Một số gợi ý để đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊNTRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN “MỘT SỐ GỢI Ý ĐỂ ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở TRƯỜNG THCS” Tác giả: Nguyễn Văn Tuy

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

“MỘT SỐ GỢI Ý ĐỂ ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI Ở

TRƯỜNG THCS”

Tác giả: Nguyễn Văn Tuyến.

Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán

Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên

Nơi công tác: Trường THCS Lê Qúy Đôn.

Ý Yên, ngày 25 tháng 5 năm 2015

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: “ Một số gợi ý để đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ bồi

dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS ”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giảng dạy môn Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 trong chuyên đề giải phương trình vô tỷ

3 Thời gian áp dụng sáng kiến :

Từ ngày 1/10/2013 – 20/3/2015 đối với đội tuyển Toán 9.

Từ ngày 1/10/2014 – 10/5/2015 đối với học sinh lớp 9A4, 9A5.

4 Tác giả

Họ và tên: Nguyễn Văn Tuyến

Năm sinh: 1980

Nơi thường trú: Yên Phong - Ý Yên - Nam Định

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm

Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên

Nơi làm việc: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên

Điện thoại : 01234.834.309

Tỷ lệ đóng góp sáng kiến: 100%

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến

Tên đơn vị: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên

Địa chỉ liên hệ: Trường THCS Lê Qúy Đôn – Huyện Ý Yên

Điện thoại : 03503.823.370

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến.

Đối với các môn học nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung và trường THCS nói riêng, môn Toán là một trong những môn khoa học công cụ quan trọng,

nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời có tính thực tiễn rất cao phục vụ trực tiếp đời sống xã hội

Từ trước đến nay môn Toán thường được coi là một môn học khô khan, nhàm chán, đòi hỏi phải có trí thông minh, khả năng nhớ và tư duy cao, vì vậy ngày càng có nhiều học sinh ngại, lười học môn Toán Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học, tổ chức các hoạt động tích cực trong mỗi giờ dạy; khai thác những cách giải mới ngắn gọn; kích thích, thúc đẩy hướng tư duy; khơi dậy lòng ham muốn; phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá cái hay, cái mới, khả năng tự học môn Toán là việc làm vô cùng cần thiết hiện nay Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên Nhưng ngược lại, nếu giải quyết được điều này là chúng ta đã góp phần xây dựng cho bản thân mình một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hứng thú và có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức môn Toán

Trong chương trình toán lớp 9, phương trình vô tỷ là một mảng kiến thức hay và rộng Nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi vào THPT; trong cấu trúc đề thi chọn HS giỏi của tỉnh Nam Định và đề thi vào các trường THPT chuyên trong mấy năm trở lại đây luôn có một bài về dạng này (chiếm tỷ lệ điểm từ 10% đến 15% điểm của bài thi) Điều đó cho thấy vai trò của mảng kiến thức “phương trình vô tỷ” là rất quan trọng

Đối tượng học sinh ở THCS Lê Qúy Đôn, đa số các em là những học sinh học khá, giỏi hơn nữa rất nhiều em sẽ tham gia các kì thi chọn học sinh giỏi, các kì thi tuyển sinh vào các trường THPT chất lượng cao và chuyên, nên việc trang bị cho các em các kiến thức về phương trình nhất là phương trình vô tỷ là cần thiết

Khi giải một phương trình vô tỷ, nhiều trường hợp dùng các phép biến đổi tương đương sẽ cho ta phương trình phức tạp hoặc bậc quá cao Phương pháp hữu hiệu là đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đã cho về phương trình hay hệ phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn

Chẳng hạn: Giải phương trình: 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 x















Nếu ta đặt y  2  x  2 2  x , thì ta được phương trình mới đơn giản là:

Hoặc : Giải phương trình: x 3 35  x 3x  3 35  x 3 30

Nếu ta đặt y  3 35  x 3 , thì ta được hệ phương trình đối xứng quen thuộc là:













