Các phơng pháp tính diện tích phía dới đờng cong gzThS.. Lưu ý khi tớnh diện tớch phần phớa dưới đường cong GZ đến gúc nghiờng nào đú.. ột số quan điểm, lập luận khi tớnh diện tớch phớa
Trang 1Các phơng pháp tính diện tích phía dới đờng cong gz
ThS Đào Quang Dân
Khoa Điều khiển tàu biển
1 Lưu ý khi tớnh diện tớch phần phớa dưới đường cong GZ đến gúc nghiờng nào đú.
ột số quan điểm, lập luận khi tớnh diện tớch phớa dưới đường cong GZ, giới hạn đến gúc nghiờng nào đú, giả sử đến gúc 30 0 , người ta sử dụng phương phỏp gần đỳng theo diện tớch hỡnh tam giỏc vuụng (tam giỏc OBC như hỡnh vẽ 1.1), sau đú lý luận diện tớch tam giỏc vuụng OBC cũn nhỏ hơn diện tớch phớa dưới đường cong GZ, giới hạn đến gúc nghiờng 30 0 Cú thể núi đõy là một sai lầm.
M
Vỡ: Chỉ khi chỳng ta biểu diễn (vẽ) đường cong GZ như hỡnh 1.1 thỡ diện tớch phần phớa dưới đường cong GZ tớnh đến gúc nghiờng (giả sử) 30 0 mới lớn hơn diện tớch tam giỏc vuụng OBC Nhưng thực tế tất cả cỏc loại tàu, đồ thị đường cong GZ cú dạng chuẩn như hỡnh 1.2, thỡ khi đú theo như hỡnh vẽ 1.3 hoặc 1.4 ta nhận thấy, chưa chắc diện tớch tam giỏc vuụng OBC đó nhỏ hơn diện tớch phần phớa dưới đường cong GZ đến gúc nghiờng nào đú (giả sử đú là gúc nghiờng 30 0 ) Chớnh vỡ vậy chỳng ta cần loại bỏ cỏch suy diễn trờn và khụng nờn tớnh diện tớch phớa dưới đường cong GZ giới hạn đến một gúc nào đú để kiểm tra ổn định theo tiờu chuẩn bằng phương phỏp tớnh gần đỳng diện tớch tam giỏc vuụng.
Để xỏc định cỏc phần diện tớch phớa dưới đường cong GZ đến cỏc gúc
nhất định nào đú ta cú cỏc cỏch sau:
Hỡnh 1.3
θ
10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0
C
GZ
O
B
GZ
θ B
Hỡnh 1.4
C X O
Hỡnh 1.1
G
Z
10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 θ
B
C O
Hỡnh 1.2
100 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0
6 5 4 3 2
2
1
B
C
A
Trang 22 Cỏch tớnh diện tớch phớa dưới đường cong GZ
2.1 Cỏc phương phỏp
Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, ta cần tính diện tích bao bởi một đờng cong có hình dạng bất
kỳ, chẳng hạn nh tính diện tích dới cánh tay đòn ổn định (hay mô men nghiêng) Để việc tính toán thuận tiện, đảm bảo chính xác và dễ dàng áp dụng cho các chơng trình tính toán trên máy tính, ta có thể sử dụng một số phơng pháp nh sau:
2.1.1 Phơng pháp hình thang
Chia diện tích cần tính bởi các đờng thẳng song song với trục Oy, các đờng thẳng cách nhau 1 khoảng h Khi đó:
S = S1(y1, y2) +S2(y2, y3) + S3(y3, y4) + + Sn-1(yn-1, yn)
=
2
1(y
1+ y2).h +
2
1(y
