Một trong những mục tiêu quan trọng của môn toán ở trường Trung họ c cơ sở (THCS) là rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và lôgíc, b ồi dưỡng các phẩm chất của tư duy linh hoạt độ c lập và sáng tạo của họ c sinh. Hơn nữa, việc sử dụng suy luận lôgíc trong giải toán kích thích tư duy, gây hứng thú và phát triển năng lực sáng tạo ở họ c s inh. Tuy nhiên, hiện nay việc dùng s uy luận lôgíc trong giải toán ở bậc THCS còn rất hạn chế. Bài viết Ứng dụng suy luận Lôgic vào giải toán Trung học cơ sở được thực hiện không ngoài mục đích hình thành và nâng cao khả năng suy luận của học sinh THCS thông qua việc giải các bài toán. Bài viết được trình bày theo 3 phần chính: phần đầu dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức về lôgic mệnh đề, lôgic tập hợp; phần thứ hai trình bày các phương pháp chứng minh sử dụng lôgic (quy nạp, phản chứng); phần cuối cùng trình bày các bài toán ứng dụng phương pháp suy luận lôgic tác giả: Ngô Thị Thanh Trang
Trang 1ỨNG DỤNG SUY LUẬN LÔGIC TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ
Ngô Thị Thanh Trang∗
28/ 3/2016
Tóm tắt
Một trong những mục tiêu quan trọng của môn toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) là rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và lôgíc, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy linh hoạt độc lập
và sáng tạo của học sinh Hơn nữa, việc sử dụng suy luận lôgíc trong giải toán kích thích tư duy, gây hứng thú và phát triển năng lực sáng tạo ở học sinh Tuy nhiên, hiện nay việc dùng suy luận lôgíc trong giải toán ở bậc THCS còn rất hạn chế Bài viết "Ứng dụng suy luận Lôgic vào giải toán Trung học cơ sở" được thực hiện không ngoài mục đích hình thành và nâng cao khả năng suy luận của học sinh THCS thông qua việc giải các bài toán Bài viết được trình bày theo 3 phần chính: phần đầu dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức về lôgic mệnh đề, lôgic tập hợp; phần thứ hai trình bày các phương pháp chứng minh sử dụng lôgic (quy nạp, phản chứng); phần cuối cùng trình bày các bài toán ứng dụng phương pháp suy luận lôgic
1.1 Mệnh đề
Định nghĩa 1.1 Mệnh đề là phát biểu hay một khẳng định chỉ có giá trị đúng hoặc sai, mệnh
đề không thể vừa đúng vừa sai Giá trị "đúng" (1) hoặc "sai" (0) của mệnh đề được gọi là giá trị chân lý của mệnh đề Mệnh đề thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa, như: A, B, C, v.v
Ví dụ 1.1 Ta có thể xem xét một số ví dụ:
• “ 2 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng, có giá trị chân lý là 1
• “Số tự nhiên n chia hết cho 5” không là mệnh đề vì nó chưa phản ánh tính đúng hoặc sai
• "Tháng 12 có 28 ngày" là mệnh đề sai, có giá trị chân lý là 0
• "Anh có yêu cô ấy không?" không phải là một mệnh đề
∗ Sinh viên lớp Sư phạm Toán K39 - Khoa Khoa học Tự nhiên và Công nghệ
Trang 2Chú ý 1.1 1 Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng hoặc sai của nó gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thơì gian hoặc địa điểm khác Nhưng ở bất kỳ thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lý đúng hoặc sai Chẳng hạn:
-Trời mưa
-Giá vàng hôm nay giảm
-Ngày mai trường tôi cho học sinh nghỉ học
-Năm nay, tôi 18 tuổi
2 Để ký hiệu a là mệnh đề "10 là số chẵn" ta sẽ viết: a="10 là số chẵn."