30 y

x

xy

35

y

Kinh nghiệm thực tế cho thấy, không có phương pháp chung nhất cho việc đặt ẩn phụ khi giải phương trình vô tỷ, mà là sự linh hoạt, sáng tạo trong giải toán, vì việc đặt ẩn phụ cần phải đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cách ngắn ngọn và

dễ hiểu (chứ không phải là đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản mà lại không giải được) Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy: Nếu giảng dạy tốt phần phương trình vô tỷ, nhất là bằng phương pháp đặt ẩn phụ thì ngoài việc nâng cao được chất lượng

ở các kỳ thi, ta còn nâng cao được năng lực giải toán (sự linh hoạt, thông minh trong đổi ẩn) và bồi dưỡng cho học sinh khả năng tư duy tổng hợp Để làm được điều đó trước hết

ta cần cung cấp cho các em những cơ sở để đặt ẩn phụ và một số phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng; cách nhận biết một phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Từ đó khi gặp đề thi hoặc bài tập về phương trình vô tỷ, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy và tìm hướng giải quyết

Từ thực tế đó cùng với những kinh nghiệm rút ra trong quá trình giảng dạy của mình, thông qua việc bàn bạc trao đổi với đồng nghiệp, tôi thấy việc trang bị cho học sinh các

kỹ năng giải phương trình vô tỷ nhất là phương pháp đặt ẩn phụ là cần thiết Với mong muốn có thể trao đổi, sẻ chia kinh nghiệm nhỏ góp phần nâng cao hơn nữa năng lực giải toán nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng, từ đó thu hút học sinh ham mê học toán, phát huy năng khiếu của các em trong đội tuyển Tôi xin mạnh dạn nghi lại những kinh

nghiệm mà bản thân tự tích lũy được trong công tác giảng dạy qua sáng kiến : “ Một số

gợi ý để đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS”

II Thực trạng

Qua nghiên cứu, tìm hiểu thực tiễn, dự giờ, điều tra GV dạy lớp 9 và học sinh lớp 9

ở trường THCS Lê Quý Đôn, trường THCS Yên Phong và trường THCS Thị Trấn Lâm (Ý Yên), qua thực tiễn giảng dạy môn toán lớp 9 đặc biệt là các giờ bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy:

+ Số học sinh học tốt môn toán (nắm vững kiến thức; có kỹ năng, kỹ xảo; có phương pháp tự học, tự bồi dưỡng) còn chiếm tỷ lệ thấp

+ Trong thực tế khi gặp phải bài toán về phương trình vô tỷ nhiều học sinh lớp 9

bỏ trắng, lúng túng không biết xoay sở ra sao Một số em mặc dù đã được học, xong vẫn chưa linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp, lời giải còn dài dòng, không chính xác về kỹ năng, thậm chí một số em còn nhầm lẫn trong biến đổi dẫn đến thiếu nghiệm, thừa nghiệm; không tìm ra nghiệm hoặc tính nghiệm sai Một số học sinh tham gia thi chọn học sinh giỏi hoặc thi vào các trường chuyên còn chậm trong việc vận dụng khi giải một phương trình tương tự, làm mất thời gian để làm các bài khác

+ Thực tế giảng dạy, ôn tập một số giáo viên còn ngại khi dạy về phương trình

vô tỷ, cho rằng đó là kiến thức nâng cao, chỉ học sinh giỏi mới cần phải học Một

số giáo viên khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ còn thiếu linh hoạt,

quá sa đà vào các phép biến đổi tương đương theo lối mòn dẫn đến phương trình

thu được ở một số bài phức tạp, làm giảm sự hứng thú của các em dẫn đến học sinh ngày càng thấy học toán khô khan, phức tạp và làm mất đi ở các em tình yêu, sự đam mê với môn Toán

Kết quả điều tra về tâm lý khi dạy và học chuyên đề phương trình vô tỉ như sau :

