Đặt vấn đề Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số cộng, cấp số nhân, tôi nhận thấy có một vấn đề thường gặp khó khăn cho học sinh lớp 11 và cũng như là một số
Trang 1Đặt vấn đề
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số cộng, cấp số nhân, tôi nhận thấy có một vấn đề thường gặp khó khăn cho học sinh lớp 11 và cũng như là một số giáo viên đó là bài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi Như chúng ta đã biết bài toán tìm
số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thực chất là “Bài toán
tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp” Nhưng
làm thế nào để học sinh 11 có thể nắm bắt và giải quyết được bài toán này? Vì vậy dưa trên ngôn ngữ của toán học cao cấp tôi đã cố gắng tìm hiểu và đưa cách giải tổng quát cho một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp bằng ngôn ngữ toán học sơ cấp, hy vọng nó sẽ giúp các em học sịnh giải quyết được một số bài toán tìm số hạng tổng quát thường gặp
Trang 2Loại 1 Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp 1.
Bài toán 1.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
n 1
cho tr íc
u
u d (1) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giả i
Dãy số (un) là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 và công sai d, nên theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có un = u1 + (n - 1).d
Bài toán 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
n 1
u
cho tr íc
(2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giải.
Dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 và công bội q, nên theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có un = u1.qn – 1
Bài toán 3.
Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
n 1
cho tr íc
u
au b n
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giải.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) ta đưa vào dãy số phụ vn sao cho
un = vn + k, n = 1,2,…Từ công thức xác định dãy suy ra:
vn+1 + k = a(vn + k) + b
Chọn k sao cho: k = ak + b
a 1
b k
Khi đó: vn+1 = avn, n = 1, 2,… và v1 = u1 - k Nên theo bài toán 2 thì số hạng tổng quát của dãy (vn) là vn = v1.an - 1
2
Trang 3Vậy: un = (u1 - k)an - 1 + k, n = 1, 2,… trong đó
a 1
b k
Bài toán 4.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
au bq ,n 1,2,
u
n n
1 1 n
u
tr íc cho
(4)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giải.
Xét 2 khả năng
Ta có un+1 = qun + bqn, hay:
1
1
b
q
u
Thì (4) trở thành 1 1
1
n
Theo kết quả bài toán 1 ta có số hạng tổng quát của dãy (vn) là:
vn = v1 + (n - 1).b, n = 1,2,…
Vậy: un = vn.qn-1 = qn-1[u1 + (n – 1)b], n = 1,2,…
b) Nếu a q: Đặt un = vn + qn-1, n = 1,2,… thì v1 = u1 - và từ công thức xác định dãy suy ra: vn+1 + qn = a(vn + qn-1) + bqn, n = 1,2,…
Chọn sao cho: qn = a.qn-1 + bqn, tức =
a q
bq
vn+1 = avn, n = 1,2,… vn = v1.an-1
Vậy: un = v1an-1 + qn-1, n = 1,2,… với v1 = u1 - , =
a q
bq
Bài toán 5.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
1 1
cho tr íc
u
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Trang 4Lời giải
Xét 2 khả năng
a) Nếu a = 1: T a có: un = un-1 + (n -1)b, n = 2,3,…Do đó:
un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1 =
2
) 1 n ( n
, n = 2,3,…
( 1) 2
n
n n
b) Nếu a 1: Đặt u n v n n với ;
2
Từ công thức xác định dãy suy ra: vn = a vn-1, n = 1,2,… từ kết qủa bài toán 2 ta
có vn = v1.an-1 trong đó v1 = u1 - Vậy un = vn + n
Loại II Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp 2.