2+y3)h + +
2
1h(y
n-1 + yn)
=
2
1h [y
1 + 2y2 +2y3 + + 2yn-1+ yn] Trong đó Si (yi, yi) là diện tích giới hạn bởi yi, yi + 1 đợc coi nh hình thang và đợc tính bằng:
Si =
2
1(y
i + yi+1) h
Rõ ràng là khi càng giảm khoảng cách h, giá trị diện tích tính đợc càng đảm bảo chính xác
2.1.2 Phơng pháp Simpson's
Mặc dù thờng đợc biết đến với tên là "Công thức Simpson", phơng pháp này đã đợc các nhà toán học sử dụng trớc đây rất lâu Đây chính là một trờng hợp đặc biệt của công thức Newton - Cotes Giả sử cần tính diện tích dới đờng cong y = f(x) (Hình 2.2)
Với 3 điểm trên đờng cong A(-h, y1), B (O, y2),
Container (h, y3); Coi y = f(x) là một đoạn của
hàm số bậc 3 với biên x, ta có :
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Khi đó, diện tích dới đờng cong đợc tính bằng:
−
−
+ +
= h
h
3 2 1 0 h
h
dx x a x a a ydx
2 0
4 3 3 2 2 1
3
2 h a 2 h
h 4
x a 3
x a 2
x a x
−
+
Lại giả sử diện tích này đợc tính theo công thức:
Với: y1 = a0 - a1h + a2h2 - a3h3
y2 = a0
y3 = a0 + a1h + a2h2 + a3h3
A
y1
y =f(x)
y
o
h h h h x
yn
yn-1
y4
y3
y2
H
ình 2.1
Trang 3Thay vào (2-2), ta có:
A = (L + M + N) a0 - (L - N) a1h + (L+N) a2h2 - (L-N)a3h3 (2-3)
Cân bằng hệ số (2-3) và (2-1) ta có:
h 3
4 M
; h 3
1 N L h
3
2 N
L
0 N
L
h 2 N M
L
=
=
=
⇒
= +
=
−
= + +
Nh vậy, ta có: (thay vào (2-2)
A =
3
1h y
3
4h.y
3
1h.y
3
1h (y
Công thức này đợc gọi là Công thức Simpson bậc 3
Diện tích bất kỳ (Hình 2.3) có thể đợc chia bởi (2n + 1)
(lẻ) điểm cách đều nhau (khoảng cách h)
Khi đó, theo công thức trên, diện tích
giới hạn bởi (1) và (3) đợc tính bằng:
A1 = h(y1 4y2 y3)
3
1
+ +
Diện tích (3), (5): A2 = h(y 3 4 y 2 y 5)
3
Diện tích (5), (7): A3 = h(y5 4y6 y7)
3
1
+
Nh vậy:
y
y 4 y 2 y 4 y 2 y 4 y h 3
1 A
2
y
y 2 y y 2 y y 2 2
y h 3
6 5 4 3 2 1
Hệ số chung: h
3 1 Các hệ số lần lợt là: 1, 4, 2, 4, 2, , 2,4,1
Nh vậy, nếu trong công thức hình thang, ta coi y = f(x) trong mỗi đoạn chia là tuyến tính thì ở
đây, ta đã coi đó là các đờng cong bậc 3, do vậy độ chính xác đã tăng lên đáng kể
* Trong trờng hợp phần diện tích đợc chia bởi một số chẵn (2n) điểm, ta sử dụng công thức Simpson cho diện tích giới hạn bởi 2n-1 điểm đầu và diện tích khoảng cuối nh sau:
3
1
−
− + +
+ + +
3
1 2
h(y
2n-1 + 4y* + y2n)
−
* 1 n 2
n 2
2
1 y 2 y
2
3 y
4
y 4 y h 3 1
* Khi cần độ chính xác cao hơn, ứng với số
điểm chia là 4, 7, 10, 13, 16, 4+3n, ta có thể coi
các đoạn của y = f(x) là các đa thức bậc 4
đối với biến x
y
o
y 5
1 2 3 4 5 2n+1
yn y
4
y 3
y 2
y 1
A1
A2
y
x
h … h/2 h/2
