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc cao, chứng minh bất đẳng thức và trong bài toán biện luận phương trình
Trong bài viết này tôi giới thiệu ra các phương pháp ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải một số dạng bài toán, để độc giả tham khảo và có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã giúp đỡ, góp ý để tôi hoàn thành chuyên đề này Trong quá trình viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót mong được sự góp ý của độc giả Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 2ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai
i Bài toán xét dấu:
Biểu thức f(x) = ax + bx + c, a 0 gọi là tam thức bậc hai biến số x Dấu của f(x) phụ thuộc vào b2 – 4ac và a theo sơ đồ sau:
0
af x 0 af x 0 af x 0với x ngoài x1, x2
Với x Với
a
b x
2
af x 0 với x1 xx2
Lưu ý: 1) Nếu a = 0 thì f x không phải là tam thức bậc hai khi đó
x bx c
f và dấu của f x phụ thuộc vào b và c như sau:
x c
f với x
b
c x x
bf 0
2) Nếu bài toán yêu cầu xét dấu của biểu thức F(x) bậc cao hoặc dạng phân thức đại số thì phải đưa F(x) về dạng tích hoặc thương của các thừa số
với bậc không quá hai
Giải Phân tích f x thành thừa số:
a 3 3 2 6 8
x f
1 2 2 8
x
x - -2 1 4 + 1
x - - 0 + +
8 2
2
x
x + 0 - - 0 +
x
f - 0 + 0 - 0 +
ac
b2 4
b
B i toán 1 ài toán 1 : Xét d u các bi u th c:ấu các biểu thức: ểu thức: ức:
a 3 3 2 6 8
x x x x
b 4 2 6 9
x x x x
c 4 4 3 3 2 6 9
x x x x x
f
Trang 3b f(x) = x 2 – x 2 + 6x – 9 = x 4 – ( x – 3) 2 = ( x 2 + x -3) ( x 2 – x +3) Lập bảng xét dấu f(x):
2
13 1
2 13 1 +
x 2 + x - 3 + 0 - 0 +
x 2 - x + 3 + + +
f ( x) + 0 - 0 +
c Làm tương tự: f(x) = x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 6x – 9 = ( x 2 – 2x) 2 – ( x – 3) 2
= ( x 2 – x – 3 ) ( x 2 – 3x + 3)
Giải:
a) Bất phương trình tương đương với: f x x4 x2 6x 9 0
Theo bài toán 1 thì
2
13 1 2
13 1
0
x
b) Bất phương trình tương đương với 0
2
1 1 9
1
x x
x f
0
3 6
9 0
9 2
18 9 2
x x
x x
x
x x x f
Sau đây là một số bài tập được chọn từ các đề thi Đại học:
B i toán 2 ài toán 1 : Gi i b t phải bất phương trình: ấu các biểu thức: ương trình:ng trình:
a) x( x 3– x + 6) < 9 x + 6) < 9
b)
9
1
x <
x
1
+
2 1
B i 1: ài toán 1 Gi i b t ph ải bất phương trình: ất phương trình: ương trình: ng trình:
a) x4 4x3 8x5 b) 3 3 2 0
x x
c) x4 2x3 6x9 d) 5
2
7 3
x x x
B i 2: ài toán 1 Gi i h ph ải bất phương trình: ệ phương trình: ương trình: ng trình:
a)
1 2 3 4
0 9 10
2 3 4 2 4
x x x x x x
b)
0 1 5 1
3 2 1
x
x x
Trang 4ii chứng minh bất đẳng thức nhờ xét dấu của tam thức bậc hai
Sau đây là một số bài toán đề cập trực tiếp đến dấu của tam thức bậc hai
Giải: vế trái là tam thức bậc hai với hệ số của x2 là 2 0
b
b c a b c b c a bcb c a bc
= [(b c)2 a2].[ 2 2 ]
a c
bcabc ab cab c a
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên bca 0
0
c a
b ; b ca 0 ; b c a 0
Suy ra x 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh
Lưu ý: Do sự có mặt của tổng bình phương các cạnh ta cũng có thể nghĩ
đến hàm số cosin: a2 b2 c2 2bcCosA b2 c2 a2 2bcCosA
x b c CosA b c b c Sin A x
A Sin )
Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2
2
x CosB CosC CosA
2 2
4 0 cos 1
2 2
2
Nhưng
2 2 2
C A B
nên
2 2
A Sin C B
2 2
4 0 1 2 2
Sin
A Sin C
B Cos
A Sin
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên là đúng
Giải:
B i toán 1: ài toán 1 Ch ng minh r ng ức: ằng a, b, c l à độ dài ba cạnh của một tam giác độ dài ba cạnh của một tam giác à độ dài ba cạnh của một tam giác d i ba c nh c a m t tam giác ạnh của một tam giác ủa một tam giác ộ dài ba cạnh của một tam giác thì:
2 b c a xc
bx v i m i ới mọi ọi x
B i toán 2: ài toán 1 Cho tam giác ABC b t k Ch ng minh v i ấu các biểu thức: ỳ Chứng minh với ức: ới mọi x ta đều có:u có:
CosB CosC
x CosA
x
2 1
2
B i toán 3: ài toán 1 Bi t r ng ết rằng ằng a 0 , b 0 ch ng minh r ng:ức: ằng
a)
a
b b
a a
b b
a
2
2 2
2
(1) b) 2 22 22 5 6 0
a
b b
a a
b b a
(2)
Trang 5a) đặt
a
b b
a
X , X 2,2 (1) X2 2 X X2 X 2 0 hiển nhiên đúng khi: X2 , 2
b) Làm tương tự
Sau đây là một số bài tập được chọn từ các đề thi Đại học:
iii điều kiện để biểu thức không đổi dấu
Cho f x ax2bxc ta biết
1 f x 0 với mọi x
0 0
0
a c
c b a
2 f x 0 với mọi x
0 0 0 0
a c
b a
Ta cũng suy ra được điều kiện của f x 0 hoặc f x 0
Giải: Hàm số y đồng biến với mọi , 0
y
2 1 2 2 1 3 0
1
1 0
3
0 1 2
0 1 2
a a
a a
a
B i 1: ài toán 1 Ch ng minh r ng v i m i x,y ta ức: ằng ới mọi ọi đều có:u có:
a) x2 y2x2 1 4x2y b) 2
(x y ) (x 1)(y 1)
B i 2: ài toán 1 Cho 2 36
a v à độ dài ba cạnh của một tam giác abc 1 ch ng minh:ức:
ca bc ab c b
a
2 2
2
3
B i 3: ài toán 1 Ch ng minh v i m i x v ức: ới mọi ọi à độ dài ba cạnh của một tam giác ta đều có:u có:
1 Sin2 x2 2Sin Cosx 1 Cos2 0
B i toán 1: ài toán 1 Xác nh a định a để hàm số: đểu thức: à độ dài ba cạnh của một tam giác h m s :ố:
3
2
y
l à độ dài ba cạnh của một tam giác đồng biến với mọi ng bi n v i m i ết rằng ới mọi ọi x
Trang 6Trường hợp 2:
0 1 3 1 1
1 0
0 1
2 2 ,
2
a a
a
a a
Vậy a 2 hoặc a 1
Giải: x y x y Do đó bất đẳng thức phải đúng trong cả hai trường
hợp sau đây:
Trường hợp 1: x ybất đẳng thức trở thành:
100
1 2
50 2
a
Nó luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:
50 50
50 0
100
50 1
50 0
0 50
a a
a a
a x
a
(1) Trường hợp 2: x y Bất đẳng thức trở thành:
100
1
50 2
a x luôn đúng khi và chỉ khi a 50hoặc 50
0
0 50
a
a
(2) Kết hợp trường hợp (1) và trường hợp (2) ta đi đến đáp số: a 50
Giải: Hãy coi vế trái là tam thức bậc hai của x thì:
f(x) x2 2x 4y2my 3 0 x,y
y
' 0
1 4y2 my 3 0 y
4y2 my 2 0 y
B i toán 2: ài toán 1 Tìm a sao cho b t ấu các biểu thức: đẳng thức:ng th c:ức:
2
100
1
25y x axyy x
nghi m úng v i m i c p s ệm đúng với mọi cặp số đ ới mọi ọi ặp số ố: x; y tho mãn ải bất phương trình: x y
B i toán 3: ài toán 1 Tìm m sao cho:
0 3 2
4 2 2
y x xy
x v i m i ới mọi ọi x , y .