Bài toán 6
Cho dãy số (un) xác định bởi: 1 2
, u cho tr íc
u n n 0, 1,2,
u
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giải
Xét các trường hợp sau:
a) Nếu a2 - 4b > 0: Phương trình x2 + ax + b = 0 có 2 nghệm phân biệt x1, x2
và x1 + x2 = -a, x1x2 = b
Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - (x1 + x2)un+1 + x1x2un = 0, n = 1,2,… Hay: un+2 - x1un+1 = x2(un+1 - x1un) (*)
Đặt un+1 - x1un = vn, n = 1,2, … v1 = u2 - x1u1 và từ (*) ta có vn+1 = x2vn, n
= 1,2,… vn = v1.x2n-1, n = 1,2,…
Do đó từ: un+1 - x1un = vn un+1 = x1un + v1x2n-1, n = 1,2,… Đây là dãy có dạng
đã xét ở bài tập 4 Từ đó suy ra: un C x1 1n1 C x2 2n1
4
Trang 5với
1 2
1 1 2 2 1 2
2 2 1
x u u C , x x
u x
u
C
b) Nếu a2 - 4b = 0: Khi đó phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép
2
a
x0
Làm tương tự trên ta suy ra: un+1 = x0un + v1x0n-1, n = 1,2,…, v1 = u2 - x0u1 Từ đây
n
u x C C n
0
2 4 0
2 1
x
u C , x
u u
2
c) Nếu a2 - 4b < 0: Phương trình x2 + ax + b = 0 vô nghiệm
Đặt
b 2 b
2
a b 4 sin
, b 2
a cos
2
b 2 b
2
Khi đó bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:
n
với
5
au u 2 C ,
u
Bài toán 7
n 2 1
, u cho tr íc
u
au bu c n
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Lời giải
Xét các trường hợp sau:
a) Nếu a + b = -1 (a = -1 - b): Từ công thức xác định dãy suy ra:
un+2 - un+1 - b(un+1 - un) = c, n = 1,2,…
Trang 6Đặt vn = un+1 - un, n = 1,2,…ì v1 = u2 – u1 và vn+1 = bvn + c, n = 1,2,…
Theo 3 Suy ra: Nếu b = 1 thì: vn = v1 + (n – 1)c; nếu b 1 thì: vn = C1bn-1 + C2,
với
b 1
bu c C , 1 b
c u u
2
1 2
1
+) Khi b = 1(a = -2): un+1 – un = v1 + (n – 1)c, n = 1,2,… Theo mục 5 ta tìm
được: un = K1 + K2n + K3n2, n = 1,2,…, với K1 = 2u1 - u2 + c,
c 2
3 u u c 2
3
v
2
c
+) Khi b 1: Ta có: un+1 - un = C1bn-1 + C2, n = 1,2,…Cũng từ bài toán 5 Ta suy
ra: un C C n C b3 4 5 n1
1 b
c u u 1 b
1 C
, b 1
bu c
2 5
1
b) Nếu a + b -1: Đặt un = vn + , với =
1 b a
c
Từ công thức xác đinh dãy suy ra: vn+2 + avn+1 + bvn = 0, n = 1,2,…Từ đây theo
mục 6 Tìm được vn và do đó suy ra un Cụ thể như sau:
VN x
nÕu
x kÐp nghiÖm cã
x nÕu
x nghiÖm 2
cã x
nÕu
2
0 2
1 2
0 b ax ,
1 b a
c ]
) 1 n sin(
C ) 1 n cos(
C [ b
0 b ax ,
1 b a
c x
) n C C
(
x 0
b ax ,
1 b a
c x
C x
C
u
6 5
1 n
1 n 0 4 3
2 1
n 2 2 1 n
1
1
n
(
b 2 b
2
a b 4 sin
, b 2
a cos
2
0
2 4 0
2 1 3 1 2
1 1 2 2 1 2
2 2
1
1
au u 2 C , u C , u x
u C , x
u u 2 C , x x
x u u C , x
x
u x
u
Ví dụ 1 Cho dãy số được xác định:
4u u 5,n 1,2,
u
0 u , 1 u
n 1 n 2
n
2 1
6
Trang 7Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Đặt
2
5 v
2
5 2
5 u v , 2
3 2
5 u
Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 – 4vn+1 + vn = 0, n = 1,2,…
Phương trình đặc trưng x2 – 4x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1 2 3,x2 2 3, do
2 1 n 1
n C (2 3) C (2 3)
Khi n = 1 và n = 2, ta có:
12
3 9 C
12
3 9 C 2
5 v ) 3 2 ( C )
3
2
(
C
2
3 v C
C
1
1
2 2
1
1 2
1
12
3 9 )
3 2 ( 12
3 9
Suy ra:
2
5 )
3 2 ( 12
3 9 )
3 2 ( 12
