PHÁT TRIỂN NĂNG lực tự học CHO học SINH QUA dạy học GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Tên sáng kiến: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 2.. HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Nội dung kiến thức về phương trình ở lớp 10 T

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

2 Lĩnh vực áp dụng:

Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực giảng dạy nội dung “Phương trình ” cho đối tượng là học sinh đại trà lớp 10, đồng thời cũng là một phần nội dung ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12

Nơi thường trú: Xã Xuân Hòa – huyện Xuân Trường , tỉnh Nam Định.

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ khoa học, ngành Lí luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán).

Chức vụ công tác: Giáo viên.

Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu.

Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Trung Hiếu, Trường THPT – A Hải Hậu, Nam Định.

Điện thoại: 0915139375

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT A Hải Hậu.

Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định.

Điện thoại: 03503877089.

CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT Trung học phổ thông

MỤC LỤC

Hoàn cảnh tạo ra sáng kiến……… 3

Thực trạng……… 3

Các giải pháp……… 4

A Cơ sở lí luận……… 4

B Các giải pháp……… 8

Hiệu quả do sáng kiến mang lại……… 51

Đề xuất, khuyến nghị……… 51

Danh mục tài liệu tham khảo……… 52

I HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Nội dung kiến thức về phương trình ở lớp 10 THPT là rất quan trọng cho sự phát triển

của mỗi HS không những trong quá trình học toán ở bậc phổ thông mà còn “là cơ sở để giải

các phương trình liên quan đến các hàm số sơ cấp”, “thuộc về nhóm các kiến thức cơ bản cần thiết nhất trong giáo dục Toán học phổ thông”

Trong các kì thi môn Toán ở bậc THPT và kì thi Tuyển sinh vào các trường Đại học –Cao đẳng, chủ đề phương trình luôn chiếm một vị trí đáng kể

Các hoạt động chủ yếu với chủ đề này là giải bài tập về phương trình xoay quanhphương trình bậc nhất và bậc hai do đó nó mang một số chức năng sau:

- Củng cố và hoàn thiện kỹ năng giải phương trình bậc nhất và bậc hai đã được làmquen từ chương trình THCS

- Phát triển năng lực tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học qua các thaotác trí tuệ như là: quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa

- Bài tập về phương trình có nhiều ứng dụng thực tế, mang lại niềm vui, hứng thútrong học tập, tạo thế giới quan khoa học

- Bài tập về phương trình cũng là phương tiện để đánh giá mức độ, khả năng độc lậptrong giải toán và trình độ phát triển của HS

Thực tế cho thấy, học sinh thường lĩnh hội tri thức không phải vì giáo viên truyền đạtcho mình một số chân lí mà giáo viên đã biết mà vì chính bản thân học sinh nảy ra nhu cầumuốn biết các tri thức đó Do vậy, dạy học phải tạo ra cho học sinh tựa hồ như phát hiện ra trithức cần lĩnh hội

Sau khi học lý thuyết, nếu giáo viên giúp học sinh hệ thống kiến thức đã học, xây dựngcác hướng phát triển bài tập và tìm phương pháp giải từ đó cung cấp đến học sinh hệ thốngbài tập tương ứng thì sẽ giúp học sinh tích cực học tập, rèn luyện kỹ năng và tạo hứng thú,niềm vui khi học sinh tự học

II THỰC TRẠNG

Về thời lượng dành cho nội dung phương trình nói chung gồm:

1 Đại cương về phương

2 Phương trình bậc nhất và

3 Một số phương trình quy

Ngoài ra còn có 3 tiết luyện tập tổng hợp mà có gắn với nội dung phương trình (tiết ôntập chương, ôn thi học kì, ôn tập cuối năm)

Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ra ba dạng cơ bản: A B= , A B< và

A B> , phần bài tập cũng chỉ nêu những bài tập nằm trong ba dạng này Tuy nhiên, trong

thực tế phương trình và bất phương trình vô ti rất đa dạng và phong phú Trong quá trình học

Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô

tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải Đặc biệt,các đề thi Đại học - Cao đẳng các em sẽ gặp phương trình và bất phương trình vô tỉ ở nhiềudạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ ba dạng trên Vì vậy, việc giúp cho các

em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình và bất phương trình vô ti, giáo viên cần phải lưu ý

cho học sinh các sai lầm thường mắc phải và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểusâu hơn nhằm có được một bài giải tốt sau này

Với thời lượng và nội dung như vậy, trong quá trình lên lớp, ngoài việc truyền đạt cáckiến thức, kỹ năng cơ bản, GV cần rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa về các dạng, loại vàcác phương pháp giải phương trình Mỗi dạng bài có một cách giải riêng, cũng có khi một bài

có nhiều cách giải do đó GV phải hệ thống và giúp HS chỉ ra cách giải tối ưu Đồng thời cungcấp cho HS một hệ thống bài tập có chọn lọc để vận dụng những kiến thức đã được học tựmình giải quyết Đây là cách dạy cho HS cách tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, bướcđầu rèn luyện tư duy sáng tạo HS có cái nhìn tổng thể về kiến thức trong chương trình, cácdạng bài tập thường gặp Ở mỗi dạng bài tập biết hình thành và hệ thống các phương phápgiải, đồng thời qua cách giải bài tập này mở rộng ra các bài tập mới hình thành kỹ năng giảitoán và phương pháp tự học mang màu sắc cá nhân

mà còn là vấn đề của toàn thế giới Ngay từ xa xưa, Khổng Tử đã ý thức được tầm quan trọng

của việc tự học đối với mỗi con người, ông cho rằng: “cách học quan trọng hơn học cái gì”.

Cha ông ta luôn đặt tự học làm trọng, một tấm gương sáng nhất của tự học là Chủ tịnh

Hồ Chí Minh Theo Người, tự học là sự nỗ lực của bản thân người học, sự làm việc của bảnthân người học một cách có kế hoạch dựa trên tinh thần tự giác học tập Người cho rằng,trong học tập phải lấy tự học làm nòng cốt

Như vậy, để sử dụng hình thức tự học, người học chủ yếu phải tự học bằng SGK, cáctài liệu học tập liên quan và kế hoạch, điều kiện, phương tiện của mình để đạt được mục tiêu

học tập Tự học nhiều khi còn là sự chủ động khai thác kinh nghiệm và tri thức của ngườikhác để làm giàu cho vốn hiểu biết của chính bản thân mình Bản chất của nó là người họcbiến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo

Tự học có những đặc điểm sau:

Tự học có tính độc lập cao và mang đậm màu sắc cá nhân

Tự học có quan hệ chặt chẽ với quá trình dạy học

Tự học có tính mục đích

Tự học có tính đối tượng

Tự học vận hành theo nguyên tắc gián tiếp

Tự học là một chu trình liên tục, diễn ra theo hình xoắn ốc mà ở đó điểm kết thúc củachu trình này là điểm khởi đầu của chu trình khác Sau mỗi chu trình kiến thức của người họclại được nâng lên một tầm mới

Tự học có các mức độ như sau :

Mức độ 1: Có SGK và có GV giáp mặt một số tiết trong ngày, trong tuần GV và HSnhìn mặt nhau và có thể trao đổi thông tin bằng lời nói trực tiếp, chữ viết trực tiếp ngay trênbảng, trên giấy, bằng ánh mắt, nét mặt, cử chỉ Bằng hình thức thông tin trực tiếp không quamáy móc, HS học giáp mặt với GV trên lớp và về nhà tự học có hướng dẫn Đây là mức độ tựhọc đơn giản nhất

Mức độ 2: Có SGK và có GV ở xa hướng dẫn bằng tài liệu hoặc các phương tiện viễnthông khác Hướng dẫn tự học chủ yếu là hướng dẫn tư duy, hướng dẫn tự phê bình trong quátrình chiếm lĩnh kiến thức Đây là tự học có hướng dẫn

Mức độ 3: Có SGK rồi người học tự đọc lấy mà rút ra kiến thức, kinh nghiệm về tư duy

HS phải tự mình vận dụng nội lực của bản thân để giải quyết công việc học tập Đây là tự học