1 2 … 2n-1 2n
Hỡnh 2.4
Trang 4Bằng cách thực hiện tơng tự, ta cũng có:
8
8
3
+ + +
8
3
+ +
+
A = ΣAi =
8
3
h (y1+3y2+3y3+2y4+3y5+3y6+2y7+ +y3n+4) Trong đó:
h: Khoảng chia
Các hệ số là (1,3,3,2,3,3,2,3,2, 2,3,3,1)
* Tổng quát, ta có bảng về các hệ số nhân, ứng với số điểm chia từ 1 tới 9 nh sau:
Hệ số
2
2
1
2 1
3
6
1
6
4
6 1
4
8
1
8
3
8
3
8 1
5
90
7
90
32
90
12
90
32
90 7
6
288
19
288
75
288
50
288
50
288
75
A = L x Σ (yi x hệ số i)
Với L là khoảng cách từ đờng thẳng đứng qua điểm đầu tới đờng thẳng đứng qua điểm cuối của
đờng cong
2.1.3 Công thức Tchebycheff
Vẫn từ giả thiết nh Simpson nhng ở đây
Tchebycheff đa ra công thức tích phân gần đúng dạng:
A = P (y1 + y2 + y3)
Trong đó:
P : là thừa số chung
y2: lấy tại gốc
y1, y2: lấy tại 1 vị trí x nào đó mà ta sẽ tìm sau đây:
Thay vào công thức:
y1 = a0 - a1x + a2x2 - a3x3
y2 = a0
y3 = a0 + a1x +a2x2 + a3x3
→ A = P (y1 + y2 + y3) = P (3a0 + 2a2x2)
=>
=
=
⇒
=
=
=
↔
=
h 7071 , 0 2
h x ph h
3
2 px 2
h 3
2 P h 2 P 3
2 3
2
x
y
y2 y3
y1
Hỡnh 2.5
Trang 5Vậy, công thức Tchbycheff đợc viết thành
A =
3
h
2 [f(-0,7071h) + f(0) + f(0,7071h)]
Công thức này đợc xây dựng ứng với số đoạn chia là 3
Ta có thể xây dựng công thức Tchebycheff cho các điểm chia khác (2 ữ 10) bằng cách tơng tự,
kết quả đợc tính nh sau: Thừa số chung đợc tính bằng công thức: P =
n
h 2 Trong đó: n số điểm lấy giá trị
Số điểm
10 0.08375 0.31273 0.5000 0.68727 0.91625
2.1.4 Công thức Gauss
Có thể thấy, trong công thức Simpson, hệ số nhân là khác nhau và vị trí các điểm lấy giá trị cách
đều nhau; ngợc lại, trong công tác Tchebycheff, hệ số nhân đợc lấy một giá trị cố định còn khoảng cách giữa các điểm lấy giá trị không đều
Đối với công thức sau, cả hệ số nhân và khoảng cách giữa các điểm đều đợc tính không đều nhau:
Số điểm lấy
Hệ số "x" 0.32607 0.17393
Ví dụ: (4 điểm)
A = 2h x [ 0 32607 y2 + 0 32607 y3 + 0 17393 y4 + 0 17393 y4 ]
So với công thức Simpson hay Tchebycheff
công thức Gauss có độ chính xác cao hơn nhiều
mặc dù vậy việc tính toán đặc biệt là tính toán
bằng tay gặp rất nhiều khó khăn
Hỡnh 2.6
0.8 0.
8 0.8
y 4
x
0.3 0.3
y
y 2
y
3 y
1
Trang 62.2 Lưu đồ thuật toán
2.2.1 Phương pháp Simpson tính tích phân xác định theo thuật toán sau:
( )
∫ = + + + + + −+
b
a
n n
f f h dx x
2 3
2 )
Trong đó phần dư R n( )f = ( ) . ( ),
180
) 4 ( 4
5
ξ
f n
b
a− a < ξ < b;
n
a
b−
Trong chương trình có dùng các ký hiệu sau:
lặp max;
IT là chỉ số bằng -1 khi phép tính lặp phân kỳ, ngược lại IT = 1;
Sigma là trị số của tích phân.