3 9
Ví dụ 2 Xét dãy:
2u 4u 6,n 1,2,
u
1 u
, 0 u
n 1
n 2
n
2 1
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Giải: Đặt un = vn + 2, n = 1,2,… v1 = u1 – 2 = -2; v2 = u2 – 2 = -3
Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 = 2vn+1 – 4vn, n = 1,2,…
Phương trình đặc trưng x2 = 2x – 4 vô nghiệm ( = -12)
Ta có:
3 2
3 b
2 sin
, 2
1 4 2
2 b
2
a
3 ) 1 n sin(
C 3 ) 1 n cos(
C [ 2
n
Trang 8Khi n = 1, n = 2
3
3 C
2 C
1 v
) 3 sin C 3 cos C ( 2
2 v C
2
1
2 2
1
1 1
3 ) 1 n sin(
3
3 3 ) 1 n cos(
2 [ 2
n
3 ) 1 n sin(
3
3 3 ) 1 n cos(
2 [ 2
Ví dụ 3 Xét dãy:
3u 2u 1,n 1,2,
u
1 u u
n 1
n 2
n
2 1
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Giải: Từ cách xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - 2(un+1 - un) = -1 (*)
Đặt un+1 – un = vn + 1, n = 1,2,… v1 = u2 - u1 -1 = -1
Từ (*) vn+1 + 1 - 2(vn + 1) = -1 vn+1 = 2vn, n = 1,2,… (vn) là cấp số nhân với công bội q = 2
Ta có: với n = 2,3,… :un = (un - un-1 - 1) + (un-1 - un-2 - 1) +… + (u2 - u1 - 1) + u1 +
1 2
1 2
v
1
Công thức này cũng đúng khi n = 1
Vậy: un = n + 1 – 2n-1, n = 1,2,…
Ví dụ 4 Xét dãy số (un):
u ,n 1,2,
4
1 u
u
1 u u
n 1
n 2 n
2 1
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Giải: Phương trình đặc trưng:
4
1 x
x2
2
1
x0 Do đó:
) n C C ( 2
1
1
n
, n = 1,2,… Trong đó C1, C2 được xác định:
8
Trang 9
1 C
0 C 1
) C
2
C
(
2
1
1 u C
C
2
1 2
1
1 2
1
Vậy:
1 n n
2
1 n u
Bài toán 8
Cho dãy số (un) xác định bởi:
u u ,n 1,2,
u
n 1 n
1 2 n
2
u
tr íc cho 0 u ,
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
Giải: Từ công thức xác định dãy ta có un > 0 n = 1,2,… Ta có:
n 1
n 2
u
Đặt lnun = vn, n = 1,2,… thì v1 = lnu1, v2 = lnu2 và vn+2 = vn+1 + vn, n = 1,2,…
Do đó:
a) Nếu 2 + 4 > 0: Phương trình x2 = x + có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Khi
2 2 1 n 1 1
1 2
1 1 2 2 1 2
2 2 1 1
x x
x v v C , x x
v x v C
1 n
1 x C x C
b) Nếu 2 + 4 = 0: Phương trình x2 = x + có nghiệm kép
2
x0 Khi đó
1 n 0 4 3
n (C nC )x
0
2 4 0
2 1
x
v C , x
v v 2
.
n
c) Nếu 2 + 4 < 0: Phương trình x2 = x + vô nghiệm Khi đó
[C cos(n 1) C sin(n 1) ]
trong đó:
2 2
4 sin
, 2 cos
2
;
Trang 10Từ đó suy ra: ( )n 1.C5 cos(n 1) . ( )n1.C5 sin(n 1)
n
u e e
Ví dụ 1 Cho dãy số (un) được xác định bởi:
u u ,n 1,2,
u
2 u , 1 u
n 1 n 2
n
2 1
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un)
Giải ở đây
2
1
2
1 x 2
1
x2
2
1
1 n 1
n
2
1 C u ln
, Với C1, C2 được xác định để phù hợp với
u1, u2 như sau:
3 2
3 1
2 1
2 1
4 ln C
4 ln C
2 ln C C 2 1
0 C C
Vậy un =
1 n 2
1 n
1
3 3 C 2
1 C
4
1 4 e
e
Ví dụ 2 Cho dãy số (un) được xác định bởi:
,n 1,2,
u
u u
2 u , 1 u
n
2 1 n 2 n
2 1
Tìm un theo n
Giải ở đây = 2, = -1, phương trình x2 = 2x - 1 có nghiệm kép x0 = 1 Do đó:
n C C u
ln
vn n 1 2 , với C1, C2 được xác định:
2 ln C
2 ln C
2 ln C 2 C
0 C C
2
1 2
1
2 1
2
1 e
e
Ví dụ 3 Cho dãy số (un) được xác định bởi:
,n 1,2,
) u u (
1 u
2 u , 1 u
2 n 1 n 2 n
2 1
10
Trang 11Tìm công thức số hạng tổng quát un.