3 Nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến đêù không phải là mệnh đề
4 Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề:
a)Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai; không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai b)Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai
1.2 Các phép toán về lôgic
a Phủ định của một mệnh đề
Định nghĩa 1.2 Phủ định của một mệnh đề P là một mệnh đề được ký hiệuP , đọc là "không P"; mệnh đề P đúng khi và chỉ khi P sai
P P P
0 1 0
1 0 1
Ví dụ 1.2 Nếu P là mệnh đề: Tôi đi học
Thì mệnh đề P là: Tôi không đi học
b Hội hai mệnh đề
Định nghĩa 1.3 Giả sử P và Q là hai mệnh đề, ta gọi là hội của hai mệnh đề là mệnh đề ký hiệu P ∧ Q hay "P và Q", và đọc là P và Q; P ∧ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng
P Q P ∧ Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
c Phép tuyển hai mệnh đề
Định nghĩa 1.4 Giả sử P và Q là hai mệnh đề, ta gọi là tuyển của hai mệnh đề là mệnh đề ký hiệu P ∨ Q hay "P hoặc Q" và đọc là P hoặc Q; P ∨ Q đúng khi và chỉ khi ít nhất một trong các mệnh đề P và Q là đúng
Trang 3P Q P ∨ Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
d Phép kéo theo
Định nghĩa 1.5 Giả sử P và Q là hai mệnh đề, kéo theo P → Q, đọc là "P kéo theo Q" Mệnh
đề này chỉ sai khi P đúng và Q sai
P Q P P → Q
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
e Phép tương đương
Định nghĩa 1.6 Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q, ký hiệu P ↔ Q, đọc là "P tương đương Q" Mệnh đề này là đúng chỉ trong hai trường hợp mà P và Q cùng đúng hay cùng sai
P Q P → Q Q → P P ↔ Q
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 Chú ý 1.2 Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nôị dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý
f Một số công thức
Với mọi mệnh đề A, B, ta có
A ∧ B ≡ A ∨ B (2)
A ∨ B ≡ A ∧ B (3) Công thức (??) và (??) gọi là Luật De-Morgan
1.3 Một số tính chất
a Tính chất kết hợp của các phép logic
(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)
Trang 4b Tính chất giao hoán của các phép logic
A ∧ B ≡ B ∧ A
A ∨ B ≡ B ∨ A
A ↔ B ≡ B ↔ A
c Tính chất phân phối
A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (B ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (B ∨ C)
d Tính lũy đẳng
A ∧ A ≡ A
A ∨ A ≡ A
e Một số đẳng thức với phép kéo theo
A → B ≡ A ∨ B
A → B ≡ A ∧ B
A → B ≡ B → A
1.4 Mệnh đề chứa biến, các lượng từ "Tồn tại sao cho" và "Với mọi "
Ví dụ 1.3 Số tự nhiên n chia hết cho 2
Câu này chưa phản ánh được tính đúng hoặc sai nên nó chưa phải là mệnh đề Nhưng nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
-Thay n = 10 ta được mệnh đề đúng: "Số 10 chia hết cho 2"
-Thay n = 15 ta được mệnh đề sai: "Số 15 chia hết cho 2"
Từ ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.7 Những phát biểu, khẳng định chứa biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai), ta gọi là mệnh đề Tập X gọi là miền xác định của mệnh đề đó
Ta dùng kí hiệu F (x), T (u), v.v để chỉ các mệnh đề chứa biên
Cho T (x) là mệnh đề chứa biến xác định trên miên X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại x ∈ X sao cho " vào trước mệnh đề T (x), ta được mệnh đề:
"Tồn tại x ∈ X sao cho T (x) "
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc trên là mệnh đề tồn tại, ký hiệu: ∃x ∈ X : T (x)
Ký hiệu ∃ gọi là lượng từ tồn tại
Cho T (x) là mệnh đề chứa biến xác định trên miên X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi x ∈ X
ta có " vào trước mệnh đề T (x), ta được mệnh đề:
Trang 5"Với mọi x ∈ X ta có T (x) "
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc trên là mệnh đề với mọi, ký hiệu: ∀x ∈ X, T (x)
Ký hiệu ∀ gọi là lượng từ với mọi
Phủ định các mệnh đề "Tồn tại" và "Với mọi" được tiến hành theo quy tắc dưới đây:
∃x ∈ X : T (x) ↔ ∀x ∈ X, T (x)
∀x ∈ X, T (x) ↔ ∃x ∈ X : T (x)
2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp
Để chứng minh: "nếu S thì T" nghĩa là nếu S đúng thì T đúng, bằng phương pháp trực tiếp (dựa trên A đúng và A → B đúng thì B đúng), ta xây dựng một chuỗi kéo theo:
S, S → A1 đúng thì A1 đúng
A1, A1→ A2đúng thì A2 đúng
An, An → T đúng thì T đúng
Tức là từ S đúng, suy ra T đúng
Ví dụ 2.4 Chứng minh: Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 5 thì n2− 1 chia hết cho 24