Trang 7iv So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số
1 Các quy tắc cơ bản:
Cho tam thức bậc hai: f( ) 2 , ( 0 )
ax bx c a x
a) Để so sánh các nghiệm của f(x)với số ta có quy tắc biểu diễn sau:
+
- 0
2 1
0
x
x là nghiệm
ngoàix1; x2
- 0 + - +
x1,x2 x x1,x2 x
x1 x2 x x1 x2 x 1 x2
Lưu ý:
1 Khi af( x) 0 ta kết luận được ngay f (x)có nghiệm nên không cần xét
; nhưng khi af(x) 0thì phải đặt điều kiện có nghiệm cho f (x).
2 Nếu a 0thì f(x) ax2bxc có một nghiệm thuộc ( , ) và một nghiệm ngoài , f( f) ( ) 0.
b) Ngoài sơ đồ quy tắc trên, các bạn học sinh cần nắm vững một số quy tắc sau đây để biết cách xử lý linh hoạt những bài toán với các yêu cầu rất cơ bản:
)
(x
f có nghiệm duy nhất thoả mãn x
Ta có ba trường hợp:
Trường hợp 1: f (x)có nghiệm x1 x2 af( ) 0
Trường hợp 2: f (x)có nghiệm
2
0 2
x
Trường hợp 3: f (x)có nghiệm
2
0 ) ( 2
f x
x
Lưu ý: Nếu thay yêu cầu x bởi ( x ;x ;x ) ta vẫn xét ba trường hợp:
x
f có ít nhất một nghiệm thoả mãn x
Ta có ba trường hợp:
x
2
s
2
s
Trang 8Trường hợp 1: f (x) có nghiệm x1 x2 af( ) 0
Trường hợp 2: f (x) có nghiệm x 1 x2
2
0 ) (
s
f
Trường hợp 3: f (x) có nghiệm
2
0 ) (
0 , 2
1
s
af x
x
Lưu ý : 1) Có thể sử dụng phương pháp gián tiếp: Xét điều kiện để f (x)
không có nghiệm thoả mãn x khi đó xét hai trường hợp:
Trường hợp1: f (x) vô nghiệm 0
Trường hợp 2: f (x) có nghiệm
2
0 ) (
0 , 2
1
s
af x
x
2 Thay yêu cầu x bởi x ;x ;x
Ta vẫn xét các trường hợp tương tự
)
(x
f có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn ;
Trường hợp 1: f (x) có nghiệm , hoặc có nghiệm
f( f) ( ) 0
Trường hợp 2: f (x) có một nghiệm thuộc ( ; ) và một nghiệm ngoài ; f( f) ( ) 0
Trường hợp 3: f (x) có cả hai nghiệm x1, x2
2
0 ) (
0 ) ( 0
s af af
Bài toán 1: Cho phương trình:
0 1 5 ) 2 ( )
x
f
Tìm m sao cho:
a) Phương trình chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1
b) Phương trình có ít nhất một nghiệm thoả mãn x 4
c) Phương trình có nghiệm thuộc ( 1 ; 1 )
d) Phương trình có ít nhất một nghiệm x 2
Giải:
a) Ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: x1 1 x2 af( 1 ) 0 4m 0 m 0
Trang 9Trường hợp 2:
0
0 2
2 1
4 2
1
0 ) 1 (
1 1 2
m
m m
m s
f x
x
Không có m nào thoả mãn
Trường hợp 3:
2
2 1
0 ) 1 5 ( 4 ) 2 ( 2 1
0 1
2
2
m m
s x
x
16 0
16
0 0
0 16 2
m m
m m
m m
Vậy m 0 hoặc m 16
b) Ta dùng phương pháp gián tiếp:
Tìm m để f (x) không có nghiệm x 4
Trường hợp 1: f (x) vô nghiệm 0 2 16 0 0 16
Trường hợp 2: f (x) có nghiệm 4 x1,x2 4
0 9
25
4 2
2 4
0 9
0 25 9
0 16
4 2 4
0 ) 4 (
0 ) 4 (
m m m m
s af af
Tóm lại: f (x) không có nghiệm 0
9
25
4
x
Do đó f (x) có ít nhất một nghiệm
9 25
16 4
x
m x
c) Ta xét bốn trường hợp:
3
2
m
d) Ta xét ba trường hợp:
Kết quả là: m 0