Giải ở đây = = -2 Phương trình x2 = -2x – 2 vô nghiệm ( = -4) Ta có:
4
3 2
2 2 2
4 sin
, 2
2 2
2
2
4
3 ) 1 n sin(
C 4
3 ) 1 n cos(
C [ 2 u
ln
được xác định:
2 ln C
0 C 2
ln ) 4
3 sin C 4
3 cos C ( 2
0 C
2
1 2
1 1
3 ) 1 n sin(
2 n
1 n
2 u
Ví dụ 4 Cho dãy số (un) được xác định bởi:
,n 1,2,
u
u 2 u
2 u , 1 u
n
2 1 n 2
n
2 1
Tìm un theo n
Giải Dãy ở đây có dạng 2), với C = ln2, = 2, = -1 ( + = 1).
Đặt lnun = vn, n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và
vn+2 = 2vn+1 - vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - vn + ln2
Đặt vn+1 - vn = wn , n = 1,2,…w1 = ln2 và wn+1 = wn + ln2, n = 1,2,…(wn) là CSC công sai d = ln2
Ta có: vn = (vn - vn-1) + (vn-1 - vn-2) + ….v2 - v1) + v1 =
= wn-1 + wn-2 + …w1 =
2
2 ln ) 1 n ( n ] d ) 2 n ( w 2 [ 2
1 n
1
, n = 2,3,…
) 1 n ( n v
Ví dụ 5 Cho dãy số (un) được xác định bởi:
,n 1,2,
u
u 2 u
2 u , 1 u
1 n
2 n 2
n
2 1
Trang 12Tìm un theo n.
Giải ở đây ta có C = ln2, = -1, = 2 ( + = 1)
Đặt lnun = vn, n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và
vn+2 = -vn+1 + 2vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 -
3
2 ln
= -2(vn+1 - vn -
3
2 ln )
Đặt vn+1 – vn -
3
2 ln = wn, n = 1,2,…w1 = v2 – v1 -
3
2 ln = 3
2 ln 2 và:
wn+1 = -2wn, n = 1,2,…(wn) là CSN công bội q = -2
Ta có: vn = (vn - vn-1
-3
2 ln ) + (vn-1 - vn-2
-3
2 ln )+ …+(v2 - v1 -
3
2 ln )+v1 + (n-1)
3
2 ln
= wn-1 + wn-2 + …w1 + (n - 1)
3
2 ln =
3
1 )
2 ( w
1 n 1
+ (n – 1)
3
2 ln =
3
1 )
2
(
3
2
ln
+ (n – 1)
3
2 ln , n = 2,3,…
Công thức này cũng đúng khi n = 1 Vậy
3
2 ln ) 1 n ( ] ) 2 ( 1 [ 9
2 ln 2
) 1 n ( 3
1 ] ) 2 ( 1 [ 9
1 v
n
1 n
n 2 e
Trên đây là một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp trong chương trình toán THPT mà kết quả của nó thực chất là một nghiệm riêng
của “Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2” trong toán học cao cấp
và trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng tìm hiểu và trình bày lại dưới ngôn ngữ toán học sơ cấp Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng vì điều kiện thời gian và
sự hiểu biết của tôi về phương trình vi phân còn hạn chế cho nên chỉ mới dừng lại ở ứng dụng kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 Hy
12
Trang 13vọng trong thời gian tới tôi có thể giải quyết được lớp bài toán rộng hơn, phong phú hơn Rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy, cô trong tổ Toán – Tin của Trường THPT Vũ Quang