ở mức độ cao nhất

Tóm lại, tự học là hoạt động của cá nhân người học Xác định điều này để ta thấy rõhơn vai trò chủ động của người học Dạy học dù có hay đến đâu cũng không thể thay thếđược việc tự học của HS GV giỏi chính là người biết hướng dẫn cho HS học chứ không phảilàm hộ HS Tự học cũng là công việc khó khăn, phải trải qua nhiều mức độ, nhiều đòi hỏi.Phấn đấu đạt được mức độ tự học cao nhất là mục tiêu cần đạt tới của người học

1.2 Bồi dưỡng năng lực tự học cho HS THPT

Bồi dưỡng năng lực tư học cho HS là việc làm rất cần thiết trong điều kiện hiện nay.Thời gian tự học là lúc HS có điều kiện tự nghiền ngẫm vấn đề học tập theo một yêu cầu,phong cách riêng và với tốc độ thích hợp Điều đó không những giúp HS nắm vấn đề một

cách chắc chắn và bền vững, bồi dưỡng phương pháp học tập và kỹ năng vận dụng tri thức,

mà còn là dịp tốt để HS rèn luyện ý chí và năng lực hoạt động sáng tạo Đó cũng là điềukhông ai có thể cung cấp đươc cho HS nếu các em không thông qua hoạt động của chính bảnthân mình Năng lực tự học là phẩm chất cần thiết cho sự phát triển và thành đạt lâu dài củamỗi con người

A- 2 Dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực và phẩm chất người học

Xác định các năng lực chung, cốt lõi, chuyên biệt của môn Toán

Có nhiều quan niệm khác nhau về NL Ở đây ta tiếp cận NL theo hướng NL hành động, tức là có cấu trúc, có thể mô tả được, đo đếm được, do đó có thể đánh giá được Mỗi môn học có thế mạnh hình thành và phát triển một (hoặc một số) NL chung cốt lõi Chẳng hạn môn Toán có ưu thế trong việc hình thành và phát triển NL tính toán, với các thành tố cấutrúc là: Thành thạo các phép tính; sử dụng được ngôn ngữ Toán học (bên cạnh ngôn ngữ thông thường); mô hình hóa; sử dụng được các công cụ Toán học (đo, vẽ, tính)

Ta có thể làm rõ dần các NL chung cốt lõi theo cấu trúc của nó, chẳng hạn như sơ đồ sau:

2.1 Một số năng lực chung cốt lõi mà môn Toán tiềm ẩn cơ hội hình thành và phát triển

Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày Chính vì vậy mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xã hội Hiểu biết về toán học giúp cho con người có thể tính toán, ước lượng, đặc biệt là có được cách thức

tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic trong việc giải quyết các tình huống, vấn đề nảysinh trong học tập cũng như thực tiễn cuộc sống hàng ngày

Ở trường PT, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản, khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý tưởng liên quan Giải toán đòi hỏi phải có tính

sáng tạo, hệ thống Học toán và giải toán giúp người học tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp, suy luận logic, … Vì vậy có thể xem đó là cơ sở co những phát minh khoa học Kiến thức toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Vì thế, có thể xem môn toán như là môn học công cụ trong nhà trường PT.

Như trên đã nêu, điều đó cho ta khẳng định ở trường PT, môn toán có nhiều cơ hội giúp HS hình thành các NL chung như:

2.2 Một số NL (kĩ năng cốt lõi) có thể và cần luyện tập qua việc học môn Toán

Dạy và học toán ở trường PT Việt Nam nói chung, giai đoạn sau 2015 nói riêng, nhằm hướng vào việc hình thành các NL chung cốt lõi, thông qua đó giúp cho HS:

+ Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, làm nền tảng cho việc phát triển các NL chung cũng như NL riêng (đối với môn toán)

+ Hình thành và phát triển NL tư duy (tư duy logic, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo, khả năng suy diễn, lập luận chặt chẽ) Phát triển trí tưởng tượng không gian, trực giác toán học.+ Sử dụng các kiến thức để học toán, học tập các bộ môn khác đồng thời giải thích, giải quyếtmột số hiện tượng, tình huống xảy ra trong thực tiễn (phù hợp với trình độ) Qua đó phát triển