Đối tượng Tổng số được

điều tra

Kết quả (tỷ lệ phần trăm) Rất hứng thú Hứng thú Bình thường Không hứng

thú

III Các giải pháp ứng dụng

Để giúp người dạy cũng như người học thấy được vai trò của phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ, tôi đưa ra các giải pháp về kiến thức, kỹ năng và những

gợi ý (biện pháp, kỹ thuật) để tháo gỡ (quy lạ về quen) khi gặp phải những phương trình

phức tạp hơn

1 Hệ thống các vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh.

a) Các bước cơ bản khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Có 3 bước cơ bản khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

- Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

- Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình (hệ phương trình) có biến là ẩn phụ Giải phương trình (hệ phương trình) này, đối chiếu điều kiện nếu có để chọn ra giá trị thích hợp của ẩn phụ

- Bước 3: Giải phương trình với giá trị vừa tìm được của ẩn phụ, đối chiếu ĐKXĐ (nếu có) và kết luận tập nghiệm

b) Các phương pháp đặt ẩn phụ

- Đặt ẩn phụ theo số lượng ẩn: đặt 1 ẩn phụ, 2 ẩn phụ , 3 ẩn phụ , …

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn mới hay hệ phương trình

- Đặt ẩn phụ hoàn toàn (phương trình mới không chứa ẩn cũ) hay không hoàn toàn (phương trình mới còn chứa ẩn cũ)

2 Các giải pháp cụ thể.

Trước tiên người học cần nắm được (tự hình thành hoặc dưới sự hướng dẫn của giáo

viên) các phương trình vô tỉ có cấu trúc giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ thông

qua các ví dụ Từ đó thấy được vài trò của phương pháp này, đồng thời bước đầu có những kĩ thuật cơ bản để chọn ẩn phụ

A Một số dạng phương trình vô tỉ có cấu trúc giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1: Giải phương trình: xx  5 2  2 3 x 2  x  2 (1)

Lời giải: Đặt y 3 x 2 x 2 y 3 x 2 x 2 xx 5 2 y 3 4

























PT (1) trở thành: y 3 y 4 0 ( y 2 )( y 2 y 2 ) 0 y 2























Với y   2 ,ta có PT 3 x 2 x 2 2 x 2 x 2 8 x 2 x 6 0 x 2































3

x  

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S  2 ;  3

*TQ (Dạng 1): Nếu biểu thức ngoài dấu căn biểu thị được theo biểu thức trong dấu căn

thì ta đặt căn thức đó làm ẩn (đặt điều kiện cho ẩn nếu có) rồi đưa phương trình đã cho về phương trình đa thức

2 x

2 x ) 2 x ( 4 ) 2 x )(

2 x











Lời giải: ĐKXĐ x  2hoặc x   2

2 x

2 x ) 2 x (

















PT (2) trở thành: y 2 4 y 3 0 ( y 1 )( y 3 ) 0 y 1



















+ Với y   1 ,ta có PT

) m / ( 5 x 5 x 1 ) 2 x )(

2 x ( ) 2 x ( 1 2 x

2 x )

2

x































+ Vớiy   3 ,ta có PT

) m / ( 13 x

13 x 9 ) 2 x )(

2 x ( ) 2 x ( 3 2 x

2 x )

2

x































Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S  5 ;  13

a x

b x ) a x ( n ) b x )(

a x (













PP: Đặt y ( x a )( x b ).

a x

b x ) a x (



















PT đã cho trở thành my 2 ny c 0







Ví dụ 3: Giải phương trình: 2  3x  2  3x  4 (3)

Lời giải: Ta có 2  3x. 2  3x  2  32  3 4  3  1

Đặt y  2  3x( y  0 )  2  3x 1y

PT (3) trở thành: 4 ( y 0 ) y 1 y y 2 3

y

1



















+ Với y  2  3 ,ta có PT 2  3x  2  3  2  3x  2  32  x  2

+ Với y  2  3 ,ta có PT 2  3x  2  3  2  3x  2  32  x   2

Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S  2

*TQ (Dạng 3): Nếu tích hai biểu thức bằng hằng số k không đổi (k ≠ 0), ta đặt một biểu

thức bằng y, biểu thức còn lại là rồi đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai

