Toi uu hoa voi ham Lipchitz dia phuong 47423_23620159517buivandung

MỞ ĐẦU Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn.. Clarke  5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

BÙI VĂN DŨNG

TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ

ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2012

MỞ ĐẦU

Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với các hàm khả vi và không khả vi

Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của F.H Clarke  5 ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu không trơn F.H Clarke  5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương

và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot Chú ý rằng một hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi

đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke Mới đây Đ.V.Lưu  12 đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối

ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot Đây là vấn đề đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn:

“Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”

Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi phân Michel-Penot

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke

Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của

F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D Craven

Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot

Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu  12 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập

Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp 1

C ) Với một trong sáu điều kiện chính qui (CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot

Ngày 26 tháng 09 năm 2012

Bùi Văn Dũng

Chương 1

ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI

NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần

tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa

phương của F.H.Clarke  5 và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài

toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven  4

Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu   1 , 2

1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz

1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke và gradient suy rộng Clarke

Giả sử X là không gian Banach, *

X là không gian đối ngẫu tôpô của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại xX.

Định nghĩa 1.1.1

Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương vX tại x , kí hiệu là f0 x v;

được xác định như sau:

0     

0

, lim sup

x x t

f y tv f x

f x v

t

 

 

 , (1.1) trong đó xX t,  0.

Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H Clarke

Định lí 1.1.1

Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x Khi đó,

(i) Hàm 0 

;

v f x v hữu hạn ,thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và

0 

;

f x v  K v ; (ii) 0 

;

f x v nửa liên tục trên theo  x v, ; 0 

;.

f x Lipschitz( theo v ) với hằng

số K trên X ;

(iii)      0

f x v  f x v

Chứng minh

(i) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi y z, U,

f y  f z  K yz .

Do đó, từ (1.1) ta có

0 

0

y x t

K tv

t

 

bởi vì với t đủ nhỏ , y U thì y tv U  Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm

 

0

,.

f x Với  0, ta có

0 

;

0

lim sup

y x t

f y t v f y

t



 

 

    0 

0

y x t

f y t v f y

f x v t





 

 

 hàm 0 

;.

f x thuần nhất dương

Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính:

0 

;

0

lim sup

y x t

t



 

  



        0  0 





bởi vì y tv x khi yx và t 0.

(ii) Lấy các dãy  x i và  v i hội tụ đến x và v tương ứng Theo định nghĩa

limsup, với   i, y i X,  t i 0 sao cho

y i x i t i 1,

i

0  1    

i i

i

f y t v f y

f x v

 

 

       

.

i i i i i i i i

  (1.2)

Để ý rằng  i i i  i i 

i i

f y t v f y t v

K v v t

 

với i đủ lớn Khi đó, từ (1.2) ta có

0  0 

i

 

Do đó 0 

.;.

f nửa liên tục trên

Ta chứng minh 0 

;.

f x Lipschitz trên X Với u,  X , ta có

f y tv   f y  f y t   f y K v t

(với y gần x, t dương gần 0)

f y tv  f y  f y t  f y 

K v





 0  0 

f x v  f x  K v (1.3) Đổi vai trò của v và  ta nhận được

0  0 

f x   f x v K v (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra

0  0 

f x v  f x  K v  Như vậy là 0 

;.

f x Lipschitz với hằng số K trên X (iii) Chứng minh 0     0

0

x x t u x t

   

0

x x t u x t

   

(đặt u x tv)

   0

f x v

 

Định nghĩa 1.1.2

Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là f x  là tập hợp sau đây trong

*

X :

   * 0  

Đây là khái niệm gradient suy rộng của F.H Clarke

Nhận xét 1.1.1

   ;0 ,

c

  

trong đó 0 

; 0

c f x

 là dưới vi phân của hàm lồi f o x;. tại 0

Bây giờ ta lấy *

X

 Khi đó, chuẩn của  được xác định bởi công thức

*

; 1

v X V

v

 

Ký hiệu B* là hính cầu đơn vị mở trong *

.

X

Định lí 1.1.2

Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số K tại x Khi đó

a) f x , lồi compact *yếu trong *

X và  * K

  f x  ;

b) Với mọi vX , ta có

0     

f x v m  v  f x

Chứng minh

a) Theo định lí 1.1.1 0 

;.

f x là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên X Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính  : X R sao cho

0 

f x v   v

 v X   f x  f x 

Ta chứng minh f x  lồi: lấy  1 , 2 f x , 0   1. Khi đó

0 

;

f x u  i,u  u X i;  1, 2

0  0     0

  1 ,u  1 2 ,u

1  1 2,u

1  1   2 f x  f x  lồi

Bây giờ ta chứng minh f x  compắc *yếu: với

f x ,  *  K f x B*0,K, trong đó

B*0,K là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính K.

Mà hình cầu B*0,K là compact *yếu trong *

X (định lí Alaoglu), f x  là đóng *yếu  f x  compact*yếu

b) Theo định nghĩa 1.1.2

    0 

m  v  f x  f x v

Giả sử tồn tại v0 sao cho

    0 

m  v   f x  f x v

Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn

, v 0 

;

f x v

  v X, , v0   0 

0

;

f x v

  0 

0

;



,v f x v,



 

Vô lí  !

Ví dụ 1.1.1

Xét trường hợp X R, f x  x Khi đó, f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz K 1

Bây giờ, ta lấy x 0 Khi đó

0 

; 0

y x t

y tv y

t

 

 

 f x    R v:   , v R   1

Tương tự, với v 0, ta có   1 Do đó,   1

Một cách tương tự, nếu x 0, f x     1

Xét trương hợp x 0

0     

 f  0   1,1

1.1.2 Các phép tính của gradient suy rộng Clarke

Định nghĩa 1.1.3

Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong X Y

Định nghĩa 1.1.4

Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với      0,  0

sao cho

  x x B X  X   X  B Y,

trong đó B Xvà B Y là các hình cầu đơn vị mở trong X và Y.

Định lí 1.1.3  1

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương x Ta có các khẳng định sau đây:

(i)   0 

     v X; (ii) Giả sử các dãy     *

,

i i

x  X  X thỏa mãn

if x i ;  x i hội tụ đến x , là điểm giới hạn của  i

theo tô pô *yếu Khi đó,

 f x  (tức là ánh xạ đa trị f x  đóng *yếu );

(iii) f x  0 y x Bf y ;

(iiii) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x.