NL giải quyết vấn đề, NL mô hình hóa toán học

+ Phát triển vốn ngôn ngữ (ngôn ngữ toán và ngôn ngữ thông thường trong mối quan hệ chặt chẽ với nhau) trong giao tiếp có hiệu quả

+ Góp phần cùng bộ môn khác hình thành thế giới quan khoa học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn và khả năng ứng dụng rộng rãi của toán học trong các lĩnh vực của đời sống xã hội Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận, chính xác Có thói quen ham muốn khám phá, tìm hiểu, làm việc độc lập với những phương pháp thích hợp cùng những kĩ năng cần thiết, trong sự hợp tác, hoạt động nhóm có hiệu quả

B CÁC GIẢI PHÁP

B-1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA CHO MỖI DẠNG BÀI

Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình và bất phương trình có chứa dấu căn chỉ là một mục nhỏ trong bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

của chương IV Thời lượng dành cho phần này lại rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần nàycũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xácphương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiềukiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục Muốn vậy, trong cáctiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải các dạng phương trình và bất phương trìnhthường gặp, cũng như bổ sung thêm các dạng bài tập nâng cao, đặc biệt là rèn luyện cho họcsinh kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ Từ đó học sinh tiếp cận tài liệu này

và có thể tự học theo mức độ 2

1 Phương pháp biến đổi tương đương:

Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổitương đương của phương trình, bất phương trình nhằm đưa các phương trình và bất phươngban đầu về phương trình và bất phương trình đã biết cách giải

Một số phép biến đổi thường gặp là

( ) 0( ) ( )

Đối chiếu đk (*) ta thấy x = 0 thỏa mãn Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 0

Nhận xét: Ở phương trình trên ta chuyển 1 x− qua vế phải rồi mới bình phương Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.

Nếu x≤2 pt ⇔ x− + + −1 1 1 x− =1 2⇔ 0x=0 (Luôn đúng với ∀ ≥x 1)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = ∈{x R|1≤ ≤x 2}

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2−6x+ < +1 x 2 (1)

x x x

Nhận xét:1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:

* x = 0 là một nghiệm của phương trình.

Nhận xét GV cần giúp HS hiểu rõ ở đây ta đã không biến đổi tương đương phương trình vì ta

đã thế 3 x− +1 3 x− =2 3 2x−3 trong bước biến đổi thứ 3 nên bước biến đổi này là biến đổi

hệ quả (vì ta đã coi phương trình đã cho có nghiệm) và do đó nghiệm tìm được phải thử lại.Vấn đề đăt ra là: Nếu nghiệm quá lẻ hoặc việc thử lại là khó khăn thì ta xử lí ra sao? Để làmviệc đó ta hãy xét cơ sở của phương pháp này:

Ta cần giải phương trình dạng A B C+ = (1) Lũy thừa bậc 3 và lại sử dụng phép thế

A B C+ = ta đi đến giải phương trình A3+B3+3ABC C= 3(3)

Biến đổi ngược từ phương trình (3) ta có

1

02

3 2x− +1 32x+ =1 x316

Được các nghiệm là 0, 1, 2 3 3

x= x= ± x= ± + thì việc thử lại là quá vất vả.

Ví dụ 8 Giải bất phương trình sau: (x2 −3 ) 2x x2 −3x− ≥2 0

1

2

32

Nhận xét.Ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp

trong giải phương trình và bất phương trình vô ti.