Ví dụ 4: Giải phương trình:

x

5 x x x

1 x x

4









x

5 x 2

; 0 x

1 x

; 0

x

4 x x

5 x x

1 x )

4

(































































x

4 x x

5 x x

1 x t y ) 0 t , y ( x

5 x t x

1 x

PT (*) trở thành: y t y 2 t 2 ( y t )( y t 1 ) 0 y t ( do y t 0 )

























x

4 x x

5 x x

1 x x

5 x x

1

).

m / không ( 2

x  

Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S  2

PP: Đặt y  ( x ) t  g ( x ) ( y  0 t  0 ).

PT đã cho trở thành y  t  ay 2  t 2 Tìm y theo t rồi tìm nghiệm x (nếu có)

Ví dụ 5: Giải phương trình: 2015 x 2 4 x 3 2014 x x 3







Lời giải: ĐKXĐ .

4

3

x 

Đặt y 4x 3.(y0) PT (5) trở thành: 2015x2 2014xt y2 0







4 0;y 0)

3 x do ( x y 0 ) y x 2015 )(

x y



Với y x,ta có PT x x 3 0 ( x 1 )( x 3 ) 0 x 1 ( / m )

4

3 x x 3

















hoặc x  3 ( / m )

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 1 ; 3

PP: Đặt y  f ( x ) ( t  0 ).

PT đã cho trở thànht 2 g ( x ) h ( x ) 0





 Tìm y theo t rồi tìm nghiệm x (nếu có)

Ví dụ 6: Giải phương trình: 8 x3 x 3x2 x 1







 (6)

Lời giải: ĐKXĐ x  0

x 1 3x 1 x  * * 

x 8 )

6

(











Đặt y x t x 2 1 ( y 0 t 0 ) t 2 y 2 x 2 1 x





















PT (**) trở thành: 8 yt 3t 2 y 2 y 3 t y t 0 t ydo y 0 t 0





















Với t 3y,ta có PT   2 ( /m)

77 9 x 0 1 x x 0 x 1 x x

















Vậy phương trình (6) có tập nghiệm











 

 2 77 9 S

*TQ (Dạng 6): Giải phương trình dạng: a f ( x ) g ( x )  b f ( x )  c g ( x )

PP: Đặt y  ( x ) t  g ( x ) ( y  0 t  0 ).

PT đã cho trở thànhayt  by 2  ct 2 Tìm y theo t rồi tìm nghiệm x (nếu có)

Ví dụ 7: Giải phương trình: x2 x 5 5





 (7)

Lời giải: ĐKXĐ x  0

Đặt y x 5 ( y 0 ) y 2 x 5













Ta có hệ PT    



























































x 5 x 0 y y 5 x 0 x x 5 x 5 y 5

2 2 2 2

hoặc 









 1 x y

5 y

x 2

Từ đó ta tìm được ( / m )

2

21 1

Vậy phương trình (6) có tập nghiệm 







2 21 1 S







PP: Đặt 1 ẩn phụ đưa về hệ PT đơn giản giải bằng PP thế

Đặt y x a ( y 0 ) y 2 x a













Ta có hệ PT 











a x y

a y x

2 2

Tìm y theo x rồi tìm nghiệm x (nếu có)

Ví dụ 8: Giải phương trình: 3 25 x 3 3  x 4 (8)

Lời giải: Đặt y  3 25  x , t  3 3  x  y 3  t 3  28

Ta có hệ PT       









































3 yt 4 t y 28 yt 3 t y t y 4 t y 28 t y 4 t y

2 3

Do đó a,b là các nghiệm (nếu có) của phương trình

  

























1 y 3 t 0 3 X 1 X 0 3 X 4

X 2

hoặc 





 3 y 1 t

Giải các hệ phương trình ta có nghiệm x=1, x=2

Vậy phương trình (8) có tập nghiệm S 1 ; 2

PP: Đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ PT đối xứng

Đặt y ma ( x ) , t mb ( x ) ( y 0 , t 0 ) y m t m a b





















Ta có hệ đối xứng loại 2 













b a t y c t y

m

n Tìm y theo t rồi tìm nghiệm x (nếu có)

