Nên * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.. Tính thể tích hình được tạo thành khi quay tam giác ABC một vòng quanh BC.. Tam giác ABC vuông cân tại
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 26/6/2009
Bài 1: (3 điểm)
1) Giải pgương trình: (x2 + 2x + 64)( x2 + 2x + 27) = 2010
Đặt t = x2 + 2x, phương trình trở thành:
(t + 64)(t + 27) = 2010
t2 + 91t – 282 = 0
1
2
3 94
t
t
2
2
Phương trình (1) có x1 = 1; x2 = -3
Phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = -3
2) Giải hệ phương trình
2 2
x y
x y
x y
x y
ĐK: xy 0; 2xy 0
2
x y
x y
, hệ đã cho trở thành
u
u v
v
u v
(TMĐK)
Khi đó ta có:
1 1
x y
(TMĐK)
Vậy hệ có một nghiệm là 2
1
x y
Bài 2: (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2kx + k2 – k + 1
1) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
x2 – 2kx – k2 + k – 1 = 0 (*)
Ta có: ’ = k2 + k2 – k + 1 = 2k2 – k + 1 =
2
Trang 2Nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k
2) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) Tìm k để x1x2 đạt giá trị lớn nhất
x1, x2 là hai nghiệm của (*)
Theo Viet ta có: x1x2 = – k2 + k – 1 =
2
Dấu “=” xảy ra khi k
= 1
2
Bài 3: (2,0 điểm)
1) Tìm x và y nguyên sao cho
2
2 1 4
x y
2
4
x
Vì x, y Z nên x – 2y Z và x + 2y Z, mặt khác x – 2y và x + 2y cùng tính chẵn
lẻ Từ đó ta có bảng sau:
Vậy các cặp số nguyên (x, y) cần tìm là (2; 0) và (-2; 0)
2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh:
a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
Ta có a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c – a3 – b3 – c3 – 2abc > 0
(a2b + a2c – a3) + (b2c + bc2 – b3 – c3) + (ab2 + ac2 – 2abc) > 0
a2(b + c – a) – (b + c)(b – c)2 + a(b – c)2 > 0
a2(b + c – a) – (b – c)2(b + c – a) > 0
(b + c – a)[a2 – (b – c)2] > 0
(b + c – a)(a + b – c)(a + c – b) > 0 (*)
(*)đúng vì b + c – a > 0, a + b – c > 0, a + c – b > 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4: (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =
2 (cm),ACB 45 Tính thể tích hình được tạo thành
khi quay tam giác ABC một vòng quanh BC
Tam giác ABC vuông cân tại A, nên khi quay tam giác
ABC quanh BC hình thu được gồm hai hình nón có thể
tích bằng nhau
Ta có thể tích V hình tạo thành được tính
2
1
2
3
V OA OC
Tính được OA2 = 1; OC = 1
Vậy 2 3
3
V cm
Trang 32) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Gọi M, N là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (M (O), N (O’)) Chứng minh AB đi qua trung điểm I của MN Gọi I là giao điểm của AB và MN
Xét AIM và MIB, ta có:
IAM IMB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cùng chắn cung MB của (O))
AIM MIB (góc chung)
Vậy AIM MIB (g.g)
1
Chứng minh tương tự có AIN NIB (g.g)
Nên IN IB IN2 IA IB 2
Từ (1) và (2) IM = IN Do đó AB đi qua trung điểm của MN (đpcm)
Bài 5: (1 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC không song song với AD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Đường thẳng MN cắt AB tại I và cắt CD tại J Chứng minh: AINDJN
Gọi K là trung điểm AC, ta
có KM là đường trung bình
ABC, suy ra KM // AB và
KM = 1
2AB
Tương tự KN là đường trung
bình ACD, suy ra KN //
CD và KN = 1
2CD
mà AB = CD (gt) KM = KN Vậy KMN cân tại K, nên KMN KNM 1
lại có KM // AB (cmt) KMN AIN 2
KM // CD (cmt) KNM DJN 3
Từ (1), (2), (3) suy ra AIN DJN