Ví dụ 9 Tìm m để phương trình:

2

2x +mx− = +3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải: 2 1

x pt

x x

>

+

Với t = −5, ta có

( ) 2

22

x x

<

+

Nhận xét Trên đây là ví dụ về phương pháp giải phương trình bằng cách đặt một ẩn

phụ cho phương trình không có tham số, được xem như dạng đơn giản nhất trong loại đặt ẩnphụ, sau khi đặt ẩn phụ phương trình chuyển về phương trình đa thức đã có phương pháp giải

GV cần lưu ý HS về điều kiện của ẩn phụ, chỉ cần tìm một điều kiện nào đó cho ẩn phụ màkhông nhất thiết phải tìm điều kiện đầy đủ, việc tìm điều kiện này chỉ giúp cho bài giải nhanhchóng hơn

Ví dụ 2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

Nhận xét Đối với các phương trình có tham số giải bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể

chia bài giải làm ba bước

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm tập giá trị của ẩn phụ theo ẩn chính

Bước 2: Chuyển phương trình đã cho theo phương trình của ẩn phụ (gọi là phương trình P)

và chuyển yêu cầu của ẩn chính theo ẩn phụ (gọi là yêu cầu Q)

Bước 3: Giải phương trình P với yêu cầu Q

1 07

Nhận xét Đây là loại bài đặt ẩn phụ và chuyển phương trình về hệ phương trình, loại

bài này phải dùng các kiến thức về hệ phương trình để giải, phương trình dạng 4) có thể chỉcần đặt một ẩn phụ như ở ví dụ 1

Ta có một số ví dụ về dạng này ở mức độ cao hơn

2 4

4

11

22

Giải Điều kiện: x≥1

Đặt a= x−1,b= 5+ x−1(a≥0,b≥ 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

HD:Với điều kiện: x +x − ≥ ⇒1 0 x +x + >2 0

Đặt

12

x x

x x

33

1825

297

23

Phương trình tương đương 5 x+1 x2− + =x 1 2(x2+2)

Nhận thấy: (x2− + + + =x 1) (x 1) x2 +2 nên ta đặt u = x+1,v= x2− +x 1 Phương trìnhtrở thành

Ta đi tìm ,α β sao cho: α(x2+ + +x 1) (β x2− + =x 1) x2−3x+1

Đồng nhất vế trái với (*) ta được :

phương trình trở thành :-3u+6v=- 3 uv⇒ =u 3v Từ đây ta sẽ tìm được x

Ví dụ 3 Giải phương trình sau :2x2 +5x− =1 7 x3−1(*)

Giải

Đk: x≥1

HD:Đk x≥5 Chuyển vế bình phương ta được: 2x2−5x+ =2 5 (x2− −x 20) (x+1)

Nhận xét : Không tồn tại số ,α β để : 2x2−5x+ =2 α(x2− −x 20)+β(x+1) vậy takhông thể đặt :

2

201

Viết lại phương trình: 2(x2−4x− +5) 3(x+4) =5 (x2−4x−5)(x+4) Đến đây bài toánđược giải quyết

Đặt ẩn phụ các hàm lượng giác:

Khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn, đôi khi ta còn đặt ẩn phụ là các hàm số lượng giác Bằng những tính chất của hàm số lượng giác, ta sẽ chuyển bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này.

Ví dụ 7: Giải phương trình: 1+ 1−x2 =2x2

Với bài toán này, học sinh có thể giải bằng phương pháp bình phương hoặc đặt ẩn phụ Cách tiến hành hai phương pháp này tuy khác nhau nhưng cùng một mục đích là làm mất căn thức Tuy nhiên, chúng ta có thể gợi ý cho học sinh: ĐK xác định của phương trình 1− ≤ ≤x 1 và phải biến đổi 1 x− 2 =a2, đẳng thức này gợi ý cho chúng ta nghĩ đến công thức lượng giác cơ bản giữa sin và cos.Vậy ta có cách giải như sau:

ĐK: x ≤1. Đặt x=cos ,t t∈[0; ]π Khi đó phương trình trở thành:

, hoặc đặt ( ) u x =acos ,t t∈[0; ]π .

*Nếu ( ) [0; ] u x ∈ a thì có thể đặt ( ) sin ,2 [0; ]

Ngoài các ví dụ trên, giáo viên nên đưa ra các phương trình với nhiều cách giải khác nhau

để học sinh có thể đối chiếu, so sánh và có được nhiều kinh nghiệm khi giải toán Ta xét ví dụ sau:

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: x = 0 và x = 1

Qua lời giải trên, ta thấy được x x− 2 biểu diễn được qua x+ 1−x nhờ vào đẳng thức