Ví dụ 9: Giải phương trình: x 3  1  2 3 2 x  1 (9)

Lời giải: Đặt y  3 2 x  1

Ta có hệ PT     













































0 y xy x x y 1 x 2 x y 1 x y y x

2 2 3 3 3 3 3













x 1 x y x

3 Từ đó ta tìm được

2

5 1 x

; 1

Vậy phương trình (9) có tập nghiệm













2

5 1

; 1 S

PP: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng

Đặt y  n ax  b

Ta có hệ đối xứng loại 2: 











b ax y

b ay x

n n

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Giải các phương trình :

a ) x 2 21 x 2 x 2 x 7 16











 b ) x 2 x 2 2 x 2 x 5











3 x

1 x 3 x 4 1 x

3

x

,











x

1 2

1 x 1

x )



Bài 2: Giải các phương trình :

a ) 5  2 6x  5  2 6x  10 b ) 6  35x  6  35x  12

c ) x  4  x  x  1

(Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

2011-2012)

d ) x 2 x 1 2 x 2 x 1 x 3















x 2

2 x

2

x

)

Bài 3: Giải các phương trình :

a ) 3 x 3 8 2x 2 x 2









b ) 2x 4  4  x 2  10 x  6

(Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Nam Định 2012-2013)

c ) x 2 11 x 9 3 x 3 1 0











(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nam Định năm học 2013-2014)

d )  x 1  x 2 x 3 x 2 1











e )  x 3  x 2 x 48 28 x













) 3  x 1  x 2 x 3 x 2 x 7 0















(Đề thi toán chuyên tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2015-2016)

Bài 4: Giải các phương trình :

a ) 1  3 x  16  3 x  3 b ) 4 57  x  3 x  40  5

2

1 2

1

x

)

c 3     d ) 1 x 2 2 3 1 x 2 3









e ) 2 3 6 x  5  2 3 x  2  8

Bài 5: Giải các phương trình :

a ) x 2 x 15 15





 b ) x 4 x 2 2014 2014







2 x 3 2

x

)

Tuy nhiên trong giải toán nhất là giải phương trình vô tỉ, không phải lúc nào ta cũng gặp phải phương trình có cấu trúc là một trong các dạng phương trình trên Làm thế nào

để giải được chúng hay biến đổi chúng về một trong các dạng đã biết hoặc tương đồng? Sau đây, tôi xin đưa ra một số ví dụ cùng những phân tích, gợi ý với mong muốn góp phần giải quyết vấn đề nêu trên

B Một số gợi ý để đặt ẩn phụ khi giải phương trình vô tỉ không có cấu trúc.

Ví dụ 10: Giải phương trình: 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 x













Gợi ý:

Nhận xét 1: Với  2  x  2 Ta có 4 x 2 2 x 2 x









Do đó nếu đặt a  2  x , b  2  x thì 4  x 2  a b và a 2  b 2  10  x

Ta có cách giải 1: ĐKXĐ:  2  x  2

Với  2  x  2 PT ( 1 )  3 2  x  6 2  x  4  2  x  2  x   10  x

Đặt a  2  x , b  2  x ( a , b  0 )

PT đã cho trở thành: 3 a b 4 ab a 2 b 2  b a2 3 b a 0



















  b  a b  a  3 0  a  b hoặca  2 b  3

6 x x 8 x 2 2 x 2 x 2 2 x

Với a  b  3 ,ta có PT 2  x  2 2  x  3 (Vô nghiệm)

Vậy phương trình (10) có tập nghiệm













 5

6 S

PT ( 10 ) 3 2 x 2 2 x 4 4 x 2 10 x

















Do đó nếu đặt y  2  x  2 2  x

thì y 2  2  x  4 4  x 2  4 ( 2  x )  10  x  4 4  x 2

Ta có cách giải 2: ĐKXĐ:  2  x  2

Với  2  x  2