Chứng minh 1 n là số nguyên tố và n>5 kéo theo n − 1 và n + 1 là những số chẵn
2 n − 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp kéo theo tích của chúng chia hết cho 8
3 n − 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp kéo theo tích của chúng chia hết cho 3
4 n là số nguyên tố lớn hơn 5 kéo theo n không chia hết cho 3
5 Từ 3 và 4 ta có (n − 1)(n + 1) chia hết cho 3
6 n2− 1 = (n − 1)(n + 1) chia hết cho 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, vậy n2− 1 chia hết cho tích 3.8=24
2.2 Phương pháp chứng minh phản chứng
Phương pháp chứng minh phản chứng được dùng khá phổ biến, nó dựa trên nguyên tắc logic phi mâu thuẫn: Công thức P ∧ P luôn luôn sai
Để chứng minh S ⇒ T (ta nhớ lại S ⇒ T có nghĩa S → T đúng ), ta giả sử có S và T Nếu với giả thiết đó ta đi đến mâu thuẫn kiểu: R là đúng và R là đúng, ta suy ra giả thiết S kéo theo kết luận T , nghĩa là S ⇒ T
Ví dụ 2.5 Chứng minh√
2 là số vô tỉ
Chứng minh 1 Giả sử√
2 là một số hữu tỉ Vâỵ tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a
b =
√ 2
Trang 62 Như vậy,√
2 có thể được viết dưới dạng phân số tôí giản a
b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau vàa
b
2
= 2
3 Từ 2 suy ra a
2
b2 = 2 và a2= 2b2 Khi đó a2 là số chẵn
4 Từ đó suy ra a là số chẵn vì a2là số chính phương chẵn
5 Vì a là số chẵn nên tồn tại số k thỏa mãn a=2k
6 Thay 5 vào 3 ta có (2k)2= 2b2⇔ 4k2= 2b2⇔ 2k2= b2
7 Từ 4 và 6 ta có a và b đều là số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết a và b nguyên tố cùng nhau Vậy√
2 là số vô tỉ
2.3 Phương pháp chứng minh quy nạp
Người ta thường dùng chứng minh quy nạp để chứng minh một tính chất có dạng: ∀n ∈ N, S(n) (nghĩa là S(n) được thỏa mãn với mọi số tự nhiên n)
Sơ đồ chứng minh như sau:
1 Kiểm tra với một vài giá trị n ta thấy mệnh đề cần chứng minh đúng
2 Ta giả sử S(n) đúng, chứng minh S(n + 1) đúng
3 Kết luận S(n) đúng với mọi số tự nhiên n
Ví dụ 2.6 Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:
A = (n3+ 3n2+ 5n) .3. (∗) Chứng minh 1 Xét với n=1 ta có A = 9 .3 Suy ra (??) đúng với n = 1.
2 Giả sử (??) đúng với n = k, tức là
A = (k3+ 3k2+ 5k) .3. (∗∗)
Ta chứng minh (??) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh A = (k + 1)3+3(k + 1)2+5(k+1) .3. Thật vậy,
A = (k + 1)3+ 3(k + 1)2+ 5(k + 1)
= k3+ 3k2+ 3k + 1 + 3k2+ 6k + 3 + 5k + 5
= (k3+ 3k2+ 5k) + 3k2+ 9k + 9
= (k3+ 3k2+ 5k) + 3(k2+ 3k + 3)
Vì theo (??) nên (k3+ 3k2+ 5k) .3 và 3(k2+ 3k + 3) .3 Vâỵ (??) đúng với n = k + 1.
Vậy A = (n3+ 3n2+ 5n) .3 với n là một số nguyên dương.
Trang 73 Các bài toán ứng dụng suy luận logic
3.1 Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng
a Phương pháp lập bảng
Người ta thường dùng phương pháp lập bảng để giải các bài toán xuất hiện hai nhóm đối tượng như:
-Tên người và nghề nghiệp
-Vận động viên và giải thưởng
-Tên sách và màu bìa
-Học sinh và điểm
Sơ đồ chứng minh như sau:
1 Thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột Liệt kê các đối tượng ở nhóm 1 vào các cột, các đối tượng ở nhóm 2 vào các hàng
2 Theo điều kiện đề bài, ta loại bỏ dần các ô (là giao của các cột và hàng)
3 Những ô còn lại là kết quả của bài toán
b Các ví dụ minh họa
Ví dụ 3.7 Ba người thợ hàn, thợ tiện và thợ điện nói chuyện với nhau Người thợ hàn nói:
- Ba chúng ta làm nghề trùng với tên của ba chúng ta nhưng không ai làm nghề trùng với tên của mình cả
Bác Điện hưởng ứng:
- Bác nói đúng
Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người thợ đó
Chứng minh
hàn tiện điện Hàn 0 0 x Tiện x 0 0 Điện 0 x 0 -Theo giả thiết, không ai trùng tên với nghề cuả mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1, 5 và 9 Bác Điện hưởng ứng lời bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề hàn Ta ghi số 0 vào ô 7
-Nhìn vào cột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điện nên bác thợ hàn tên
là Tiện Ta đánh dấu x vào ô số 4
-Nhìn vào hàng 4 ta thấy bác Điện không làm nghề hàn cũng không làm nghề điện nên bác Điện làm nghề tiện Ta đánh dấu x vào ô số 8
-Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn cũng không làm nghề tiện Do đó, bác Hàn làm nghề điện Ta đánh dấu x vào ô số 3
Trang 8Vậy bác Hàn làm nghề điện, bác Tiện làm nghề hàn và bác Điện làm nghề tiện.