Bài tập:
x mx m x
a) f (x) chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1
b) f (x) có nghiệm thoả mãn x1 1 x 2
c) f (x) có ít nhất một nghiệm thuộc 0 ; 1
d) f (x) có ít nhất một nghiệm ngoài 0 ; 1
Phương pháp giải tương tự như trên
Trang 10v phương trình quy về phương trình bậc hai
Có rất nhiều loại phương trình được đưa về phương trình bậc hai nhờ các phương pháp biến đổi cơ bản: Phép luỹ thừa, phép mũ hoá, phép đặt ẩn phụ, trong quá trình chuyển về phương trình bậc hai sẽ xuất hiện bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số, đã ứng dụng việc xét dấu tam thức bậc hai
1 Phép luỹ thừa:
Để chuyển phương trình vô tỷ về phương trình bậc hai có hai loại phương trình cơ bản hay gặp:
1)
0 ) (
) ( ) ( )
( ) (
x f
x g x f x
g x f
2)
) ( ) (
0 ) ( )
( ) (
x g x f
x g x
g x f
Bài toán 1: Tìm m để phương trình
m x
x 1 2 (1)
Có nghiệm duy nhất
Giải: (1)
1 ) (
0 1
x m
x
m x x
m x
0 1 2
2x2 mx m2
m x
(2)
Do phương trình (1)có nghiệm duy nhất; tương đương với phương trình (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn x m
Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm
1 1
0 ) 1 ( 2 0 )
2
1 mx af x m m
Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm mx1 x2
2 2
0 2 2
,
m
m s
2
0 1 2
0 )
2
m m
m m
s
m f m x x
Vậy 1 m 1 hoặc m 2
Trang 11Bái toán 2: Tìm m để phương trình có nghiệm:
0 4
mx x
Giải: ( 1 ) 2 2 4
2 2
0 4 0
4 2
2
2
2 2
x x
mx x x
x mx x
(2)
Do đó (1) có nghiệm (2) có ít nhất một nghiệm ngoài khoảng ( 2 , 2 ) ta dùng phương pháp gián tiếp tức là tìm m để (1) vô nghiệm tức là (2) không có nghiệm ngoài ( 2 , 2 )
Trường hợp 2: (2) có nghiệm 2 x1,x2 2
2 2 2
0 ) 2 (
0 ) 2 ( 0
s af
af
2 2 2
0 4 2
0 8 2
0 16 2
m m m m
4 4
4 4 4 4
m m m m m
Vô nghiệm
Tóm lại: (1) vô nghiệm khi trừ 4 m 4 suy ra (1) có nghiệm
4
4
m m
2 PHéP Mũ HOá
Ta có hai dạng cơ bản sau:
1: loga f(x) logag(x)
0 ) (
) ( ) (
1 0
x f
x g x f a
a
a x f
a b
x f
) (
1 0
) ( log
Bài toán 1: Tìm a sao cho phương trình:
0 ) 1 2 2 ( log ) 4 (
log
3 1
2
3 x ax x a (1) có nghiệm duy nhất
Giải: (1) log ( 2 4 ) log3( 2 2 1 )
0 1 2 2
1 2 2 4 2
a x
a x ax x
2
1 2
0 1 2 ) 1 2 ( 2 2
a x
a x a x
Do đó(1) có nghiệm duy nhất ( 2 ) chỉ có một nghiệm thoả mãn
2
1
2
a x
Trường hợp 1: (2) có nghiệm 1 2
2
1 2
x a
Trang 120 1 2 ) 1 2 )(
1 2 ( 2
1 2
4
1 2 ) 1 2
4
1 10 ) 1 2
a
10
1 2
1
Trường hợp 2: (2) Có nghiệm 2 1 2
1 2
x x
a
2 2
1 2
0 2
1 2
s a
a f
a a
a a
2 1 2
1 2
0 4
1 10 ) 1 2 (
6 1 10 1 2 1
a a a
10 1 2 1
a a
0
10
1 2
1
a a
3 Phép đặt ẩn dụ:
Trước hết: Ta hãy nhỡ những nguyên tắc khi đặt ẩn phụ Y t (x) Tuỳ theo yêu cầu của bài toán đối với x mà dẫn đến yêu cầu đối với Y Rất cần lưu ý:
- Với những giá trị nào của Y thì tồn tại x?