4.2.2 Tính tích phân bằng phương pháp hình thang (phương pháp
Romberg)
( )
a
n n
f f h dx x
2 )
Trong đó f i = f(a+ih);
( )f
12
'' 2
3
ξ
f n
a
b−
− a < ξ < b;
BEGIN
c
Đọ a, b, , m
h = (b-a)/n
i:=1
S =
S:=
i= i+2
i < n-1 Đúng
3
2
S
S =
END
In S
Sai
Hình 2.7
Sai
S :=S.h i<n-1
S : = S + fi
h : =
i : = 1
n
a b
h : = −
BEGIN
úng
Đ i := i + 1
H×nh 2.8
Trang 7Các thông số của chương trình tích phân HINH THANG tương tự như chương trình 2.2.1.
Gauss-Legendre ở n điểm
( )x y dxdy f
∫∫
Ω
, Với n∈(3,4,5,6,7,8,9,10,15,20,25,30). Các hoành độ u 1 ,… u n và tâm w 1 …w n được tính toán trước
Trong trường hợp n = 3 ta có:
[ ]1 =−0,774596
u w[ ]1 =0,555555 u[ ]2 =0 w[ ]2 =0,888888 u[ ]3 =−u[ ]1 w[ ] [ ]3 =w1
2 ,
2
4 1 1 1 1 1 + 1/2 + 1/2
=
=
=
= ∑ ∑ ∑
y i j
i n
j
n
i
n
j y n
i
x
y
x
y u
h x u
hx f w w h
h
σ
Hàm số được chứa trong FUNCTION HAM (x, y: real): real để tính giá trị của tích phân tại điểm (x,
y) Các số liệu vào của chương trình gồm:
a 1 là cận dưới của [a1,b1];
b 1 là cận trên của [a1,b1];
a 2 là cận dưới của [a2,b2];
b 2 là cận trên của [a2,b2];
dta là độ chính xác ﻉ;
m là số lần tính lặp cực đại;
n o là số điểm tính;
Sigma là giá trị của tích phân kép
sau khi tính toán σ
Sai
Sai
END
úng Đ dta?
úng Đ
Tính y, S
i > n
BEGIN
Tính qo
u1, u2, u3
V o a à 1, b1, a2, b2, dta, m , n0
k>m
In σ
H×nh 2.9
Trang 82.2.4 Tính tích phân kép bằng phương pháp Romberg.
Φ
y x
Hàm f(x, y) liên tục trong miền Φ = [a1,b1]x[a2,b2].
Ở đây phương pháp Romberg tính tích phân kép dùng công thức kết hợp trên cơ sở các điểm trung gian Vì hàm f liên tục trong miền Φ nên ta có thể viết:
1 2
2
) , (
b
a
b
a
dy y x f dx
Chia các cận [a1,b1]x[a2,b2] thành các đoạn nhỏ hơn nghĩa là chọn các bước tích phân h x và
h y với các n x và n y là các số nguyên khác không
,
1 1
x
a b
2 2 ,
y x
n
a b
Giá trị của x và y tại các điểm tích phân
x i
i a ih
x i
i a ih
Chia miền Φ thành các miền P ij với
P ij =[ xi−1, xi] x [ ] yj−1, y i: = 1 , n x
y
n
j:=1,
Ta nhận được tích phân kép là một tổng như sau:
ij n
j y n
i
x
Pij
n
j y n
i
=
=
=
=
=
=
1 1 1
1
) , (
Với
=
−
− 2 2
, j
j i i y x
ij h h f x y
σ
=
−
−
=
∑
2 2 1
1
, j
j i i n
j y n i
x y
h
Trong chương trình có function HAM để chứa hàm cần tích phân Ở đây chúng ta có
f(x, y) = (x + y)sinxsiny.
Các biến của chương trình gồm:
a 1 , b 1 là các cận tích phân theo x; a 2 , b 2 là các cận tích phân theo y;
Trang 9m là số lần tớnh lặp cực đại (nhiều nhất là 15);
it là chỉ số nhận hai giỏ trị
= -1 nếu bài toỏn khụng hội tụ
= 1 nếu bài toỏn khụng hội tụ
dta là độ chớnh xỏc;
sigma là trị số của tớch phõn σ
Lu đồ thuật toán nh hình 2.9