Ví dụ 3.8 Trên bàn có 4 hộp kín được đánh số thứ tự 1, 2, 3 và 4 Trong mỗi hộp đựng một trong bốn loại quả: đào, mận, bưởi hoặc cam Ba bạn Lộc, Đạt và Thanh tham gia trò chơi như sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong môĩ hộp đựng quả gì, nếu ai đoán đúng ít nhất một hộp thì sẽ được phần thưởng
Lộc đoán trước:
-Hộp thứ nhất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộp thứ tư đựng đào
Đạt đoán tiếp:
-Hộp thứ nhất đựng đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam và hộp thứ tư đựng mận
Cuối cùng Thanh đoán:
-Hộp thứ nhất đựng mận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đựng đào và hộp thứ tư đựng bưởi
Kết thúc cuộc chơi, ban giám khảo công bố cả ba bạn đều không đạt phần thưởng
Hãy cho biết trong mỗi hộp đựng quả gì?
c Bài tập áp dụng
Bài 3.1 Năm người thợ tên là: Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm 5 nghề khác nhau trùng với tên của tên của 5 người đó nhưng không có ai tên trùng với nghề của mình.Bác thợ da lấy em gái của bác Da Tên của bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ bác chỉ có 2 anh em Bác tiện không làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn Bác thợ sơn và bác thợ da là 2 anh em cùng
họ Em cho biết bác da và bác tiện làm nghề gì?
Bài 3.2 Trong đêm dạ hội ngoại ngữ, 3 cô giáo dạy tiếng Nga, tiếng Anh và tiếng Nhật được giao phụ trách Cô Nga nói với các em: “Ba cô dạy 3 thứ tiếng trùng với tên của các cô, nhưng chỉ
có 1 cô có tên trùng với thứ tiếng mình dạy” Cô dạy tiếng Nhật nói thêm: “Cô Nga đã nói đúng” rồi chỉ vào cô Nga nói tiếp: “Rất tiếc cô tên là Nga mà lại không dạy tiếng Nga” Em hãy cho biết mỗi cô giáo đã dạy tiếng gì?
Bài 3.3 Tại một trại hè thiếu nhi quốc tế, có một nhóm người gồm ba thiếu niên: một người Anh, một người Pháp và một người Nga Mỗi người trong số ba bạn này đang học một trong ba ngoại ngữ: tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Nga Biết rằng bạn học tiếng Anh lớn hơn bạn người Pháp 1 tuổi Hãy xác định mỗi bạn đang học ngoại ngữ gì?
3.2 Các bài toán giải bằng phương pháp biểu đồ Ven
a Các ví dụ
Ví dụ 3.9 Có bao nhiêu số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3?
Ví dụ 3.10 Lớp 9A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Trung, trong đó có 25 em nói được tiếng Anh và 18 em nói được tiếng Trung Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả hai thứ tiếng?
Trang 9Ví dụ 3.11 Trong hội khỏe Phù Đổng có 100 vận động viên đăng ký dự thi.Mỗi vận động viên được đăng ký dự thi một hoặc hai trong 3 môn: Ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua Kết quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng ký thi ném tạ và 45 người đăng ký thi bơi Hỏi
có bao nhiêu người đăng ký thi đấu cả hai môn: Ném tạ và bơi lội?