- Khi đó mỗi giá trị của Y sẽ cho bao nhiêu nghiệm x?
- Nếu xphải thuộc tập hợp một số nào đó thì Y phải thoả mãn điều kiện gì? Trong nhiều kỳ thi tuyển vào ĐH, CĐ của những năm gần đây, khá nhiều học sinh không chuyển được bài toán đối với xvề bài toán tương đương đối với
Y Đây chính là một điều mà các bạn học sinh cần rèn luyện, ta sẽ đi qua một loạt phương trình các bạn làm quen
1 Phương trình bậc 4 đặc biệt
Giải: Đây là phương trình trùngphương
Đặt X = x2 0 ta có phương trình:
0 5 )
3 2 ( 2
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x1 x2 x3 x4
Khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm: 0 X 1 X2 khi đó:
B i toán 1: ài toán 1
Tìm m đểu thức: phương trình:ng trình
0 5 )
3 2 ( 2 4
m x m
x (1) có các nghi m tho mãn: ệm đúng với mọi cặp số ải bất phương trình:
3 1
0 1
2 1 2 3 4
x x x x
Trang 13x ; x2 X1 ; x 3 X1 ' ;x 4 X2 '
Do đó:
3 1
0 1
2 3 1 0
1
2 1 2 3 4 2 1 1 2
0 1
2 2 1
0 ) 4 (
0 ) 0 (
0 ) 1 ( 0
1
af af
af X
X
7 9 5 3 0
9 7
0 5
0 3
m m m m
m
m
không có m nào thoả mãn
Giải: Đây là phương trình thuận nghịch Để ý rằng x 0không phải là nghiệm của (1) nên có thể chia 2 vế cho x2ta được:
(1) 2 ( 1 ) 1 ( 1 )1 12 0
x x h x
h
x x h x x
Đặt x= 1 2
x x
Coi (*) là phương trình của ẩn xta có:
x
x2- 4 ; s = x; p = 1
Do đó a) x 2cho hai nghiệm x 0
b) x 2 cho một nghiệm x 1 0
c) x 2cho một nghiệm x 1 0
d) x 2 cho hai nghiệm x 0
Ta có phương trình: x2+( h 1 )x 1 0 (2) Phương trình (1) có không ít hơn 2 nghiệm âm khi và chỉ khi phương trình (2) có không ít hơn một nghiệm x 2
Vì phương trình (2) có 1 0
a
c
nên (2) luôn có 2 nghiệm
2
1 0 X
X do đó để (1) thỏa mãn điều kiện thì X1 2 X 2
B i toán 2: ài toán 1
Tìm giá tr c a h sao cho phịnh a để hàm số: ủa một tam giác ương trình:ng trình:
0 1 ) 1 ( )
1 ( 3 2 4
h x x h x
Có không ít h n hai nghi m âm khác nhau.ơng trình: ệm đúng với mọi cặp số