Ví dụ 3.12 Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu có thể sử dụng một trong
ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp Theo thống kê của Ban tổ chức, có 60 đại biểu chỉ nói được một trong 3 thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Anh và Pháp, 150 đại biêủ nói được
cả tiếng Anh và tiếng Nga, 170 đại biểu nói được cả tiếng Nga và tiếng Pháp Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
b Bài tập áp dụng
Bài 3.4 Người ta điều tra trong một lớp học có 40 học sinh thì thấy có 30 học sinh thích Toán,
25 học sinh thích Văn, 2 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn Hỏi có bao nhiêu học sinh thích
cả hai môn Văn và Toán?
Bài 3.5 Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh, 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp Hỏi: a, Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó b, Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 3.6 Lớp 5A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán Đề bài gồm có 3 bài toán Sau khi kiểm tra, cô giáo tổng hợp được kết quả như sau: Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em giải được bài toán thứ nhất và thứ hai,6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học sinh đạt điểm 10 vì đã giải được cả 3 bài Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được bài toán nào?
3.3 Các bài toán giải bằng phương pháp suy luận đơn giản
a Các ví dụ
Ví dụ 3.13 Một người có một bình chứa 12 lít rượu và hai chiếc can rỗng, can A có dung tích 8 lít và can B có dung tích 5 lít Làm thế nào để lấy ra được 6 lít rượu để bán cho khách hàng? Chứng minh Quy trình lí luận trên có thể tóm tắt trong bảng sau:
Các bước 0 1 2 3 4 5 6 Can A (8 lít) 0 8 3 3 0 8 6 Can B (5 lít) 0 0 5 0 3 3 5
Ví dụ 3.14 Thời cổ Hy Lạp có ba vị thần nổi tiếng về sắc đẹp là Hera, Athena và Aphrodite Một hôm cả ba vị nữ thần đến tìm chàng Paris để nhờ chàng phân định xem ai là người đẹp nhất trong ba vị thần
Trang 10Gặp Paris, các vị thần đã nói như sau:
a)Aphrodite: "Tôi là người đẹp nhất!"
b)Hera: "Tôi mới là người đẹp nhất!"
c)Athena: "Aphrodite không phải là người đẹp nhất."
d)Aphrodite: "Hera không phải là người đẹp nhất."
e)Athena: "Tôi là người đẹp nhất!"
Paris suy nghĩ một lúc rồi nói rằng trong các điêù đã nói trên đây, chỉ có điều do vị nữ thần đẹp nhất nói là đúng, còn điêù do hai người còn lại đã nói là sai
Ta thừa nhận rằng phán quyết này của Paris là đúng Vậy ai là nữ thần đẹp nhất?
b Các bài tập áp dụng
Bài 3.7 Ở một ngôi đền có 3 vị thần: thần Thật Thà luôn nói thật, thần Dối Trá luôn nói dối và thần Khôn Ngoan khi nói thật, khi nói dối Hình dáng của ba vị thần giống hệt nhau nên người
ta không thể phân biệt được
Một hôm, một học giả từ phương xa đến ngôi đền để thỉnh cầu Bước vào miếu, học giả hỏi thần ngồi bên phải:
-Ai ngồi cạnh ngài?
-Đó là thần Dối Trá
Tiếp đó học giả hỏi thần ngồi giữa:
- Ngài là thần gì?
- Tôi là thần Khôn Ngoan
Cuối cùng học giả quay sang hỏi thần ngồi bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài?
- Đó là thần thật Thà
Nghe xong học giả khẳng định được mỗi vị thần là thần gì Bạn hãy cho biết học giả đó đã suy luận như thế nào?
Bài 3.8 Một người mang hai cái can, một cái có dung tích 5 lít, một cái có dung tích 7 lít ra vòi nước công cộng để lấy nước Ở chỗ vòi nước đã để sẵn một chiếc thùng rỗng Người ấy muốn lấy
4 lít nước Vậy phải làm như thế nào?
Bài 3.9 a) Có thể dùng hai bình rỗng, dung tích 12 lít và 9 lít để múc từ sông lên 4 lít nước được không?
b) Giả sử ta có hai bình có dung tích a lít và b lít Làm thế nào để có thể sử dụng hai bình này múc nước lên được c lít nước từ sông, với c ≤ a; c ≤ b
Bài 3.10 Có bốn đồng xu, bề ngoài không phân biệt được thật, giả; trong đó có ba đồng xu thật,
có cùng khối lượng và một đồng xua giả, nặng hơn các đồng xu thật Làm thế nào để tìm được đồng xu giả bằng cách cân hai lần trên một cân Rô- béc- van mà không dùng đến các quả cân Liệu có thể tìm ra được đồng xu giả mà chỉ cần một lần cân?
